2018-2019數(shù)學(xué)新學(xué)案同步必修四人教A版全國通用版講義：第三章 三角恒等變換章末復(fù)習(xí)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精章末復(fù)習(xí)學(xué)習(xí)目標(biāo)1。進(jìn)一步掌握三角恒等變換的方法.2。會運(yùn)用正弦、余弦、正切的兩角和與差的公式與二倍角公式對三角函數(shù)式進(jìn)行化簡、求值和證明．1．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式cos(α－β）＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β.cos（α＋β）＝cos_αcos_β－sin_αsin_β。sin(α＋β）＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β。sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β.tan（α＋β）＝eq\f（tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)。tan（α－β)＝eq\f(tanα－tanβ，1＋tanαtanβ）.2．二倍角公式sin2α＝2sin_αcos_α.cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α。tan2α＝eq\f（2tanα,1－tan2α）.3．升冪縮角公式1＋cos2α＝2cos2α。1－cos2α＝2sin2α。4．降冪擴(kuò)角公式sinxcosx＝eq\f（sin2x,2）,cos2x＝eq\f（1＋cos2x，2）,sin2x＝eq\f（1－cos2x，2)。5．和差角正切公式變形tanα＋tanβ＝tan(α＋β）（1－tan_αtan_β），tanα－tanβ＝tan(α－β）(1＋tan_αtan_β）．6．輔助角公式y(tǒng)＝asinωx＋bcosωx＝eq\r(a2＋b2)sin(ωx＋θ)．1．兩角和與差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．（√）2．對任意角α，sin2α＝2sinα均不成立．（×）提示如α＝kπ，k∈Z,則sin2α＝2sinα＝0。3．y＝sinx＋cosx的最大值為2。（×）提示∵y＝sinx＋cosx＝eq\r(2)sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)）)，∴函數(shù)最大值為eq\r（2）。4．存在角α，β，使等式cos（α＋β)＝cosα＋cosβ成立．（√）提示如α＝－eq\f(π，4），β＝eq\f(π,2），則cos（α＋β)＝coseq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π，4）＋\f(π,2))）＝eq\f（\r（2），2)，cosα＋cosβ＝coseq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(π,4）)）＋coseq\f(π，2）＝coseq\f(π，4)＝eq\f（\r（2）,2），兩式相等.類型一三角函數(shù)求值例1(1）eq\f(sin110°sin20°,cos2155°－sin2155°）的值為（）A．－eq\f(1，2）B.eq\f（1，2）C.eq\f（\r（3),2)D．－eq\f(\r（3),2)考點利用簡單的三角恒等變換化簡求值題點綜合運(yùn)用三角恒等變換公式化簡求值答案B解析原式＝eq\f（sin70°sin20°，cos310°)＝eq\f（cos20°sin20°,cos50°)＝eq\f（\f(1,2)sin40°，sin40°)＝eq\f（1，2）。(2）已知α,β為銳角，cosα＝eq\f(4，5),tan（α－β）＝－eq\f(1,3)，求cosβ的值．考點兩角和與差的正切公式題點利用兩角和與差的正切公式求角解∵α是銳角，cosα＝eq\f(4，5）,∴sinα＝eq\f（3，5），tanα＝eq\f(3,4）?！鄑anβ＝tan[α－(α－β)]＝eq\f（tanα－tanα－β，1＋tanαtanα－β）＝eq\f(13，9）?！擀率卿J角，故cosβ＝eq\f（9\r（10),50）。反思與感悟三角函數(shù)的求值問題通常包括三種類型給角求值，給值求值，給值求角．給角求值的關(guān)鍵是將要求角轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)值；給值求值關(guān)鍵是找準(zhǔn)要求角與已知角之間的聯(lián)系，合理進(jìn)行拆角、湊角;給值求角實質(zhì)是給值求值，先求角的某一三角函數(shù)值，再確定角的范圍，從而求出角．跟蹤訓(xùn)練1已知α∈eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（π,2),π))，sinα＝eq\f(\r(5),5）。(1）求sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(π，4）＋α）)的值；（2）求coseq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（5π,6）－2α)）的值．考點利用簡單的三角恒等變換化簡求值題點綜合運(yùn)用三角恒等變換公式化簡求值解（1）因為α∈eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(π,2)，π)）,sinα＝eq\f（\r(5），5），所以cosα＝－eq\r（1－sin2α)＝－eq\f（2\r(5)，5）。故sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（π,4)＋α））＝sineq\f（π，4）cosα＋coseq\f(π，4)sinα＝eq\f(\r(2）,2）×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（2\r（5)，5))）＋eq\f（\r(2），2)×eq\f（\r(5),5）＝－eq\f(\r(10),10)。(2)由(1)知sin2α＝2sinαcosα＝2×eq\f（\r（5),5)×eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(2\r（5),5）))＝－eq\f（4,5），cos2α＝1－2sin2α＝1－2×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(\r(5)，5)）)2＝eq\f（3,5），所以coseq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－2α))＝coseq\f（5π,6）cos2α＋sineq\f(5π，6)sin2α＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(\r（3)，2)））×eq\f（3，5）＋eq\f(1,2）×eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（4,5)）)＝－eq\f（4＋3\r（3）,10）.類型二三角函數(shù)式的化簡與證明例2化簡：eq\f(2cos4x－2cos2x＋\f(1，2），2tan\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（π,4)＋x)）).考點利用簡單的三角恒等變換化簡求值題點綜合運(yùn)用三角恒等變換公式化簡求值解原式＝eq\f(－2sin2xcos2x＋\f(1,2）,\f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(π,4)－x）)cos2\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（π，4)－x））,cos\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4）－x））））＝eq\f（\f（1,2)1－sin22x,2sin\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（π，4）－x））cos\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(π，4)－x）))＝eq\f（\f（1,2)cos22x,sin\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（π，2)－2x)))＝eq\f（1,2）cos2x.反思與感悟三角函數(shù)化簡常用策略有：切化弦、異名化同名、降冪公式、1的代換等,化簡的結(jié)果應(yīng)做到項數(shù)盡可能少，次數(shù)盡可能低，函數(shù)名盡量統(tǒng)一．三角函數(shù)證明常用方法有：從左向右（或從右向左)，一般由繁向簡；從兩邊向中間，左右歸一法；作差證明,證明“左邊－右邊＝0”；左右分子、分母交叉相乘，證明差值為0等．跟蹤訓(xùn)練2在△ABC中,求證：sinA＋sinB＋sinC＝4coseq\f(A,2)coseq\f（B,2)coseq\f(C，2)?？键c三角恒等式的證明題點三角恒等式的證明證明因為A＋B＋C＝π，所以C＝π－（A＋B），eq\f(C，2）＝eq\f(π,2）－eq\f(A＋B,2)。因此sinA＋sinB＋sinC＝2sineq\f（A＋B，2）·coseq\f（A－B,2）＋sin(A＋B）＝2sineq\f（A＋B，2）coseq\f(A－B，2）＋2sineq\f（A＋B，2）coseq\f(A＋B,2)＝2sineq\f（A＋B，2）eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（cos\f(A－B，2)＋cos\f(A＋B，2）))＝2sineq\f（A＋B,2）·2coseq\f(A,2)·coseq\f(B，2）＝2coseq\f(C，2）·2coseq\f(A，2)·coseq\f（B，2）＝4coseq\f（A,2）·coseq\f(B，2)·coseq\f（C,2）.類型三三角恒等變換與函數(shù)、向量的綜合運(yùn)用例3已知向量a＝(cosα,sinα）,b＝（cosβ，sinβ），|a－b｜＝eq\f(2\r（5),5）.（1）求cos（α－β）的值；（2)若－eq\f(π,2)＜β＜0＜α＜eq\f（π,2），且sinβ＝－eq\f(5,13），求sinα的值．考點簡單的三角恒等變換的綜合應(yīng)用題點簡單的三角恒等變換與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用解(1)因為向量a＝（cosα,sinα),b＝（cosβ，sinβ），|a－b｜＝eq\r（cosα－cosβ2＋sinα－sinβ2）＝eq\r（2－2cosα－β）＝eq\f(2\r（5)，5），所以2－2cos(α－β）＝eq\f（4，5）,所以cos(α－β）＝eq\f（3,5）.（2)因為0＜α＜eq\f（π，2),－eq\f(π,2)＜β＜0，所以0＜α－β＜π，因為cos(α－β)＝eq\f(3,5)，所以sin(α－β）＝eq\f（4，5),且sinβ＝－eq\f（5,13），cosβ＝eq\f(12,13)，所以sinα＝sin[（α－β）＋β］＝sin（α－β）cosβ＋cos(α－β)·sinβ＝eq\f（4，5)×eq\f(12,13)＋eq\f(3，5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（5,13）））＝eq\f(33,65）.反思與感悟三角函數(shù)與三角恒等變換綜合問題，通常是通過三角恒等變換,如降冪公式，輔助角公式對三角函數(shù)式進(jìn)行化簡,最終化為y＝Asin(ωx＋φ）＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k的形式,再研究三角函數(shù)的性質(zhì)．當(dāng)問題以向量為載體時，一般是通過向量運(yùn)算,將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)形式，再運(yùn)用三角恒等變換進(jìn)行求解．跟蹤訓(xùn)練3已知函數(shù)f（x）＝2eq\r(3)sin（x－3π)·sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（x－\f(π，2)））＋2sin2eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(x＋\f（5π,2)））－1,x∈R。（1）求函數(shù)f(x）的最小正周期及在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1（0,\f（π，2))）上的最大值和最小值；(2)若f(x0）＝eq\f（6，5），x0∈eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1（\f(π,4），\f（π,2））），求cos2x0的值．考點簡單的三角恒等變換的綜合應(yīng)用題點簡單的三角恒等變換與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用解(1)因為f(x)＝eq\r（3)（2sinxcosx)＋（2cos2x－1）＝eq\r(3)sin2x＋cos2x＝2sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（2x＋\f(π，6)）)，所以f(x)的最小正周期為π。又因為x∈eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1(0，\f（π，2））)，所以2x＋eq\f（π，6)∈eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1(\f（π,6)，\f(7π,6))），所以f(x）的最大值為2，最小值為－1。（2)由（1)可知，f（x0）＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（2x0＋\f（π，6）))。又因為f(x0）＝eq\f(6，5),所以sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（2x0＋\f(π,6)））＝eq\f(3，5）.由x0∈eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1(\f（π，4），\f（π，2)））,得2x0＋eq\f（π，6)∈eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1(\f（2π,3），\f(7π,6）)），所以coseq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(2x0＋\f（π，6）））＝－eq\r（1－sin2\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（2x0＋\f(π,6）)）)＝－eq\f（4,5)，cos2x0＝coseq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（2x0＋\f（π，6)））－\f(π，6)）)＝coseq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(2x0＋\f（π，6)））coseq\f(π，6)＋sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（2x0＋\f（π，6)）)sineq\f(π,6)＝eq\f（3－4\r(3），10)。1．若α，β都是銳角，且cosα＝eq\f(\r(5）,5)，sin(α－β)＝eq\f（\r(10),10），則cosβ等于（）A.eq\f（\r(2)，2） B。eq\f(\r（2），10）C。eq\f(\r（2），2)或－eq\f（\r(2)，10） D。eq\f(\r（2),2)或eq\f（\r(2），10)考點和、差角公式的綜合應(yīng)用題點綜合運(yùn)用和差角公式化簡求值答案A解析由α,β都是銳角,且cosα＝eq\f（\r(5)，5),sin（α－β)＝eq\f（\r(10),10）,得sinα＝eq\f（2\r（5)，5)，cos(α－β)＝eq\f(3\r（10）,10),∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos（α－β）＋sinαsin(α－β）＝eq\f(\r（2），2)。2．設(shè)5π＜θ＜6π，coseq\f（θ,2)＝a，則sineq\f（θ，4)的值為________．考點利用簡單的三角恒等變換化簡求值題點利用降冪公式化簡求值答案－eq\r（\f（1－a,2)）解析sin2eq\f(θ，4)＝eq\f(1－cos\f（θ,2)，2），∵θ∈(5π，6π)，∴eq\f(θ，4）∈eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（5π，4），\f（3π，2)))，∴sineq\f(θ，4）＝－eq\r（\f（1－cos\f(θ，2），2））＝－eq\r(\f（1－a,2)）.3．已知sinα＋cosβ＝eq\f（1,3），sinβ－cosα＝eq\f（1,2)，則sin（α－β）＝________.考點兩角和與差的正弦公式題點利用兩角和與差的正弦公式求值答案－eq\f(59,72）解析由（sinα＋cosβ)2＋(sinβ－cosα)2＝eq\f(13，36）,得2sin(α－β）＝－eq\f（59，36)，即sin(α－β）＝－eq\f(59，72)。4．設(shè)A，B為銳角△ABC的兩個內(nèi)角，向量a＝(2cosA，2sinA)，b＝（3cosB，3sinB)．若a，b的夾角的弧度數(shù)為eq\f（π，3），則A－B＝________.考點兩角差的余弦公式題點兩角差的余弦公式的綜合應(yīng)用答案±eq\f(π,3）解析coseq\f(π,3)＝eq\f(a·b，|a|｜b｜）＝eq\f(6cosAcosB＋sinAsinB，2×3)＝cosAcosB＋sinAsinB＝cos（A－B)．又－eq\f(π，2)＜A－B＜eq\f（π,2)，∴A－B＝±eq\f（π,3）。5．已知函數(shù)f（x)＝cosx·sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（x＋\f（π,3)）)－eq\r(3)cos2x＋eq\f(\r(3),4）,x∈R.(1）求f(x)的最小正周期；（2）求f(x)在閉區(qū)間eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1(－\f（π，4）,\f（π，4)））上的最大值和最小值．考點簡單的三角恒等變換的綜合應(yīng)用題點簡單的三角恒等變換與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用解（1)由已知,得f(x）＝cosx·eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,2）sinx＋\f（\r(3）,2）cosx)）－eq\r（3)cos2x＋eq\f（\r（3)，4)＝eq\f（1，2）sinx·cosx－eq\f(\r（3）,2)cos2x＋eq\f(\r(3)，4)＝eq\f(1，4）sin2x－eq\f(\r（3），4)(1＋cos2x）＋eq\f(\r（3），4）＝eq\f（1，4)sin2x－eq\f（\r(3),4)cos2x＝eq\f（1,2)sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(2x－\f（π，3）)).所以f（x)的最小正周期T＝eq\f(2π,2）＝π.(2)因為f(x）在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1（－\f（π，4)，－\f（π，12)）)上是減函數(shù)，在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1(－\f(π，12)，\f(π，4）)）上是增函數(shù)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f(π，4）)）＝－eq\f(1,4），feq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（π,12)))＝－eq\f（1,2)，feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（π,4)）)＝eq\f(1,4），所以函數(shù)f(x)在閉區(qū)間eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1（－\f(π,4），\f(π,4)））上的最大值為eq\f(1,4），最小值為－eq\f（1，2）。1．知識網(wǎng)絡(luò)2．本章所學(xué)的內(nèi)容是三角恒等變換重要的工具，在三角函數(shù)式求值、化簡、證明，進(jìn)而研究三角函數(shù)的性質(zhì)等方面都是必要的基礎(chǔ),是解答整個三角函數(shù)類試題的必要基本功，要求準(zhǔn)確,快速化到最簡，再進(jìn)一步研究函數(shù)的性質(zhì)。一、選擇題1．(2017·天津高一檢測）已知sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（x－\f(9π,14)）)coseq\f(π，7）＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f（9π,14）））sineq\f（π，7)＝eq\f(1,3),則cosx等于（）A.eq\f(1，3)B．－eq\f（1，3）C.eq\f(2\r（2)，3）D．±eq\f（2\r(2),3)考點兩角和與差的正弦公式題點兩角和與差的正弦公式的綜合應(yīng)用答案B解析因為sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（x－\f(9π，14）))coseq\f（π,7）＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(9π,14）))sineq\f（π,7)＝eq\f(1,3），所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（x－\f(9π，14)＋\f(π,7）))＝sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)）)＝－cosx＝eq\f(1,3）,所以cosx＝－eq\f（1,3)。2．計算sin7°cos23°＋sin83°cos67°的值為（)A．－eq\f(1,2）B.eq\f（1,2）C.eq\f(\r(3)，2）D．－eq\f（\r（3），2)考點兩角差的余弦公式題點利用兩角差的余弦公式求值答案B解析sin7°cos23°＋sin83°cos67°＝cos83°cos23°＋sin83°sin23°＝cos(83°－23°)＝cos60°＝eq\f（1,2),故選B。3．在△ABC中,若sinA＝2sinBcosC，則△ABC是()A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰三角形考點簡單的三角恒等變換的綜合應(yīng)用題點三角恒等變換與三角形的綜合應(yīng)用答案D解析∵A＝180°－（B＋C)，∴sinA＝sin(B＋C）＝2sinBcosC。又∵sin(B＋C）＝sinBcosC＋cosBsinC,∴sinBcosC－cosBsinC＝sin（B－C)＝0。則B＝C，故△ABC為等腰三角形．4．若tanα＝eq\f(3，4)，則cos2α＋2sin2α等于()A。eq\f(64,25）B。eq\f(48，25）C．1D。eq\f(16,25)考點應(yīng)用二倍角公式化簡求值題點綜合應(yīng)用二倍角公式化簡求值答案A解析原式＝cos2α＋4sinαcosα＝eq\f(1＋4tanα,1＋tan2α)＝eq\f(64，25）.5．若cosα＝－eq\f(4,5),α是第三象限的角,則eq\f(1＋tan\f(α，2)，1－tan\f（α,2）)等于（)A．－eq\f（1，2）B.eq\f(1，2）C．2D．－2考點利用簡單的三角恒等變換化簡求值題點利用半角公式化簡求值答案A解析∵α是第三象限角，cosα＝－eq\f（4，5)，∴sinα＝－eq\f（3，5).∴eq\f(1＋tan\f(α，2)，1－tan\f（α，2)）＝eq\f（1＋\f（sin\f(α,2)，cos\f(α，2）），1－\f（sin\f(α,2），cos\f(α,2）))＝eq\f(cos\f（α，2)＋sin\f（α,2），cos\f（α,2）－sin\f（α,2)）＝eq\f（cos\f（α,2）＋sin\f(α,2），cos\f（α,2）－sin\f(α，2)）·eq\f（cos\f（α,2)＋sin\f(α，2），cos\f(α,2）＋sin\f（α，2)）＝eq\f（1＋sinα，cosα)＝eq\f（1－\f(3，5），－\f(4，5)）＝－eq\f（1,2）。6．已知A(3,0），B（0，3），C(cosα，sinα）,若eq\o（AC,\s\up6(→）)·eq\o(BC,\s\up6(→）)＝－1,則sin(α＋eq\f(π,4）)等于(）A.eq\f（\r(2),3）B．1C．2D。eq\f(\r（6），3）考點應(yīng)用二倍角公式化簡求值題點綜合應(yīng)用二倍角公式化簡求值答案A解析∵eq\o(AC，\s\up6(→））＝（cosα－3，sinα)，eq\o(BC，\s\up6（→)）＝（cosα，sinα－3），∴eq\o(AC，\s\up6(→）)·eq\o(BC,\s\up6(→）)＝（cosα－3)·cosα＋sinα（sinα－3)＝cos2α－3cosα＋sin2α－3sinα＝1－3(sinα＋cosα)＝1－3eq\r（2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r（2),2）sinα＋\f(\r(2),2）cosα)）＝1－3eq\r(2）sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（α＋\f(π，4）))＝－1，∴sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(α＋\f（π,4））)＝eq\f（\r（2)，3）.7．函數(shù)y＝sinxcosx＋eq\r(3)cos2x－eq\r（3)的圖象的一個對稱中心為（）A。eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(2π,3）,－\f（\r(3)，2））) B。eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（5π，6)，－\f（\r(3),2)））C。eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2π，3）,\f(\r（3)，2）)) D。eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（π，3），－\r（3）))考點簡單的三角恒等變換的綜合應(yīng)用題點簡單的三角恒等變換與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用答案B解析y＝eq\f(1,2)sin2x＋eq\f（\r（3），2)(1＋cos2x）－eq\r(3)＝sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(2x＋\f（π,3))）－eq\f(\r(3)，2），令2x＋eq\f(π，3)＝kπ(k∈Z),得x＝eq\f(kπ,2）－eq\f（π，6）(k∈Z），當(dāng)k＝2時，x＝eq\f（5π,6），∴函數(shù)圖象的一個對稱中心為eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（5π，6）,－\f(\r（3)，2）)）.二、填空題8．taneq\f（π,9)＋taneq\f(2π，9)＋eq\r(3)taneq\f（π，9)taneq\f（2π，9）的值為________．考點兩角和與差的正切公式題點利用兩角和與差的正切公式求值答案eq\r（3）解析taneq\f(π，9)＋taneq\f(2π,9)＋eq\r（3）taneq\f(π,9）taneq\f(2π，9）＝taneq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（π,9）＋\f(2π,9)）)eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（1－tan\f(π，9）tan\f（2π,9）)）＋eq\r（3)taneq\f（π,9）taneq\f（2π,9)＝eq\r（3)eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(1－tan\f(π,9)tan\f（2π,9）))＋eq\r(3）taneq\f(π，9)taneq\f(2π,9）＝eq\r（3)。9．若eq\f(3π,2)＜θ＜2π，sinθ＝－eq\f(3，5）,則coseq\f(θ,2)＝________?？键c利用簡單的三角恒等變換化簡求值題點利用半角公式化簡求值答案－eq\f（3\r(10）,10)解析∵eq\f(3π，2）＜θ＜2π，∴eq\f(3π,4）＜eq\f(θ,2）＜π。又sinθ＝－eq\f（3，5)，∴cosθ＝eq\f（4,5），∴coseq\f(θ，2)＝－eq\r（\f（1＋cosθ，2）)＝－eq\r（\f(1＋\f（4，5），2))＝－eq\f（3\r（10),10）。10．在△ABC中,tanA＋tanB＋tanC＝3eq\r(3)，tan2B＝tanA·tanC,則B＝________?？键c簡單的三角恒等變換的綜合應(yīng)用題點簡單的三角恒等變換與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用答案eq\f（π，3）解析tanB＝－tan(A＋C)＝－eq\f(tanA＋tanC，1－tanAtanC)＝－eq\f(3\r（3）－tanB，1－tan2B)，所以tan3B＝3eq\r(3）,所以tanB＝eq\r(3），又因為B為三角形的內(nèi)角，所以B＝eq\f（π，3）。11．設(shè)α為銳角，若coseq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（α＋\f（π,6）））＝eq\f（4,5)，則sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π，12））)的值為________．考點兩角和與差的正弦公式題點利用兩角和與差的正弦公式求值答案eq\f(17\r(2），50)解析∵α為銳角且coseq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（α＋\f（π,6）)）＝eq\f（4，5）,∴sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π，6））)＝eq\f(3,5）.sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（2α＋\f(π,3)）)＝2sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(α＋\f（π,6)））coseq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6））)＝eq\f（24，25）,coseq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（2α＋\f(π，3)）)＝2cos2eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(α＋\f（π,6）)）－1＝eq\f(7,25），∴sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,12))）＝sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f（π，3)－\f(π,4）））＝eq\f（\r(2),2）eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π，3))）－cos\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(2α＋\f（π，3）)）））＝eq\f（17\r（2)，50).三、解答題12．已知coseq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（π，4）＋x))＝eq\f（3,5）,eq\f(17π,12)〈x〈eq\f(7π,4)，求eq\f（sin2x＋2sin2x，1－tanx）的值．考點利用簡單的三角恒等變換化簡求值題點綜合運(yùn)用三角恒等變換化簡求值解eq\f（sin2x＋2sin2x,1－tanx）＝eq\f(2sinxcosx＋2sin2x，1－\f（sinx,cosx))＝eq\f（2sinxcosxcosx＋sinx，cosx－sinx)＝eq\f（sin2x1＋tanx,1－tanx)＝sin2x·taneq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（π，4）＋x)）.∵eq\f（17π，12）〈x〈eq\f（7π,4），∴eq\f(5π，3）〈x＋eq\f（π,4)〈2π，又∵coseq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(π，4）＋x))＝eq\f（3，5),∴sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(π,4)＋x))＝－eq\f(4,5).∴taneq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（π，4)＋x)）＝－eq\f(4，3).∴cosx＝coseq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（π，4）＋x)）－\f(π,4）））＝coseq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(π，4)＋x））coseq\f（π,4）＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(π，4）＋x））sineq\f(π，4)＝eq\f（\r（2)，2)×eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（3,5)－\f（4,5)）)＝－eq\f（\r（2)，10）?！鄐inx＝sineq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))－\f（π，4）)）＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))coseq\f(π，4)－sineq\f（π,4）coseq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(π，4)＋x))＝－eq\f(7\r（2)，10），sin2x＝eq\f（7,25）。∴eq\f（sin2x＋2sin2x,1－tanx）＝－eq\f(28，75).13．設(shè)函數(shù)f(x）＝sin2x＋coseq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(2x＋\f（π，3)））.（1）求函數(shù)f(x)的最大值及此時x的取值集合；(2）設(shè)A,B，C為△ABC的三個內(nèi)角，已知cosB＝eq\f（1，3）,feq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（C,2)））＝－eq\f(1，4)，且C為銳角,求sinA的值．考點簡單的三角恒等變換的綜合應(yīng)用題點簡單的三角恒等變換與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用解(1)∵f(x）＝eq\f（1－cos2x，2)＋eq\f（1，2)cos2x－eq\f(\r（3）,2)sin2x＝eq\f（1，2)－eq\f(\r(3）,2)sin2x，∴當(dāng)sin2x＝－1時，f(x)max＝eq\f（1＋\r(3)，2），此時2x＝2kπ－eq\f(π,2）（k∈Z)，x＝kπ－eq\f（π,4)（k∈Z），∴x的取值集合為eq\b\lc\