有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)課件

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握線性相位FIR數(shù)字濾波器的特點(diǎn)2.掌握窗函數(shù)設(shè)計(jì)法3.了解頻率抽樣設(shè)計(jì)法4.了解FIR濾波器與IIR濾波器的比較第1頁/共261頁學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握線性相位FIR數(shù)字濾波器的特點(diǎn)第1頁/共261IIR濾波器的優(yōu)缺點(diǎn)IIR數(shù)字濾波器的優(yōu)點(diǎn)：

可以利用模擬濾波器設(shè)計(jì)的結(jié)果，而模擬濾波器的設(shè)計(jì)有大量圖表可查，方便簡(jiǎn)單。IIR數(shù)字濾波器的缺點(diǎn)：

相位的非線性，將引起頻率的色散，若須線性相位，則要采用全通網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行相位校正,使濾波器設(shè)計(jì)變得復(fù)雜，成本也高。第2頁/共261頁IIR濾波器的優(yōu)缺點(diǎn)IIR數(shù)字濾波器的優(yōu)點(diǎn)：第2頁/共2612FIR濾波器優(yōu)點(diǎn)

*H(z)永遠(yuǎn)穩(wěn)定:設(shè)FIR濾波器單位沖激響應(yīng)h(n)長(zhǎng)度為N，其系統(tǒng)函數(shù)H(z)為：

H(z)是z-1的N-1次多項(xiàng)式，它在z平面上有N-1個(gè)零點(diǎn)，原點(diǎn)z=0是N-1階重極點(diǎn)。

因此，H(z)永遠(yuǎn)穩(wěn)定。穩(wěn)定和線性相位特性是FIR濾波器突出的優(yōu)點(diǎn)*可以做到嚴(yán)格線性相位*可以具有任意的幅度特性第3頁/共261頁FIR濾波器優(yōu)點(diǎn)

*H(z)永遠(yuǎn)穩(wěn)定:穩(wěn)定和線性相位特性是F3為何要設(shè)計(jì)FIR濾波器（1）語音處理，圖象處理以及數(shù)據(jù)傳輸要求線性相位，任意幅度。（即要求信道具有線性相位特性）而FIR數(shù)字濾波器具有嚴(yán)格的線性相位，而且同時(shí)可以具有任意的幅度特性。（2)另外FIR數(shù)字濾波器的單位抽樣響應(yīng)是有限長(zhǎng)的，因而濾波器一定是穩(wěn)定的，只要經(jīng)過一定的延時(shí)，任何非因果有限長(zhǎng)序列都變成因果的有限序列。（3)FIR可以用FFT算法來實(shí)現(xiàn)過濾信號(hào)。第4頁/共261頁為何要設(shè)計(jì)FIR濾波器（1）語音處理，圖象處理以及數(shù)據(jù)傳輸要4FIRDF設(shè)計(jì)任務(wù)、設(shè)計(jì)方法、設(shè)計(jì)思路設(shè)計(jì)思路:

根據(jù)設(shè)計(jì)指標(biāo)，求出所選運(yùn)算結(jié)構(gòu)要求的h(n)或H(z)：

線性卷積和快速卷積型結(jié)構(gòu)，求FIRDF的h(n).

級(jí)聯(lián)和頻率采樣型結(jié)構(gòu)，求FIRDF的H(z).設(shè)計(jì)方法:*窗口設(shè)計(jì)法*頻率采樣設(shè)計(jì)法*切比雪夫等波紋逼近法X*計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)法

X設(shè)計(jì)任務(wù)：選擇有限長(zhǎng)度的h(n)

，使傳輸特性H(ej)滿足技術(shù)指標(biāo)要求第5頁/共261頁FIRDF設(shè)計(jì)任務(wù)、設(shè)計(jì)方法、設(shè)計(jì)思路設(shè)計(jì)思路:設(shè)計(jì)方法:57.1線性相位FIR數(shù)字濾波器的條件和特點(diǎn)

內(nèi)容：

FIR濾波器具有線性相位的條件及幅度特性以及零點(diǎn)、網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)。第6頁/共261頁7.1線性相位FIR數(shù)字濾波器的條件和特點(diǎn)內(nèi)容：第6頁/6Hg(ω)稱為幅度特性；()稱為相位特性。1.線性相位濾波器

------線性相位概念(7.1.1)(7.1.2)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)長(zhǎng)度為N，系統(tǒng)傳輸函數(shù)為：第7頁/共261頁Hg(ω)稱為幅度特性；1.線性相位濾波器

7（1）幅度特性Hg(ω)

注意：Hg(ω)不同于|H(ejω)|,區(qū)別:

*Hg(ω)為ω的實(shí)函數(shù)，是標(biāo)量函數(shù)，可以包括正值、負(fù)值和零;*|H(ejω)|總是正值，而且是ω的偶對(duì)稱函數(shù)和周期函數(shù)。

兩者在某些ω值上相位相差π第8頁/共261頁（1）幅度特性Hg(ω)

注意：Hg(ω)不同于|8（A）H(ejω)線性相位是指()是ω的線性函數(shù)，即

()＝－,

:群時(shí)延,為常數(shù)

(7.1.3)（B）如果θ(ω)滿足下式：

()＝－+0,0是起始相位

(7.1.4)

嚴(yán)格地說，此時(shí)θ(ω)不具有線性相位，但以上兩種情況都滿足群時(shí)延是一個(gè)常數(shù)，也稱這種情況為線性相位。（2）相位特性()()＝－

：第一類線性相位；A類()＝－+0

：第二類線性相位;B類(groupdelay)為群延遲函數(shù)θ0=－π/2是第二類線性相位特性常用的情況，所以本章僅介紹這種情況第9頁/共261頁（A）H(ejω)線性相位是指()是ω的線性函數(shù)，即（29

線性相位FIR濾波器的時(shí)域約束條件是指滿足線性相位時(shí)，對(duì)h(n)的約束條件。一般要求是h(n)實(shí)序列。2.線性相位FIR的時(shí)域約束條件第10頁/共261頁線性相位FIR濾波器的時(shí)域約束條件是指滿足線10由式（7.1.5）得到:第一類線性相位FIR數(shù)字濾波器的相位函數(shù)

θ(ω)=－ωτ(7.1.6)（7.1.5）1)第一類線性相位對(duì)h(n)的約束條件第11頁/共261頁由式（7.1.5）得到:第一類線性相位FIR數(shù)字濾波器的相位11移項(xiàng)并用三角公式化簡(jiǎn)得到:

將（7.1.6）式中兩式相除得到：

函數(shù)h(n)sinω(n－τ)關(guān)于求和區(qū)間的中心(N－1)/2奇對(duì)稱，是滿足（7.1.7）式的一組解。因?yàn)閟inω(n－τ)關(guān)于n=τ奇對(duì)稱，如果取τ=(N－1)/2，則要求h(n)關(guān)于(N－1)/2偶對(duì)稱。即（7.1.7）第12頁/共261頁移項(xiàng)并用三角公式化簡(jiǎn)得到:將（7.1.6）式中兩式相除得到12（7.1.8）

如果要求單位脈沖響應(yīng)為h(n)、長(zhǎng)度為N的FIR數(shù)字濾波器具有第一類線性相位特性（嚴(yán)格線性相位特性），則h(n)應(yīng)當(dāng)關(guān)于n=(N－1)/2點(diǎn)偶對(duì)稱。

當(dāng)N確定時(shí)，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器的相位特性是一個(gè)確知的線性函數(shù)，即θ(ω)=－ω(N－1)/2。

N為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí),h(n)的對(duì)稱情況分別如表7.1.1中的情況1和情況2所示。第13頁/共261頁（7.1.8）如果要求單位脈沖響應(yīng)為h(n)13表7.1.1線性相位FIR數(shù)字濾波器的時(shí)域和頻域特性一覽第一類線性相位第14頁/共261頁表7.1.1線性相位FIR數(shù)字濾波器的時(shí)域和頻域特性一覽14第二類線性相位FIR數(shù)字濾波器的相位函數(shù)

θ(ω)=－π/2－ωτ函數(shù)h(n)cos［ω(n－τ)］關(guān)于求和區(qū)間的中心(N－1)/2奇對(duì)稱，是滿足式（7.1.9）的一組解，因?yàn)閏os［ω(n－τ)］關(guān)于n=τ偶對(duì)稱，則要求h(n)關(guān)于(N－1)/2奇對(duì)稱。（7.1.9）2)第二類線性相位對(duì)h(n)的約束條件第15頁/共261頁第二類線性相位FIR數(shù)字濾波器的相位函數(shù)函數(shù)h(n)cos［15（7.1.10）

如果要求單位脈沖響應(yīng)為h(n)、長(zhǎng)度為N的FIR數(shù)字濾波器具有第二類線性相位特性，則h(n)應(yīng)當(dāng)關(guān)于n=(N－1)/2點(diǎn)奇對(duì)稱。

N為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)h(n)的對(duì)稱情況分別如表7.1.1中情況3和情況4所示。第16頁/共261頁（7.1.10）如果要求單位脈沖響應(yīng)為h(n)、長(zhǎng)度為16表7.1.1線性相位FIR數(shù)字濾波器的時(shí)域和頻域特性一覽第二類線性相位第17頁/共261頁表7.1.1線性相位FIR數(shù)字濾波器的時(shí)域和頻域特性一覽17

設(shè)h(n)為實(shí)序列，將時(shí)域約束條件h(n)=±h(N－n－1)代入式（7.1.1），即可推導(dǎo)出線性相位條件對(duì)FIR數(shù)字濾波器的幅度特性Hg(ω)的約束條件。當(dāng)N取奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)對(duì)Hg(ω)的約束不同，因此，對(duì)于兩類線性相位特性，分四種情況討論其幅度特性的特點(diǎn)。這些特點(diǎn)對(duì)正確設(shè)計(jì)線性相位FIR數(shù)字濾波器具有重要的指導(dǎo)作用3．線性相位FIR濾波器幅度特性Hg(ω)的特性幅度特性的特點(diǎn)就是線性相位FIR濾波器的頻域約束條件線性相位時(shí)域約束條件:h(n)=±h(N－n－1)第18頁/共261頁設(shè)h(n)為實(shí)序列，將時(shí)域約束條件h(n)=±18式中，[(N－1)/2]

表示取不大于(N－1)/2的最大整數(shù)。僅當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，M=τ＝(N－1)/2。為了推導(dǎo)方便，引入兩個(gè)參數(shù)符號(hào)：

對(duì)于兩類線性相位、h(n)長(zhǎng)度N的奇偶分為四類：1)h(n)=h(N-n-1)--偶對(duì)稱，N為奇數(shù)2)h(n)=h(N-n-1)--偶對(duì)稱，N為偶數(shù)3)h(n)=-h(N-n-1)--奇對(duì)稱，N為奇數(shù)4)h(n)=-h(N-n-1)--奇對(duì)稱，N為偶數(shù)第19頁/共261頁式中，[(N－1)/2]表示取不大于(N－1)/2的最19線性相位濾波器時(shí)域特性圖例1、N為奇數(shù)的偶對(duì)稱：例如N=11，對(duì)稱中心為n0123456789102、N為偶數(shù)的偶對(duì)稱：例如N=10，對(duì)稱中心為n01234567893、N為奇數(shù)的奇對(duì)稱：例如N=11，對(duì)稱中心為n0123456789104、N為偶數(shù)的奇對(duì)稱：例如N=10，對(duì)稱中心為n0123456789第20頁/共261頁線性相位濾波器時(shí)域特性圖例1、N為奇數(shù)的偶對(duì)稱：n0123420情況1：h(n)=h(N－n－1),N為奇數(shù)h(n)=h(N－n－1)和θ(ω)=－ωτ代入式（7.1.1）和（7.1.2），得到:Hg()第21頁/共261頁情況1：h(n)=h(N－n－1),N為奇數(shù)h(n)=h21

因?yàn)閏os［ω(n-τ)］關(guān)于ω=0,π,2π三點(diǎn)偶對(duì)稱，所以Hg(ω)關(guān)于ω=0,π,2π三點(diǎn)偶對(duì)稱。

因此情況1可以實(shí)現(xiàn)各種（低通、高通、帶通、帶阻）濾波器。對(duì)于N=13的低通情況，Hg(ω)的一種例圖如表7.1.1中情況1所示。（7.1.11）幅度特性:第22頁/共261頁因?yàn)閏os［ω(n-τ)］關(guān)于ω=0,π,222仿照情況1的推導(dǎo)方法得到:（7.1.12）式中，情況2：h(n)=h(N－n－1),N為偶數(shù)幅度特性:第23頁/共261頁仿照情況1的推導(dǎo)方法得到:（7.1.12）式中，情況23

而且cos［ω(n－τ)］關(guān)于過零點(diǎn)奇對(duì)稱，關(guān)于ω=0和2π偶對(duì)稱。所以Hg(ω)關(guān)于ω=π奇對(duì)稱，關(guān)于ω=0和2π偶對(duì)稱。情況2不能實(shí)現(xiàn)高通和帶阻濾波器。

對(duì)N=12的低通情況，Hg(ω)如表7.1.1中情況2所示因?yàn)椋问桥紨?shù)，所以當(dāng)=時(shí)第24頁/共261頁而且cos［ω(n－τ)］關(guān)于過零點(diǎn)奇對(duì)稱，關(guān)24將時(shí)域約束條件h(n)=－h(huán)(N－n－1)和θ(ω)=－

π/2－

代入式（7.1.1）和（7.1.2），并考慮h[(N-1/2)]=0，得到:情況3：h(n)=－h(huán)(N－n－1)，N為奇數(shù)第25頁/共261頁將時(shí)域約束條件h(n)=－h(huán)(N－n－1)和θ(ω)=－25式中，N是奇數(shù)，τ=(N－1)/2是整數(shù)。

所以，當(dāng)ω=0，π,2π時(shí)，sin[ω(n－τ)]=0,而且sin[ω(n－τ)]關(guān)于過零點(diǎn)奇對(duì)稱。因此Hg(ω)關(guān)于ω=0,π,2π三點(diǎn)奇對(duì)稱。由此可見，情況3只能實(shí)現(xiàn)帶通濾波器。對(duì)N=13的帶通濾波器舉例，Hg(ω)如表7.1.1中情況3所示。幅度特性:第26頁/共261頁式中，N是奇數(shù)，τ=(N－1)/2是整數(shù)。幅度特性:第26頁26

式中，N是偶數(shù)，τ=(N－1)/2=N/2－1/2。所以，當(dāng)ω=0,2π時(shí)，sin［ω(n－τ)］=0；當(dāng)ω=π時(shí)，sin［ω(n－τ)］=(－1)n－N/2,為峰值點(diǎn)。而且sin［ω(n－τ)］關(guān)于過零點(diǎn)ω=0和2π兩點(diǎn)奇對(duì)稱，關(guān)于峰值點(diǎn)ω=π偶對(duì)稱。因此Hg(ω)關(guān)于ω=0和2π兩點(diǎn)奇對(duì)稱，關(guān)于ω=π偶對(duì)稱。

情況4不能實(shí)現(xiàn)低通和帶阻濾波器。對(duì)N=12的高通濾波器舉例，Hg(ω)如表7.1.1中情況4所示。情況4：h(n)=－h(huán)(N－n－1),N為偶數(shù)用情況3的推導(dǎo)過程可以得到:（7.1.13）幅度特性:第27頁/共261頁式中，N是偶數(shù)，τ=(N－1)/2=N/2－1/2。27為了便于比較，將上面四種情況的h(n)及其幅度特性需要滿足的條件列于表7.1.1中。應(yīng)當(dāng)注意，對(duì)每一種情況僅畫出滿足幅度特性要求的一種例圖。例如，情況1僅以低通的幅度特性曲線為例。當(dāng)然也可以畫出滿足情況1的幅度約束條件（Hg(ω)關(guān)于ω=0,π,2π三點(diǎn)偶對(duì)稱）的高通、帶通和帶阻濾波器的幅度特性曲線。所以，僅從表7.1.1就認(rèn)為情況1只能設(shè)計(jì)低通濾波器是錯(cuò)誤的。第28頁/共261頁為了便于比較，將上面四種情況的h(n)及其幅度特性需要滿28頻域特性表Typeh(n)NI情況1N為奇數(shù)II情況2N為偶數(shù)III情況3N為奇數(shù)IV情況4N為偶數(shù)第29頁/共261頁頻域特性表Typeh(n)NI情況1N為奇數(shù)II情況29相位特性輔助序列適用幅度特性及特點(diǎn)N為奇數(shù)N為偶數(shù)N為奇數(shù)N為偶數(shù)低通高通帶通帶阻低通帶通帶通高通帶通四種線性相位FIR濾波器第30頁/共261頁相位特性輔助序列適用幅度特性及特點(diǎn)N為奇數(shù)N為偶數(shù)N為奇數(shù)N30四種線性相位濾波器第31頁/共261頁四種線性相位濾波器第31頁/共261頁31四種線性相位濾波器奇對(duì)稱單位沖激響應(yīng)h(n)=-h(N-n-1)第32頁/共261頁四種線性相位濾波器奇對(duì)稱單位沖激響應(yīng)h(n)=-h32例1

如果系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為0≤n≤4其他n求FIR數(shù)字濾波器傳輸函數(shù)解：這是第一種情況的線性相位FIR數(shù)字濾波器該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為因?yàn)閔(n)的長(zhǎng)度N=5，群延遲是整數(shù)，τ(ω)=(N-1)/2=2。振幅相位群延遲第33頁/共261頁例1如果系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為0≤n≤4其他n33MATLABw=-0*pi:0.1:2*pi;n=0:4;x=1.^n;X=(exp(j*2*w)).*(sin(2.5*w))./(sin(0.5*w));subplot(221)stem(n,x,'.');title('Sequencex(n)');xlabel('Timeindexn');subplot(222)plot(w/pi,abs(X));title('MagnitudeofDTFTofx(n)');axis([0,2,0,max(abs(X))]);subplot(224)plot(w/pi,angle(X)),;title('PhaseofDTFTofx(n)');xlabel('Frequency*piinratians');axis([0,2,min(angle(X)),max(angle(X))]);第34頁/共261頁MATLABw=-0*pi:0.1:2*pi;第34頁/共34例2

系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為0≤n≤5其他n

求FIR數(shù)字濾波器傳輸函數(shù)振幅相位群延遲

解：h(n)為偶對(duì)稱且長(zhǎng)度N=6，是第二種情況的線性相位FIR數(shù)字濾波器該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為h(n)的長(zhǎng)度N=6，群延遲:τ(ω)=(N-1)/2=2.5第35頁/共261頁例2系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為0≤n≤5其他n求FIR數(shù)35例3

系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為h(n)=δ(n)-δ(n-2)，求FIR數(shù)字濾波器傳輸函數(shù)。振幅相位群延遲解：

h(n)為奇對(duì)稱且長(zhǎng)度N=3，這是第三種情況的線性相位FIR數(shù)字濾波器該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為h(n)的長(zhǎng)度N=3，群延遲:τ(ω)=(N-1)/2=1第36頁/共261頁例3系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為h(n)=δ(n)-δ(n-2)36例4系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為h(n)=δ(n)-δ(n-1)求FIR數(shù)字濾波器傳輸函數(shù)。振幅相位群延遲解：h(n)為奇對(duì)稱且長(zhǎng)度N=2，這是第四種情況的線性相位FIR數(shù)字濾波器該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為h(n)的長(zhǎng)度N=2，群延遲:τ(ω)=(N-1)/2=0.5第37頁/共261頁例4系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為h(n)=δ(n)-δ(n-1)求37將h(n)=±h(N－1－n)代入上式,得到:（7.1.14）4.線性相位FIR數(shù)字濾波器的零點(diǎn)分布特點(diǎn)

M=N-1-n第38頁/共261頁將h(n)=±h(N－1－n)代入上式,得到:（7.1.138

如z=zi是H(z)的零點(diǎn)，其倒數(shù)1/zi也必然是其零點(diǎn)；又因?yàn)閔(n)是實(shí)序列，H(z)的零點(diǎn)必定共軛成對(duì)，因此zi*和（zi-1）*也是其零點(diǎn)。

線性相位FIR濾波器零點(diǎn)必定是互為倒數(shù)的共軛對(duì)，確定其中一個(gè)，另外三個(gè)零點(diǎn)也就確定了,如圖7.1.1中

。當(dāng)然，也有一些特殊情況，如圖7.1.1中z1、z2和z4情況。（7.1.14）第39頁/共261頁如z=zi是H(z)的零點(diǎn)，其倒數(shù)1/zi也必然是39圖7.1.1線性相位FIR數(shù)字濾波器的零點(diǎn)分布第40頁/共261頁圖7.1.1線性相位FIR數(shù)字濾波器的零點(diǎn)分布第40頁/40

(1)zi既不在實(shí)軸上，也不在單位圓上，則零點(diǎn)是互為倒數(shù)的兩組共軛對(duì)，如圖(a)所示。(4個(gè))(2)zi不在實(shí)軸上，但是在單位圓上，則共軛對(duì)的倒數(shù)是它們本身，故此時(shí)零點(diǎn)是一組共軛對(duì)，如圖(b)所示。(2個(gè))(3)zi在實(shí)軸上但不在單位圓上，只有倒數(shù)部分，無復(fù)共軛部分。故零點(diǎn)對(duì)如圖(c)所示。(2個(gè))(4)zi既在實(shí)軸上又在單位圓上，此時(shí)只有一個(gè)零點(diǎn)，有兩種可能，或位于z=1，或位于z=-1，如圖(d)、(e)所示。

(1個(gè))互為倒數(shù)的共軛對(duì)的四種可能性：第41頁/共261頁(1)zi既不在實(shí)軸上，也不在單位圓上，則41線性相位FIR濾波器的零點(diǎn)位置圖第42頁/共261頁線性相位FIR濾波器的零點(diǎn)位置圖第42頁/共261頁42線性相位濾波器的零點(diǎn)位置分布圖第43頁/共261頁線性相位濾波器的零點(diǎn)位置分布圖第43頁/共261頁43由幅度響應(yīng)的討論可知:*第二種情況的線性相位濾波器由于Hg(π)=0，因此必然有單根z=-1。*第四種情況的線性相位濾波器由于Hg(0)=0,因此必然有單根z=1。*而第三種情況的線性相位濾波器由于Hg(0)=Hg(π)=0，因此這兩種單根z=±1都必須有。

了解了線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)，便可根據(jù)實(shí)際需要選擇合適類型的FIR濾波器，同時(shí)設(shè)計(jì)時(shí)需遵循有關(guān)的約束條件。討論線性相位FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法時(shí)，都要用到這些特點(diǎn)。

第44頁/共261頁由幅度響應(yīng)的討論可知:第44頁/共261頁44

例一個(gè)FIR線性相位濾波器的單位脈沖響應(yīng)是實(shí)數(shù)的，且n<0和n>6時(shí)h(n)=0。如果h(0)=1且系統(tǒng)函數(shù)在z=0.5ejπ/3和z=3各有一個(gè)零點(diǎn)，H(z)的表達(dá)式是什么？H1(z)=(1-0.5ejπ/3

z-1)(1-0.5e-jπ/3z-1)=1-0.5z-1+0.25z-2

解:因?yàn)閚<0和n>6時(shí)h(n)=0，且h(n)是實(shí)值，所以當(dāng)H(z)在z=0.5ejπ/3

有一個(gè)復(fù)零點(diǎn)時(shí)，則在它的共軛位置z=0.5e-jπ/3

處一定有另一個(gè)零點(diǎn)。這個(gè)零點(diǎn)共軛對(duì)產(chǎn)生如下的二階因子：第45頁/共261頁例一個(gè)FIR線性相位濾波器的單位脈沖響應(yīng)45

線性相位的約束條件需要在這兩個(gè)零點(diǎn)的倒數(shù)位置上有零點(diǎn)，所以H(z)同樣必須包括如下的有關(guān)因子：

系統(tǒng)函數(shù)還包含一個(gè)z=3的零點(diǎn)，同樣線性相位的約束條件需要在z=1/3也有一個(gè)零點(diǎn)。于是，H(z)還具有如下因子：由此，我們有

最后，多項(xiàng)式中零階項(xiàng)的系數(shù)為A，為使h(0)=1，必定有：A=1。第46頁/共261頁線性相位的約束條件需要在這兩個(gè)零點(diǎn)的倒數(shù)位46FIR第一類線性相位網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)x(n-(N/2-1))x(n-(N-1)/2)第47頁/共261頁FIR第一類線性相位網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)x(n-(N/2-1))x(n-47FIR第二類線性相位網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)第48頁/共261頁FIR第二類線性相位網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)第48頁/共261頁48

設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器最簡(jiǎn)單的方法是窗函數(shù)法。一般是先給定所要求的理想濾波器的頻率響應(yīng)Hd(ejω)，要求設(shè)計(jì)一個(gè)FIR濾波器頻率響應(yīng) ,去逼近理想的頻率響應(yīng)Hd(ejω)。7.2利用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器

7.2.1窗函數(shù)法設(shè)計(jì)原理hd

(n)一般情況下是非因果無限長(zhǎng)序列，需對(duì)其進(jìn)行截短和因果化處理。第49頁/共261頁設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器最簡(jiǎn)單的方法是窗函數(shù)法。7.249改變窗形狀改變窗長(zhǎng)度誤差？窗函數(shù)法設(shè)計(jì)思路：時(shí)域方法無限長(zhǎng)有限長(zhǎng)第50頁/共261頁改變窗形狀改變窗長(zhǎng)度誤差？窗函數(shù)法設(shè)計(jì)思路：時(shí)域方法無限長(zhǎng)有50

設(shè)希望設(shè)計(jì)的濾波器傳輸函數(shù)為Hd(ejω),hd(n)是與其對(duì)應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)，因此一、窗函數(shù)法設(shè)計(jì)原理

1.構(gòu)造希望逼近的頻率響應(yīng)函數(shù)Hd(ejω)第51頁/共261頁設(shè)希望設(shè)計(jì)的濾波器傳輸函數(shù)為Hd(e512.求出hd(n)(7.2.2)相應(yīng)的單位取樣響應(yīng)hd(n)為:(7.2.1)設(shè)計(jì)的理想低通濾波器傳輸函數(shù)以設(shè)計(jì)低通濾波器為例:確定Hd(ejω)

a？a-延遲常數(shù)非因果無限長(zhǎng)序列第52頁/共261頁2.求出hd(n)(7.2.2)相應(yīng)的單位取樣響應(yīng)hd(52w(n)——為窗函數(shù)，w(n)長(zhǎng)度為N。

如果要求設(shè)計(jì)線性相位FIRDF，則要求h(n)關(guān)于(N-1)/2點(diǎn)偶對(duì)稱，而hd(n)關(guān)于n=a點(diǎn)偶對(duì)稱，所以要求a=(N-1)/2，且w(n)關(guān)于(N-1)/2點(diǎn)偶對(duì)稱。各種常用窗函數(shù)都滿足這種要求。

為了構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)度為N的線性相位濾波器，只有將hd(n)截取一段，并保證截取的一段對(duì)(N-1)/2對(duì)稱。設(shè)截取的一段用h(n)表示，即

h(n)=hd(n)·w

(n)

(7.2.3)3.加窗得到FIRDF單位脈沖響應(yīng)h(n)第53頁/共261頁

53

實(shí)際實(shí)現(xiàn)的濾波器的單位取樣響應(yīng)為h(n),長(zhǎng)度為N:

系統(tǒng)函數(shù)為H(z):

傳輸函數(shù):H(ejω):圖7.2.1理想低通的單位脈沖響應(yīng)及矩形窗w(n)=RN(n)aa第54頁/共261頁實(shí)際實(shí)現(xiàn)的濾波器的單位取樣響應(yīng)為h(n54H(ejω)

與Hd(ejω)的誤差:截?cái)嗾`差

傅立葉級(jí)數(shù)系數(shù)h(n)是H(ejω)對(duì)應(yīng)的單位取樣響應(yīng):設(shè)計(jì)FIR濾波器是根據(jù)要求找到有限項(xiàng)個(gè)傅立葉級(jí)數(shù)系數(shù),以有限項(xiàng)傅立葉級(jí)數(shù)近似代替無限項(xiàng)傅立葉級(jí)數(shù)。

-----窗函數(shù)法也稱為傅立葉級(jí)數(shù)法周期函數(shù)第55頁/共261頁H(ejω)與Hd(ejω)的誤差:截?cái)嗾`差55

Hd(ejω)是一個(gè)以2π為周期的函數(shù)，可以展為傅氏級(jí)數(shù)，即根據(jù)復(fù)卷積定理，得到：(7.2.4)Hd(ejω)和RN(ejω)分別是hd(n)和RN(n)的傅里葉變換二、窗函數(shù)法的性能分析H(ejω)=FT[h(n)]=FT[hd(n)RN(n)]w(n)=RN(n)第56頁/共261頁Hd(ejω)是一個(gè)以2π為周期的56(7.2.5)矩形窗的幅度函數(shù)RN(n)的傅里葉變換：RN(ejω)——條件矩形窗的相位函數(shù)第57頁/共261頁(7.2.5)矩形窗的幅度函數(shù)RN(n)的傅里葉變換：57理想低通濾波器的幅度特性Hd(ω)為Hd(ejω)寫成下式：hd(n)的傅里葉變換：Hd(ejω)幅度特性第58頁/共261頁理想低通濾波器的幅度特性Hd(ω)為Hd(ejω)寫成下式：58

將H(ejω)寫成下式：

(7.2.6)濾波器幅度特性H

(ω)等于理想低通濾波器Hd(ω)與窗函數(shù)的幅度特性函數(shù)RN(ω)的卷積濾波器幅度特性第59頁/共261頁將H(ejω)寫成下式：(7.2.6)濾波器幅度特性H591000幅度特性加窗后的影響圖示窗函數(shù)的主瓣旁瓣旁瓣第60頁/共261頁1000幅度特性加窗后的影響圖示窗函數(shù)的主瓣旁瓣旁瓣第60頁60

圖7.2.2矩形窗對(duì)理想低通幅度特性的影響

對(duì)hd(n)加矩形窗處理后，H(ω)和原理想低通Hd(ω)差別有以下兩點(diǎn)：

(1)在理想特性不連續(xù)點(diǎn)ω=ωc附近形成過渡帶。過渡帶的寬度，近似等于RN(ω)主瓣寬度，即4π/N。

(2)通帶內(nèi)增加了波動(dòng)，最大的峰值在ωc-2π/N處。阻帶內(nèi)產(chǎn)生了余振，最大的負(fù)峰在ωc+2π/N處。在主瓣附近，RN(ω)可近似為第61頁/共261頁圖7.2.2矩形窗對(duì)理想低通幅度特性的影響對(duì)h61理想低通加窗后對(duì)幅度特性的影響：(1)理想幅度特性的陡直邊沿被加寬，形成過渡帶；過渡帶：是由窗函數(shù)的主瓣寬度引起的。

N越大－窗函數(shù)的主瓣寬度越?。^渡帶帶寬越小(2)過渡帶兩側(cè)附近產(chǎn)生起伏的肩峰和紋波；肩峰和紋波：是由窗函數(shù)的旁瓣引起的。

旁瓣相對(duì)值越大－紋波起伏就越大旁瓣相對(duì)值：完全取決與窗函數(shù)的形狀，與N無關(guān)。（吉布斯效應(yīng)）選用旁瓣幅度較小的窗函數(shù)結(jié)論：為了提高濾波器的性能，盡可能要求窗函數(shù)：i.主瓣寬度盡量窄－獲得較陡的過渡帶ii.旁瓣相對(duì)值盡量?。纳仆◣У钠椒€(wěn)度和增大阻帶的衰減

第62頁/共261頁理想低通加窗后對(duì)幅度特性的影響：(1)理想幅度特性的陡直邊沿62吉布斯效應(yīng)

所設(shè)計(jì)濾波器的幅度函數(shù)在通帶和阻帶都呈現(xiàn)出振蕩現(xiàn)象，且最大波紋大約為幅度的9%，這個(gè)現(xiàn)象稱為Gibbs現(xiàn)象。

第63頁/共261頁吉布斯效應(yīng)

所設(shè)計(jì)濾波器的幅度函數(shù)在通帶和阻帶都呈637.2.2常用的窗函數(shù)

設(shè)h(n)=hd(n)w(n)式中w(n)表示窗函數(shù)。

本節(jié)主要介紹幾種常用窗函數(shù)的時(shí)域表達(dá)式、時(shí)域波形、幅度特性函數(shù)（衰減用dB計(jì)量）曲線，以及用各種窗函數(shù)設(shè)計(jì)的FIR數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)和損耗函數(shù)曲線。為了敘述簡(jiǎn)單，我們把這組波形圖簡(jiǎn)稱為“四種波形”。下面均以低通為例，Hd(ejω)取理想低通，ωc=π/2，窗函數(shù)長(zhǎng)度N=31。為了描述方便，定義窗函數(shù)的幾個(gè)參數(shù):旁瓣峰值n—窗函數(shù)的幅頻函數(shù)|Wg(ω)|的最大旁瓣的最大值相對(duì)主瓣最大值的衰減值（dB）；過渡帶寬度Bg—用該窗函數(shù)設(shè)計(jì)的FIR數(shù)字濾波器（FIRDF）的過渡帶寬度；阻帶最小衰減s—用該窗函數(shù)設(shè)計(jì)的FIRDF的阻帶最小衰減。第64頁/共261頁7.2.2常用的窗函數(shù)本節(jié)主要介紹幾種常用641.矩形窗(RectangleWindow)wR(n)=RN(n)頻率響應(yīng)為主瓣寬度為4π/N,第一旁瓣比主瓣低13dB幅度函數(shù)（7.2.7）第65頁/共261頁1.矩形窗(RectangleWindow)wR(n)=652.三角形窗(BartlettWindow)

(7.2.8)其頻率響應(yīng)為

(7.2.9)主瓣寬度為8π/N,比矩形窗主瓣寬度增加一倍，但旁瓣卻小很多幅度函數(shù)為（7.2.10）三角窗的四種波形參數(shù)為:

n=－25dB;Bg=8π/N;s=－25dB第66頁/共261頁2.三角形窗(BartlettWindow)(7.266圖7.2.5三角窗的四種波形三角窗的四種波形參數(shù)為:

n=－25dB;Bg=8π/N;s=－25dB第67頁/共261頁圖7.2.5三角窗的四種波形三角窗的四種波形參數(shù)為:673.漢寧(Hanning)窗——升余弦窗當(dāng)N1時(shí)，N-1≈N，這三部分之和，使旁瓣互相抵消，能量更集中在主瓣，它的最大旁瓣值比主瓣值約低31dB。但是代價(jià)是主瓣寬度比矩形窗的主瓣寬度增加一倍，即為8π/N。（7.2.11）第68頁/共261頁3.漢寧(Hanning)窗——升余弦窗當(dāng)N1時(shí)，N-68圖7.2.6漢寧窗的四種波形參數(shù)為:

n=－31dB;Bg=8π/N;

s=－44dB。第69頁/共261頁圖7.2.6漢寧窗的四種波形參數(shù)為:n=－31d69漢寧窗的幅度特性第70頁/共261頁漢寧窗的幅度特性第70頁/共261頁70

4.哈明(Hamming)窗——改進(jìn)的升余弦窗其頻域函數(shù)WHm(ejω)為其幅度函數(shù)WHm(ω)為當(dāng)N>>1時(shí)，可近似表示為

與漢寧窗相比，主瓣寬度相同，為8π/N，但旁瓣又被進(jìn)一步壓低，結(jié)果可將99.963%的能量集中在窗譜的主瓣內(nèi)，它的最大旁瓣值比主瓣值約低41dB。（7.2.12）第71頁/共261頁4.哈明(Hamming)窗——改進(jìn)的升余弦窗其頻71圖7.2.7哈明窗的四種波形改進(jìn)的升余弦窗的能量更加集中在主瓣中，主瓣的能量約占99.96%，瓣峰值幅度為40dB，但其主瓣寬度和漢寧窗的相同，仍為8π/N?？梢姽鞔笆且环N高效窗函數(shù)，所以MATLAB窗函數(shù)設(shè)計(jì)函數(shù)的默認(rèn)窗函數(shù)就是哈明窗。波形參數(shù):n=－41dB;Bg=8π/N;

s=－53dB第72頁/共261頁圖7.2.7改進(jìn)的升余弦窗的能量更加集中在主瓣中，主瓣的725.布萊克曼(Blackman)窗(7.2.13)頻譜函數(shù)為幅度函數(shù)為(7.2.14)由5部分組成，使旁瓣互相抵消，能量更集中在主瓣，但代價(jià)是主瓣寬度比矩形窗的主瓣寬度增加3倍，即為12π/N。第73頁/共261頁5.布萊克曼(Blackman)窗(7.2.13)頻73圖7.2.8布萊克曼窗的四種波形波形參數(shù):

n=－57dB;Bg=12π/N;

s=－74dB。幅度函數(shù)由五部分組成，它們都是移位不同，且幅度也不同的WRg(ω)函數(shù)，使旁瓣再進(jìn)一步抵消。旁瓣峰值幅度進(jìn)一步增加，其幅度譜主瓣寬度是矩形窗的3倍。第74頁/共261頁圖7.2.8布萊克曼窗的四種波形波形參數(shù):幅度函數(shù)由五部746.凱塞—貝塞爾窗(Kaiser-BaselWindow)

以上五種窗函數(shù)都稱為參數(shù)固定窗函數(shù)，每種窗函數(shù)的旁瓣幅度都是固定的。凱塞—貝塞爾窗是一種參數(shù)可調(diào)的窗函數(shù)，是一種最優(yōu)窗函數(shù)。式中

I0(x)是零階第一類修正貝塞爾函數(shù)，可用下面級(jí)數(shù)計(jì)算：（7.2.15）第75頁/共261頁6.凱塞—貝塞爾窗(Kaiser-BaselWindow75*一般I0(x)取15~25項(xiàng)，便可以滿足精度要求。*α參數(shù)可以控制窗的形狀。一般α加大，主瓣加寬，旁瓣幅度減小，典型數(shù)據(jù)為4<α<9。當(dāng)α=5.44時(shí)，窗函數(shù)接近哈明窗。α=7.865時(shí)，窗函數(shù)接近布萊克曼窗。在設(shè)計(jì)指標(biāo)給定時(shí)，可以調(diào)整值，使濾波器階數(shù)最低，所以其性能最優(yōu)。凱塞（Kaiser）給出的估算β和濾波器階數(shù)M(h(n)的長(zhǎng)度N=M+1)的公式如下:（7.2.17）（7.2.16）第76頁/共261頁*一般I0(x)取15~25項(xiàng)，便可以滿足精度要求。在設(shè)76式中，Bt=|ωs－ωp|,是數(shù)字濾波器過渡帶寬度。應(yīng)當(dāng)注意，因?yàn)槭剑?.2.17）為階數(shù)估算，所以必須對(duì)設(shè)計(jì)結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)。另外，凱塞窗函數(shù)沒有獨(dú)立控制通帶波紋幅度，實(shí)際中通帶波紋幅度近似等于阻帶波紋幅度。凱塞窗的幅度函數(shù)為（7.2.18）對(duì)的8種典型值，將凱塞窗函數(shù)的性能列于表7.2.1中，供設(shè)計(jì)者參考。由表可見,當(dāng)

=5.568時(shí),各項(xiàng)指標(biāo)都好于哈明窗。6種典型窗函數(shù)基本參數(shù)歸納在表7.2.2中，可供設(shè)計(jì)時(shí)參考。第77頁/共261頁式中，Bt=|ωs－ωp|,是數(shù)字濾波器過渡帶寬度。應(yīng)當(dāng)注77表7.2.1凱塞窗參數(shù)對(duì)濾波器的性能影

第78頁/共261頁表7.2.1凱塞窗參數(shù)對(duì)濾波器的性能影第78頁/共2678表7.2.26種窗函數(shù)的基本參數(shù)Bt=A/NA=4A=8表中過渡帶寬和阻帶最小衰減是用對(duì)應(yīng)的窗函數(shù)設(shè)計(jì)的FIR數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)指標(biāo)。隨著數(shù)字信號(hào)處理的不斷發(fā)展，學(xué)者們提出的窗函數(shù)已多達(dá)幾十種，除了上述6種窗函數(shù)外，比較有名的還有Chebyshev窗、Gaussian窗［5,6］。第79頁/共261頁表7.2.26種窗函數(shù)的基本參數(shù)Bt=A/NA=4A79圖7.2.4常用的窗函數(shù)第80頁/共261頁圖7.2.4常用的窗函數(shù)第80頁/共261頁80

圖7.2.5常用窗函數(shù)的幅度特性(a)矩形窗；(b)巴特利特窗(三角形窗)；(c)漢寧窗；(d)哈明窗；(e)布萊克曼窗第81頁/共261頁圖7.2.5常用窗函數(shù)的幅度特性81

圖7.2.6理想低通加窗后的幅度特性(N=51,ωc=0.5π)(a)矩形窗；(b)巴特利特窗(三角形窗)；(c)漢寧窗；

(d)哈明窗；(e)布萊克曼窗第82頁/共261頁圖7.2.6理想低通加窗后的幅度特性(N=51,82wn=boxcar(N)

％列向量wn中返回長(zhǎng)度為N的矩形窗函數(shù)w(n)wn=bartlett(N)

％列向量wn中返回長(zhǎng)度為N的三角窗函數(shù)w(n)wn=hanning(N)

％列向量wn中返回長(zhǎng)度為N的漢寧窗函數(shù)w(n)wn=hamming(N) ％列向量wn中返回長(zhǎng)度為N的哈明窗函數(shù)w(n)wn=blackman(N)

％列向量wn中返回長(zhǎng)度為N的布萊克曼窗函數(shù)w(n)wn=kaiser(N,beta)

％列向量wn中返回長(zhǎng)度為N的凱塞—貝塞爾窗函數(shù)w(n)

MATLAB信號(hào)處理工具箱提供了14種窗函數(shù)的產(chǎn)生函數(shù)，下面列出上述6種窗函數(shù)的產(chǎn)生函數(shù)及其調(diào)用格式：MATLAB第83頁/共261頁wn=boxcar(N) MATLAB信號(hào)處理工具箱提供83用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器的步驟如下：

(1)根據(jù)對(duì)過渡帶及阻帶衰減的指標(biāo)要求，選擇窗函數(shù)的類型，并估計(jì)窗口長(zhǎng)度N。

先按照阻帶衰減選擇窗函數(shù)類型。原則是在保證阻帶衰減滿足要求的情況下，盡量選擇主瓣窄的窗函數(shù)。然后根據(jù)過渡帶寬度估計(jì)窗口長(zhǎng)度N。待求濾波器的過渡帶寬度Bt近似等于窗函數(shù)主瓣寬度，且近似與窗口長(zhǎng)度N成反比，N≈A/Bt，A取決于窗口類型例如:矩形窗的A=4π，哈明窗的A=8π等，參數(shù)A的近似和精確取值參考表7.2.2。7.2.3用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器的步驟第84頁/共261頁用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器的步驟如下：7.2.3用84(2)構(gòu)造希望逼近的頻率響應(yīng)函數(shù)Hd(ejω)，即

對(duì)所謂的“標(biāo)準(zhǔn)窗函數(shù)法”，就是選擇Hd(ejω)為線性相位理想濾波器（理想低通、理想高通、理想帶通、理想帶阻）。以低通濾波器為例，幅度特性Hdg(ω)應(yīng)滿足：（7.2.19）

理想濾波器的截止頻率ωc近似位于最終設(shè)計(jì)的FIRDF的過渡帶的中心頻率點(diǎn)，幅度函數(shù)衰減一半（約－6dB）。如果設(shè)計(jì)指標(biāo)給定通帶邊界頻率和阻帶邊界頻率ωp和ωs，3dB截止頻率一般?。海?.2.20）第85頁/共261頁(2)構(gòu)造希望逼近的頻率響應(yīng)函數(shù)Hd(ejω)，即85(3)計(jì)算hd(n)。

I

如果給出待求濾波器的頻響函數(shù)為Hd(ejω)，那么單位脈沖響應(yīng)用下式求出：（7.2.21）II

如果Hd(ejω)較復(fù)雜，或者不能用封閉公式表示，則不能用上式求出hd(n)。對(duì)Hd(ejω)從ω=0到ω=2π采樣M點(diǎn)，采樣值為

，k=0,1,2,…,M－1，進(jìn)行M點(diǎn)IDFT(IFFT)，得到：（7.2.22）根據(jù)頻域采樣理論，hdM(n)與hd(n)應(yīng)滿足如下關(guān)系：如果M選得較大，可以保證在窗口內(nèi)hdM(n)有效逼近hd(n)線性相位理想低通濾波器=(N－1)/2第86頁/共261頁(3)計(jì)算hd(n)。（7.2.21）II如果Hd(e86(4)加窗得到設(shè)計(jì)結(jié)果：h(n)=hd(n)w(n)。第87頁/共261頁(4)加窗得到設(shè)計(jì)結(jié)果：h(n)=hd(n)w(n)。第87

【例7.2.1】用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)線性相位高通FIRDF，要求通帶截止頻率ωp=π/2rad，阻帶截止頻率ωs=π/4rad，通帶最大衰減

p=1dB，阻帶最小衰減

s=40dB。第88頁/共261頁【例7.2.1】用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)線性相位高通FIRDF，88（2）構(gòu)造Hd(ejω):式中解

(1）選擇窗函數(shù)w(n)，計(jì)算窗函數(shù)長(zhǎng)度N。已知阻帶最小衰減

s=40dB，由表（7.2.2）可知漢寧窗和哈明窗均滿足要求，選擇漢寧窗。本例中過渡帶寬度Bt≤ωp－ωs=π/4，漢寧窗的精確過渡帶寬度Bt=6.2π/N，所以要求Bt=6.2π/N≤π/4，解之得N≥24.8。對(duì)高通濾波器N必須取奇數(shù)，取N=25。由式（7.2.11）,有第89頁/共261頁（2）構(gòu)造Hd(ejω):式中解(1）選擇窗函數(shù)w89（3）求出hd(n):將τ=12代入得第一項(xiàng)δ(n－12)對(duì)應(yīng)全通濾波器，第二項(xiàng)是截止頻率為3π/8的理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)，二者之差就是理想高通濾波器的單位脈沖響應(yīng)。這就是求理想高通濾波器的單位脈沖響應(yīng)的另一個(gè)公式。第90頁/共261頁（3）求出hd(n):將τ=12代入得第一項(xiàng)δ(n－12)90（4）加窗:第91頁/共261頁（4）加窗:第91頁/共261頁91

實(shí)際設(shè)計(jì)時(shí)一般用MATLAB工具箱函數(shù)?？烧{(diào)用工具箱函數(shù)fir1實(shí)現(xiàn)窗函數(shù)法設(shè)計(jì)步驟（2）～（4）的解題過程。

(1)fir1是用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)線性相位FIR數(shù)字濾波器的工具箱函數(shù)，以實(shí)現(xiàn)線性相位FIR數(shù)字濾波器的標(biāo)準(zhǔn)窗函數(shù)法設(shè)計(jì)。這里的所謂“標(biāo)準(zhǔn)”，是指在設(shè)計(jì)低通、高通、帶通和帶阻FIR濾波器時(shí)，Hd(ejω)分別表示相應(yīng)的線性相位理想低通、高通、帶通和帶阻濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)。因而將所設(shè)計(jì)的濾波器的頻率響應(yīng)稱為標(biāo)準(zhǔn)頻率響應(yīng)。7.2.4窗函數(shù)法的MATLAB設(shè)計(jì)函數(shù)簡(jiǎn)介第92頁/共261頁實(shí)際設(shè)計(jì)時(shí)一般用MATLAB工具箱函數(shù)?？烧{(diào)用工具92

Fir1的調(diào)用格式及功能：

·hn=fir1(M,wc)，返回6dB截止頻率為wc的M階（單位脈沖響應(yīng)h(n)長(zhǎng)度N=M+1）FIR低通（wc為標(biāo)量）濾波器系數(shù)向量hn，默認(rèn)選用哈明窗。濾波器單位脈沖響應(yīng)h(n)與向量hn的關(guān)系為

h(n)=hn(n+1)n=0,1,2,…,M而且滿足線性相位條件:h(n)=h(N－1－n)。其中wc為對(duì)π歸一化的數(shù)字頻率，0≤wc≤1。當(dāng)wc=［wcl,wcu］時(shí)，得到的是帶通濾波器，其－6dB通帶為wcl≤ω≤wcu。第93頁/共261頁Fir1的調(diào)用格式及功能：第93頁/共261頁93

hn=fir1(M,wc,′ftype′)，可設(shè)計(jì)高通和帶阻FIR濾波器。當(dāng)ftype=high時(shí)，設(shè)計(jì)高通FIR濾波器；當(dāng)ftype=stop，且wc=［wcl,wcu］時(shí)，設(shè)計(jì)帶阻FIR濾波器。應(yīng)當(dāng)注意，在設(shè)計(jì)高通和帶阻FIR濾波器時(shí)，階數(shù)M只能取偶數(shù)（h(n)長(zhǎng)度N=M+1為奇數(shù)）。不過，當(dāng)用戶將M設(shè)置為奇數(shù)時(shí)，fir1會(huì)自動(dòng)對(duì)M加1。

·hn=fir1(M,wc,window)，可以指定窗函數(shù)向量window。如果缺省window參數(shù)，則fir1默認(rèn)為哈明窗。例如:hn=fir1(M,wc,bartlett(M+1))，使用Bartlett窗設(shè)計(jì)；

hn=fir1(M,wc,blackman(M+1))，使用blackman窗設(shè)計(jì)；

hn=fir1(M,wc,'ftype',window)，通過選擇wc、ftype和window參數(shù)（含義同上），可以設(shè)計(jì)各種加窗濾波器。第94頁/共261頁hn=fir1(M,wc,′ftype′)，可設(shè)計(jì)高94(2)fir2為任意形狀幅度特性的窗函數(shù)法設(shè)計(jì)函數(shù)，用fir2設(shè)計(jì)時(shí)，可以指定任意形狀的Hd(ejω)，它實(shí)質(zhì)是一種頻率采樣法與窗函數(shù)法的綜合設(shè)計(jì)函數(shù)。主要用于設(shè)計(jì)幅度特性形狀特殊的濾波器（如數(shù)字微分器和多帶濾波器等）。用help命令查閱其調(diào)用格式及調(diào)用參數(shù)的含義。第95頁/共261頁(2)fir2為任意形狀幅度特性的窗函數(shù)法設(shè)計(jì)函數(shù)，用fi95

例7.2.1

的設(shè)計(jì)程序ep721.m如下:％ep721.m:例7.2.1用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)線性相位高通FIR數(shù)字濾波器

wp=pi/2;ws=pi/4;

Bt=wp-ws; ％計(jì)算過渡帶寬度

N0=ceil(6.2*pi/Bt);％根據(jù)表7.2.2漢寧窗計(jì)算所需h(n)長(zhǎng)度N0，ceil(x)取大于等于x的最小整數(shù)

N=N0+mod(N0+1,2);％確保h(n)長(zhǎng)度N是奇數(shù)

wc=(wp+ws)/2/pi;％計(jì)算理想高通濾波器通帶截止頻率(關(guān)于π歸一化)

hn=fir1(N-1,wc,'high',hanning(N)); ％調(diào)用fir1計(jì)算高通FIR數(shù)字濾波器的h(n)

第96頁/共261頁例7.2.1的設(shè)計(jì)程序ep721.m如下:第96頁96

％繪圖部分M=1024;hk=fft(hn,M);n=0:N;subplot(2,2,1);stem(n,hn,'.');line([0,30],[0,0])xlabel('n');ylabel('h(n)');k=1:M/2;w=2*(0:M/2-1)/M;subplot(2,2,2);plot(w,20*log10(abs(hk(k))));axis([0,1,-80,5]);xlabel('w/pi');ylabel('20lg|Hg(w)|');gridon第97頁/共261頁％繪圖部分M=1024;第97頁/共261頁97運(yùn)行程序得到h(n)的25個(gè)值:

h(n)=［－0.0004 －0.00060.0028

0.0071

－0.0000 －0.0185－0.0210

0.0165

0.06240.0355

0.1061

－0.2898 0.6249－0.2898

－0.1061 0.03550.0624

0.0165

－0.0210

0.0185－0.0000

0.0071 0.0028－0.0006－0.0004］圖7.2.9高通FIR數(shù)字濾波器的h(n)波形及損耗函數(shù)曲線第98頁/共261頁運(yùn)行程序得到h(n)的25個(gè)值:圖7.2.9高通FIR98

【例7.2.2】對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行低通濾波處理，要求通帶0≤f≤1.5kHz內(nèi)衰減小于1dB，阻帶2.5kHz≤f≤∞上衰減大于40dB。希望對(duì)模擬信號(hào)采樣后用線性相位FIR數(shù)字濾波器實(shí)現(xiàn)上述濾波，采樣頻率Fs=10kHz。用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)滿足要求的FIR數(shù)字低通濾波器，求出h(n)，并畫出損耗函數(shù)曲線。為了降低運(yùn)算量，希望濾波器階數(shù)盡量低。第99頁/共261頁【例7.2.2】對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行低通濾波處理，要求通帶99

阻帶截止頻率為阻帶最小衰減為

s=40dB（2）用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字低通濾波器，為了降低階數(shù)選擇凱塞窗。根據(jù)式（7.2.16）計(jì)算凱塞窗的控制參數(shù)為解

（1）確定相應(yīng)的數(shù)字濾波器指標(biāo):通帶截止頻率為第100頁/共261頁阻帶截止頻率為解第100頁/共261頁100指標(biāo)要求過渡帶寬度Bt=ωs－ωp=0.2π，根據(jù)式（7.2.17）計(jì)算濾波器階數(shù)為取滿足要求的最小整數(shù)M=23。所以h(n)長(zhǎng)度為N=M+1=24。但是，如果用漢寧窗，h(n)長(zhǎng)度為N=40。理想低通濾波器的通帶截止頻率ωc=(ωs+ωp)/2=0.4π，所以由式（7.2.2）和式（7.2.3）,得到:式中，w(n)是長(zhǎng)度為24（

=3.395）的凱塞窗函數(shù)。第101頁/共261頁指標(biāo)要求過渡帶寬度Bt=ωs－ωp=0.2π，根據(jù)式（7.2101實(shí)現(xiàn)本例設(shè)計(jì)的MATLAB程序?yàn)閑p722.m。％例7.2.2用凱塞窗函數(shù)設(shè)計(jì)線性相位低通FIR數(shù)字濾波器

fp=1500;fs=2500;rs=40;

wp=2*pi*fp/Fs;ws=2*pi*fs/Fs;

Bt=ws-wp;%計(jì)算過渡帶寬度

alph=0.5842*(rs-21)^0.4+0.07886*(rs-21);%根據(jù)(7.2.16)式計(jì)算kaiser窗的控制參數(shù)α

N=ceil((rs-8)/2.285/Bt);%根據(jù)(7.2.17)式計(jì)算kaiser窗所需階數(shù)Nwc=(wp+ws)/2/pi;%計(jì)算理想高通濾波器通帶截止頻率(關(guān)于π歸一化）

hn=fir1(N,wc,kaiser(N+1,alph));%調(diào)用kaiser計(jì)算低通FIRDF的h(n)

第102頁/共261頁實(shí)現(xiàn)本例設(shè)計(jì)的MATLAB程序?yàn)閑p722.m。第102頁102％以下繪圖部分M=1024;hk=fft(hn,M);n=0:N;subplot(2,2,1);stem(n,hn,'.');line([0,30],[0,0])xlabel('n');ylabel('h(n)');k=1:M/2;w=2*(0:M/2-1)/M;subplot(2,2,2);plot(w,20*log10(abs(hk(k))));axis([0,1,-80,5]);xlabel('w/pi');ylabel('20lg|Hg(w)|');gridon第103頁/共261頁％以下繪圖部分第103頁/共261頁103運(yùn)行程序得到h(n)的24個(gè)值:h(n)=［0.0039

0.0041－0.0062－0.01470.0000

0.0286

0.0242－0.0332－0.0755

0.0000

0.19660.3724

0.3724

0.1966－0.0000－0.0755－0.0332

0.02420.0286

0.0000－0.0147－0.0062

0.0041

0.0039］圖7.2.10低通FIR數(shù)字濾波器的h(n)波形及損耗函數(shù)曲線第104頁/共261頁運(yùn)行程序得到h(n)的24個(gè)值:圖7.2.10低通FI104

【例7.2.3】窗函數(shù)法設(shè)計(jì)一個(gè)線性相位FIR帶阻濾波器。要求通帶下截止頻率ωlp=0.2π，阻帶下截止頻率ωls=0.35π，阻通帶上截止頻率ωus=0.65π，通帶上截止頻率ωup=0.8π，通帶最大衰減

p=1dB，阻帶最小衰減

s=60dB。

第105頁/共261頁【例7.2.3】窗函數(shù)法設(shè)計(jì)一個(gè)線性相位FIR帶阻濾105解之得N=80。調(diào)用參數(shù)解

本例直接調(diào)用fir1函數(shù)設(shè)計(jì)。因?yàn)樽鑾ё钚∷p

s=60dB，所以選擇布萊克曼窗，再根據(jù)過渡帶寬度選擇濾波器長(zhǎng)度N，布萊克曼窗的過渡帶寬度Bt=12π/N，所以第106頁/共261頁解之得N=80。調(diào)用參數(shù)解第106頁/共261頁106設(shè)計(jì)程序?yàn)閑p723.m，參數(shù)計(jì)算也由程序完成。％ep723.m:例7.2.3用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)線性相位帶阻FIR數(shù)字濾波器

wlp=0.2*pi;wls=0.35*pi;wus=0.65*pi;wup=0.8*pi;%設(shè)計(jì)指標(biāo)參數(shù)賦值

B=wls-wlp;%過渡帶寬度

N=ceil(12*pi/B);%計(jì)算階數(shù)N,ceil(x)為大于等于x的最小整數(shù)wp=［(wls+wlp)/2/pi,(wus+wup)/2/pi］;%設(shè)置理想帶通截止頻率

hn=fir1(N,wp,‘stop’,blackman(N+1));%帶阻濾波器要求h(n)長(zhǎng)度為奇數(shù)，所以取N+1％繪圖部分第107頁/共261頁設(shè)計(jì)程序?yàn)閑p723.m，參數(shù)計(jì)算也由程序完成。第10107％繪圖部分M=1024;hk=fft(hn,M);n=0:N;subplot(2,2,1);stem(n,hn,'.');xlabel('n');ylabel('h(n)');gridonk=1:M/2+1;w=2*(0:M/2)/M;subplot(2,2,2);plot(w,20*log10(abs(hk(k))));axis([0,1,-90,5]);xlabel('w/pi');ylabel('20lg|Hg(w)|');gridon第108頁/共261頁％繪圖部分M=1024;第108頁/共261頁108圖7.2.11帶阻FIR數(shù)字濾波器的h(n)波形及損耗函數(shù)曲線程序運(yùn)行結(jié)果:

N=81由于h(n)數(shù)據(jù)量太大，因而僅給出h(n)的波形及損耗函數(shù)曲線，如圖7.2.11所示。第109頁/共261頁圖7.2.11帶阻FIR數(shù)字濾波器的h(n)波形及損耗函109

例用矩形窗、漢寧窗和布萊克曼窗設(shè)計(jì)FIR低通濾波器，設(shè)N=11,ωc=0.2πrad。N=11解：用理想低通作為逼近濾波器：用矩形窗設(shè)計(jì)：第110頁/共261頁例用矩形窗、漢寧窗和布萊克曼窗設(shè)計(jì)FIR低通濾波器，設(shè)N110用漢寧窗設(shè)計(jì)：用布萊克曼窗設(shè)計(jì)：

低通幅度特性第111頁/共261頁用漢寧窗設(shè)計(jì)：用布萊克曼窗設(shè)計(jì)：低通幅度特性第111頁/共111優(yōu)點(diǎn)窗口法設(shè)計(jì)的主要優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單，使用方便。窗口函數(shù)大多有封閉的公式可循，性能、參數(shù)都已有表格、資料可供參考，計(jì)算程序簡(jiǎn)便，所以很實(shí)用。缺點(diǎn)是通帶和阻帶的截止頻率不易控制。

窗口法設(shè)計(jì)的優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)第112頁/共261頁優(yōu)點(diǎn)窗口法設(shè)計(jì)的優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)第112頁/共261頁112常用的理想濾波器1.理想低通濾波器頻率響應(yīng)：?jiǎn)挝幻}沖響應(yīng)：第113頁/共261頁常用的理想濾波器1.理想低通濾波器頻率響應(yīng)：?jiǎn)挝幻}沖響應(yīng)：1132.理想高通濾波器頻率響應(yīng)：?jiǎn)挝幻}沖響應(yīng)：高通濾波器相當(dāng)于一個(gè)全通濾波器減去一個(gè)低通濾波器第114頁/共261頁2.理想高通濾波器頻率響應(yīng)：?jiǎn)挝幻}沖響應(yīng)：高通濾波器相當(dāng)于114頻率響應(yīng)：?jiǎn)挝幻}沖響應(yīng)：3.理想帶通濾波器帶通濾波器相當(dāng)于兩個(gè)低通濾波器相減，其中一個(gè)低通濾波器截止頻率為c2，另一個(gè)截止頻率為c1第115頁/共261頁頻率響應(yīng)：?jiǎn)挝幻}沖響應(yīng)：3.理想帶通濾波器帶通濾波器相當(dāng)于115頻率響應(yīng)：?jiǎn)挝幻}沖響應(yīng)：4.理想帶阻濾波器帶阻濾波器相當(dāng)于一個(gè)低通濾波器（截止頻率為c1）加一個(gè)高通濾波器（截止頻率為c2）第116頁/共261頁頻率響應(yīng)：?jiǎn)挝幻}沖響應(yīng)：4.理想帶阻濾波器帶阻濾波器相當(dāng)于116解

AFDF技術(shù)指標(biāo)ωp=0.3πrad，ωs=0.46πrad，

as=45dB查表可知,海明窗和布萊克曼窗均可提供大于45dB的阻帶衰減，但海明窗具有較小的過渡帶從而具有較小的長(zhǎng)度N。根據(jù)題意，所要設(shè)計(jì)的濾波器的過渡帶為

由表可知，利用海明窗設(shè)計(jì)的濾波器的過渡帶寬

Δω=8π/N例

根據(jù)下列技術(shù)指標(biāo)，設(shè)計(jì)一個(gè)FIR低通濾波器。

通帶截止頻率p=30πrad/s，

阻帶截止頻率

s=46πrad/s，阻帶衰減as=45dB。Ts=0.01s第117頁/共261頁解AFDF技術(shù)指標(biāo)ωp=0.3πrad，ωs=01173dB通帶截止頻率ωc理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)為海明窗為

低通濾波器單位