無窮積分的性質(zhì)與收斂判別

關(guān)于無窮積分的性質(zhì)與收斂判別第一頁，共三十八頁，2022年，8月28日一、無窮積分的性質(zhì)第二頁，共三十八頁，2022年，8月28日第三頁，共三十八頁，2022年，8月28日證極限的柯西準(zhǔn)則,此等價(jià)于收斂的充要條件是:(無窮積分收斂的柯西準(zhǔn)則)無窮積分定理11.1第四頁，共三十八頁，2022年，8月28日性質(zhì)1為任意常數(shù),則即根據(jù)反常積分定義,容易導(dǎo)出以下性質(zhì)1和性質(zhì)2.第五頁，共三十八頁，2022年，8月28日性質(zhì)2第六頁，共三十八頁，2022年，8月28日h(x)在任意[a,u]上可積,且證因?yàn)槭諗?由柯西準(zhǔn)則的必要性,例1,f(x),g(x),若第七頁，共三十八頁，2022年，8月28日再由柯西準(zhǔn)則的充分性,第八頁，共三十八頁，2022年，8月28日若無窮積分以下定理可用來判別一般函數(shù)無窮積分的收斂性.何有限區(qū)間[a,u]上可積,性質(zhì)3

(絕對收斂的無窮積分必收斂)若

f在任第九頁，共三十八頁，2022年，8月28日因此再由柯西準(zhǔn)則的充分性,又對任意證由柯西準(zhǔn)則的必要性,對因第十頁，共三十八頁，2022年，8月28日收斂的無窮積分不一定是絕對收斂的.例2的收斂性.判別解由于第十一頁，共三十八頁，2022年，8月28日二、非負(fù)函數(shù)無窮積分的收斂判別法引理(非負(fù)函數(shù)無窮積分的判別法)設(shè)定義在

上的非負(fù)函數(shù)f

在任何收斂的充要條件是:第十二頁，共三十八頁，2022年，8月28日證設(shè)增函數(shù)的收斂判別準(zhǔn)則,

從而F(u)是單調(diào)遞增的由單調(diào)遞第十三頁，共三十八頁，2022年，8月28日非負(fù)函數(shù)

f,g在任何有限區(qū)間[a,u]上可積,且定理11.2(比較判別法)

設(shè)定義在上的兩個(gè)存在滿足第十四頁，共三十八頁，2022年，8月28日證

由非負(fù)函數(shù)無窮積分的判別法,第二個(gè)結(jié)論是第一個(gè)結(jié)論的逆否命題,因此也成立.第十五頁，共三十八頁，2022年，8月28日例3判別的收斂性.解顯然第十六頁，共三十八頁，2022年，8月28日設(shè)f(x),g(x)是上的非負(fù)連續(xù)函數(shù).證例4證由于第十七頁，共三十八頁，2022年，8月28日推論1設(shè)非負(fù)函數(shù)f和g在任何[a,u]上可積,且第十八頁，共三十八頁，2022年，8月28日證

即第十九頁，共三十八頁，2022年，8月28日第二十頁，共三十八頁，2022年，8月28日推論2設(shè)f是定義在上的非負(fù)函數(shù),在任何限區(qū)間[a,u]上可積.推論3設(shè)f是定義在上的非負(fù)函數(shù),在任何有說明:

推論3是推論2的極限形式.第二十一頁，共三十八頁，2022年，8月28日例5

討論的收斂性(k>0).解(i)第二十二頁，共三十八頁，2022年，8月28日Ex1解所給廣義積分收斂．Ex2解根據(jù)柯西極限審斂法

，所給廣義積分發(fā)散．第二十三頁，共三十八頁，2022年，8月28日Ex3解根據(jù)柯西極限審斂法

，所給廣義積分發(fā)散．第二十四頁，共三十八頁，2022年，8月28日第二十五頁，共三十八頁，2022年，8月28日證Ex6:

用比較審斂法證明：即收斂.第二十六頁，共三十八頁，2022年，8月28日Ex7解所以所給廣義積分收斂.第二十七頁，共三十八頁，2022年，8月28日三、一般函數(shù)無窮積分的判別法狄利克雷判別法和阿貝爾判別法.定理11.3(狄利克雷判別法）證故第二十八頁，共三十八頁，2022年，8月28日使得因此,由柯西準(zhǔn)則，第二十九頁，共三十八頁，2022年，8月28日證[證法1]定理11.4(阿貝爾判別法)由

g的單調(diào)性,用積分第二中值定理，對于任意的使得第三十頁，共三十八頁，2022年，8月28日由柯西準(zhǔn)則,第三十一頁，共三十八頁，2022年，8月28日[證法2]由狄利克雷判別法收斂,所以第三十二頁，共三十八頁，2022年，8月28日例6的收斂性.收斂.解由狄利克雷判別法推知另一方面，第三十三頁，共三十八頁，2022年，8月28日狄利克雷判別法條件,是收斂的；第三十四頁，共三十八頁，2022年，8月28日類似可證:第三十五頁，共三十八頁，2022年，8月28日當(dāng)x→+∞時(shí),被積

函數(shù)即使不趨于0,

甚