第十八章 屈服準(zhǔn)則

第十八章屈服準(zhǔn)則第一節(jié)初始屈服準(zhǔn)則一、Mises屈服準(zhǔn)則物體力在外載荷(通常為外力)作用下發(fā)生的變形有二種形態(tài)：(1)彈性變形。彈性變形是可逆的，當(dāng)外載荷卸去后物體可以恢復(fù)到初始狀態(tài)，物體中任何二個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間的距離都恢復(fù)到初始值，物體內(nèi)無(wú)任何殘余變形。(2)塑性變形。塑性變形是不可逆的，物體中任何二個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間的距離不可能全部恢復(fù)到初始值，從而使得變形永久地保留在物體中，一般說(shuō)來(lái)，在外載荷的作用下，物體中的任一質(zhì)點(diǎn)開(kāi)始時(shí)都只發(fā)生彈性變形，但是隨著外載荷的增大使得該質(zhì)點(diǎn)處的應(yīng)力張量達(dá)到某一臨界值時(shí)，該質(zhì)點(diǎn)才能發(fā)生塑性變形。在外力的作用下，質(zhì)點(diǎn)由彈性交形狀態(tài)進(jìn)入塑性變形狀態(tài)稱為初始屈服，簡(jiǎn)稱為屈服。質(zhì)點(diǎn)發(fā)生屈服的力學(xué)條件，即它的各個(gè)應(yīng)力分量之間應(yīng)當(dāng)滿足的確定關(guān)系，稱為屈服準(zhǔn)則或塑性條件。對(duì)于各向同性材料，屈服準(zhǔn)則與坐標(biāo)系的選擇無(wú)關(guān)，即屈服準(zhǔn)則是應(yīng)力個(gè)變量的函數(shù)。試驗(yàn)證明，平均應(yīng)力O對(duì)塑性變形狀m態(tài)沒(méi)有影響，且J]=0，因此屈服準(zhǔn)則的數(shù)學(xué)表達(dá)式一股為八門可(無(wú))=0 <18-1)Mises屈服準(zhǔn)則是最常用的塑性條件，它的表述為：當(dāng)質(zhì)點(diǎn)的等效應(yīng)力達(dá)到某一與應(yīng)力狀態(tài)無(wú)關(guān)的定值時(shí)，質(zhì)點(diǎn)就屈服，即有t?=V3J；C (18^2)設(shè)物體的單向均勻拉伸時(shí)的屈服應(yīng)力為。設(shè)物體的單向均勻拉伸時(shí)的屈服應(yīng)力為。s，即O戸°o,則由式(17—19)可得于是，Mises屈服準(zhǔn)則的表達(dá)式為由此，在O-xyz坐標(biāo)系及應(yīng)力主軸坐標(biāo)系中，由此，在O-xyz坐標(biāo)系及應(yīng)力主軸坐標(biāo)系中，Mises屈服進(jìn)則為式中，O]O2及O3是主應(yīng)力。二、Mises屈服準(zhǔn)則的參數(shù)表達(dá)式設(shè)O]>=設(shè)O]>=O2>=O3，貝I」。2稱為中間主應(yīng)力。羅代應(yīng)力參數(shù)Po為將Pa對(duì)o2求導(dǎo)可知，對(duì)于O2U[O3,O]],Ma從一1單調(diào)遞增地變到+1。由式(18—4)可得將上式代人(18—3b)中的后一式，整理后就有式中，參數(shù)*"23+尹仁在一般情況下，即對(duì)于三個(gè)主應(yīng)力按大小排序的各種可能情形，Mises屈服準(zhǔn)則的參數(shù)表達(dá)式與Tresca屈服準(zhǔn)則應(yīng)寫(xiě)為+1。由式(18—4)可得將上式代人(18—3b)中的后一式，整理后就有式中，參數(shù)*"23+尹仁在一般情況下，即對(duì)于三個(gè)主應(yīng)力按大小排序的各種可能情形，Mises屈服準(zhǔn)則的參數(shù)表達(dá)式與Tresca屈服準(zhǔn)則應(yīng)寫(xiě)為鈿的變化范圍為1-1.155。我們稱式(18—5)為Mises屈服準(zhǔn)則的參數(shù)表達(dá)式。當(dāng)取B=1時(shí)，可得1%-巧I二Bs(&門1%_巧I二4(Gj)(18-7a)(18-7b)三、屈服準(zhǔn)則的幾何描述在應(yīng)力主軸坐標(biāo)系O-o]o2o3中，屈服準(zhǔn)則f(o1,o2,O3)=0是一空間曲面，稱為屈服表面。過(guò)原點(diǎn)O作與三個(gè)坐標(biāo)軸的夾角都相等的直線ON：稱為等傾線，如圖18—1所示。設(shè)沿等傾線ON的單位方向矢量為n=niei,則有如二切二巧二l//3c在應(yīng)力空間中任取一點(diǎn)卩，則°卩=okek，在直線ON上的投影為OM,則有于是有上式表明，當(dāng)且僅當(dāng)二心2/3幾日時(shí)，質(zhì)點(diǎn)就屈服，而與點(diǎn)M在直線ON上的位置無(wú)關(guān)。因此，Mises屈服準(zhǔn)則的屈服表面是以等傾線ON為軸線，半徑為血73氐的I圓柱面。在應(yīng)力主軸坐標(biāo)系中，過(guò)原點(diǎn)0并垂直等傾線ON的平面稱為n平面。由式(a)可知，在n平面上有6+6+6二°,或”皿二° (18*8)設(shè)基矢e.在n平面上的投影為e.(n,則有ii由式(16—19)可得孕二(磚_叫菲)?(勺亠ryl)二e；? ?勺亠?el+Hf/ijn*n二恥■勺一叫丐 (d)于是有

及疔:.出)二_*(和知) (f)因此,P心八冷就有上式表明,上式表明,屈服表面在平面上的投影稱為屈服軌跡。出于Mises屈服表面是以等傾線ON為軸線,半徑為氏笊圓柱面，故Mises屈服軌跡是以0點(diǎn)為圓心，半徑為石耳笊圓周,如圖18—2所示。由于式(18—7b)表示了6個(gè)平面方程，故Tresca屈服軌跡是以O(shè)點(diǎn)為中心，內(nèi)接于Mises屈服軌跡的圓周的正六邊形，如圖18-2所示。由于在主應(yīng)力空間中，一點(diǎn)的應(yīng)力張量?jī)H由三個(gè)主應(yīng)力完全確定，因此在三維的主應(yīng)力中間中，應(yīng)力張量蛻化為應(yīng)力矢量。在Mises屈服軌跡上任取一點(diǎn)Q,由于在n平面上

OQom=0,故*不僅表示主應(yīng)力為Oi(n)〔i=l,2,3)的應(yīng)力矢量，而且也表示對(duì)應(yīng)的主偏應(yīng)力o‘=om(i=1,2,3)的應(yīng)力偏矢量。在圖18—1中，設(shè)應(yīng)力點(diǎn)P在n平面上的投i i影為屈服軌跡上的點(diǎn)Q,則°廠表示主應(yīng)力為(i=1,2,3)的應(yīng)力矢量，而〃卩二則表示對(duì)應(yīng)的主偏應(yīng)力為O‘=o—o(i=1,2,3)的應(yīng)力偏矢量。i i m如果二階張量T的主方向與應(yīng)力張量的主方向相同，則在主應(yīng)力空間中，張量T也蛻變?yōu)閮H由三個(gè)主值完全決定的矢量。設(shè)矢量t平行于n平面，即丁丄°'訶1于是有第二節(jié)真實(shí)應(yīng)力一應(yīng)變曲線與材料模型一、對(duì)數(shù)應(yīng)變?cè)O(shè)物體在變形過(guò)程,每個(gè)主應(yīng)變?cè)隽康姆较蚨急３植蛔?。以主方向作為坐?biāo)軸的方向作一E坐標(biāo)系O-xyz。對(duì)于這個(gè)變形體，在初始構(gòu)形中任取一個(gè)長(zhǎng)方體V0,它的每個(gè)表面都平行于坐標(biāo)面，在現(xiàn)時(shí)構(gòu)形中，它變?yōu)樾碌拈L(zhǎng)方體V,如圖18-3所示。設(shè)在變形前、后長(zhǎng)方體的每條邊的長(zhǎng)度分別為L(zhǎng)與L.(i=x,y,z),則對(duì)數(shù)應(yīng)變定義如下n i 丿/巳二Inf,E=In,G,=InA(18-10)對(duì)數(shù)應(yīng)變的一個(gè)重要特性就是對(duì)數(shù)應(yīng)變具有可加性例如,將上述的變形過(guò)程分為三個(gè)階段，每個(gè)變形階段結(jié)束時(shí)，邊長(zhǎng)L分別變?yōu)長(zhǎng)1、L2及L這三個(gè)變形階段的對(duì)o12數(shù)應(yīng)變分別為于是有、真實(shí)應(yīng)力一應(yīng)變曲線于是有、真實(shí)應(yīng)力一應(yīng)變曲線1.單向均勻拉伸時(shí)的相對(duì)伸長(zhǎng)在試樣單向均勻拉伸時(shí)，相對(duì)伸長(zhǎng)8定義為(I-偽(I-偽~1T式中，L0與L1分別是試樣標(biāo)距的原始長(zhǎng)度與變形后的長(zhǎng)度，如圖］8-4所示。由上式有故e=ln^=in(l+￡) (18-12)當(dāng)很微小時(shí)，不計(jì)高階微量，可得G=￡ (18-13)且由式(16-61)可知，也是沿拉伸方向的線應(yīng)變。2．單向均勻拉伸時(shí)的等效應(yīng)變將試樣的單向均勻拉伸過(guò)程分解為許多個(gè)微小拉伸過(guò)程元的疊加。任取一個(gè)微小的拉伸過(guò)程元，設(shè)在這一拉伸過(guò)程元開(kāi)始時(shí)，試樣標(biāo)距的長(zhǎng)度為L(zhǎng),而在結(jié)束時(shí)，試樣標(biāo)距的長(zhǎng)度的增量為dL,由式(16—61)可知，在這一拉伸過(guò)程元中，沿拉仲方向的應(yīng)變?cè)隽縟￡為如果試樣是各向同性的標(biāo)距為L(zhǎng)o的細(xì)長(zhǎng)圓柱體，且在拉伸過(guò)程中體積保持不變。這時(shí)有,d￡ =d￡ ，d￡ =d￡ =一d￡ /2，d￡ =0,代入式(16—81)中可得Z r e rz /de-de (h)于是有G=Sde=de= 1y=Iny=G (18-14)=Sde=|de式中， 」 是全部微小拉伸過(guò)程元的等效應(yīng)變?cè)隽恐汀?．真實(shí)應(yīng)力一應(yīng)變曲線柯西應(yīng)力張量是在現(xiàn)時(shí)構(gòu)形中定義的，它的每個(gè)分量都是作用在對(duì)應(yīng)的微坐標(biāo)面元上的真實(shí)應(yīng)力。對(duì)于試樣的單向均勻拉伸，沿拉伸方向的真實(shí)應(yīng)力O為(18-15)式中，F(xiàn)是作用在試樣上的外力，A是該瞬時(shí)標(biāo)距的橫截面的真實(shí)面積。O也稱為流動(dòng)應(yīng)力。在試樣的單向均勻拉伸過(guò)程中，沿拉伸方向的真實(shí)應(yīng)力與對(duì)數(shù)應(yīng)變之間的關(guān)系曲線，稱為真實(shí)應(yīng)力一應(yīng)變曲線，如圖18—5所示。

圖18-5真實(shí)應(yīng)力一應(yīng)力曲線)理想剛塑性b)理想彈蜩性胡剛頰性硬化d］彈期性硬化)理想剛塑性三、材料模型一般說(shuō)來(lái)，實(shí)際的金屬材料在發(fā)生塑性變形前以及在塑性變形的過(guò)程中都會(huì)有彈性變形發(fā)生。但是，在某些塑性加工的過(guò)程中，例如熱鍛、冷擠壓等工藝中，工件的彈性交形與塑性變形相比很微小，可以忽略不計(jì)。在理論分析中，把在塑性變形前及在塑性變形過(guò)程中都沒(méi)有彈性變形發(fā)生的樹(shù)料稱為剛塑性體，反之稱為彈塑性體。金屬塑性變形的一個(gè)重要特點(diǎn)就是加工硬化，即隨著塑性交形過(guò)程的進(jìn)行，材料的變形抗力不斷增大。這反映在真實(shí)應(yīng)力一應(yīng)變曲線中，就是真實(shí)應(yīng)力隨著沿拉伸方向的對(duì)數(shù)應(yīng)變的增大而單調(diào)遞增。然而，在熱鍛等某些加工過(guò)程中，由于加工溫度很高，通常在950—1250之間，材料中會(huì)發(fā)生充分的動(dòng)態(tài)回復(fù)與動(dòng)態(tài)再結(jié)晶，完全或基本上消除了加工硬化的影響，因而可以忽略塑性變形中的加工硬化，這種材料稱為理想塑性材料。這時(shí)，真實(shí)應(yīng)力保持不變。由此，在理論分析中，常將實(shí)際的金屬材料分成四種材料模型，即理想剛塑性、理想彈塑性、硬化剛塑性、硬化彈塑性。它們的真實(shí)應(yīng)力一應(yīng)變曲線分別表示在圖18—5中。在金屬的塑性加工中，常用材料模型的真實(shí)應(yīng)力一應(yīng)變曲線的表達(dá)式為(18-16)(18J8)式中Os是初始屈服應(yīng)力；n是硬化指數(shù)；B稱為強(qiáng)度系數(shù)。上式中各參量都是與材料特性有關(guān)的常數(shù)，可參閱有關(guān)鍛鍛造或沖壓手冊(cè)在這三個(gè)公式中，用卅替了O，這是因?yàn)樵趩蜗蚓鶆蚶爝^(guò)程中，恒有二。"四、拉伸失穩(wěn)分析在塑件變形過(guò)程中，當(dāng)變形達(dá)到某一界限時(shí)，外載下降而塑性變形仍能繼續(xù)進(jìn)行，就稱為塑性失穩(wěn)。拉伸失穩(wěn)是—種常見(jiàn)的塑性失穩(wěn)。例如，試佯在單向拉伸過(guò)程中出現(xiàn)的縮頸現(xiàn)象，就是拉伸失穩(wěn)。設(shè)在試樣的單向拉伸過(guò)程小，任一變形瞬間的軸向力為F,試樣斷面積為A,真實(shí)應(yīng)力為O，則有卜二trA (a)

設(shè)試樣的原始斷面積為A0,由于L0A0=LA，可有故A=得當(dāng)拉伸失穩(wěn)時(shí)，F(xiàn)有極大值，所以dF=O。于是有df—Ao 應(yīng)一二0記失穩(wěn)時(shí)，…'石二，從而有(b)(c)(d)託)(f)Sr設(shè)材料的真實(shí)應(yīng)力一應(yīng)變曲線為(1849)因此，拉伸失穩(wěn)時(shí)，由式⑴可得_. -—_.e^Me-ff6nd€記失穩(wěn)時(shí)，…'石二，從而有(b)(c)(d)託)(f)Sr設(shè)材料的真實(shí)應(yīng)力一應(yīng)變曲線為(1849)因此，拉伸失穩(wěn)時(shí)，由式⑴可得_. -—_.e^Me-ff6nd€=0(18-20)第三節(jié)后續(xù)屈服準(zhǔn)則（加載函數(shù)）設(shè)質(zhì)點(diǎn)在某一微小變形過(guò)程元中處于塑性變形狀態(tài)（例如初始屈服）。如果該質(zhì)點(diǎn)在后續(xù)的一個(gè)變形過(guò)程元中繼續(xù)發(fā)生塑性變形，則稱為后續(xù)屈服。我們知道，在試樣的單向均勻拉伸過(guò)程中，由于加工硬化，隨著變形的增大，沿拉伸方向的主應(yīng)力"]—不斷增大。于是，對(duì)于應(yīng)變硬化材料，在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，質(zhì)點(diǎn)后續(xù)屈服時(shí)，這時(shí)它的各個(gè)應(yīng)力分量之間也必定滿足某一確定的關(guān)系，這一點(diǎn)函數(shù)關(guān)系就稱為后續(xù)屈服準(zhǔn)則，也稱為加載函數(shù)。在主應(yīng)力空間中，加載函數(shù)的空間幾何圖形稱為后續(xù)屈服表面或加載面。加載面在n平面上的投影稱為后續(xù)屈服軌跡或加載軌跡。一般說(shuō)來(lái)。影響加載函數(shù)的因素很多，這主要有塑性變形歷史、應(yīng)變強(qiáng)化模型、當(dāng)前的應(yīng)變速率張量、及當(dāng)前的應(yīng)力張量。于是，加載函數(shù)一般可表示為(18-21)

式中，K是一個(gè)反映塑性變形歷史和應(yīng)變強(qiáng)化模型的參量。如果加載函數(shù)與應(yīng)變速率有關(guān)，則稱之為粘塑性。如果應(yīng)變速率對(duì)加載函數(shù)沒(méi)有影響，則加載函數(shù)為(18-22)一、應(yīng)變強(qiáng)化模型一般說(shuō)來(lái)，在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，應(yīng)變強(qiáng)化模型有多種，但常用的有二種。1、等向強(qiáng)化模型對(duì)于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，等向強(qiáng)化模型假設(shè)加載面是初始燭屈服表面的相似擴(kuò)大，加載軌跡是初始屈服軌跡的相似放大。對(duì)于服從Mises屈服準(zhǔn)則的材料，它的等向d強(qiáng)化的加載函數(shù)為式中的力，這就是單一曲線假設(shè)，也稱為Mises加載函數(shù)，它的加載軌跡如圖式中的力，這就是單一曲線假設(shè)，也稱為Mises加載函數(shù)，它的加載軌跡如圖18—6中的大圓周所示。在金屬塑件加工個(gè)，通常都采用這模型。2．隨動(dòng)強(qiáng)化模型隨動(dòng)強(qiáng)化模型認(rèn)為，對(duì)于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，在主應(yīng)力空間中，加載函數(shù)是初始屈服函數(shù)平動(dòng)的結(jié)果。對(duì)于服從初始屈服準(zhǔn)則的材料，它的隨動(dòng)強(qiáng)化的加載函數(shù)為(1弘(1弘24)式中的吋）是屈服軌跡平動(dòng)后新圓心c點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分量。它的加載軌跡也表現(xiàn)在圖18—6中。二、加載、中性變載及卸載對(duì)于等向強(qiáng)化模型（包括理想塑性），設(shè)在某一變形瞬時(shí)，質(zhì)點(diǎn)處于屈服狀態(tài)，即有f（oij,K）=0,且在隨后的微小變形過(guò)程無(wú)中，do工0