2018-2019數(shù)學(xué)新學(xué)案同步必修二人教B版（魯京遼）講義：第一章 立體幾何初步1.2.3 第1課時

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1.2.3空間中的垂直關(guān)系第1課時直線與平面垂直學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解直線與平面垂直的定義及性質(zhì).2.掌握直線與平面垂直的判定定理及推論，并會利用定理及推論解決相關(guān)的問題．知識點(diǎn)一直線與平面垂直的定義及性質(zhì)（1)直線與直線垂直如果兩條直線相交于一點(diǎn)或經(jīng)過平移后相交于一點(diǎn)，并且交角為直角,則稱這兩條直線互相垂直．（2）直線與平面垂直的定義及性質(zhì)定義及符號表示圖形語言及畫法有關(guān)名稱重要結(jié)論如果一條直線（AB)和一個平面（α)相交于點(diǎn)O,并且和這個平面內(nèi)過交點(diǎn)（O）的任何直線都垂直．我們就說這條直線和這個平面互相垂直，記作AB⊥α把直線AB畫成和表示平面的平行四邊形的一邊垂直直線AB:平面α的垂線;平面α：直線AB的垂面;點(diǎn)O:垂足；線段AO:點(diǎn)A到平面α的垂線段；線段AO的長：點(diǎn)A到平面α的距離如果一條直線垂直于一個平面，那么它就和平面內(nèi)的任意一條直線垂直知識點(diǎn)二直線和平面垂直的判定定理及推論將一塊三角形紙片ABC沿折痕AD折起，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD,DC與桌面接觸)．觀察折痕AD與桌面的位置關(guān)系．思考1折痕AD與桌面一定垂直嗎？答案不一定．思考2當(dāng)折痕AD滿足什么條件時，AD與桌面垂直？答案當(dāng)AD⊥BD且AD⊥CD時，折痕AD與桌面垂直．梳理直線與平面垂直的判定定理及推論定理及推論文字語言圖形語言符號語言判定定理?xiàng)l件：一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，結(jié)論：這條直線與這個平面垂直eq\b\lc\\rc\｝(\a\vs4\al\co1（a⊥m,a⊥n,m?α，n?α,m∩n＝A)）?a⊥α推論1條件：兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，結(jié)論：另一條直線也垂直于這個平面eq\b\lc\\rc\}（\a\vs4\al\co1（l⊥α，l∥m））?m⊥α推論2條件:兩條直線垂直于同一個平面，結(jié)論:這兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}（\a\vs4\al\co1（l⊥α,m⊥α))?l∥m1．若直線l⊥平面α，則l與平面α內(nèi)的直線可能相交，可能異面，也可能平行．(×）2．若直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則l⊥α.（×)3．若a⊥b，b⊥α，則a∥α.（×)類型一直線與平面垂直的判定例1如圖,已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑,C是⊙O上任意一點(diǎn)，求證：BC⊥平面PAC。證明∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC。又∵AB是⊙O的直徑，∴BC⊥AC。而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.引申探究若本例中其他條件不變,作AE⊥PC交PC于點(diǎn)E，求證：AE⊥平面PBC。證明由例1知BC⊥平面PAC，又∵AE?平面PAC，∴BC⊥AE.∵PC⊥AE,且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC。反思與感悟利用線面垂直的判定定理證明線面垂直的步驟（1)在這個平面內(nèi)找兩條直線，使它和這條直線垂直．(2）確定這個平面內(nèi)的兩條直線是相交的直線．（3）根據(jù)判定定理得出結(jié)論．跟蹤訓(xùn)練1如圖,直角△ABC所在平面外一點(diǎn)S，且SA＝SB＝SC，點(diǎn)D為斜邊AC的中點(diǎn)．(1）求證：SD⊥平面ABC；（2)若AB＝BC，求證：BD⊥平面SAC.證明（1）因?yàn)镾A＝SC,D為AC的中點(diǎn)，所以SD⊥AC。在Rt△ABC中,AD＝DC＝BD,又因?yàn)镾B＝SA，SD＝SD,所以△ADS≌BDS.所以SD⊥BD。又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.（2)因?yàn)锽A＝BC，D為AC的中點(diǎn)，所以BD⊥AC.又由（1)知SD⊥平面ABC,所以SD⊥BD.于是BD垂直于平面SAC內(nèi)的兩條相交直線,所以BD⊥平面SAC.類型二線面垂直的性質(zhì)的應(yīng)用例2如圖所示，在正方體A1B1C1D1－ABCD中，EF與異面直線AC,A1D都垂直相交．求證：EF∥BD1.證明如圖，連接AB1,B1C，BD，B1D1.∵DD1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理，BD1⊥B1C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，且A1D∥B1C，∴EF⊥B1C。又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C,∴EF∥BD1。反思與感悟平行關(guān)系與垂直關(guān)系之間的相互轉(zhuǎn)化跟蹤訓(xùn)練2如圖,已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足為A，EB⊥β，垂足為B，直線a?β，a⊥AB.求證：a∥l。證明因?yàn)镋A⊥α，α∩β＝l，即l?α,所以l⊥EA.同理l⊥EB，又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB。因?yàn)镋B⊥β，a?β，所以EB⊥a，又a⊥AB，EB∩AB＝B，所以a⊥平面EAB.因此,a∥l.類型三線面垂直的綜合應(yīng)用例3如圖所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)，求證：MN⊥CD。證明如圖，取PD的中點(diǎn)E，連接AE,NE，因?yàn)镹為PC的中點(diǎn),則NE∥CD，NE＝eq\f（1，2)CD，又因?yàn)锳M∥CD，AM＝eq\f(1,2)CD，所以AM∥NE，AM＝NE，即四邊形AMNE是平行四邊形,所以MN∥AE。因?yàn)镻A⊥矩形ABCD所在平面，所以PA⊥CD，又四邊形ABCD為矩形,所以AD⊥CD,又PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，AE?平面PAD，所以CD⊥AE，所以MN⊥CD。反思與感悟若已知一條直線和某個平面垂直，證明這條直線和另一條直線平行,可利用線面垂直的性質(zhì)定理，證明另一條直線和這個平面垂直，證明時注意利用正方形、平行四邊形及三角形中位線的有關(guān)性質(zhì)．跟蹤訓(xùn)練3如圖，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE＝AB＝2a，CD＝a,F是BE的中點(diǎn),求證:（1）DF∥平面ABC；(2）AF⊥BD。證明（1)取AB的中點(diǎn)G,連接FG,CG，可得FG∥AE，F(xiàn)G＝eq\f(1,2）AE.∵CD⊥平面ABC,AE⊥平面ABC，∴CD∥AE.又∵CD＝eq\f(1，2）AE，∴FG∥CD，F(xiàn)G＝CD.∴FG⊥平面ABC,∴四邊形CDFG是矩形，DF∥CG.又∵CG?平面ABC，DF?平面ABC，∴DF∥平面ABC.(2)在Rt△ABE中，∵AE＝AB,F為BE的中點(diǎn),∴AF⊥BE。∵△ABC是正三角形，∴CG⊥AB，∴DF⊥AB.∵AE⊥平面ABC，CG?平面ABC,∴AE⊥CG，∴AE⊥DF.且AE∩AB＝A,∴DF⊥平面ABE，∵AF?平面ABE，∴AF⊥DF.∵BE∩DF＝F，BE?平面BDE，DF?平面BDE，∴AF⊥平面BDE，∴AF⊥BD.1．如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的下列各種情況，能保證該直線與平面垂直的是(）①三角形的兩邊;②梯形的兩邊；③圓的兩條直徑；④正六邊形的兩條邊．A．①③B．②C．②④D．①②④答案A解析由線面垂直的判定定理知，直線垂直于①③圖形所在的平面．而②④圖形中的兩邊不一定相交，故該直線與它們所在的平面不一定垂直．2．空間中直線l和三角形的兩邊AC，BC同時垂直,則這條直線和三角形的第三邊AB的位置關(guān)系是（）A．平行 B．垂直C．相交 D．不確定答案B解析由于直線l和三角形的兩邊AC,BC同時垂直，而這兩邊相交于點(diǎn)C，所以直線l和三角形所在的平面垂直，又因三角形的第三邊AB在這個平面內(nèi),所以l⊥AB。3．下列條件中，能使直線m⊥平面α的是()A．m⊥b,m⊥c,b⊥α，c⊥α B．m⊥b，b∥αC．m∩b＝A,b⊥α D．m∥b,b⊥α答案D解析由直線與平面垂直的判定定理的推論1知,選項(xiàng)D正確．4。如圖，設(shè)平面α∩β＝EF，AB⊥α,CD⊥α，垂足分別是B，D，BD⊥EF，則AC與EF的位置關(guān)系是________．答案垂直解析∵AB⊥α，CD⊥α，∴AB∥CD，故直線AB與CD確定一個平面．∵AB⊥α，EF?α，∴AB⊥EF，又BD⊥EF,AB∩BD＝B，∴EF⊥平面ABDC。∵AC?平面ABDC，∴AC⊥EF.5。如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是棱AB,BC的中點(diǎn)，O是底面ABCD的中心，求證：EF⊥平面BB1O。證明∵ABCD為正方形，∴AC⊥BO.又∵BB1⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,∴AC⊥BB1，又∵BO∩BB1＝B,∴AC⊥平面BB1O，又EF是△ABC的中位線,∴EF∥AC,∴EF⊥平面BB1O。1．直線與平面垂直的判定方法：（1）利用定義；(2)利用判定定理,其關(guān)鍵是在平面內(nèi)找兩條相交直線．2．對于線面垂直的性質(zhì)定理(推論2)的理解：(1）直線與平面垂直的性質(zhì)定理(推論2)給出了判定兩條直線平行的另一種方法．(2)定理揭示了空間中“平行"與“垂直"關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系，提供了“垂直”與“平行”關(guān)系轉(zhuǎn)化的依據(jù)．一、選擇題1．若三條直線OA，OB，OC兩兩垂直，則直線OA垂直于(）A．平面OAB B．平面OACC．平面OBC D．平面ABC答案C解析∵OA⊥OB，OA⊥OC且OB∩OC＝O，∴OA⊥平面OBC。2．直線a⊥直線b,直線b⊥平面β，則a與β的關(guān)系是（)A．a(chǎn)⊥β B．a(chǎn)∥βC．a(chǎn)?β D．a(chǎn)?β或a∥β答案D解析若a?β，b⊥平面β，可證得a⊥b;若a∥β，過a作平面α,α∩β＝c，b⊥平面β,c?β,則b⊥c，a∥c，于是b⊥a.故答案為D.3．已知空間四邊形ABCD的四邊相等，則它的兩對角線AC，BD的關(guān)系是（）A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交答案C解析如圖,取BD中點(diǎn)O,連接AO,CO，則BD⊥AO，BD⊥CO，AO∩OC＝O,∴BD⊥平面AOC，BD⊥AC,又BD與AC異面，故選C.4.如圖所示，定點(diǎn)A和B都在平面α內(nèi)，定點(diǎn)P?α，PB⊥α，C是平面α內(nèi)異于A和B的動點(diǎn)，且PC⊥AC，則△ABC為（）A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．無法確定答案B解析易證AC⊥面PBC，所以AC⊥BC.5.如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊BC,CD的中點(diǎn),H是EF的中點(diǎn)．現(xiàn)沿AE,AF,EF把這個正方形折成一個幾何體,使B,C,D三點(diǎn)重合于點(diǎn)G，則下列結(jié)論中成立的是（）A．AG⊥平面EFG B．AH⊥平面EFGC．GF⊥平面AEF D．GH⊥平面AEF答案A解析∵AG⊥GF,AG⊥GE，GF∩GE＝G，∴AG⊥平面EFG.6．已知直線PG⊥平面α于G，直線EF?α,且PF⊥EF于F，那么線段PE，PF，PG的大小關(guān)系是()A．PE〉PG>PF B．PG>PF〉PEC．PE>PF〉PG D．PF〉PE>PG答案C解析由于PG⊥平面α于G，PF⊥EF,∴PG最短，PF<PE，∴PG<PF<PE.7．已知P為△ABC所在平面外一點(diǎn)，且PA,PB，PC兩兩垂直，則下列命題：①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.其中正確的是()A．①②③ B．①②④C．②③④ D．①②③④答案A解析由PA,PB，PC兩兩垂直可得PA⊥平面PBC;PB⊥平面PAC；PC⊥平面PAB，所以PA⊥BC；PB⊥AC;PC⊥AB，①②③正確．④錯誤．因?yàn)槿鬉B⊥BC，則由PA⊥平面PBC，得PA⊥BC，又PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，又PC⊥平面PAB，這與過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直矛盾．

二、填空題8．已知直線l,a，b，平面α，若要得到結(jié)論l⊥α，則需要在條件a?α，b?α，l⊥a，l⊥b中另外添加的一個條件是________________．答案a與b相交9．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M,N分別是棱AA1和AB上的點(diǎn),若∠B1MN是直角，則∠C1MN＝______。答案90°解析∵B1C1⊥平面ABB1A1,∴B1C1⊥MN。又∵M(jìn)N⊥B1M，B1C1∩B1M＝B1，∴MN⊥平面C1B1M。又C1M?平面C1B1M，∴MN⊥C1M，∴∠C1MN＝90°。10。如圖所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC,則圖中直角三角形的個數(shù)為________．答案4解析eq\b\lc\\rc\}（\a\vs4\al\co1(PA⊥平面ABC,BC?平面ABC)）?eq\b\lc\\rc\｝（\a\vs4\al\co1(PA⊥BC,AC⊥BC，PA∩AC＝A)）?BC⊥平面PAC?BC⊥PC，∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC.11．如圖，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件________時，有A1C⊥B1D1.（注：填上你認(rèn)為正確的一種即可，不必考慮所有可能的情形）答案BD⊥AC(答案不唯一）解析要找底面四邊形ABCD所滿足的條件，使A1C⊥B1D1，可從結(jié)論A1C⊥B1D1入手．∵A1C⊥B1D1，BD∥B1D1,∴A1C⊥BD。又∵AA1⊥BD，而AA1∩A1C＝A1，AA1?平面A1AC，A1C?平面A1AC，∴BD⊥平面A1AC，∴BD⊥AC。此題答案不唯一．三、解答題12.如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，M是AB上一點(diǎn)，N是A1C的中點(diǎn)，MN⊥平面A1DC。求證：(1）MN∥AD1；(2)M是AB的中點(diǎn)．證明（1)∵ADD1A1為正方形,∴AD1⊥A1D.又∵CD⊥平面ADD1A1，∴CD⊥AD1?！逜1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面A1DC.又∵M(jìn)N⊥平面A1DC，∴MN∥AD1.（2)連接ON，在△A1DC中,A1O＝OD，A1N＝NC.∴ON綊eq\f（1，2)CD綊eq\f(1,2）AB，∴ON∥AM.又∵M(jìn)N∥OA,∴四邊形AMNO為平行四邊形，∴ON＝AM?！逴N＝eq\f(1,2）AB，∴AM＝eq\f（1,2）AB，∴M是AB的中點(diǎn)．13．如圖所示，在△ABC中，∠ABC為直角，P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，且PA＝PB，PB⊥BC。若M是PC的中點(diǎn)，試確定AB上點(diǎn)N的位置，使得MN⊥AB.解因?yàn)镃B⊥AB，CB⊥PB，AB∩PB＝B，所以CB⊥平面APB。過M作ME∥CB，則ME⊥平面APB，所以ME⊥AB.若MN⊥AB，因?yàn)镸E∩MN＝M，則AB⊥平面MNE，所以AB⊥EN。取AB中點(diǎn)D，連接PD，因?yàn)镻A＝PB，所以PD⊥AB，所以NE∥PD。又M為PC的中點(diǎn)，ME∥BC，所以E為PB的中點(diǎn)．因?yàn)镋N∥PD，所以N為BD的中點(diǎn)，故當(dāng)N為AB的四等分點(diǎn)（AN＝3BN)時,MN⊥AB。四、探究與拓展14．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，則P到BC的距離是(）A.eq\r(5)B．2eq\r(5）C．3eq\r(5）D．4eq\r(5