全等三角形培優(yōu)競(jìng)賽訓(xùn)練題

全等三角形培優(yōu)競(jìng)賽訓(xùn)練題1、已知正方形中，E為對(duì)角線上一點(diǎn)，過(guò)E點(diǎn)作⊥交于F，連接，G為中點(diǎn)，連接，．（1）直接寫出線段與的數(shù)量關(guān)系；（2）將圖1中△繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45o，如圖2所示，取中點(diǎn)G，連接，．你在（1）中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明．（3）將圖1中△繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖3所示，再連接相應(yīng)的線段，問(wèn)（1）中的結(jié)論是否仍然成立？FBAFBACE圖3DFBADCEG圖2FBADCEG圖12、數(shù)學(xué)課上，張教師出示了問(wèn)題：如圖1，四邊形是正方形，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)．，且交正方形外角的平行線于點(diǎn)F，求證：．經(jīng)過(guò)思考，小明展示了一種正確的解題思路：取的中點(diǎn)M，連接，則，易證，所以．在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究：（1）小穎提出：如圖2，如果把“點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊上（除B，C外）的任意一點(diǎn)”，其它條件不變，則結(jié)論“”仍然成立，你認(rèn)為小穎的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過(guò)程；如果不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）小華提出：如圖3，點(diǎn)E是的延長(zhǎng)線上（除C點(diǎn)外）的任意一點(diǎn)，其他條件不變，結(jié)論“”仍然成立．你認(rèn)為小華的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過(guò)程；如果不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由．AADFCGEB圖1ADFCGEB圖2ADFCGEB圖33、已知中，為邊的中點(diǎn)，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交、（或它們的延長(zhǎng)線）于、當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到于時(shí)（如圖1），易證當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到不垂直時(shí)，在圖2與圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，、、又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明．AAECFBD圖1圖3ADFECBADBCE圖2F4、在中，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角得交于點(diǎn)，分別交于兩點(diǎn)．（1）如圖1，觀察并猜想，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；AADBECFADBECF（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，試判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；（3）在（2）的情況下，求的長(zhǎng)．5、如圖9，若與為等邊三角形，M，N分別，的中點(diǎn)，易證：，是等邊三角形．（1）當(dāng)把繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖10的位置時(shí)，是否仍然成立？若成立請(qǐng)證明，若不成立請(qǐng)說(shuō)明理由；（4分）（2）當(dāng)繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖11的位置時(shí)，是否還是等邊三角形？若是，請(qǐng)給出證明，并求出當(dāng)2時(shí)，與的面積之比；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．（6分）圖9 圖10圖11圖9 圖10圖11圖86、點(diǎn)C為線段上一點(diǎn)，△,△都是等邊三角形，線段交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F。求證：（1）.（2）△為等邊三角形。（3）將△繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否依然成立？(只回答不證明)，（4）與相交所夾銳角是否發(fā)生變化，（只回答不證明)。7、問(wèn)題：已知中，，點(diǎn)是內(nèi)的一點(diǎn)，且，．探究與度數(shù)的比值．請(qǐng)你完成下列探究過(guò)程：先將圖形特殊化，得出猜想，再對(duì)一般情況進(jìn)行分析并加以證明．（1）當(dāng)時(shí)，依問(wèn)題中的條件補(bǔ)全右圖．觀察圖形，與得數(shù)量關(guān)系為；當(dāng)退出時(shí)，可進(jìn)一步推出的度數(shù)為；可得到與度數(shù)的比值為．（2）當(dāng)時(shí)，請(qǐng)你畫出圖形，研究與度數(shù)的比值是否與（1）中的結(jié)論相同，寫出你的猜想并加以證明．8、直線經(jīng)過(guò)的頂點(diǎn)C，．E、F分別是直線上兩點(diǎn)，且．（1）若直線經(jīng)過(guò)的內(nèi)部，且E、F在射線上，請(qǐng)解決下面兩個(gè)問(wèn)題：①如圖1，若，則（填“”，“”或“”號(hào)）；②如圖2，若，若使①中的結(jié)論仍然成立，則與應(yīng)滿足的關(guān)系是；（2）如圖3，若直線經(jīng)過(guò)的外部，，請(qǐng)?zhí)骄?、與、三條線段的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．AABCEFDDABCEFADFCEB圖1圖2圖39、(1)如圖1,在正方形中,點(diǎn)分別在邊,上交于點(diǎn)O,∠＝90°.求證：＝.第23題圖1第23題圖1(2)如圖2,在正方形中,點(diǎn)分別在邊,上交于點(diǎn)O,∠＝90°,＝4.求的長(zhǎng).第23題圖2第23題圖2(3)已知點(diǎn)分別在矩形的邊上，交于點(diǎn)O,∠＝90°＝4.直接寫出下列兩題的答案：①如圖3,矩形由2個(gè)全等的正方形組成,求的長(zhǎng)；②如圖4,矩形由n個(gè)全等的正方形組成,求的長(zhǎng)(用n的代數(shù)式表示).第23題圖4第23題圖3第23題圖4第23題圖310、如圖，直角梯形中，，，且，過(guò)點(diǎn)D作，交的平分線于點(diǎn)E，連接．（1）求證：；（2）將繞點(diǎn)C，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接.．求證：垂直平分.（3）延長(zhǎng)交于點(diǎn)P．求證：P是的中點(diǎn)．AADGECB11、已知：如圖，平分∠，⊥，垂足為E，點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱，分別與線段，相交于P，M．(1)求證：；(2)若∠2∠，請(qǐng)你判斷∠F與∠的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．12、如圖，四邊形是正方形，△是等邊三角形，M為對(duì)角線（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將繞點(diǎn)