經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(微積分)講義全

.PAGE.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分學(xué)習(xí)講義合川電大蘭冬生知識(shí)點(diǎn)一：5個(gè)基本函數(shù)1,常數(shù)函數(shù),〔是常數(shù)例如：,,這些函數(shù)可以看成是隱含,例如可看成。2,冪函數(shù),〔是一個(gè)數(shù)形如,,是冪函數(shù),注意：僅僅是這種形式是冪函數(shù),其他的任何一點(diǎn)形式變化都不是,是冪函數(shù),就不是冪函數(shù),只能是下面,上面〔指數(shù)是一個(gè)數(shù)！以下基本函數(shù)均如此3,指數(shù)函數(shù),,〔是一個(gè)數(shù)例如：,不是指數(shù)函數(shù)。4,對(duì)數(shù)函數(shù),這里要求必須大于零,我們的考試常常拿來(lái)考"求定義域"這里我們只認(rèn)識(shí)兩個(gè)特殊的對(duì)數(shù)函數(shù),一個(gè)是,他是的簡(jiǎn)寫(xiě),是一個(gè)數(shù),,和我們知道的一樣,另一個(gè)是,他是的簡(jiǎn)寫(xiě)。5,三角函數(shù),,特別注意的是,,都不是三角函數(shù)。這5個(gè)基本函數(shù)是我們要學(xué)習(xí)的函數(shù)的主要構(gòu)成細(xì)胞。例如：,二次函數(shù),由冪函數(shù),常數(shù)函數(shù)構(gòu)成。知識(shí)點(diǎn)二：極限1,什么是數(shù)列？數(shù)列就是按照"一定規(guī)律排列的一組數(shù)",我們常見(jiàn)的是無(wú)限數(shù)列。數(shù)學(xué)符號(hào)記為：例如：數(shù)列：1,2,4,8,16,32,……,發(fā)展規(guī)律依變化,……1,,,,……,發(fā)展規(guī)律依變化,……2,極限學(xué)習(xí)極限,一個(gè)非常重要的認(rèn)識(shí)就是"分母越大,分?jǐn)?shù)越小"數(shù)列的極限,就是指數(shù)列的一個(gè)趨近值,〔即是指一串?dāng)?shù)的趨近值例如：1,,,,……,分母由1,2,3,4,……變化,當(dāng)分母無(wú)限大時(shí),,,……,最后,這個(gè)無(wú)限數(shù)列趨近于0,這里,我們簡(jiǎn)單描述這個(gè)變化,分母越大,分?jǐn)?shù)越小是趨近,是無(wú)窮大的意思,無(wú)窮大是指非常非常大,無(wú)法計(jì)量。是指數(shù)軸的最遠(yuǎn)端。用極限式寫(xiě)為：這個(gè)位置寫(xiě)趨近值。分母無(wú)窮大,分?jǐn)?shù)趨近值為0說(shuō)明趨向無(wú)窮大,這個(gè)位置寫(xiě)趨近值。分母無(wú)窮大,分?jǐn)?shù)趨近值為0說(shuō)明趨向無(wú)窮大例如：1,,,,……,這個(gè)數(shù)列由,取0,1,2,3,4,……得到,分母越大,分?jǐn)?shù)越小用極限式寫(xiě)為分母無(wú)窮大,分?jǐn)?shù)趨近值為0這個(gè)位置寫(xiě)趨近值。分母無(wú)窮大,分?jǐn)?shù)趨近值為0這個(gè)位置寫(xiě)趨近值。例：求極限分析：所以,解為解：=1例：求極限分析：可變?yōu)?繼續(xù)分子是數(shù),分母是無(wú)窮大,一個(gè)固定數(shù)與無(wú)窮大相比,固定數(shù)顯得太小太小,忽略不計(jì),不是所有數(shù)列都有極限,極限存在是指數(shù)列趨近于一個(gè)固定數(shù),不趨近一個(gè)數(shù),說(shuō)極限不存在。例如：時(shí),,所以不存在,極限存在,稱數(shù)列收斂,不存在,稱為發(fā)散。函數(shù)的極限,就是把前面的看成是可取任何數(shù)的就可以了。例如：求極限,分析：理解為時(shí),分母越大,分?jǐn)?shù)越小所以函數(shù)在某一點(diǎn)的極限如圖：函數(shù)函數(shù)在這一點(diǎn)不取值,的取值可無(wú)限靠近1,于是就有函數(shù)在一點(diǎn)的極限,這個(gè)極限的意思是：當(dāng)無(wú)限靠近1時(shí),也說(shuō)趨近1趨近于多少?gòu)膱D上看得出值趨近于1函數(shù)在一點(diǎn)的極值記為：,是函數(shù)在點(diǎn)處的極限值,是一個(gè)趨近值。例：求極限,這是一類直接帶入分母為0的極限,這類極限需要分解因式約去為0分母,然后直接帶入求值。分析：直接帶入,分母為0,于是對(duì)分子分解因式,此時(shí)帶1,式子有意義,直接算出,所以,==2此時(shí)帶1,式子有意義,直接算出考題分析：計(jì)算極限。解：計(jì)算極限。解：計(jì)算極限解===*：求函數(shù)在某一點(diǎn)的極限：1,帶入分母不為0,就直接帶入求值。2,帶入分母為0,先分解因式,約掉為0分母,然后帶入求值。關(guān)于求極限的一般方法比較分子和分母最高次項(xiàng)系數(shù),1,分子最高次項(xiàng)指數(shù)小于分母最高次項(xiàng)指數(shù),極限為02,分子最高次項(xiàng)指數(shù)等于分母最高次項(xiàng)指數(shù),極限為系數(shù)比3,分子最高次項(xiàng)指數(shù)大于分母最高次項(xiàng)指數(shù),極限不存在題目中次數(shù)最高的項(xiàng),稱為最高次項(xiàng),指數(shù)稱為次數(shù)。這個(gè)題目中最高次數(shù)是3,例：求極限題目中次數(shù)最高的項(xiàng),稱為最高次項(xiàng),指數(shù)稱為次數(shù)。這個(gè)題目中最高次數(shù)是3,分析：當(dāng)時(shí),遠(yuǎn)比大。比指數(shù)小的,都可以視為0,因此,這個(gè)極限分母遠(yuǎn)比分子大,極限值是0。也可以對(duì)分子分母同除以,得=,當(dāng)時(shí),,,。所以,此題極限是0.前面的2稱為最高次項(xiàng)系數(shù)前面的3稱為最高此項(xiàng)系數(shù)例：求極限,前面的2稱為最高次項(xiàng)系數(shù)前面的3稱為最高此項(xiàng)系數(shù)分析,比指數(shù)小的,都可以視為0,常數(shù)直接去掉。所以此題極限是最高次項(xiàng)系數(shù)比,也可以分子分母同除以。解：=例：求極限分析,顯然,分子最高次數(shù)為3,當(dāng)時(shí),分子遠(yuǎn)大于分母,次極限不存在。最高次項(xiàng)系數(shù)比歸納為如下：最高次項(xiàng)系數(shù)比此處也可說(shuō)極限不存在此處也可說(shuō)極限不存在解此類題只看最高次項(xiàng),直接寫(xiě)答案?？碱}舉例：求極限解：=求極限解：兩個(gè)重要極限：〔這兩個(gè)是公式,直接使用！1,,或,考試?，F(xiàn),希望注意,現(xiàn)以考題作講解。公式應(yīng)理解為,或,括號(hào)里面填任何變量都可以,但必須是相同的。特別要注意,這里是例：求極限,特別要注意,這里是分析：通過(guò)變形,達(dá)到內(nèi)相同,=,因?yàn)?時(shí),所以===5=5這就是我們要的,3個(gè)位置都一樣這就是我們要的,3個(gè)位置都一樣因?yàn)槭浅朔e,常數(shù)5可以直接拿出來(lái)因?yàn)槭浅朔e,常數(shù)5可以直接拿出來(lái)當(dāng)時(shí),1-1=0例,求極限 0 當(dāng)時(shí),1-1=0分析：=0也可以=加減法可以分開(kāi)求,加減法可以分開(kāi)求,例,〔形成性考核作業(yè)這里可以寫(xiě),也可以寫(xiě),是一個(gè)意思,所以,考試的時(shí)候,直接寫(xiě)這里可以寫(xiě),也可以寫(xiě),是一個(gè)意思,所以,考試的時(shí)候,直接寫(xiě)總結(jié)：極限的運(yùn)算遵循加法可分,常數(shù)可透原則,也遵循乘法可分原則2,或這個(gè)公式都要理解成,只要里一樣,極限值就是次類考得少,只舉一個(gè)簡(jiǎn)例,例求極限分析：==此處此處與是一樣的。知識(shí)點(diǎn)：無(wú)窮大量與無(wú)窮小量,此考點(diǎn)經(jīng)常考,其實(shí)簡(jiǎn)單,極限值是0的就是無(wú)窮小量,極限值是0的就是無(wú)窮小量。極限值是無(wú)窮大的就是無(wú)窮大量?？碱}舉例例：1,已知,當(dāng)時(shí),為無(wú)窮小量．2,已知,當(dāng)時(shí),為無(wú)窮小量．3,設(shè),當(dāng)〔 A 時(shí),f<x>為無(wú)窮小量．A．x→0 B．x→1 C．x→- D．x→+4,當(dāng)時(shí),下列變量為無(wú)窮小量的是〔DA．B．C．D．5,已知,當(dāng)〔A時(shí),為無(wú)窮小量.A.B.C.D.6,當(dāng)時(shí),變量〔D 為無(wú)窮小量。A． B．C． D．7,當(dāng)時(shí),變量〔D 是無(wú)窮小量。A． B．C． D．函數(shù)的連續(xù)可以再一段數(shù)上面都取得到,稱函數(shù)在這一段數(shù)上面連續(xù),例如,在這一段數(shù)上面連續(xù),但在這段數(shù)上面不連續(xù),因?yàn)槿〔坏?.以下用考題來(lái)分析,1,函數(shù)在x=0處連續(xù),則k=<B>．A．-2 B．-1 C．1D．22．函數(shù)在x=0處連續(xù),則k=< C >．A．-2 B．-1 C．1D．23.函數(shù)在x=0處連續(xù),則〔A．A.1B.0C.2D.4．函數(shù)在x=0處連續(xù),則k=< B >．5．若函數(shù),在處連續(xù),則<B>．A．B．C．D．6．已知,若f<x>在〔,+內(nèi)連續(xù),則a=2．7．已知,若在x=1處連續(xù),則2.此類題目就是對(duì)上面一個(gè)式子求當(dāng)不等于那個(gè)數(shù)時(shí)的極限。1,求2,求3,求=下面1時(shí)的值,4,求,5,求,6,求,7,求分析：要使得函數(shù)連續(xù),必須要上面的極限等于下面的,具體意義請(qǐng)參看教材中"函數(shù)的連續(xù)性"一節(jié)。另外補(bǔ)充,找函數(shù)不連續(xù)的點(diǎn),一般可以理解為找函數(shù)無(wú)意義的點(diǎn),比如間斷點(diǎn)〔就是不連續(xù)點(diǎn)是分母為0的點(diǎn)和求函數(shù)定義域：函數(shù)的定義域就是指使得式子有意義的的取值范圍。一些常見(jiàn)的式子有意義的條件：1,分母不等于0；2,開(kāi)平方：根號(hào)里面大于等于0,如果根號(hào)在分母下面,一定不要使分母是0了。3,對(duì)數(shù)里面必須大于0,例如：,的位置必須大于0,中,位置必須大于0,若,,作分母,位置還不能取1考題舉例：1．函數(shù)的定義域是〔D．A． B． C． D．且2．函數(shù)的定義域是< A ．A． B．C． D．3．函數(shù)的定]義域是〔-1,,0〔0,3]．>4.函數(shù)的定義域是．5．函數(shù)的定義域是 [-5,2] .．6．函數(shù)的定義域是.7．函數(shù)的定義域是8．函數(shù)的定義域是〔0,3].9．函數(shù)的定義域是．10．函數(shù)的定義域是．詳細(xì)講解2,3題,解2,要使得有意義,根號(hào)里面,結(jié)合分母不能是0,有同時(shí)還要滿足,位置大于0,即,所以有并且,合起來(lái)就是是區(qū)間表示,=3,要使得有意義,根號(hào)里面大于等于0,,得,,位置要大于0,同時(shí)作分母,還必須不等于1,即且,得到,且,要是整個(gè)式子有意義,還得,所以,且,所以答案：〔-1,,0〔0,3],是合起來(lái)的意思,〔-1,,0〔0,3]意思是：且用區(qū)間表示就是用區(qū)間表示就是用區(qū)間表示就是等得到,方括號(hào),等不到圓括號(hào)。用區(qū)間表示就是用區(qū)間表示就是用區(qū)間表示就是請(qǐng)結(jié)合上兩個(gè)例子學(xué)習(xí)。關(guān)于指數(shù)是分?jǐn)?shù)和負(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)僅以實(shí)例來(lái)學(xué)習(xí),指數(shù)是負(fù)數(shù)：只要是指數(shù)是負(fù)數(shù),去掉負(fù)數(shù)取倒數(shù),,,有時(shí)候經(jīng)常反過(guò)來(lái)用指數(shù)是分?jǐn)?shù)：,,,分母是開(kāi)方,分子是次方。知識(shí)點(diǎn)三,導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)：求導(dǎo)是在5個(gè)基本函數(shù)上進(jìn)行！,,這種形如的導(dǎo)數(shù)是把指數(shù)放下來(lái),指數(shù)減1,,5個(gè)基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1,,例如,,,2,,例如,,3,,這是一個(gè)非常特殊的導(dǎo)數(shù),的導(dǎo)數(shù)等于他本身4,,5,,這是5個(gè)基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,以后的學(xué)習(xí)中,主要是由這5個(gè)結(jié)合構(gòu)造出復(fù)雜的函數(shù),但是我們都能分解成這5個(gè)基本函數(shù),來(lái)求導(dǎo),再后面的積分學(xué)習(xí)也是如此。例如：,求解：象這種由幾個(gè)基本函數(shù)加在一起的,可以分開(kāi)求,我們稱為加法可分例如：,求解：象這種,基本函數(shù)前的系數(shù)〔常數(shù)可以直接拿出來(lái),我們稱為常數(shù)可透兩個(gè)基本函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)：等于一個(gè)求導(dǎo)乘以另一個(gè),再加上這個(gè)乘以另一個(gè)求導(dǎo),,例如：,求分式的導(dǎo)數(shù)：例如,求至此,我們學(xué)習(xí)了由基本函數(shù)加減乘除構(gòu)造成的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法,綜合舉例：例如,已知,求這里特別注意,求微分：由導(dǎo)數(shù)的意義,求微分就是求,所以,,我們主需要先求出,然后再寫(xiě)成這種形式就可以了,例如：,求解：因?yàn)?所以復(fù)合函數(shù)求導(dǎo),這是求導(dǎo)最難的,也是必考的,每題10分,其實(shí)也不難復(fù)合的意思就是一層套一層,我們可以分層從外到內(nèi)求出。例如：,,我們來(lái)求這3個(gè)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。1,,主體是由構(gòu)成,把看成括號(hào)里面內(nèi)容,由于,所以,對(duì)主題按基本函數(shù)求導(dǎo),再乘以括號(hào)內(nèi)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),這個(gè)函數(shù)可以看成是,復(fù)合而成。2,,主體是,由于,所以,3,,主體是,由,所以,又可以依求出,因?yàn)?所以,所以,繼續(xù)求下去1,2,做復(fù)合函數(shù)的題,一定要對(duì)基本函數(shù)導(dǎo)數(shù)熟悉,特別是那5個(gè)基本函數(shù),第一步就要認(rèn)清這個(gè)主體是由哪個(gè)基本函數(shù)構(gòu)成,對(duì)主題按基本函數(shù)求導(dǎo),再乘以括號(hào)內(nèi)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),考題舉例,1．設(shè),求．解：所以2．已知y=,求dy．解因?yàn)?=所以3．設(shè)y,求dy．解因?yàn)閥所以dy=<>dx4．設(shè),求。解：5．已知,求．解：6．已知,求解：．7．已知,求；解：8．已知,求dy．解：dy=9．設(shè)y,求dy．解：10．設(shè),求．解：11．已知,求．解：12．設(shè),求．解：13．設(shè)y,求．解因?yàn)閥所以14．設(shè),求．解：由導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得15．已知,求．解：因?yàn)樗?16．設(shè),求.解：因?yàn)樗?7．已知y=,求dy．解因?yàn)?=所以18．設(shè),求．19．設(shè),求。20．已知,求。21．設(shè),求．22．設(shè),求．23.設(shè),求．解：由微分四則運(yùn)算法則和微分基本公式得24．設(shè),求．解：因?yàn)樗?5.已知,求．解：由導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得26.設(shè),求．解：由導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得27．設(shè),求．解：因?yàn)樗?8．設(shè)求解：===dy=隱函數(shù)求導(dǎo)：隱函數(shù)求導(dǎo)就是對(duì)求導(dǎo),然后再乘以。隱函數(shù)求導(dǎo),是因?yàn)榻獠怀?具體步驟,1,方程兩邊對(duì)求導(dǎo),把里面的當(dāng)成操作求導(dǎo),但若把當(dāng)成求導(dǎo)后,要對(duì)這個(gè)式子乘以,有但不求導(dǎo)的地方不乘,2,解出。例如：,求,解：所以,,解出得考題舉例：1．由方程確定是的隱函數(shù),求．解在方程等號(hào)兩邊對(duì)x求導(dǎo),得故2．由方程確定是的隱函數(shù),求．解在方程等號(hào)兩邊對(duì)x求導(dǎo),得故3．設(shè)函數(shù)由方程確定,求．解方程兩邊對(duì)x求導(dǎo),得當(dāng)時(shí),所以,函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)：此類題目是函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù),就是先求出函數(shù)導(dǎo)數(shù),然后再帶入計(jì)算,第一步,求出導(dǎo)數(shù),第二步帶入求值。括號(hào)里面是的值。1．設(shè),求.解：因?yàn)?所以==02．已知,求．解：,所以3．已知,求；解=求積分：積分是求導(dǎo)的逆運(yùn)算.例：已知,求導(dǎo)運(yùn)算,。已知,求求導(dǎo)前的函數(shù)〔稱原函數(shù)這一運(yùn)算的數(shù)學(xué)符號(hào),讀作積分記：,其中是任意常數(shù)求導(dǎo)前的函數(shù),求導(dǎo)過(guò)程求導(dǎo)后,求導(dǎo)前的函數(shù),求導(dǎo)過(guò)程求導(dǎo)后,添加一個(gè),是因?yàn)?,,為了邏輯上的相等,求導(dǎo),所以,,注意五個(gè)基本函數(shù)的積分：以后直接利用公式求積分！注：后面都加上,加的結(jié)果表示所有原函數(shù)。求積分遵循：加法可分,常數(shù)可透原則。例：求積分,解：===例：求積分,=湊微分：湊微分遵循：若,則,這里,是指的導(dǎo)數(shù),只需滿足括號(hào)內(nèi)相同即可。例：求積分,解：==1,利用基本函數(shù),公式為,要把公式中的看成。2,中的可理解為對(duì)求導(dǎo),。3,湊,是反過(guò)來(lái)運(yùn)用,湊成有用的,然后用,求出積分。4,湊微分要求對(duì)5個(gè)基本公式要熟悉。例如：求積分,解：=====例如：求積分,解：===不是所有的積分都可以用湊微分作出來(lái),湊微分只是一種手段,能求的積分是很少的一部分,接下來(lái)學(xué)習(xí)分步積分,分部積分公式：,公式特點(diǎn)：是含有的兩個(gè)因式的乘積,若見(jiàn)是乘積的形式,可考慮套用公式。分部積分的重點(diǎn)在于確定哪個(gè)是,哪個(gè)是,確定原則是找出來(lái)的求導(dǎo)后與的乘積可消,使得簡(jiǎn)單,可積?！部蓞⒄绽}作考題舉例,1,求積分,=寫(xiě)成公式的形式=====2,求積分,解：====3,計(jì)算不定積分.解：===4,計(jì)算不定積分.解：由分部積分法===定積分：定積分就是在前面學(xué)的不定積分上加上限和下限,具體算法是先算出不定積分,然后上限〔帶入減下限〔帶入上限,也就是積分號(hào)上標(biāo)那個(gè)