空間位置關(guān)系、空間角與距離突破練- 新高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)

專題突破練15空間位置關(guān)系、空間角與距離1.(2021黑龍江大慶一模)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PD⊥平面ABCD,M,N分別為PC,CD的中點(diǎn),PD=AD=2,AB=4.(1)求證:BN⊥AM;(2)求點(diǎn)P到平面AMD的距離.2.(2021廣東韶關(guān)一模)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,PA⊥平面CDP,已知PA=3,PD=4.(1)若E為PD中點(diǎn),求證:PB∥平面ACE;(2)求直線PB與平面ABCD所成角的正弦值.3.(2019全國Ⅱ,理17)如圖,長方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,點(diǎn)E在棱AA1上,BE⊥EC1.(1)證明:BE⊥平面EB1C1;(2)若AE=A1E,求二面角B-EC-C1的正弦值.4.(2021浙江溫州二模)如圖,在三棱錐A-BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,∠ACB=∠ACD=θ.(1)證明:AC⊥BD;(2)有三個(gè)條件:①θ=60°;②直線AC與平面BCD所成的角為45°;③二面角A-CD-B的余弦值為33請(qǐng)你從中選擇一個(gè)作為條件,求直線BC與平面ACD所成角的正弦值.5.(2021山西臨汾一模)如上圖,在多面體BCE-ADF中,四邊形ABCD與ABEF都是直角梯形,且∠BAD=∠BAF=90°,BC12AD,BE1(1)證明:CE∥平面ADF;(2)若平面ABEF⊥平面ABCD,且AB=BC=BE,求二面角A-CD-E的余弦值.6.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,側(cè)面PAD為正三角形,AD=2,AB=3,平面PAD⊥平面ABCD,E為棱PB上一點(diǎn)(不與P,B重合),平面ADE交棱PC于點(diǎn)F.(1)求證:AD∥EF;(2)若二面角B-AC-E的余弦值為33020,求點(diǎn)B到平面AEC7.(2021天津一模)如上圖,在多面體ABCDEF中,AE⊥平面ABCD,AEFC是平行四邊形,且AD∥BC,AB⊥AD,AD=AE=2,AB=BC=1.(1)求證:CD⊥EF;(2)求二面角A-DE-B的余弦值;(3)若點(diǎn)P在棱CF上,直線PB與平面BDE所成角的正弦值為33,求線段CP的長8.(2020山東,20)如圖,四棱錐P-ABCD的底面為正方形,PD⊥底面ABCD.設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l.(1)證明:l⊥平面PDC;(2)已知PD=AD=1,Q為l上的點(diǎn),求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值.參考答案1.(1)證明連接MN,AN,∵M(jìn),N分別為PC,CD的中點(diǎn),∴MN∥PD.又PD⊥平面ABCD,∴MN⊥平面ABCD.又BN?平面ABCD,∴MN⊥BN.而四邊形ABCD為矩形且AD=2,DN=CN=2,故AN=BN=22,∴在△ABN中,AN2+BN2=AB2,即AN⊥BN.又MN∩AN=N,則BN⊥平面AMN,又AM?平面AMN,∴BN⊥AM.(2)解(解法1)過P作PE⊥DM,垂足為E.∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥AD.又AD⊥CD,PD∩CD=D,∴AD⊥平面PCD.又PE?平面PCD,∴AD⊥PE.又AD∩DM=D,∴PE⊥平面AMD,∴PE為點(diǎn)P到平面AMD的距離.∵M(jìn)為PC中點(diǎn),∴S△PDM=12S△PDC=2,DM=12PC=5,又S△PDM=12PE·DM,解得PE=455,∴點(diǎn)(解法2)∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥AD.又AD⊥CD,PD∩CD=D,∴AD⊥平面PCD.又DM?平面PCD,∴AD⊥DM.∵M(jìn)為PC中點(diǎn),∴S△PDM=12S△PDC=2,DM=12PC=∴VA-PDM=13S△PDM·AD=43,S△ADM=1設(shè)點(diǎn)P到平面AMD的距離為h,由VA-PDM=13S△ADM·h=43,得h=455,∴點(diǎn)P2.(1)證明如圖,連接BD交AC于點(diǎn)M,連接ME.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形,所以M為BD中點(diǎn),又E為DP中點(diǎn),所以ME∥PB.因?yàn)镸E?平面ACE,PB?平面ACE,所以PB∥平面ACE.(2)解如圖,過P作PH⊥AD,垂足為H,連接BH.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形,所以CD⊥AD.因?yàn)镻A⊥平面CDP,CD?平面CDP,所以CD⊥AP.因?yàn)锳D∩AP=A,所以CD⊥平面ADP.因?yàn)镻H?平面ADP,所以CD⊥PH.又PH⊥AD,AD∩CD=D,所以PH⊥平面ABCD,則BH為斜線PH在平面ABCD內(nèi)的射影,所以∠PBH為直線PB與平面ABCD所成的角.在Rt△PAD中,AD=PA2由AD·PH=AP·PD,得PH=AP在Rt△PAB中,PB=P所以sin∠PBH=PH所以直線PB與平面ABCD所成角的正弦值為63.(1)證明由已知得,B1C1⊥平面ABB1A1,BE?平面ABB1A1,故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1,所以BE⊥平面EB1C1.(2)解由(1)知∠BEB1=90°.由題設(shè)知Rt△ABE≌Rt△A1B1E,所以∠AEB=45°,故AE=AB,AA1=2AB.以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA的方向?yàn)閤軸正方向,|DA|為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz,則C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,2),E(1,0,1),CB=(1,0,0),CE=(1,-1,1),CC1=(0,0,2).設(shè)平面EBC的法向量為n=(x,y,z所以可取n=(0,-1,-1).設(shè)平面ECC1的法向量為m=(x,y,z),則CC1·m=0于是cos<n,m>=n·m所以,二面角B-EC-C1的正弦值為34.(1)證明取BD中點(diǎn)O,連接OA,OC,因?yàn)锽C=CD,所以O(shè)C⊥BD.由BC=DC,∠ACB=∠ACD=θ,AC=AC,得△ABC≌△ADC,所以AB=AD,所以O(shè)A⊥BD.又OA∩OC=O,所以BD⊥平面AOC.又AC?平面AOC,所以AC⊥BD.(2)解在直線CA上取點(diǎn)P,使得∠POC=90°,連接PB,PD,由(1)知BD⊥平面AOC,所以BD⊥PO,又OC∩BD=O,所以PO⊥平面BCD,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,BD=2,OC=22=OB,因此PB=PC,同理PD=PC.選①,θ=60°,則△PCD是等邊三角形,PD=CD=PC=1,OP=22,則P0,0,22,C22,0,0,D0,22,0,B0,-22,0,BC=22,22,0,DC=22,-22,0,DP=0,-22,22,設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量是n=(x,y,則n·DC=22x-22y=0,n·DP=則sinα=|cos<BC,n>|=|選②,由PO⊥平面BCD,得∠PCO是PC(即AC)與平面BCD所成的角,所以∠PCO=45°,OP=OC,以下同選①.選③,作PM⊥CD,垂足為M,連接OM,由PO⊥平面BCD,CD?平面BCD,得PO⊥CD,又PO∩PM=P,所以CD⊥平面POM,而OM?平面POM,所以CD⊥OM,所以∠PMO是二面角P-CD-B即二面角A-CD-B的平面角,所以cos∠PMO=33,則tan∠PMO=2,又OM=CD2=12,所以O(shè)P=OMtan∠5.(1)證明因?yàn)锽C∥AD,BE∥AF,BC∩BE=B,AD∩AF=A,所以平面BCE∥平面ADF.又因?yàn)镃E?平面BCE,所以CE∥平面ADF.(2)解(解法1)取AD中點(diǎn)M,連接AC,CF,CM,設(shè)AB=a,則BC=BE=a,又因?yàn)锽C12AD,BE12AF,所以AD=AF=2a,∠BAD=又因?yàn)锽CAM,所以四邊形ABCM是正方形,△CMD為等腰直角三角形,于是AC⊥CD,因?yàn)槠矫鍭BEF⊥平面ABCD,平面ABEF∩平面ABCD=AB,AF⊥AB,AF?平面ABEF,所以AF⊥平面ABCD,所以AC是FC在平面ABCD內(nèi)的射影,因?yàn)镃D?平面ABCD,所以AF⊥CD,又AF∩AC=A,所以CD⊥平面ACF,因?yàn)镃F?平面ACF,所以CD⊥CF,所以∠ACF為二面角A-CD-E的平面角,因?yàn)閠an∠ACF=AFAC=2a2a=(解法2)因?yàn)槠矫鍭BEF⊥平面ABCD,平面ABEF∩平面ABCD=AB,AF⊥AB,AF?平面ABEF,所以AF⊥平面ABCD.以A為原點(diǎn),AB,AD,AF所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,設(shè)AB=1,則AD=AF=2,則A(0,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),E(1,0,1),CD=(-1,1,0),CE=(0,-1,1).設(shè)平面CDFE的法向量為m=(x,y,z),則m·CD=-x+y=0因?yàn)锳F⊥平面ACD,所以取n=(0,0,1)為平面ABCD的法向量,所以|cos<m,n>|=|m·n||m6.(1)證明∵底面ABCD為矩形,∴AD∥BC.又AD?平面PBC,BC?平面PBC,∴AD∥平面PBC.又AD?平面ADE,平面ADE∩平面PBC=EF,∴AD∥EF.(2)解如圖,取AD的中點(diǎn)O,連接PO,過點(diǎn)O作OH∥AB交BC于點(diǎn)H,∵側(cè)面PAD為正三角形,∴PO⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD,且交線為AD,∴PO⊥平面ABCD,∵底面ABCD為矩形,∴AB⊥AD,∴OH⊥AD.以O(shè)為原點(diǎn),OA,OH,OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,則O(0,0,0),P(0,0,3),A(1,0,0),B(1,3,0),C(-1,3,0),∴PB=(1,3,-3),AC=(-2,3,0)設(shè)PE=λPB(0<λ<1),則E(λ,3λ,3∴AE=(λ-1,3λ,3設(shè)平面AEC的法向量為n=(x1,y1,z1),則n令x1=3,則y1=2,z1=3∴平面AEC的一個(gè)法向量為n=3,2,3(3λ易知OP=(0,0,3)是平面ABC的一個(gè)法向量.∴|cos<OP,n>|=|OP·n∴BE=-13,-1,33,n=(3,2,-33∴點(diǎn)B到平面AEC的距離為|7.解因?yàn)锳E⊥平面ABCD,AD?平面ABCD,故AE⊥AD,同理AE⊥AB,而AB⊥AD,故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,其中A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D(2,0,0),E(0,0,2),F(1,1,2),(1)CD=(1,-1,0),EF=(1,1,0),故CD·EF=0,故CD(2)DE=(-2,0,2),DB=(-2,1,0).平面ADE的法向量為AB,而AB=(0,1,0),設(shè)平面DBE的法向量為n=(x,y,z),由n·DE取x=1,則y=2,z=1,故n=(1,2,1),故|cos<AB,n>|=|由圖可知二面角A-DE-B的平面角為銳角,故其余弦值為6(3)設(shè)P(1,1,t)(0≤t≤2),故PB=(-1,0,-t),設(shè)PB與平面BDE所成角為θ,則sinθ=|cos<PB,n>|=|PB·n||PB||n8.解(1)因?yàn)镻D⊥底面ABCD,所以PD⊥AD.又底面ABCD為正方形,所以AD⊥DC.所以AD⊥平面PDC.因?yàn)锳D∥BC,AD不在平面PBC中,所以AD∥平面PBC,又因?yàn)锳D?平面PAD,平