高一上冊數(shù)學(xué)期末模擬卷（四）含答案解析

高一上冊數(shù)學(xué)期末模擬卷(4)本試卷共4頁，22小題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘。選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】利用并集定義直接求解.【詳解】集合，.故選：A.2．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由正弦的二倍角公式得，再將代入化簡即可【詳解】因?yàn)?，所以，故選：D3．下列函數(shù)既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性性質(zhì)逐項(xiàng)分析，即可選出答案.【詳解】解：由題意得：對于選項(xiàng)A：函數(shù)是偶函數(shù)，故不符合題意；對于選項(xiàng)B：函數(shù)是奇函數(shù)，且是單調(diào)遞增函數(shù)，故符合題意；對于選項(xiàng)C：函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，故不符合題意；對于選項(xiàng)D：根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)是奇函數(shù)，但不是單調(diào)遞增函數(shù)，故不符合題意；故選：B4．已知的解集為（），則的值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【解析】【分析】依題意可得為方程的根，代入計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)榈慕饧癁椋ǎ詾榈母?，所?故選：B5．我國古代數(shù)學(xué)家僧一行應(yīng)用“九服晷影算法”在《大衍歷》中建立了晷影長l與太陽天頂距（）的對應(yīng)數(shù)表，這是世界數(shù)學(xué)史上較早的一張正切函數(shù)表.根據(jù)三角學(xué)知識可知，晷影長l等于表高h(yuǎn)與太陽天頂距正切值的乘積，即.對同一“表高”兩次測量，第一次和第二次的天頂距分別為和，若第一次“晷影長”是“表高”的3倍，且，則第二次“晷影長”是“表高”的（

）倍A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由題意可得，，再根據(jù)結(jié)合兩角差的正切公式即可得解.【詳解】由題意可得，，所以，即第二次的“晷影長”是“表高”的倍.故選：B6．命題“，”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)不等式恒成立求出命題為真命題時(shí)的范圍，再選擇其真子集即可求解.【詳解】若“為真命題，得對于恒成立，只需，所以是命題“為真命題的一個(gè)充分不必要條件，故選：A.7．已知函數(shù)，若對任意的，且恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】不妨設(shè)，令，由題分析可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，討論和時(shí)，要使在上單調(diào)遞減時(shí)需要滿足的條件，即可求出答案.【詳解】不妨設(shè)，則，根據(jù)題意，可得恒成立，即恒成立.令，則恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，符合題意；當(dāng)時(shí)，要使在上單調(diào)遞減，則解得.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：D.8．已知函數(shù)，若方程的所有實(shí)根之和為4，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．m≥1 C． D．m≤1【答案】C【解析】【分析】由題對取特殊值，利用數(shù)形結(jié)合，排除不合題意的選項(xiàng)即得.【詳解】令，當(dāng)時(shí)，方程為，即，作出函數(shù)及的圖象，由圖象可知方程的根為或，即或，作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象可得所有根的和為5，不合題意，故BD錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，方程為，即，由圖象可知方程的根，即，結(jié)合函數(shù)的圖象，可得方程有四個(gè)根，所有根的和為4，滿足題意，故A錯(cuò)誤.故選：C.選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是(

)A．， B．，C．， D．，【答案】AC【解析】【分析】兩函數(shù)定義域相同，對應(yīng)關(guān)系相同，則它們是同一函數(shù)，據(jù)此逐項(xiàng)分析即可.【詳解】A：，，兩函數(shù)定義域均為R，對應(yīng)關(guān)系相同，故兩個(gè)函數(shù)為同一函數(shù)；B：定義域?yàn)镽，的定義域?yàn)?，故兩函?shù)不為同一函數(shù)；C：，，兩函數(shù)定義域均為R，對應(yīng)關(guān)系相同，故兩個(gè)函數(shù)為同一函數(shù)；D：定義域滿足，即[1，＋∞)；定義域滿足，即(－∞，－1]∪[1，＋∞)，故兩函數(shù)不為同一函數(shù).故選：AC.10．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．為奇函數(shù) B．為減函數(shù)C．有且只有一個(gè)零點(diǎn) D．的值域?yàn)椤敬鸢浮緼C【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義判斷A，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷B、D，令，解方程，即可判斷C.【詳解】解：函數(shù)，，，為奇函數(shù)．故A正確．．在上單調(diào)遞增，所以在上為增函數(shù)．故B錯(cuò)誤．令，則，得到，所以有且只有一個(gè)零點(diǎn)．故C正確．在上為增函數(shù)，令，則，所以，所以，即，解得，．故D錯(cuò)誤．故選：AC．11．已知，（m是常數(shù)），則下列結(jié)論正確的是（

）A．若的最小值為，則B．若的最大值為4，則C．若的最大值為m，則D．若，則的最小值為2【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)已知等式，利用基本不等式逐一判斷即可.【詳解】由已知得，，解得，當(dāng)時(shí)取等號，故A錯(cuò)誤；，，當(dāng)時(shí)取等號，故B正確；，，當(dāng)時(shí)取等號，故C正確；對于D，，當(dāng)時(shí)取等號，又，且，所以等號取不到，故D錯(cuò)誤，故選：BC.12．已知函數(shù)，下列說法中正確的有（

）A．若，則在上是單調(diào)增函數(shù)B．若，則正整數(shù)的最小值為2C．若，把函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長度得到的圖像.則為奇函數(shù)D．若在上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則【答案】ABD【解析】【分析】化簡函數(shù)f(x)的表達(dá)式，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)與圖像再逐一分析各個(gè)選項(xiàng)中的條件，計(jì)算判斷作答.【詳解】依題意，，對于A，，，當(dāng)時(shí)，有，則在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故A正確；對于B，因，則是函數(shù)圖像的一條對稱軸，，整理得，而，即有，，故B正確；對于C，，，依題意，函數(shù)，這個(gè)函數(shù)不是奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點(diǎn)不對稱，故C不正確；對于D，當(dāng)時(shí)，，依題意，，解得，故D正確.故選：ABD三．填空題本題共4小題，每小題5分，共20分13．已知為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，___________【答案】【解析】【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，，所以.故答案為：14．已知角的終邊上的一點(diǎn)，則的值為___________.【答案】【解析】【分析】由三角函數(shù)的定義可得，原式可化簡為可求解.【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊上的一點(diǎn)，所以，所以.故答案為：.15．函數(shù)，，對，都成立，則的取值范圍（用區(qū)間表示）是_______【答案】【解析】【分析】分析可得在上遞增，再將原問題轉(zhuǎn)換為分析即可【詳解】二次函數(shù)在區(qū)間上遞增，反比例函數(shù)在上增函數(shù)，指數(shù)函數(shù)在上遞增，綜上函數(shù)在上遞增，又原問題等價(jià)于：，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在上遞增，所以，故，所以．所以，的取值范圍是．故答案為：16．已知函數(shù)，定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，若函數(shù)與圖象的交點(diǎn)為，則___________．【答案】【解析】【分析】先判斷出的奇偶性，再根據(jù)其對稱性計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：因?yàn)槎x域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，因?yàn)槎x域?yàn)?，且，所以為奇函?shù)，即函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱，則函數(shù)與圖象的交點(diǎn)關(guān)于對稱，不妨設(shè)關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，則，，則，，同理可得，，，，，所以．故答案為：．四．解答題：本題共6小題，17題10分，剩下每題12分。共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17．已知，且在第三象限，(1)和(2).【答案】(1)，(2)【解析】【分析】（1）利用同角三角函數(shù)關(guān)系求解即可.（2）利用同角三角函數(shù)關(guān)系和誘導(dǎo)公式求解即可.(1)已知，且在第三象限，所以，(2)原式18．為宣傳2022年北京冬奧會，某公益廣告公司擬在一張矩形海報(bào)紙（記為矩形，如圖）上設(shè)計(jì)三個(gè)等高的宣傳欄（欄面分別為一個(gè)等腰三角形和兩個(gè)全等的直角梯形），宣傳欄（圖中陰影部分）的面積之和為.為了美觀，要求海報(bào)上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為.設(shè)直角梯形的高為.(1)當(dāng)時(shí)，求海報(bào)紙的面積；(2)為節(jié)約成本，應(yīng)如何選擇海報(bào)紙的尺寸，可使用紙量最少（即矩形的面積最?。?？【答案】(1)(2)當(dāng)海報(bào)紙寬為，長為，可使用紙量最少．【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件，先求出梯形長的底邊，再分別求出，，即可求解；（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合基本不等式的公式，即可求解．(1)宣傳欄（圖中陰影部分）的面積之和為，直角梯形的高為，則梯形長的底邊，海報(bào)上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為，，，故海報(bào)面積為．(2)直角梯形的高為，宣傳欄（圖中陰影部分）的面積之和為，，海報(bào)上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為，海報(bào)寬，海報(bào)長，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即，故當(dāng)海報(bào)紙寬為，長為，可使用紙量最少．19．已知函數(shù)，(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在的值域(2)若關(guān)于x的方程有解，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）依題意可得，令，則，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；（2）依題意可得有解，參變分離可得有解，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；(1)解：∵，，令，∵，∴，∴，，而對稱軸，開口向上，∴當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，∴的值域是.(2)解：方程有解，即有解，即有解，∴有解，令，則，∴.20．設(shè)命題p：實(shí)數(shù)x滿足，命題q：實(shí)數(shù)x滿足.(1)若，且p與q均是真命題，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；(2)若p是q成立的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由，化簡命題p，命題q，再根據(jù)為真命題，則p真且q真求解；（2）化簡兩個(gè)命題，，根據(jù)p是q的必要不充分條件，由求解.(1)解：當(dāng)時(shí)，若命題p為真命題，則不等式為，解得；若命題q為真命題，則由，解得.∵為真命題，則p真且q真，∴實(shí)數(shù)x的取值范圍是.(2)由，解得，又，∴.設(shè)，，∵p是q的必要不充分條件，∴，∴，解得.∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是.21．已知函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，成立，且．(1)求，并證明函數(shù)的奇偶性；(2)當(dāng)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，證明見解析；(2).【解析】【分析】（1）令，可得，令，，從而即可證明；（2）由已知條件，可得為增函數(shù)，又原不等式等價(jià)于恒成立，則在上恒成立，令，分離參數(shù)即可求解.(1)解：令，可得，令，則，所以，所以，所以為奇函數(shù)；(2)解：，即，所以，又當(dāng)時(shí)，成立，所以為增函數(shù)，所以在上恒成立，令，可得在上恒成立，又，，所以當(dāng)時(shí)，，所以，即.22．已知函數(shù)，，．(1)當(dāng)，時(shí)，①求的單調(diào)遞增區(qū)間②當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程恰有個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍．(2)函數(shù)，是的零點(diǎn)，直線是圖象的對稱軸，且在上單調(diào)，求的最大值.【答案】(1)①；②(2)【解析】【分析】（1）①利用三角恒等變換化簡，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合整體思想即可得解；②由①求出函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間，解方程可得或，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案；（2）根據(jù)正弦函數(shù)的對稱性與正弦函數(shù)的零點(diǎn)，列出方程組，再結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性及周期性求得的范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性檢驗(yàn)即可得出答案.(1)解：①，令，，解得，，故的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，，令，故當(dāng)時(shí)，有個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，由，可得或，因?yàn)橛袀€(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所