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文檔簡介
一、重點(diǎn)與難點(diǎn)
2.方陣的特征值與特征向量的證明問題1.線性無關(guān)向量組的正交規(guī)范化方法
3.判斷方陣可否對角化
4.求一正交陣,使實(shí)對稱陣正交相似于對角陣
一、重點(diǎn)與難點(diǎn)2.方陣的特征值與特征向量的證明問題二、基礎(chǔ)知識(一)方陣的特征值與特征向量2.求法(1)特征多項(xiàng)式1.定義二、基礎(chǔ)知識(一)方陣的特征值與特征向量2.3.性質(zhì)特征方程其解為A的特征值。(2)特征向量:的非零解。(1)設(shè)是的特征值,則是的特征值;是的特征值.(2)是的特征值,則3.性質(zhì)特征方程(3)若A是可逆陣,則A的特征值都不為零,其(4)與的特征多項(xiàng)式相同,特征值相同。(5)不同特征值對應(yīng)的特征向量必線性無關(guān)。的特征值為的特征值為(二)相似矩陣、相似變換1.定義2.性質(zhì):
若A與B相似,則有(3)若A是可逆陣,則A的特征值都不為零,其(4)與(1)A與B有相同的特征多項(xiàng)式,特征值。(2)(三)方陣的對角化(3)若A可逆,則B可逆,且與也相似。(4)與相似,相似變換陣仍為P。(5)與相似。1.定義(1)A與B有相同的特征多項(xiàng)式,特征值。(2)(三)方陣的對將方陣A對角化的步驟:推論:
若n階方陣A有n個(gè)互不相同的特征值,則A一定可以對角化。
2.n階方陣A可對角化A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量。1.求A的特征值2.求對應(yīng)的特征向量。(四)實(shí)對稱陣將方陣A對角化的步驟:推論:若n階方陣A有n個(gè)互不相同的(1)實(shí)對稱陣的特征值都是實(shí)數(shù),特征向量都是實(shí)向量。將實(shí)對稱陣A正交相似對角陣的計(jì)算步驟:(2)實(shí)對稱陣的不同特征值對應(yīng)的特征向量必正交。(3)實(shí)對稱陣A可對角化,且都可正交相似于對角陣。1.求A的特征值2.求對應(yīng)的特征向量3.將正交規(guī)范化得到4.構(gòu)造矩陣P=,P正交陣,使(1)實(shí)對稱陣的特征值都是實(shí)數(shù),特征向量都是實(shí)向量。將實(shí)對稱解:三、典型例題即1.設(shè)有一個(gè)特征值對應(yīng)的特征向量為求a,b,c.解:三、典型例題即1.設(shè)2.已知可對角化,求a解:由于A可對角化,則A有3個(gè)線性無關(guān)的特征向量。A的特征值2.已知與對應(yīng)的特征向量中存在2個(gè)線性無關(guān)的。即的基礎(chǔ)解系中含有兩個(gè)解。3.
設(shè)A與B相似,(1)求a,b(2)求可逆陣P,使與對應(yīng)的特征向量中解:(1)由A與B相似得A的特征值為2,2,6.所以(2)時(shí),解:(1)由A與B相似得A的特征值為2,2,6.所以(基礎(chǔ)解系為:
時(shí),基礎(chǔ)解系為:時(shí),基礎(chǔ)解系為:故使基礎(chǔ)解系為:故使4.已知是矩陣的一個(gè)特征向量。(1)求a,b及特征向量P所對應(yīng)的特征值。(2)問A能否對角化?說明理由。解:即4.已知是矩陣故是A的特征值。與對應(yīng)的A的線性無關(guān)的特征向量只有一個(gè),故A不能對角化。故解:7.設(shè)三階矩陣的特征值為對應(yīng)的特征向量分別為:由于A可對角化,故存在可逆矩陣使解:7.設(shè)三階矩陣的特征值為對應(yīng)的特征向量分相似矩陣與二次型習(xí)題課1課件8.求一個(gè)正交相似變換矩陣P,將對角化。
8.求一個(gè)正交相似變換矩陣P,將對角化。將其對應(yīng)的特征向量單位化、正交化后,得所以,
解:將其對應(yīng)的特征向量單位化、正交化后,得所以,解:填空題例1:的特征值為1,-1,2,則解答:0例2:矩陣,則解答:126填空題例1:的特征值為1,-1,2,則例3:已知是的特征向量,則解答:1或-2例3:已知是一、重點(diǎn)與難點(diǎn)
2.方陣的特征值與特征向量的證明問題1.線性無關(guān)向量組的正交規(guī)范化方法
3.判斷方陣可否對角化
4.求一正交陣,使實(shí)對稱陣正交相似于對角陣
一、重點(diǎn)與難點(diǎn)2.方陣的特征值與特征向量的證明問題二、基礎(chǔ)知識(一)方陣的特征值與特征向量2.求法(1)特征多項(xiàng)式1.定義二、基礎(chǔ)知識(一)方陣的特征值與特征向量2.3.性質(zhì)特征方程其解為A的特征值。(2)特征向量:的非零解。(1)設(shè)是的特征值,則是的特征值;是的特征值.(2)是的特征值,則3.性質(zhì)特征方程(3)若A是可逆陣,則A的特征值都不為零,其(4)與的特征多項(xiàng)式相同,特征值相同。(5)不同特征值對應(yīng)的特征向量必線性無關(guān)。的特征值為的特征值為(二)相似矩陣、相似變換1.定義2.性質(zhì):
若A與B相似,則有(3)若A是可逆陣,則A的特征值都不為零,其(4)與(1)A與B有相同的特征多項(xiàng)式,特征值。(2)(三)方陣的對角化(3)若A可逆,則B可逆,且與也相似。(4)與相似,相似變換陣仍為P。(5)與相似。1.定義(1)A與B有相同的特征多項(xiàng)式,特征值。(2)(三)方陣的對將方陣A對角化的步驟:推論:
若n階方陣A有n個(gè)互不相同的特征值,則A一定可以對角化。
2.n階方陣A可對角化A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量。1.求A的特征值2.求對應(yīng)的特征向量。(四)實(shí)對稱陣將方陣A對角化的步驟:推論:若n階方陣A有n個(gè)互不相同的(1)實(shí)對稱陣的特征值都是實(shí)數(shù),特征向量都是實(shí)向量。將實(shí)對稱陣A正交相似對角陣的計(jì)算步驟:(2)實(shí)對稱陣的不同特征值對應(yīng)的特征向量必正交。(3)實(shí)對稱陣A可對角化,且都可正交相似于對角陣。1.求A的特征值2.求對應(yīng)的特征向量3.將正交規(guī)范化得到4.構(gòu)造矩陣P=,P正交陣,使(1)實(shí)對稱陣的特征值都是實(shí)數(shù),特征向量都是實(shí)向量。將實(shí)對稱解:三、典型例題即1.設(shè)有一個(gè)特征值對應(yīng)的特征向量為求a,b,c.解:三、典型例題即1.設(shè)2.已知可對角化,求a解:由于A可對角化,則A有3個(gè)線性無關(guān)的特征向量。A的特征值2.已知與對應(yīng)的特征向量中存在2個(gè)線性無關(guān)的。即的基礎(chǔ)解系中含有兩個(gè)解。3.
設(shè)A與B相似,(1)求a,b(2)求可逆陣P,使與對應(yīng)的特征向量中解:(1)由A與B相似得A的特征值為2,2,6.所以(2)時(shí),解:(1)由A與B相似得A的特征值為2,2,6.所以(基礎(chǔ)解系為:
時(shí),基礎(chǔ)解系為:時(shí),基礎(chǔ)解系為:故使基礎(chǔ)解系為:故使4.已知是矩陣的一個(gè)特征向量。(1)求a,b及特征向量P所對應(yīng)的特征值。(2)問A能否對角化?說明理由。解:即4.已知是矩陣故是A的特征值。與對應(yīng)的A的線性無關(guān)的特征向量只有一個(gè),故A不能對角化。故解:7.設(shè)三階矩陣的特征值為對應(yīng)的特征向量分別為:由于A可對角化,故存在可逆矩陣使解:7.設(shè)三階矩陣的特征值為對應(yīng)的特征向量分相似矩陣與二次型習(xí)題課1課件8.求一個(gè)正交相似變換矩陣P,將對角化。
8.求一個(gè)正交相似變換矩陣P,將對角化。
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