2018-2019數(shù)學(xué)新學(xué)案同步必修二人教A版全國通用版講義：第二章 點、直線、平面之間的位置關(guān)系疑難規(guī)律方法

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1破解立體幾何中的三共問題平面的基本性質(zhì)是研究立體幾何的基礎(chǔ)，應(yīng)用基本性質(zhì)研究空間中的共點、共線、共面是立體幾何中不容忽視的問題，下面就這類問題進行例析．1．點共線問題例1如圖所示，已知正方體ABCD－A1B1C1D1,A1C與截面DBC1交于點O，AC與BD交于點M，求證:C1,O，M三點共線．證明因為C1∈平面DBC1,且C1∈平面A1ACC1，所以C1是平面A1ACC1與平面DBC1的公共點．又因為M∈AC，所以M∈平面A1ACC1，因為M∈BD,所以M∈平面DBC1，所以M也是平面A1ACC1與平面DBC1的公共點，所以C1M是平面A1ACC1與平面DBC1的交線．因為O為平面A1ACC1與平面DBC1的交點,所以O(shè)∈平面A1ACC1，O∈平面DBC1，即O也是兩個平面的公共點，所以O(shè)∈C1M，即C1，M，O三點共線．說明證明點共線，常常采用以下兩種方法：①轉(zhuǎn)化為證明這些點是某兩個平面的公共點,然后根據(jù)公理3證得這些點都在這兩個平面的交線上；②證明多點共線問題時，通常是過其中兩點作一直線，然后證明其他的點都在這條直線上．2．線共點問題例2如圖，已知空間四邊形ABCD，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點,G,H分別是BC，CD上的點，且eq\f(BG,GC）＝eq\f(DH，HC)＝2,求證：EG，F(xiàn)H，AC相交于同一點P.證明因為E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，所以EF∥BD，且EF＝eq\f(1,2)BD。又因為eq\f(BG，GC)＝eq\f（DH，HC)＝2，所以GH∥BD，且GH＝eq\f(1,3）BD,所以EF∥GH，且EF>GH.所以四邊形EFHG是梯形,其兩腰必相交，設(shè)兩腰EG、FH相交于一點P，因為EG?平面ABC，F(xiàn)H?平面ACD，所以P∈平面ABC，且P∈平面ACD,又平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC。故EG，F(xiàn)H,AC相交于同一點P.說明證明線共點的主要理論依據(jù)是公理3，解答思路是首先確定一平面上的兩條相交直線及交點位置；其次判斷交點在另一條直線上，此種方法可以推廣到多種直線共點問題．3．點共面問題例3正方體ABCD－A1B1C1D1中，E,F,G，H，K，L分別是CD，DD1，A1D1，A1B1，BB1，BC的中點．求證：這六點共面．證明連接BD，B1D1和KF，因為E，L是CD,BC的中點，所以EL∥BD。又矩形BDD1B1中KF∥BD，所以KF∥EL，所以KF，EL可確定平面α，所以E,F，K，L在平面α內(nèi)，同理EH∥KL，故E,H，K，L都在平面β內(nèi)．又平面α與平面β都經(jīng)過不共線的三點E，K，L，故平面α與平面β重合，所以E,F,H，K,L都在平面α內(nèi)．同理可證G∈α，所以E，F(xiàn)，G，H，K，L六點共面．說明證明共面問題常有如下兩個方法：①直接法：先確定一個平面，再證明其余元素均在這個平面上；②間接法：先證明這些元素分別在幾個平面上,再證明這些平面重合．通過上面的三例，同學(xué)們對這三類問題有所了解．在今后解決同類問題時，需要根據(jù)問題的具體情況，進行邏輯劃分,即分類討論，運用平面的基本性質(zhì)來求證。2異面直線解題攻略異面直線是空間中直線與直線之間的位置關(guān)系中一類最重要的問題，它在立體幾何中占有重要的地位，是歷年考查的重點和熱點,現(xiàn)介紹有關(guān)異面直線問題的常見題型及解法，供同學(xué)們參考．1．概念辨析異面直線是指不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線．兩條直線是異面直線等價于這兩條直線既不相交，也不平行．要注意把握異面直線的這種不共面特性．應(yīng)該明確分別在不同平面內(nèi)的兩條直線不一定是異面直線，在某一平面內(nèi)的一條直線與這個平面外的一條直線也不一定是異面直線．例1下列命題中，正確的是（)A．a(chǎn)?α，b?β,則a與b是異面直線B．過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線，與平面內(nèi)任一直線均構(gòu)成異面直線C．不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線是異面直線D．異面直線所成的角的范圍是[0°，90°]分析根據(jù)異面直線有關(guān)概念進行判斷,將錯誤的選項逐一排除．解析選項A中,a，b的位置關(guān)系有可能相交、平行或異面；選項B中,過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線，和平面內(nèi)過該點的直線是相交直線;選項D中,兩條平行或重合的直線所成的角為0°,因此異面直線所成角的范圍是（0°,90°]，故答案選C.答案C點評異面直線的定義強調(diào)的是這兩條直線不同在任何一個平面內(nèi)，而不是指在某特定平面內(nèi)．2．異面直線的判定與證明異面直線的判定方法有：①定義法，由定義判斷兩直線不可能在同一平面內(nèi)；②反證法，用此方法可以證明兩直線是異面直線．例2M，N,E，F(xiàn)，G，H,P，Q是正方體ABCD－A1B1C1D1所在棱的中點，則PQ，EF，GH中與直線MN異面的直線是________．分析要判定兩條直線的位置關(guān)系可以根據(jù)定義及相關(guān)知識進行判斷．解析首先,我們不難看出PQ∥MN；其次,根據(jù)平面的基本性質(zhì)，可得MN，EF交于一點，即MN與EF共面；最后，我們可直觀地得到GH與MN異面．答案GH點評判斷兩條直線是不是異面直線，除了根據(jù)定義及平面的基本性質(zhì)外，直觀上的感知也是十分重要的一方面．3．求異面直線所成的角求異面直線所成的角的解題思路是：把空間兩異面直線通過平移，轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)相交直線所成的角，具體的平移過程應(yīng)視題而定．主要有以下四種平移途徑：①利用三角形的中位線平移；②利用平行線分線段成比例的推論平移；③利用平行四邊形平移；④利用補形平移．例3如圖，在每個面都為等邊三角形的四面體S－ABC中,若點E，F(xiàn)分別為SC,AB的中點，試求異面直線EF與SA所成的角．分析要求異面直線EF與SA所成的角，首先依定義作出其所成角，為此取SB的中點D，連接ED，F(xiàn)D，根據(jù)三角形中位線性質(zhì)知∠EFD是異面直線EF與SA所成的角．解如圖，連接CF,SF,設(shè)四面體S－ABC的棱長為a，則SF＝CF＝eq\f(\r(3）,2)a。因為E為SC的中點,所以EF⊥SC。在Rt△SEF中,SE＝eq\f（1,2）SC＝eq\f(1,2）a,所以EF＝eq\r（SF2－SE2）＝eq\f(\r（2）,2）a。取SB的中點為D，連接ED，F(xiàn)D。因為BC＝SA＝a，而FD∥SA且FD＝eq\f（1,2）SA,ED∥CB且ED＝eq\f（1,2）CB，所以FD＝ED＝eq\f(1,2）a，于是FD2＋ED2＝EF2。故△DEF是等腰直角三角形,可得∠EFD＝45°，即異面直線EF與SA所成的角是45°。點評本題以正四面體為依托，通過求異面直線所成的角，考查了異面直線的有關(guān)概念，明確了求異面直線所成角的具體求解方法,即“作—證-求”．3巧用輔助線(面）證明平行關(guān)系在證明線與線、線與面、面與面的平行關(guān)系時，從“看到結(jié)論想判定定理，看到條件想性質(zhì)定理”來分析題意和尋求證明思路，往往要根據(jù)定理的條件，通過構(gòu)造輔助線或輔助面來解決問題．1．作輔助線來解題例1如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E,F分別是棱BC，C1D1的中點，求證:EF∥平面BB1D1D.證明如圖，取D1B1的中點O,連接OF,OB.因為OF∥B1C1且OF＝eq\f（1,2）B1C1，BE∥B1C1且BE＝eq\f(1，2）B1C1，所以O(shè)F∥BE，且OF＝BE,即四邊形OFEB為平行四邊形．所以EF∥BO.又EF?平面BB1D1D，BO?平面BB1D1D，所以EF∥平面BB1D1D。評注將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，是解決立體幾何問題的重要策略，關(guān)鍵是選擇或添加適當?shù)闹本€．而本題通過巧作平行線，利用“有困難，找中點”來證明線面平行是最有效的方法之一．2．作輔助面來解題例2如圖，已知直線a∥平面α，直線a∥平面β，α∩β＝b,求證：a∥b.分析要證明線線平行，我們可以通過線面平行，或者面面平行來解決．條件里沒有提到面面平行，所以，我們利用線面平行來突破．證明過a作平面γ，δ，使得γ∩α＝c，δ∩β＝d.因為γ∩α＝c，直線a∥平面α，a?γ，所以a∥c.同理可證a∥d。所以c∥d。由d?β，c?β，得c∥β。因為c?α,α∩β＝b，所以c∥b.又a∥c，所以a∥b.評注本題要使用線面平行的性質(zhì)定理,需要找出或作出過已知直線且與已知平面相交的平面，以便使用性質(zhì)定理，因此常作輔助面．3．同時作輔助線與輔助面來解題例3如圖，已知平面α∥平面β，AB,CD是夾在這兩個平面之間的線段，且AE＝EB，CG＝GD，AB與CD不平行，求證：EG∥平面α，EG∥平面β。分析有些綜合性的題目需要同時作出輔助線與輔助面，通過面面之間的關(guān)系來解題．題目條件中出現(xiàn)了兩個中點,一般可直接取某線段的中點，也可通過連線所得交點間接地取中點，本題是直接找中點．證明過點A作AH∥CD交平面β于點H，設(shè)F是AH的中點，連接EF，F(xiàn)G和BH，HD.因為E，F(xiàn)分別是AB,AH的中點，所以EF∥BH，且BH?平面β,EF?平面β,所以EF∥平面β。又F,G分別是AH，CD的中點，且AH∥CD，所以FG∥HD.又HD?平面β,FG?平面β，所以FG∥平面β.因為EF∩FG＝F，EF，F(xiàn)G?平面EFG，所以平面EFG∥平面β,又平面α∥平面β，所以平面EFG∥平面α.因為EG?平面EFG，所以EG∥平面α，EG∥平面β。評注本題是通過先作輔助線AH,再作輔助面EFG，借助平面幾何里三角形中位線的結(jié)論來解決問題的．4在轉(zhuǎn)化中證明空間垂直關(guān)系空間中的各種垂直關(guān)系是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容．在高考中著重考查線線垂直、線面垂直、面面垂直的證明，這就需要利用線面垂直、面面垂直的判定定理及其性質(zhì),運用三者之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系．1．證明線面垂直證明線面垂直通常有兩種方法：一是利用線面垂直的判定定理,由線線垂直得到線面垂直；二是利用面面垂直的性質(zhì)定理,由面面垂直得到線面垂直．例1如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在的平面,M是圓周上任意一點，AN⊥PM，垂足為點N。求證：AN⊥平面PBM。

證明因為PA垂直于圓O所在的平面，所以PA⊥BM.因為M是圓周上一點，所以BM⊥AM。又因為PA∩AM＝A，所以BM⊥平面PAM。所以BM⊥AN.又因為AN⊥PM，PM∩BM＝M，PM，MB?平面PMB，所以AN⊥平面PBM.評注本題是考查線面垂直很好的載體，它融合了初中所學(xué)的圓的特征，在求解時要注意線線、線面垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化．2．證明面面垂直證明面面垂直一般有兩種方法：一是利用面面垂直的定義，通過求二面角的平面角為直角而得到，這種方法在證明面面垂直時應(yīng)用較少；二是利用面面垂直的判定定理由線面垂直得到面面垂直．例2如圖,△ABC為等邊三角形,EC⊥平面ABC，BD∥EC，且EC＝CA＝2BD，M是EA的中點．（1）求證:DE＝DA;(2)求證：平面BDM⊥平面ECA。證明(1）如圖,取EC的中點F，連接DF，易知DF∥BC.因為EC⊥BC,所以DF⊥EC。在Rt△EFD和Rt△DBA中，因為EF＝eq\f（1,2）EC＝BD，F(xiàn)D＝BC＝AB，所以Rt△EFD≌Rt△DBA。所以DE＝DA.（2）如圖,取CA的中點N，連接MN，BN，則MN∥EC，且MN＝eq\f（1,2）EC。又EC∥BD，且BD＝eq\f（1，2)EC，所以MN∥BD，且MN＝BD。所以四邊形BDMN是平行四邊形．所以點N在平面BDM內(nèi)．因為EC⊥平面ABC,BN?平面ABC，所以EC⊥BN.又CA⊥BN，EC∩CA＝C，所以BN⊥平面ECA。因為BN?平面MNBD，所以平面BDM⊥平面ECA.評注在證明面面垂直時通常轉(zhuǎn)化為證明線面垂直的問題．3．證明線線垂直證明線線垂直，往往根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，即如果一條直線垂直于一個平面，那么它和這個平面內(nèi)的任意一條直線垂直．例3如圖，已知平面α∩平面β＝CD，EA⊥α，EB⊥β，垂足分別為A，B，求證：CD⊥AB.證明因為EA⊥α，CD?α，所以CD⊥EA.又因為EB⊥β,CD?β,所以EB⊥CD.又因為EA∩EB＝E，EA,EB?平面ABE，所以CD⊥平面ABE。因為AB?平面ABE,所以CD⊥AB。評注證明空間中的垂直關(guān)系的問題時，經(jīng)常要用到轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，主要體現(xiàn)在線線垂直、線面垂直、面面垂直證明的相互轉(zhuǎn)化過程之中．其轉(zhuǎn)化關(guān)系如下：5幾何法求空間角空間角的計算是對空間線與線、線與面、面與面位置關(guān)系的一種定量研究和精確的刻畫．利用幾何法求解空間角的過程可以將邏輯推理與運算融為一體,能綜合考查同學(xué)們的空間想象能力、邏輯推理能力、運算能力、分析問題及解決問題的能力．下面就利用幾何法求空間角的策略進行分析．1．求線面角求線面角,要找出斜線在平面上的射影，其關(guān)鍵是作垂線找垂足，把線面角轉(zhuǎn)化到一個三角形中求解例1如圖，正四棱錐S－ABCD中，SA＝AB＝2，E，F(xiàn)，G分別為BC，SC，CD的中點．設(shè)P為線段FG上任意一點．（1）求證：PE⊥AC；（2)當P為線段FG的中點時，求直線BP與平面EFG所成角的余弦值．(1）證明設(shè)AC交BD于O，∵S－ABCD為正四棱錐，∴SO⊥底面ABCD，BD⊥AC，又AC?平面ABCD，∴SO⊥AC，∵BD∩SO＝O，BD，SO?平面SBD,∴AC⊥平面SBD，∵E，F(xiàn)，G分別為BC，SC，CD的中點，∴FG∥SD，BD∥EG。又FG∩EG＝G，SD∩BD＝D，F(xiàn)G，EG?平面EFG，SD，BD?平面SBD，∴平面EFG∥平面BSD，∴AC⊥平面GEF.又∵PE?平面GEF,∴PE⊥AC.(2)解過B作BH⊥GE于H,連接PH，∵BD⊥AC，BD∥GH，∴BH∥AC，由(1)知AC⊥平面GEF，則BH⊥平面GEF.∴∠BPH就是直線BP與平面EFG所成的角．在Rt△BHP中,BH＝eq\f(\r(2)，2)，PH＝eq\f(\r(13），2），PB＝eq\f(\r（15)，2),故cos∠BPH＝eq\f（PH,PB）＝eq\f（\r（195),15)。