高一上冊數學期末模擬卷（四）含答案解析

高一上冊數學期末模擬卷(4)本試卷共4頁，22小題，滿分150分，考試用時120分鐘。選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】利用并集定義直接求解.【詳解】集合，.故選：A.2．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由正弦的二倍角公式得，再將代入化簡即可【詳解】因為，所以，故選：D3．下列函數既是奇函數，又是增函數的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據函數的單調性和奇偶性性質逐項分析，即可選出答案.【詳解】解：由題意得：對于選項A：函數是偶函數，故不符合題意；對于選項B：函數是奇函數，且是單調遞增函數，故符合題意；對于選項C：函數是非奇非偶函數，故不符合題意；對于選項D：根據冪函數的性質可知函數是奇函數，但不是單調遞增函數，故不符合題意；故選：B4．已知的解集為（），則的值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【解析】【分析】依題意可得為方程的根，代入計算可得；【詳解】解：因為的解集為（），所以為的根，所以.故選：B5．我國古代數學家僧一行應用“九服晷影算法”在《大衍歷》中建立了晷影長l與太陽天頂距（）的對應數表，這是世界數學史上較早的一張正切函數表.根據三角學知識可知，晷影長l等于表高h與太陽天頂距正切值的乘積，即.對同一“表高”兩次測量，第一次和第二次的天頂距分別為和，若第一次“晷影長”是“表高”的3倍，且，則第二次“晷影長”是“表高”的（

）倍A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由題意可得，，再根據結合兩角差的正切公式即可得解.【詳解】由題意可得，，所以，即第二次的“晷影長”是“表高”的倍.故選：B6．命題“，”為真命題的一個充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據不等式恒成立求出命題為真命題時的范圍，再選擇其真子集即可求解.【詳解】若“為真命題，得對于恒成立，只需，所以是命題“為真命題的一個充分不必要條件，故選：A.7．已知函數，若對任意的，且恒成立，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】不妨設，令，由題分析可得函數在上單調遞減，討論和時，要使在上單調遞減時需要滿足的條件，即可求出答案.【詳解】不妨設，則，根據題意，可得恒成立，即恒成立.令，則恒成立，所以函數在上單調遞減.當時，在上單調遞減，符合題意；當時，要使在上單調遞減，則解得.綜上所述，實數a的取值范圍是.故選：D.8．已知函數，若方程的所有實根之和為4，則實數的取值范圍是（

）A． B．m≥1 C． D．m≤1【答案】C【解析】【分析】由題對取特殊值，利用數形結合，排除不合題意的選項即得.【詳解】令，當時，方程為，即，作出函數及的圖象，由圖象可知方程的根為或，即或，作出函數的圖象，結合圖象可得所有根的和為5，不合題意，故BD錯誤；當時，方程為，即，由圖象可知方程的根，即，結合函數的圖象，可得方程有四個根，所有根的和為4，滿足題意，故A錯誤.故選：C.選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．下列四組函數中，表示同一函數的是(

)A．， B．，C．， D．，【答案】AC【解析】【分析】兩函數定義域相同，對應關系相同，則它們是同一函數，據此逐項分析即可.【詳解】A：，，兩函數定義域均為R，對應關系相同，故兩個函數為同一函數；B：定義域為R，的定義域為，故兩函數不為同一函數；C：，，兩函數定義域均為R，對應關系相同，故兩個函數為同一函數；D：定義域滿足，即[1，＋∞)；定義域滿足，即(－∞，－1]∪[1，＋∞)，故兩函數不為同一函數.故選：AC.10．已知函數，則下列說法正確的是（

）A．為奇函數 B．為減函數C．有且只有一個零點 D．的值域為【答案】AC【解析】【分析】根據奇函數的定義判斷A，根據指數函數的性質判斷B、D，令，解方程，即可判斷C.【詳解】解：函數，，，為奇函數．故A正確．．在上單調遞增，所以在上為增函數．故B錯誤．令，則，得到，所以有且只有一個零點．故C正確．在上為增函數，令，則，所以，所以，即，解得，．故D錯誤．故選：AC．11．已知，（m是常數），則下列結論正確的是（

）A．若的最小值為，則B．若的最大值為4，則C．若的最大值為m，則D．若，則的最小值為2【答案】BC【解析】【分析】根據已知等式，利用基本不等式逐一判斷即可.【詳解】由已知得，，解得，當時取等號，故A錯誤；，，當時取等號，故B正確；，，當時取等號，故C正確；對于D，，當時取等號，又，且，所以等號取不到，故D錯誤，故選：BC.12．已知函數，下列說法中正確的有（

）A．若，則在上是單調增函數B．若，則正整數的最小值為2C．若，把函數的圖像向右平移個單位長度得到的圖像.則為奇函數D．若在上有且僅有3個零點，則【答案】ABD【解析】【分析】化簡函數f(x)的表達式，根據正弦函數的性質與圖像再逐一分析各個選項中的條件，計算判斷作答.【詳解】依題意，，對于A，，，當時，有，則在上單調遞增，所以在上單調遞增，故A正確；對于B，因，則是函數圖像的一條對稱軸，，整理得，而，即有，，故B正確；對于C，，，依題意，函數，這個函數不是奇函數，其圖像關于原點不對稱，故C不正確；對于D，當時，，依題意，，解得，故D正確.故選：ABD三．填空題本題共4小題，每小題5分，共20分13．已知為奇函數，當時，，則當時，___________【答案】【解析】【分析】利用奇函數的性質即可求解.【詳解】解：因為函數為奇函數，所以當時，，，所以.故答案為：14．已知角的終邊上的一點，則的值為___________.【答案】【解析】【分析】由三角函數的定義可得，原式可化簡為可求解.【詳解】因為角的終邊上的一點，所以，所以.故答案為：.15．函數，，對，都成立，則的取值范圍（用區(qū)間表示）是_______【答案】【解析】【分析】分析可得在上遞增，再將原問題轉換為分析即可【詳解】二次函數在區(qū)間上遞增，反比例函數在上增函數，指數函數在上遞增，綜上函數在上遞增，又原問題等價于：，所以，因為函數在上遞增，所以，故，所以．所以，的取值范圍是．故答案為：16．已知函數，定義域為的函數滿足，若函數與圖象的交點為，則___________．【答案】【解析】【分析】先判斷出的奇偶性，再根據其對稱性計算即可得到答案．【詳解】解：因為定義域為的函數滿足，所以函數的圖象關于點對稱，因為定義域為，且，所以為奇函數，即函數關于點對稱，則函數與圖象的交點關于對稱，不妨設關于點對稱的點的坐標為，，，，則，，則，，同理可得，，，，，所以．故答案為：．四．解答題：本題共6小題，17題10分，剩下每題12分。共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟17．已知，且在第三象限，(1)和(2).【答案】(1)，(2)【解析】【分析】（1）利用同角三角函數關系求解即可.（2）利用同角三角函數關系和誘導公式求解即可.(1)已知，且在第三象限，所以，(2)原式18．為宣傳2022年北京冬奧會，某公益廣告公司擬在一張矩形海報紙（記為矩形，如圖）上設計三個等高的宣傳欄（欄面分別為一個等腰三角形和兩個全等的直角梯形），宣傳欄（圖中陰影部分）的面積之和為.為了美觀，要求海報上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為.設直角梯形的高為.(1)當時，求海報紙的面積；(2)為節(jié)約成本，應如何選擇海報紙的尺寸，可使用紙量最少（即矩形的面積最?。?？【答案】(1)(2)當海報紙寬為，長為，可使用紙量最少．【解析】【分析】（1）根據已知條件，先求出梯形長的底邊，再分別求出，，即可求解；（2）根據已知條件，結合基本不等式的公式，即可求解．(1)宣傳欄（圖中陰影部分）的面積之和為，直角梯形的高為，則梯形長的底邊，海報上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為，，，故海報面積為．(2)直角梯形的高為，宣傳欄（圖中陰影部分）的面積之和為，，海報上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為，海報寬，海報長，故，當且僅當，即，故當海報紙寬為，長為，可使用紙量最少．19．已知函數，(1)當時，求函數在的值域(2)若關于x的方程有解，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）依題意可得，令，則，最后根據二次函數的性質計算可得；（2）依題意可得有解，參變分離可得有解，再根據指數函數的性質計算可得；(1)解：∵，，令，∵，∴，∴，，而對稱軸，開口向上，∴當時，當時，∴的值域是.(2)解：方程有解，即有解，即有解，∴有解，令，則，∴.20．設命題p：實數x滿足，命題q：實數x滿足.(1)若，且p與q均是真命題，求實數x的取值范圍；(2)若p是q成立的必要不充分條件，求實數a的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由，化簡命題p，命題q，再根據為真命題，則p真且q真求解；（2）化簡兩個命題，，根據p是q的必要不充分條件，由求解.(1)解：當時，若命題p為真命題，則不等式為，解得；若命題q為真命題，則由，解得.∵為真命題，則p真且q真，∴實數x的取值范圍是.(2)由，解得，又，∴.設，，∵p是q的必要不充分條件，∴，∴，解得.∴實數a的取值范圍是.21．已知函數滿足，當時，成立，且．(1)求，并證明函數的奇偶性；(2)當，不等式恒成立，求實數的取值范圍．【答案】(1)，證明見解析；(2).【解析】【分析】（1）令，可得，令，，從而即可證明；（2）由已知條件，可得為增函數，又原不等式等價于恒成立，則在上恒成立，令，分離參數即可求解.(1)解：令，可得，令，則，所以，所以，所以為奇函數；(2)解：，即，所以，又當時，成立，所以為增函數，所以在上恒成立，令，可得在上恒成立，又，，所以當時，，所以，即.22．已知函數，，．(1)當，時，①求的單調遞增區(qū)間②當時，關于的方程恰有個不同的實數根，求的取值范圍．(2)函數，是的零點，直線是圖象的對稱軸，且在上單調，求的最大值.【答案】(1)①；②(2)【解析】【分析】（1）①利用三角恒等變換化簡，再根據正弦函數的單調性結合整體思想即可得解；②由①求出函數在上的單調區(qū)間，解方程可得或，再根據正弦函數的性質即可得出答案；（2）根據正弦函數的對稱性與正弦函數的零點，列出方程組，再結合正弦函數的單調性及周期性求得的范圍，再根據正弦函數的單調性檢驗即可得出答案.(1)解：①，令，，解得，，故的單調遞增區(qū)間為；當時，在上單調遞增，在上單調遞減，，，，令，故當時，有個不同的實數根，由，可得或，因為有個不同的實數根，所