關(guān)于曲線上某個點(diǎn)的切線的斜率的推理課件

首先，既然是求某曲線上某點(diǎn)的切線，那么必然得先有一個曲線，從最基本的二次函數(shù)曲線開始。右邊，就是一個任意構(gòu)造的二次函數(shù)曲線。首先，既然是求某曲線上某點(diǎn)的切線，那么必然得先有一個曲線，從1然后，再在這條曲線上任取一點(diǎn)，設(shè)為點(diǎn)A。由圖可以得知，y=x^2-5x+1,A(4,-3).(取整點(diǎn)只為方便計(jì)算)然后，再在這條曲線上任取一點(diǎn)，設(shè)為點(diǎn)A。由圖可以得知，y=x2再過A點(diǎn)，作一條切線L1那么，如何來求這條切線呢？再過A點(diǎn)，作一條切線L1那么，如何來求這條切線呢？3在這里，要用到極限的思想。在這里，要用到極限的思想。4對于這條切線，我們做一下處理：假設(shè)在那條函數(shù)曲線上有另一個點(diǎn)A’，直線L1’通過點(diǎn)A和A’。那么，當(dāng)點(diǎn)A和A’之間的距離變近時，L1’就越接近L1。而如果點(diǎn)A和A’靠近到極限——也就是重合的時候，L1’就成為了L1。對于這條切線，我們做一下處理：假設(shè)在那條函數(shù)曲線上有另一個點(diǎn)5所以設(shè)A’的坐標(biāo)點(diǎn)為（4-p，-3-q）因?yàn)锳(4,-3)因?yàn)锳’在拋物線上由此我們可以列出方程(4-p)^2-5*(4-p)+1=-3-q所以設(shè)A’的坐標(biāo)點(diǎn)為（4-p，-3-q）因?yàn)锳(4,-3)因6(4-p)^2-5*(4-p)+1=-3-q16-8p+p^2-20+5p+1=-3-q(展開)p^2-3p=-q-p+3=q/p(兩邊同除以p)因?yàn)閜，q無限接近于0所以q/p=3(4-p)^2-5*(4-p)+1=-3-q7所以，L1的斜率為3設(shè)L1：y=3x+b再將A（4，-3）代入可得：L1：y=3x-15那么，這一條曲線上某點(diǎn)的切線的斜率和函數(shù)表達(dá)式應(yīng)該是可以求的了，但若每一點(diǎn)都這樣去求的話不是很麻煩？所以，還得找到一個通用的公式。所以，L1的斜率為3那么，這一條曲線上某點(diǎn)的切線的斜率和函數(shù)8設(shè)該點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,y）再按照上面方法求一遍(x-p)^2-5*(x-p)+1=y-q(x^2-5x+1)+p^2-2px+5p=y-q(展開并整理)p^2-2px+5p=-qp-2x+5=-q/p(同除以p)p可以忽略不計(jì)所以，q/p=2x-5設(shè)該點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,y）再按照上面方法求一遍9可以得出，y=x^2-5x+1在(x,y)處的切線的斜率為2x-5可以得出，y=x^2-5x+1在(x,y)處的切線的斜率為210設(shè)這個函數(shù)式的解析式為：y=ax^2+bx+c同樣有點(diǎn)A,A’,切線L1，L1’。設(shè)A(x,y),A’(x+p,y+q)設(shè)這個函數(shù)式的解析式為：11a(x+p)^2+b(x+p)+c=y+q(ax^2+bx+c)+2apx+ap^2+bp=y+q(展開并整理)2apx+bp+ap^2=q2ax+b+ap=q/p(除以p)

所以p/q=2ax+ba(x+p)^2+b(x+p)+c=y+q12所以對于任意二次函數(shù)曲線(y=ax^2+bx+c)上的點(diǎn)（x，y）的切線L1的斜率為2ax+b.那么，二次函數(shù)是如此，三次函數(shù)呢？所以對于任意二次函數(shù)曲線(y=ax^2+bx+c)上的點(diǎn)（x13先畫個圖。同樣的，作出A’.設(shè)此函數(shù)式為：y=ax^3+bx^2+cx+d可以列出方程：a(x+p)^3+b(x+p)^2+c(x+p)+d=y+q3ax^2p+3axp^2+ap^3+2bxp+bp^2+cp=q(和前幾次一樣展開、化簡)3ax^2+3axp+ap^2+2bx+bp+c=q/p(兩邊同除以p)先畫個圖。同樣的，作出A’.設(shè)此函數(shù)式為：y=ax^3+b143ax^2+3axp+ap^2+2bx+bp+c=q/p(兩邊同除以p)如何化簡？因?yàn)閜可以忽略不計(jì)，所以3axp,ap^2,bp可以忽略所以，q/p=3ax^2+2bx+c即對于所有3次函數(shù)曲線（y=ax^3+bx^2+cx+d）的某點(diǎn)（x，y）的斜率為3ax^2+2bx+c。3ax^2+3axp+ap^2+2bx+bp+c=q/p15那如果是相對與全體函數(shù)呢？（理論上曲線都可以用函數(shù)表示）那如果是相對與全體函數(shù)呢？（理論上曲線都可以用函數(shù)表示）16由對于二次函數(shù)曲線和三次函數(shù)曲線的總體的研究，我們可以發(fā)現(xiàn)，解關(guān)于斜率的方程都是將坐標(biāo)（x+p,y+q）代入N次方程中然而，如果將不同指數(shù)的每一項(xiàng)分開看的話（這里以三次項(xiàng)為范例）a(x+p)^3+b(x+p)^2+c(x+p)+d=y+q3ax^2p+3axp^2+ap^3+2bxp+bp^2+cp=q3ax^2+3axp+ap^2+2bx+bp+c=q/p3ax^2+2bx+c=q/pa(x+p)^3ax^3+3ax^2p+3axp^2+ap^33ax^2p+3axp^2+ap^33ax^2+3axp+ap^2展開將原有的部分去除除以p仍帶有p的忽略由對于二次函數(shù)曲線和三次函數(shù)曲線的總體的研究，我們可以發(fā)現(xiàn)，17所以處理后的結(jié)果就是展開來的式子中提出只帶有一個p的這一項(xiàng)，再除以p

a(x+p)^3ax^3+3ax^2p+3axp^2+ap^33ax^23ax^2p所以處理后的結(jié)果就是展開來的式子中提出只帶有一個p的這一項(xiàng)，18a(x+p)^3ax^3+3ax^2p+3axp^2+ap^33ax^23ax^2p由各次方的展開式的系數(shù)的規(guī)律（楊輝三角形）我們可以知道，這一項(xiàng)(式子中提出只帶有一個p的這一項(xiàng))的展開后的系數(shù)就等于這一項(xiàng)的指數(shù)。

這處理為：ax^n變?yōu)閍nx^(n-1)a(x+p)^3ax^3+3ax^2p+3axp^2+ap19比如，將四次函數(shù)（y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e）經(jīng)過處理，變?yōu)?/p>

點(diǎn)（x，y）的斜率=4ax^3+3bx^2+2cx+d(零次項(xiàng)算在（將原有部分去除）里)ax^n變?yōu)閍nx^(n-1)比如，將四次函數(shù)（y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e20精品課件！精品課件！21精品課件！精品課件！22綜上所述，對于任意曲線（函數(shù)式），將（標(biāo)準(zhǔn)式）每一項(xiàng)以ax^n變?yōu)閍nx^(n-1)的變化，就可以求出在此函數(shù)式上坐標(biāo)為（x,y）的點(diǎn)的斜率。綜上所述，對于任意曲線（函數(shù)式），將（標(biāo)準(zhǔn)式）每一項(xiàng)以23首先，既然是求某曲線上某點(diǎn)的切線，那么必然得先有一個曲線，從最基本的二次函數(shù)曲線開始。右邊，就是一個任意構(gòu)造的二次函數(shù)曲線。首先，既然是求某曲線上某點(diǎn)的切線，那么必然得先有一個曲線，從24然后，再在這條曲線上任取一點(diǎn)，設(shè)為點(diǎn)A。由圖可以得知，y=x^2-5x+1,A(4,-3).(取整點(diǎn)只為方便計(jì)算)然后，再在這條曲線上任取一點(diǎn)，設(shè)為點(diǎn)A。由圖可以得知，y=x25再過A點(diǎn)，作一條切線L1那么，如何來求這條切線呢？再過A點(diǎn)，作一條切線L1那么，如何來求這條切線呢？26在這里，要用到極限的思想。在這里，要用到極限的思想。27對于這條切線，我們做一下處理：假設(shè)在那條函數(shù)曲線上有另一個點(diǎn)A’，直線L1’通過點(diǎn)A和A’。那么，當(dāng)點(diǎn)A和A’之間的距離變近時，L1’就越接近L1。而如果點(diǎn)A和A’靠近到極限——也就是重合的時候，L1’就成為了L1。對于這條切線，我們做一下處理：假設(shè)在那條函數(shù)曲線上有另一個點(diǎn)28所以設(shè)A’的坐標(biāo)點(diǎn)為（4-p，-3-q）因?yàn)锳(4,-3)因?yàn)锳’在拋物線上由此我們可以列出方程(4-p)^2-5*(4-p)+1=-3-q所以設(shè)A’的坐標(biāo)點(diǎn)為（4-p，-3-q）因?yàn)锳(4,-3)因29(4-p)^2-5*(4-p)+1=-3-q16-8p+p^2-20+5p+1=-3-q(展開)p^2-3p=-q-p+3=q/p(兩邊同除以p)因?yàn)閜，q無限接近于0所以q/p=3(4-p)^2-5*(4-p)+1=-3-q30所以，L1的斜率為3設(shè)L1：y=3x+b再將A（4，-3）代入可得：L1：y=3x-15那么，這一條曲線上某點(diǎn)的切線的斜率和函數(shù)表達(dá)式應(yīng)該是可以求的了，但若每一點(diǎn)都這樣去求的話不是很麻煩？所以，還得找到一個通用的公式。所以，L1的斜率為3那么，這一條曲線上某點(diǎn)的切線的斜率和函數(shù)31設(shè)該點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,y）再按照上面方法求一遍(x-p)^2-5*(x-p)+1=y-q(x^2-5x+1)+p^2-2px+5p=y-q(展開并整理)p^2-2px+5p=-qp-2x+5=-q/p(同除以p)p可以忽略不計(jì)所以，q/p=2x-5設(shè)該點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,y）再按照上面方法求一遍32可以得出，y=x^2-5x+1在(x,y)處的切線的斜率為2x-5可以得出，y=x^2-5x+1在(x,y)處的切線的斜率為233設(shè)這個函數(shù)式的解析式為：y=ax^2+bx+c同樣有點(diǎn)A,A’,切線L1，L1’。設(shè)A(x,y),A’(x+p,y+q)設(shè)這個函數(shù)式的解析式為：34a(x+p)^2+b(x+p)+c=y+q(ax^2+bx+c)+2apx+ap^2+bp=y+q(展開并整理)2apx+bp+ap^2=q2ax+b+ap=q/p(除以p)

所以p/q=2ax+ba(x+p)^2+b(x+p)+c=y+q35所以對于任意二次函數(shù)曲線(y=ax^2+bx+c)上的點(diǎn)（x，y）的切線L1的斜率為2ax+b.那么，二次函數(shù)是如此，三次函數(shù)呢？所以對于任意二次函數(shù)曲線(y=ax^2+bx+c)上的點(diǎn)（x36先畫個圖。同樣的，作出A’.設(shè)此函數(shù)式為：y=ax^3+bx^2+cx+d可以列出方程：a(x+p)^3+b(x+p)^2+c(x+p)+d=y+q3ax^2p+3axp^2+ap^3+2bxp+bp^2+cp=q(和前幾次一樣展開、化簡)3ax^2+3axp+ap^2+2bx+bp+c=q/p(兩邊同除以p)先畫個圖。同樣的，作出A’.設(shè)此函數(shù)式為：y=ax^3+b373ax^2+3axp+ap^2+2bx+bp+c=q/p(兩邊同除以p)如何化簡？因?yàn)閜可以忽略不計(jì)，所以3axp,ap^2,bp可以忽略所以，q/p=3ax^2+2bx+c即對于所有3次函數(shù)曲線（y=ax^3+bx^2+cx+d）的某點(diǎn)（x，y）的斜率為3ax^2+2bx+c。3ax^2+3axp+ap^2+2bx+bp+c=q/p38那如果是相對與全體函數(shù)呢？（理論上曲線都可以用函數(shù)表示）那如果是相對與全體函數(shù)呢？（理論上曲線都可以用函數(shù)表示）39由對于二次函數(shù)曲線和三次函數(shù)曲線的總體的研究，我們可以發(fā)現(xiàn)，解關(guān)于斜率的方程都是將坐標(biāo)（x+p,y+q）代入N次方程中然而，如果將不同指數(shù)的每一項(xiàng)分開看的話（這里以三次項(xiàng)為范例）a(x+p)^3+b(x+p)^2+c(x+p)+d=y+q3ax^2p+3axp^2+ap^3+2bxp+bp^2+cp=q3ax^2+3axp+ap^2+2bx+bp+c=q/p3ax^2+2bx+c=q/pa(x+p)^3ax^3+3ax^2p+3axp^2+ap^33ax^2p+3axp^2+ap^33ax^2+3axp+ap^2展開將原有的部分去除除以p仍帶有p的