第十四章 桿件的應(yīng)變能及其應(yīng)用

第十四章桿件的應(yīng)變能及其應(yīng)用一、教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容教學(xué)目標(biāo)讓學(xué)生掌握桿件彈性應(yīng)變能的有關(guān)概念。理解和掌握在工程力學(xué)有廣泛應(yīng)用的能量方法。掌握功能原理、功的互等定理、位移互等定理、卡氏定理。能夠熟練地計(jì)算基本變形桿件和常見(jiàn)的組合變形桿件的應(yīng)變能。對(duì)于簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)應(yīng)變能，也能夠完成應(yīng)變能的計(jì)算。能夠較為熟練地應(yīng)用卡氏第二定理，完成桿件的位移計(jì)算，并可以求解簡(jiǎn)單超靜定問(wèn)題。為進(jìn)一步在結(jié)構(gòu)力學(xué)等后續(xù)課程中，學(xué)習(xí)和應(yīng)用能量方法奠定基礎(chǔ)。教學(xué)內(nèi)容介紹能量法的有關(guān)概念。例如，外力的功、應(yīng)變能、比能等等。介紹基本變形桿件應(yīng)變能計(jì)算和組合變形桿件應(yīng)變能計(jì)算。講解功能原理、功的互等定理和位移互等定理。講解余能概念和卡氏定理。二、重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：建立應(yīng)變能等有關(guān)概念?；咀冃螚U件和常見(jiàn)的組合變形桿件的應(yīng)變能的計(jì)算。卡氏第二定理及其應(yīng)用。難點(diǎn)：桿件應(yīng)變能計(jì)算中的可否疊加問(wèn)題。對(duì)于廣義力和相應(yīng)廣義位移的正確理解和認(rèn)識(shí)。應(yīng)用卡氏第二定理求位移時(shí)，如何正確地選取或設(shè)定與位移相應(yīng)的廣義力。能否正確寫(xiě)出內(nèi)力方程，靈活地進(jìn)行先求偏導(dǎo)數(shù)再積分的運(yùn)算。三、教學(xué)方式采用啟發(fā)式教學(xué)，通過(guò)提問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生回答問(wèn)題。四、建議學(xué)時(shí)6學(xué)時(shí)五、講課提綱1、彈性應(yīng)變能與功能原理彈性體在荷載作用下將發(fā)生變形，外力作用點(diǎn)要產(chǎn)生位移.因此，在彈性體的變形過(guò)程中，外力沿其作用方向做了功，稱為外力功。對(duì)于彈性體，因?yàn)樽冃问强赡娴?，外力功將以一種能量形式積蓄在彈性體內(nèi)部。當(dāng)將荷載逐漸卸除時(shí)，該能量又將重新釋放出來(lái)作功，使彈性體恢復(fù)到變形前的形狀。例如鐘表里的發(fā)條在被擰緊的過(guò)程中，發(fā)生了彈性變形而積蓄了能量，在它放松的過(guò)程中可帶動(dòng)指針轉(zhuǎn)動(dòng)，從而發(fā)條就作了功。彈性體伴隨彈性變形積蓄了能量，從而具有對(duì)外界作功的潛在能力，通常把這種形式的能量稱為彈性應(yīng)變能(Dlasticstrainenergy)或彈性變形能(Dlasticdeformationenergy),用V表示。根據(jù)物理學(xué)中的功能原理，積蓄在彈性體內(nèi)的應(yīng)變能V及能量損耗AE￡在數(shù)值上應(yīng)等于荷載所作的功，即匕+AE=W如果在加載過(guò)程中動(dòng)能及其它形式的能量損耗不計(jì)，應(yīng)有V=W(14.1)利用上述的這種功能概念解決固體力學(xué)問(wèn)題的方法統(tǒng)稱為能量法，相應(yīng)的基本原理統(tǒng)稱為功能原理(Principleforworkandenerg)。彈性體的功能原理的應(yīng)用非常廣泛，它是目前在工程中得到廣泛應(yīng)用的有限單元法的重要理論基礎(chǔ)。2、桿件的應(yīng)變能計(jì)算如前所述，若外力在加載過(guò)程中所作的功全部以應(yīng)變能的形式積蓄在彈性體內(nèi)，即在加載和卸載的過(guò)程中能量沒(méi)有任何損失，則只要得到加載過(guò)程中外力功的數(shù)值，彈性體應(yīng)變能的數(shù)值也就可以計(jì)算出來(lái)，所以說(shuō)外力功是應(yīng)變能的一種度量。外力功的計(jì)算外力作功分為以下兩種情況。一種情況為常力作功。這里所謂常力，是指工程動(dòng)力學(xué)中，作用在不變形的剛體上使剛體產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)的力。當(dāng)外力在作功過(guò)程中保持不變時(shí)，它所作的功等于外力與其相應(yīng)位移的乘積。例如，在沿外力F方向線上有線位移A，則W=F-A另一種情況為靜荷載作功。所謂靜荷載，是指構(gòu)件所承受的荷載從零開(kāi)始緩慢地增加到最終值，然后不隨時(shí)間改變。所以靜荷載的施加過(guò)程均為變力。靜荷載作功，可以解釋為在其施加過(guò)程中的一種變力作功。例如圖14.1所示的簡(jiǎn)單受拉桿，拉力由零逐漸增加到定值F，由F產(chǎn)生的伸長(zhǎng)變形由零逐漸增加到Al，這就是拉力F的作用點(diǎn)的位移。如果材料服從胡克定律，則外力F與位移Ala)。設(shè)F1表示加載過(guò)程中拉力的一個(gè)值，相應(yīng)的位移為A11，此時(shí)將拉力增加一微量dF，使其產(chǎn)生相應(yīng)的位移增量d(Al)，這時(shí)，已經(jīng)作用在桿上的拉力F將111在該位移增量上作全功，其值為dW=F?d(Al)(14.2)

TOC\o"1-5"\h\z在上式中略去了dF在del）上作的功，這部分功為二階微量。dWa中以陰11影面積來(lái)表示。拉力從零增加到F的整個(gè)加載過(guò)程中所作的總功則為這種單元面積的總和，也就是AOAB的面積，即…1\o"CurrentDocument"W=jFF-d(Al)=—FM

01^2上述積分是與靜荷載施加過(guò)程有關(guān)的積分，可以稱為靜荷載作功的過(guò)程積分。積分結(jié)果的系數(shù)1/2，既是已經(jīng)完成過(guò)程積分的標(biāo)志，又表示構(gòu)件材料為線性彈性材料。將以上的分析推廣到其它的受力情況，因而靜荷載下外力功的計(jì)算式可寫(xiě)為（14.3）V=W=\lF-d(M)=-FM

e0112式中的F是廣義力，它可以是集中力或集中力偶；M是與廣義力F相對(duì)應(yīng)的位移，稱為廣義位移，它可以是線位移或角位移。上式表明，當(dāng)外力是由零逐漸增加的變力時(shí)，在符合胡克定律的范圍內(nèi)，外力在其相應(yīng)位移上所作的功，等于外力最終值與相應(yīng)位移最終值乘積的一半。桿件的應(yīng)變能計(jì)算應(yīng)變能的有關(guān)概念按照功能原理，應(yīng)變能可以由計(jì)算外力的功得到，這是應(yīng)變能的一種計(jì)算方法。=W”，1=jlF?d(M)=FM&0ii2同時(shí)，也表明線彈性材料桿件的應(yīng)變能，在完成了過(guò)程積分，也始終具有1/2系數(shù)。V=W=\lF-d(M)=-FM

eo112應(yīng)變能和外力的功，它們?cè)跅U件受力變形過(guò)程中的積累，也可以由荷載伸長(zhǎng)圖和應(yīng)力應(yīng)變圖(見(jiàn)圖14.2)考察到。桿件的應(yīng)變能計(jì)算桿件在各種基本變形時(shí)應(yīng)變能的計(jì)算如前所述，應(yīng)變能是根據(jù)能量守衡原理通過(guò)外力功來(lái)計(jì)算的。以下我們討論的均為靜荷載問(wèn)題，動(dòng)能和其他能量的損耗不計(jì)。軸向拉伸或壓縮桿的應(yīng)變能及比能當(dāng)拉(壓)桿的變形處于線彈性范圍內(nèi)時(shí)，外力所作的功為W=_FM2則桿內(nèi)的應(yīng)變能為1匕=W=-FM由圖14.1知，桿件任一橫截面上的軸力Fn=F考慮到胡克定律有M=里EA所以，拉（壓）桿的應(yīng)變能為F21V=―N—￡2EAV=EM)2￡若外力較復(fù)雜，軸力沿桿軸線為變量FN（x），可以先計(jì)算長(zhǎng)度為dx微段內(nèi)的應(yīng)變能，再按積分的方法計(jì)算整個(gè)桿件的應(yīng)變能，即F2(x)dxdV二￡2EAV=j吒⑴d（14.5）￡i2EA為了對(duì)構(gòu)件的彈性變形能有更全面的了解，我們不但要知道整個(gè)構(gòu)件所能積蓄的應(yīng)變能，而且要知道桿的單位體積內(nèi)所能積蓄的應(yīng)變能。對(duì)于承受均勻拉力的桿（圖14.1），桿內(nèi)各部分的受力和變形情況相同，所以每單位體積內(nèi)積蓄的應(yīng)變能相等，可用桿的應(yīng)變能匕除以桿的體積V來(lái)計(jì)算。這種單位體積內(nèi)的應(yīng)變能，稱為應(yīng)變比能（Densityofstrainenergy），簡(jiǎn)稱比能，并用v表示，于是v2Fn1_1v=—￡=二一b￡￡VAl2可見(jiàn)應(yīng)變比能v￡的數(shù)值也可以用a?￡圖中AOabb）。根據(jù)胡克定律。=E￡，比能又可以寫(xiě)成下列形式1a2E￡2v=2a￡=2E=-2~剪切變形時(shí)的應(yīng)變能及比能?所示的單元體，該單元體處于純剪切應(yīng)力狀態(tài)，假想其在一個(gè)面（如左側(cè)面）上被固定起來(lái)，則在剪應(yīng)力由零逐漸增加到t值的過(guò)程中，單元體將發(fā)生如圖所示的變形，與此對(duì)應(yīng)的剪應(yīng)變由零增加到Y(jié)值，其右側(cè)面向下的位移為A=ydx。當(dāng)材料在線彈性范圍內(nèi)工作時(shí)，其t與yba、b中所示受拉桿的相應(yīng)圖形類似。所以，單元體各表面上的剪力在單元體變形過(guò)程中所作的功為1，，，、，1，，，、，，、dW=—(tdydz)-A=—(tdydz)(ydx)22上式中，作功的力是單元體右側(cè)面上的剪力。由于剪應(yīng)變y很小，其余各面上的剪力，在其作用方向上沒(méi)有位移，都沒(méi)有在其作用方向上作功。故單元體內(nèi)積蓄的應(yīng)變能為(a)(h)1dV=dW=^ty-dV單元體內(nèi)積蓄的應(yīng)變比能則為V=E=1ty￡dV2這表明，v￡等于t?y直線下的面積。由剪切胡克定律t=Gy，比能又可以寫(xiě)成下列形式112Gy2v=—ty=—=￡22G2

圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能及比能?所示的受扭圓軸，若扭轉(zhuǎn)力偶矩由零開(kāi)始緩慢增加到最終值T，則在線彈性范圍內(nèi)，相對(duì)扭轉(zhuǎn)角中與扭轉(zhuǎn)力偶矩T》）。與軸向拉伸桿件相似，扭轉(zhuǎn)圓軸的應(yīng)變能應(yīng)為_(kāi)1匕=W=-T中由于圓軸橫截面上的扭矩Mx=T，且中=MlGIP所以，受扭圓軸的應(yīng)變能為（14.8）實(shí)際上，受扭圓軸中各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)均為純剪切應(yīng)力狀態(tài)，因而可以直接采用公式（14.7），求積分即得桿件的應(yīng)變能。因?yàn)榧魬?yīng)力t_史，所IP以2M21Jp2dA_——2M21Jp2dA_——a2GIP2G"IPJ￡V1A2G當(dāng)扭矩Mx沿軸線為變量時(shí)，上式變?yōu)?/p>

(14.9)『M2(x)dx(14.9)匕=』nx^P可見(jiàn)利用比能計(jì)算全桿內(nèi)積蓄的應(yīng)變能應(yīng)用范圍更廣，該方法適用于桿各橫截面上內(nèi)力變化(相應(yīng)橫截面上各點(diǎn)處的應(yīng)力也不同)的情況。彎曲變形時(shí)的應(yīng)變能及比能(1)純彎曲梁a所示的簡(jiǎn)支梁在兩端的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)受到外力偶M°作用而發(fā)生純彎曲，在加載過(guò)程中，梁的各橫截面上的彎矩均有M=M0a)，兩端橫截面有相對(duì)的轉(zhuǎn)動(dòng)，其夾角為9=-P且1M—=—°PEI故9M°LEI

與前面的情況相似，在線彈性范圍內(nèi)，當(dāng)彎曲外力偶矩由零逐漸增加到M0時(shí)，梁兩端截面上相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生的夾角也從零逐漸增加至。，M°與。的關(guān)系也是斜直線(圖14.5b)，所以桿件純彎曲變形時(shí)的應(yīng)變能為=W==W=-Ml=^0-2°2EIEIQ221(14.10)(2)橫力彎曲梁。所示)。這時(shí)，梁橫截面上同時(shí)有剪力和彎矩，所以梁的應(yīng)變能應(yīng)包括兩部分：彎曲應(yīng)變能和剪切應(yīng)變能。由于剪力和彎矩通常均隨著截面位置的不同而變化，都是x的函數(shù)，因此，計(jì)算梁的應(yīng)變能應(yīng)從分析梁上長(zhǎng)為dxb)。cd)。由于在小變形的情況下，彎曲正應(yīng)力不會(huì)引起剪應(yīng)變，剪應(yīng)力也不會(huì)引起線應(yīng)變，或者說(shuō)，由彎矩產(chǎn)生的位移與由剪力產(chǎn)生的位移互相垂直，因此，可以先分別計(jì)算出彎矩和剪力在各自相應(yīng)的變形位移上所作的功，然后根據(jù)疊加原理將它們疊加起來(lái)。但由于在工程中常用的梁往往為細(xì)長(zhǎng)梁，與剪應(yīng)力對(duì)應(yīng)的剪切應(yīng)變能，比與彎矩對(duì)應(yīng)的彎曲應(yīng)變能小得多，可以不計(jì)，所以只需要計(jì)算彎曲應(yīng)變能。微段梁左右兩端橫截面上的彎矩應(yīng)分別為M(x)和M(x)+dM(x)。在計(jì)算其應(yīng)變能時(shí)，彎矩增量dM(x)所作的功為二階微量，可忽略不計(jì)，因此可將該微段看作是純彎曲的情況。應(yīng)用式(14.10)可求得微段的彎曲應(yīng)變能M2(x)dx

dV=￡2EI全梁的彎曲應(yīng)變能則可積分上式得到

M2(x)dx

r^Er如果梁中各段內(nèi)的彎物(x)由不同的函數(shù)表示，上列積分應(yīng)分段進(jìn)行，然后再求其總和。由以上各種變形形式下應(yīng)變能的計(jì)算式可以看出，應(yīng)變能是力的二次函數(shù)，也是變形的二次函數(shù)。當(dāng)構(gòu)件同時(shí)受幾個(gè)力(或力偶)作用時(shí)，能否用疊加原理求應(yīng)變能？復(fù)雜受力情況下應(yīng)變能的計(jì)算1.有關(guān)應(yīng)變能的兩個(gè)重要概念。(1)是否可以應(yīng)用疊加原理計(jì)算應(yīng)變能。。所示的拉桿為例加以說(shuō)明。拉桿在F1、F2同時(shí)作用下的應(yīng)變能為(14.12)°(F+F)21F21FFlF21V=——12=―1—+~+―2—￡2EA2EAEA2EA(14.12)而當(dāng)F］、F2b、c)，桿的應(yīng)變能分別為F21一F21V=-^￡12EA和V=2￡22EA顯然匕。匕+匕2。所示的情況不能用疊加原理計(jì)算應(yīng)變能。其原因是這些荷載所作的功是互相影響的，即荷載除在其自身引起的位移上作功外，在其它荷載引起的位移上也要作功，所以不能將各荷載單獨(dú)分析再進(jìn)行疊加。這樣的荷載稱為屬于同類型荷載。例如若先將?作用在拉桿上，桿件有伸長(zhǎng)%則^所作的功為T(mén)OC\o"1-5"\h\z1…W二一FM

i2ii在F不卸除的情況下，再施加F，桿件又伸長(zhǎng)了Ml,故變力F、常力F所1222作的功為1w二—FM和W=F-Al2222則整個(gè)加載過(guò)程外力所作的功為312TOC\o"1-5"\h\z11W=W+W+W二一FM+_FM+FM12321122212將上式轉(zhuǎn)化為應(yīng)變能則同樣得到式(14.12)。其中W就是兩力所作功互相3影響的結(jié)果。(2)應(yīng)變能是否與加載次序及過(guò)程有關(guān)。對(duì)于上述的拉桿，若先施加F2再施加F1，通過(guò)類似的計(jì)算可以證明，桿件內(nèi)積蓄的應(yīng)變能與上述分析結(jié)果一樣，當(dāng)然也與F「F2同時(shí)作用時(shí)一樣?？梢?jiàn)，積蓄在彈性體內(nèi)的彈性應(yīng)變能只決定于彈性體變形的最終狀態(tài)，或者說(shuō)只決定于作用在彈性體上的荷載和位移的最終值，與加載的先后次序無(wú)關(guān)。2.組合變形時(shí)的應(yīng)變能如果作用在桿件上的某一荷載作用方向上，其它荷載均不在該荷載方向上引起位移，則前一荷載與其它荷載將屬于不同荷載類型，則仍可應(yīng)用疊加原理計(jì)算應(yīng)變能，即是說(shuō)，可以單獨(dú)計(jì)算前一荷載作用下桿件的應(yīng)變能，單獨(dú)計(jì)算其它荷載作用下桿件的應(yīng)變能，然后疊加得出桿件的總的應(yīng)變能。組合變形時(shí)的應(yīng)變能就屬于這種情況。圖14.8所示的微段桿是從處于拉、彎、扭組合變形下的圓桿中取出的，其長(zhǎng)度為dx，橫截面上的軸力Fn(x)、彎矩M(x)和扭矩Mx均只在各自引起的位移d(Ml)、d0和d中上作功，各類荷載所作的功互相沒(méi)有影響，故微段桿內(nèi)的應(yīng)變能可用疊加原理計(jì)算，即

1,、…，、1,、，1,、，dV=dW=萬(wàn)F(x)-d(AZ)+^M(x)-dQ+萬(wàn)M(x)-d中F2(x)dxM2(x)dxM2(x)dx=++—xEA2EI2GIp整個(gè)圓桿的應(yīng)變能則為(14.13)V_jF2(x)dx+jM2(x)dx+jM2(x)dxe_/N2EAz2EI12GIp(14.13)應(yīng)變能的普遍表達(dá)式以上討論了桿件在基本變形和簡(jiǎn)單組合變形下應(yīng)變能的計(jì)算，現(xiàn)在研究更普遍的情況。設(shè)有n個(gè)廣義力F］、F2、…、F〃作用在如圖14.9所示的物體上，且設(shè)物體的約束條件足以使它只會(huì)發(fā)生由于變形引起的位移，不會(huì)發(fā)生剛體位移。氣、A2、…、An表示荷載沿各自作用方位上的廣義位移（圖14.9）。由前面的分析我們已經(jīng)知道，彈性體在變形過(guò)程中積蓄的應(yīng)變能，只決定于作用在彈性體上的荷載和位移的最終值，與加載的先后次序無(wú)關(guān)。于是，不管實(shí)際加載的情況如何，在計(jì)算應(yīng)變能時(shí)，為計(jì)算方便起見(jiàn)，可以假設(shè)這些荷載按同一比例從零開(kāi)始逐漸增加到最終值，則彈性體的應(yīng)變能等于各廣義力在加載過(guò)程中所作功的總和，即Fp3圖14.9V=]EfAIF4（14.14）i=10當(dāng)作用于彈性體上的荷載與其相應(yīng)位移之間的關(guān)系是線性時(shí)，即物體為線彈性體，則應(yīng)變能的計(jì)算式為V=]E1FA（14.14）i=1這表示線彈性體的應(yīng)變能等于各荷載與其相應(yīng)位移乘積的二分之一的總和。這一結(jié)論稱為克拉貝依隆原理。3、功的互等定理和位移互等定理由前面的討論可知，對(duì)線彈性體結(jié)構(gòu)，積蓄在彈性體內(nèi)的彈性應(yīng)變能只決定于作用在彈性體上的荷載的最終值，與加載的先后次序無(wú)關(guān)。由此可以導(dǎo)出功的互等定理和位移互等定理。它們?cè)诮Y(jié)構(gòu)分析中有重要應(yīng)用。功的互等定理又稱互等功定理，是意大利的E.貝蒂（E.Betti）1872年和英國(guó)的瑞利（Rayleigh）1873年分別獨(dú)立提出的，所以又稱貝蒂.瑞利互等功定理。位移互等定理又稱互等位移定理，是英國(guó)的J.C.麥克斯韋（J.C.Maxwell）于1864年提出的，又稱麥克斯韋位移互等定理。下面以一處于線彈性階段的簡(jiǎn)支梁為例進(jìn)行說(shuō)明。?、b代表梁的兩種受力狀態(tài)，1、2截面為其上任意兩截面。如?所示，「使梁在截面1、2上的位移分別為A11和A21；在b中，當(dāng)烏作用時(shí)，在截面1、2上的產(chǎn)生的位移則分別為A12和A22。在位移符號(hào)的角標(biāo)中，第一個(gè)表示截面位置，第二個(gè)指是由哪個(gè)力引起的?，F(xiàn)在用兩種辦法在梁上加載，來(lái)計(jì)算F1、F2共同作用時(shí)外力的功。先施加F1再施加F2時(shí)（a），外力的功TOC\o"1-5"\h\z1.1..W=_FA+_FA+FA21112222112而當(dāng)先施加F2再施加F1時(shí)（b），外力的功11W=—FA+-FA+FA22222111221由于桿件的應(yīng)變能等于外力的功，與加載次序無(wú)關(guān)，即匕=W1=W2，所以有FA12=F2A21（14.16）這表明，第一個(gè)力在第二個(gè)力引起的位移上所作的功，等于第二個(gè)力在第一個(gè)力引起的位移上所作的功。這就是功的互等定理（ReciprocalTheoremofWork）。當(dāng)F1=F2時(shí)，由（14.16）式可推出一個(gè)重要的推論，即氣2=氣1（14.17）這表明，作用在方位1上的荷載使桿件在方位2上產(chǎn)生的位移A21，等于將此荷載作用在方位2上而在方位1上產(chǎn)生的位移A12。這就是位移互等定理（）。若令F1=F2=1（即為單位力），且此時(shí)用5表示位移，則有512=521由于1、2兩截面是任意的，故上述關(guān)系可寫(xiě)為以下一般形式5〃電即j處作用的單位力在，處產(chǎn)生的位移，等于/處作用的單位力在j處產(chǎn)生的位移。這是位移互等定理的特殊表達(dá)形式，在結(jié)構(gòu)分析中十分有用。以上分析對(duì)彈性體上作用的集中力偶顯然也是適用的，不過(guò)相應(yīng)的位移是角位移，所以上述互等定理中的力和位移泛指廣義力和廣義位移。4、余能概念及卡氏第一定理余能以上推出的公式均只在線彈性范圍內(nèi)成立。下面，我們進(jìn)一步討論非線性彈性體的應(yīng)變能表達(dá)式，并介紹非線性彈性體的應(yīng)變余能（簡(jiǎn)稱余能）概念及表達(dá)式。我們?nèi)砸詧D（14.1）所示的拉桿為例，但材料非線性彈性的，這時(shí)力F與相應(yīng)的位移A的關(guān)系就是非線性的（。。，不難看出仍可用下式計(jì)算外力作的功W=jFdA（14.18）A。表示，外力功的大小與位移從0到A之間一段F—A曲線下的面積相當(dāng)。式（14.18）是以位移作為積分變量的，若以力作為積分變量，則有用c=』AdF（14.19）稱為余功（Complementarywork）。余功沒(méi)有具體的物理意義，但有明確的幾何意義，那就是外力從0到F之間一段F.A曲線與縱坐標(biāo)軸間的面積。從。不難看出，功和余功互補(bǔ)為常力功。

由于材料是彈性的，如果將加載和卸載過(guò)程中的能量損耗略去不計(jì)，則同樣有與線彈性體類似的結(jié)論，即積蓄在彈性體內(nèi)的應(yīng)變能匕在數(shù)值上應(yīng)等于外力所作的功W=jFdA（14.20）A同樣地，余功w與余應(yīng)變能匕^在數(shù)值上也相等，即、=W=』AdF（14.21）此即為由外力余功來(lái)計(jì)算余應(yīng)變能（Complementarystrainenergy）的表達(dá)式。如果從拉桿中取出一個(gè)邊長(zhǎng)為1的單元體，該單元體處于單軸應(yīng)力狀態(tài)，上、下表面的力為F=bx1x1=。，對(duì)于單元體而言它們是外力。與F相應(yīng)的伸長(zhǎng)量為Al=￡x1=e，于是在對(duì)拉桿加載過(guò)程中，作用在單元體上的外力功為w=jbd￡8該外力功在數(shù)值上等于積蓄在單元體內(nèi)的應(yīng)變能，即比能V，于是（14.22）v=w=jcde同樣地，若以應(yīng)力作為積分變量，則有（14.23）v=jM。（14.22）（14.23）Cc式中v稱為余應(yīng)變比能（densityofcomplementarystrainenergy），其大小就代表c~eb）。例如，材料的應(yīng)力一應(yīng)變關(guān)系為。=E拓時(shí)，物體的應(yīng)變比能和余應(yīng)變比能分別為72A2c3v=Jcd&=3E\&3=——v=faedc=—E~材料在拉伸壓縮時(shí)的應(yīng)力一應(yīng)變關(guān)系可寫(xiě)成c=Es，顯然，這時(shí)應(yīng)變能和余應(yīng)變能在數(shù)值上是相等的，對(duì)于線彈性體，當(dāng)變形在線彈性范圍內(nèi)時(shí)，應(yīng)變能和余應(yīng)變能在數(shù)值上也是相等的。但應(yīng)該注意，余功、余應(yīng)變能如前述都沒(méi)有明確的物理意義，只是因?yàn)樗鼈兙哂信c外力功一樣的量綱，才把它們作為一種能量參數(shù)，而在求解非線性彈性問(wèn)題時(shí)，它們非常有用?？ㄊ系谝欢ɡ砜ㄊ隙ɡ?Castigliano’sTheorem)，是意大利工程師卡斯蒂利亞諾(A.Castigliano)于1873年提出的，故得其名。我們以圖14.9所示的彈性體為例來(lái)說(shuō)明。設(shè)彈性體上作用有n個(gè)廣義力F，與i這些力對(duì)應(yīng)的廣義位移為Ai，其中i=1、2、…、n，如果將彈性體的應(yīng)變能V表示為位移的函數(shù)V(氣、A2、…、An)，則應(yīng)變能函數(shù)對(duì)某個(gè)廣義位移的偏導(dǎo)數(shù)，等于與該位移相應(yīng)的廣義力，即4）（i=1、2、…、n）曰8VF=&i8Ai這就是卡氏第一定理(FirstCastiglianoTheorem)。下面進(jìn)行證明。4）（i=1、2、…、n）現(xiàn)假設(shè)沿第i個(gè)作用力方向的位移有一微小增量dAi，則彈性體的應(yīng)變能匕有相應(yīng)的增量為dV=也dAs8Aii這時(shí)彈性體內(nèi)的應(yīng)變能為..…8V式中：V可由應(yīng)變能的普遍表達(dá)式(14.13)計(jì)算，壽代表應(yīng)變能對(duì)于位移\.的變i化率。此外，由于只有沿第i個(gè)作用力方向的位移有一微小增量，沿其余作用力方向無(wú)位移變化，故外力功的增量為dW=FdA(c)前面我們已經(jīng)知道，外力功在數(shù)值上等于應(yīng)變能，它們的變化量也應(yīng)相等，即dV&=dW將（a）、（b）兩式代入上式中，則有F=絲^（i=1、2、…、n）iSAi由上述證明過(guò)程可見(jiàn)，卡氏第一定理同時(shí)適用于線性彈性體和非線性彈性體。5、卡氏第二定理及其應(yīng)用卡氏第二定理下面仍以圖14.9所示的彈性體為例來(lái)說(shuō)明。根據(jù)余能的計(jì)算公式（14.21），并仿照應(yīng)變能的普遍表達(dá)式（14.14），彈性體的余能V可寫(xiě)成下列C形式：V=工fFiAdF（14.25）EC0iii=1它是外力的函數(shù)vc（f「F2、…、f）?，F(xiàn)假設(shè)第i個(gè)廣義力有一微小增量dF，則彈性體的余能有