相似矩陣與二次型習(xí)題課1課件

一、重點(diǎn)與難點(diǎn)

2.方陣的特征值與特征向量的證明問題1.線性無關(guān)向量組的正交規(guī)范化方法

3.判斷方陣可否對角化

4.求一正交陣，使實(shí)對稱陣正交相似于對角陣

一、重點(diǎn)與難點(diǎn)2.方陣的特征值與特征向量的證明問題二、基礎(chǔ)知識（一）方陣的特征值與特征向量2.求法（1）特征多項(xiàng)式1.定義二、基礎(chǔ)知識（一）方陣的特征值與特征向量2.3.性質(zhì)特征方程其解為A的特征值。（2）特征向量：的非零解。（1）設(shè)是的特征值，則是的特征值;是的特征值.（2）是的特征值，則3.性質(zhì)特征方程（3）若A是可逆陣，則A的特征值都不為零，其（4）與的特征多項(xiàng)式相同，特征值相同。（5）不同特征值對應(yīng)的特征向量必線性無關(guān)。的特征值為的特征值為（二）相似矩陣、相似變換1.定義2.性質(zhì)：

若A與B相似，則有（3）若A是可逆陣，則A的特征值都不為零，其（4）與（1）A與B有相同的特征多項(xiàng)式，特征值。（2）（三）方陣的對角化（3）若A可逆，則B可逆，且與也相似。（4）與相似，相似變換陣仍為P。（5）與相似。1.定義（1）A與B有相同的特征多項(xiàng)式，特征值。（2）（三）方陣的對將方陣A對角化的步驟：推論：

若n階方陣A有n個(gè)互不相同的特征值，則A一定可以對角化。

2.n階方陣A可對角化A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量。1.求A的特征值2.求對應(yīng)的特征向量。（四）實(shí)對稱陣將方陣A對角化的步驟：推論：若n階方陣A有n個(gè)互不相同的（1）實(shí)對稱陣的特征值都是實(shí)數(shù)，特征向量都是實(shí)向量。將實(shí)對稱陣A正交相似對角陣的計(jì)算步驟：（2）實(shí)對稱陣的不同特征值對應(yīng)的特征向量必正交。（3）實(shí)對稱陣A可對角化，且都可正交相似于對角陣。1.求A的特征值2.求對應(yīng)的特征向量3.將正交規(guī)范化得到4.構(gòu)造矩陣P=,P正交陣，使（1）實(shí)對稱陣的特征值都是實(shí)數(shù)，特征向量都是實(shí)向量。將實(shí)對稱解：三、典型例題即1.設(shè)有一個(gè)特征值對應(yīng)的特征向量為求a,b,c.解：三、典型例題即1.設(shè)2.已知可對角化，求a解：由于A可對角化，則A有3個(gè)線性無關(guān)的特征向量。A的特征值2.已知與對應(yīng)的特征向量中存在2個(gè)線性無關(guān)的。即的基礎(chǔ)解系中含有兩個(gè)解。3.

設(shè)A與B相似，(1)求a,b(2)求可逆陣P，使與對應(yīng)的特征向量中解：(1)由A與B相似得A的特征值為2，2，6.所以(2)時(shí)，解：(1)由A與B相似得A的特征值為2，2，6.所以(基礎(chǔ)解系為：

時(shí)，基礎(chǔ)解系為：時(shí)，基礎(chǔ)解系為：故使基礎(chǔ)解系為：故使4.已知是矩陣的一個(gè)特征向量。（1）求a,b及特征向量P所對應(yīng)的特征值。（2）問A能否對角化？說明理由。解：即4.已知是矩陣故是A的特征值。與對應(yīng)的A的線性無關(guān)的特征向量只有一個(gè)，故A不能對角化。故解：7.設(shè)三階矩陣的特征值為對應(yīng)的特征向量分別為：由于A可對角化，故存在可逆矩陣使解：7.設(shè)三階矩陣的特征值為對應(yīng)的特征向量分相似矩陣與二次型習(xí)題課1課件8.求一個(gè)正交相似變換矩陣P，將對角化。

8.求一個(gè)正交相似變換矩陣P，將對角化。將其對應(yīng)的特征向量單位化、正交化后，得所以，

解：將其對應(yīng)的特征向量單位化、正交化后，得所以，解：填空題例1：的特征值為1，-1，2，則解答：0例2：矩陣，則解答：126填空題例1：的特征值為1，-1，2，則例3：已知是的特征向量，則解答：1或-2例3：已知是一、重點(diǎn)與難點(diǎn)

2.方陣的特征值與特征向量的證明問題1.線性無關(guān)向量組的正交規(guī)范化方法

3.判斷方陣可否對角化

4.求一正交陣，使實(shí)對稱陣正交相似于對角陣

一、重點(diǎn)與難點(diǎn)2.方陣的特征值與特征向量的證明問題二、基礎(chǔ)知識（一）方陣的特征值與特征向量2.求法（1）特征多項(xiàng)式1.定義二、基礎(chǔ)知識（一）方陣的特征值與特征向量2.3.性質(zhì)特征方程其解為A的特征值。（2）特征向量：的非零解。（1）設(shè)是的特征值，則是的特征值;是的特征值.（2）是的特征值，則3.性質(zhì)特征方程（3）若A是可逆陣，則A的特征值都不為零，其（4）與的特征多項(xiàng)式相同，特征值相同。（5）不同特征值對應(yīng)的特征向量必線性無關(guān)。的特征值為的特征值為（二）相似矩陣、相似變換1.定義2.性質(zhì)：

若A與B相似，則有（3）若A是可逆陣，則A的特征值都不為零，其（4）與（1）A與B有相同的特征多項(xiàng)式，特征值。（2）（三）方陣的對角化（3）若A可逆，則B可逆，且與也相似。（4）與相似，相似變換陣仍為P。（5）與相似。1.定義（1）A與B有相同的特征多項(xiàng)式，特征值。（2）（三）方陣的對將方陣A對角化的步驟：推論：

若n階方陣A有n個(gè)互不相同的特征值，則A一定可以對角化。

2.n階方陣A可對角化A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量。1.求A的特征值2.求對應(yīng)的特征向量。（四）實(shí)對稱陣將方陣A對角化的步驟：推論：若n階方陣A有n個(gè)互不相同的（1）實(shí)對稱陣的特征值都是實(shí)數(shù)，特征向量都是實(shí)向量。將實(shí)對稱陣A正交相似對角陣的計(jì)算步驟：（2）實(shí)對稱陣的不同特征值對應(yīng)的特征向量必正交。（3）實(shí)對稱陣A可對角化，且都可正交相似于對角陣。1.求A的特征值2.求對應(yīng)的特征向量3.將正交規(guī)范化得到4.構(gòu)造矩陣P=,P正交陣，使（1）實(shí)對稱陣的特征值都是實(shí)數(shù)，特征向量都是實(shí)向量。將實(shí)對稱解：三、典型例題即1.設(shè)有一個(gè)特征值對應(yīng)的特征向量為求a,b,c.解：三、典型例題即1.設(shè)2.已知可對角化，求a解：由于A可對角化，則A有3個(gè)線性無關(guān)的特征向量。A的特征值2.已知與對應(yīng)的特征向量中存在2個(gè)線性無關(guān)的。即的基礎(chǔ)解系中含有兩個(gè)解。3.

設(shè)A與B相似，(1)求a,b(2)求可逆陣P，使與對應(yīng)的特征向量中解：(1)由A與B相似得A的特征值為2，2，6.所以(2)時(shí)，解：(1)由A與B相似得A的特征值為2，2，6.所以(基礎(chǔ)解系為：

時(shí)，基礎(chǔ)解系為：時(shí)，基礎(chǔ)解系為：故使基礎(chǔ)解系為：故使4.已知是矩陣的一個(gè)特征向量。（1）求a,b及特征向量P所對應(yīng)的特征值。（2）問A能否對角化？說明理由。解：即4.已知是矩陣故是A的特征值。與對應(yīng)的A的線性無關(guān)的特征向量只有一個(gè)，故A不能對角化。故解：7.設(shè)三階矩陣的特征值為對應(yīng)的特征向量分別為：由于A可對角化，故存在可逆矩陣使解：7.設(shè)三階矩陣的特征值為對應(yīng)的特征向量分相似矩陣與二次型習(xí)題課1課件8.求一個(gè)正交相似變換矩陣P，將對角化。

8.求一個(gè)正交相似變換矩陣P，將對角化。