小學數(shù)學奧數(shù)方法講義40講一

第一講觀察法————————————————姚老師數(shù)學樂園廣安岳池姚文國在解答數(shù)學題時，第一步是觀察。觀察是基礎，是發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的首要步驟。小學數(shù)學教材，特別重視培養(yǎng)觀察力，把培養(yǎng)觀察力作為開發(fā)與培養(yǎng)學生智力的第一步。觀察法，是通過觀察題目中數(shù)字的變化規(guī)律及位置特點，條件與結(jié)論之間的關系，題目的結(jié)構(gòu)特點及圖形的特征，從而發(fā)現(xiàn)題目中的數(shù)量關系，把題目解答出來的一種解題方法。觀察要有次序，要看得仔細、看得真切，在觀察中要動腦，要想出道理、找出規(guī)律。*例1（適于一年級程度）此題是九年義務教育六年制小學教科書數(shù)學第二冊，第11頁中的一道思考題。書中除圖1-1的圖形外沒有文字說明。這道題旨在引導兒童觀察、思考，初步培養(yǎng)他們的觀察能力。這時兒童已經(jīng)學過20以內(nèi)的加減法，基于他們已有的知識，能夠判斷本題的意思是：在右邊大正方形內(nèi)的小方格中填入數(shù)字后，使大正方形中的每一橫行，每一豎列，以及兩條對角線上三個數(shù)字的和，都等于左邊小正方形中的數(shù)字18。實質(zhì)上，這是一種幻方，或者說是一種方陣。解：現(xiàn)在通過觀察、思考，看小方格中應填入什么數(shù)字。從橫中行10+6+□=18會想到，18-10-6=2，在橫中行右面的小方格中應填入2（圖1-2）。從豎右列7+2+□=18（圖1-2）會想到，18-7-2=9，在豎右列下面的小方格中應填入9（圖1-3）。

從正方形對角線上的9+6+□=18（圖1-3）會想到，18-9-6=3，在大正方形左上角的小方格中應填入3（圖1-4）。從正方形對角線上的7+6+□=18（圖1-3）會想到，18-7-6=5，在大正方形左下角的小方格中應填入5（圖1-4）。

從橫上行3+□+7=18（圖1-4）會想到，18-3-7=8，在橫上行中間的小方格中應填入8（圖1-5）。又從橫下行5+□+9=18（圖1-4）會想到，18-5-9=4，在橫下行中間的小方格中應填入4（圖1-5）。圖1-5是填完數(shù)字后的幻方。例2看每一行的前三個數(shù)，想一想接下去應該填什么數(shù)。（適于二年級程度）6、16、26、____、____、____、____。9、18、27、____、____、____、____。80、73、66、____、____、____、____。解：觀察6、16、26這三個數(shù)可發(fā)現(xiàn)，6、16、26的排列規(guī)律是：16比6大10，26比16大10，即后面的每一個數(shù)都比它前面的那個數(shù)大10。觀察9、18、27這三個數(shù)可發(fā)現(xiàn)，9、18、27的排列規(guī)律是：18比9大9，27比18大9，即后面的每一個數(shù)都比它前面的那個數(shù)大9。觀察80、73、66這三個數(shù)可發(fā)現(xiàn)，80、73、66的排列規(guī)律是：73比80小7，66比73小7，即后面的每一個數(shù)都比它前面的那個數(shù)小7。這樣可得到本題的答案是：6、16、26、36、46、56、66。9、18、27、36、45、54、63。80、73、66、59、52、45、38。例3將1～9這九個數(shù)字填入圖1-6的方框中，使圖中所有的不等號均成立。（適于三年級程度）解：仔細觀察圖中不等號及方框的排列規(guī)律可發(fā)現(xiàn)：只有中心的那個方框中的數(shù)小于周圍的四個數(shù)，看來在中心的方框中應填入最小的數(shù)1。再看它周圍的方框和不等號，只有左下角的那個方框中的數(shù)大于相鄰的兩個方框中的數(shù)，其它方框中的數(shù)都是一個比一個大，而且方框中的數(shù)是按順時針方向排列越來越小。所以，在左下角的那個方框中應填9，在它右鄰的方框中應填2，在2右面的方框中填3，在3上面的方框中填4，以后依次填5、6、7、8。圖1-7是填完數(shù)字的圖形。

例4從一個長方形上剪去一個角后，它還剩下幾個角？（適于三年級程度）解：此題不少學生不加思考就回答：“一個長方形有四個角，剪去一個角剩下三個角?！蔽覀冋J真觀察一下，從一個長方形的紙上剪去一個角，都怎么剪？都是什么情況？（1）從一個角的頂點向?qū)堑捻旤c剪去一個角，剩下三個角（圖1-8）。（2）從一個角的頂點向?qū)吷先我庖稽c剪去一個角，剩下四個角（圖1-9）。（3）從一個邊上任意一點向鄰邊上任意一點剪去一個角，

剩下五個角（圖1-10）。例5甲、乙兩個人面對面地坐著，兩個人中間放著一個三位數(shù)。這個三位數(shù)的每個數(shù)字都相同，并且兩人中一個人看到的這個數(shù)比另一個人看到的這個數(shù)大一半，這個數(shù)是多少？（適于三年級程度）解：首先要確定這個三位數(shù)一定是用阿拉伯數(shù)字表示的，不然就沒法考慮了。甲看到的數(shù)與乙看到的數(shù)不同，這就是說，這個三位數(shù)正看、倒看都表示數(shù)。在阿拉伯數(shù)字中，只有0、1、6、8、9這五個數(shù)字正看、倒看都表示數(shù)。這個三位數(shù)在正看、倒看時，表示的數(shù)值不同，顯然這個三位數(shù)不能是000，也不能是111和888，只可能是666或999。如果這個數(shù)是666，當其中一個人看到的是666時，另一個人看到的一定是999，999-666=333，333正好是666的一半。所以這個數(shù)是666，也可以是999。*例61966、1976、1986、1996、2006這五個數(shù)的總和是多少？（適于三年級程度）解：這道題可以有多種解法，把五個數(shù)直接相加，雖然可以求出正確答案，但因數(shù)字大，計算起來容易出錯。如果仔細觀察這五個數(shù)可發(fā)現(xiàn)，第一個數(shù)是1966，第二個數(shù)比它大10，第三個數(shù)比它大20，第四個數(shù)比它大30，第五個數(shù)比它大40。因此，這道題可以用下面的方法計算：1966+1976+1986+1996+2006=1966×5+10×（1+2+3+4）=9830+100=9930這五個數(shù)還有另一個特點：中間的數(shù)是1986，第一個數(shù)1966比中間的數(shù)1986小20，最后一個數(shù)2006比中間的數(shù)1986大20，1966和2006這兩個數(shù)的平均數(shù)是1986。1976和1996的平均數(shù)也是1986。這樣，中間的數(shù)1986是這五個數(shù)的平均數(shù)。所以，這道題還可以用下面的方法計算：1966+1976+1986+1996+2006=1986×5=9930例7你能從400÷25=（400×4）÷（25×4）=400×4÷100=16中得到啟發(fā)，很快算出（1）600÷25（2）900÷25（3）1400÷25（4）1800÷25（5）7250÷25的得數(shù)嗎？（適于四年級程度）解：我們仔細觀察一下算式：400÷25=（400×4）÷（25×4）=400×4÷100=16不難看出，原來的被除數(shù)和除數(shù)都乘以4，目的是將除數(shù)變成1后面帶有0的整百數(shù)。這樣做的根據(jù)是“被除數(shù)和除數(shù)都乘以一個相同的數(shù)（零除外），商不變”。進行這種變化的好處就是當除數(shù)變成了1后面帶有0的整百數(shù)以后，就可以很快求出商。按照這個規(guī)律，可迅速算出下列除法的商。（1）600÷25

（2）900÷25=（600×4）÷（25×4）

=（900×4）÷（25×4）=600×4÷100

=900×4÷100=24

=36（3）1400÷25

（4）1800÷25=（1400×4）÷（25×4）

=（1800×4）÷（25×4）=1400×4÷100

=1800×4÷100=56

=72（5）7250÷25=（7250×4）÷（25×4）=29000÷100=290*例8把1～1000的數(shù)字如圖1-11那樣排列，再如圖中那樣用一個長方形框框出六個數(shù)，這六個數(shù)的和是87。如果用同樣的方法（橫著三個數(shù)，豎著兩個數(shù)）框出的六個數(shù)的和是837，這六個數(shù)都是多少？（適于五年級程度）解：（1）觀察框內(nèi)的六個數(shù)可知：第二個數(shù)比第一個數(shù)大1，第三個數(shù)比第一個數(shù)大2，第四個數(shù)比第一個數(shù)大7，第五個數(shù)比第一個數(shù)大8，第六個數(shù)比第一個數(shù)大9。假定不知道這幾個數(shù)，而知道上面觀察的結(jié)果，以及框內(nèi)六個數(shù)的和是87，要求出這幾個數(shù)，就要先求出六個數(shù)中的第一個數(shù)：（87-1-2-7-8-9）÷6＝60÷6=10求出第一個數(shù)是10，往下的各數(shù)也就不難求了。因為用同樣的方法框出的六個數(shù)之和是837，這六個數(shù)之中后面的五個數(shù)也一定分別比第一個數(shù)大1、2、7、8、9，所以，這六個數(shù)中的第一個數(shù)是：（837-1-2-7-8-9）÷6＝810÷6=135第二個數(shù)是：135+1=136第三個數(shù)是：135+2=137第四個數(shù)是：135+7=142第五個數(shù)是：135+8=143第六個數(shù)是：135+9=144答略。（2）觀察框內(nèi)的六個數(shù)可知：①上、下兩數(shù)之差都是7；②方框中間堅行的11和18，分別是上橫行與下橫行三個數(shù)的中間數(shù)。11=（10+11+12）÷318=（17+18+19）÷3所以上橫行與下橫行兩個中間數(shù)的和是：87÷3＝29由此可得，和是837的六個數(shù)中，橫向排列的上、下兩行兩個中間數(shù)的和是：837÷3＝279因為上、下兩個數(shù)之差是7，所以假定上面的數(shù)是x，則下面的數(shù)是x+7。x+（x+7）=2792x+7=2792x=279-7=272x=272÷2=136x+7=136+7=143因為上一橫行中間的數(shù)是136，所以，第一個數(shù)是：136-1=135第三個數(shù)是：135+2=137因為下一橫行中間的數(shù)是143，所以，第四個數(shù)是：143-1=142第六個數(shù)是：142+2=144答略。*例9有一個長方體木塊，鋸去一個頂點后還有幾個頂點？（適于五年級程度）解：（1）鋸去一個頂點（圖1-12），因為正方體原來有8個頂點，鋸去一個頂點后，增加了三個頂點，所以，8-1+3=10即鋸去一個頂點后還有10個頂點。

（2）如果鋸開的截面通過長方體的一個頂點，則剩下的頂點是8-1+2=9（個）（圖1-13）。（3）如果鋸開的截面通過長方體的兩個頂點，則剩下的頂點是8-1+1=8（個）（圖1-14）。

（4）如果鋸開的截面通過長方體的三個頂點，則剩下的頂點是8-1=7（個）（圖1-15）。例10將高都是1米，底面半徑分別是1.5米、1米和0.5米的三個圓柱組成一個物體（圖1-16），求這個物體的表面積S。（適于六年級程度）解：我們知道，底面半徑為γ，高為h的圓柱體的表面積是2πγ2+2πγh。

本題的物體由三個圓柱組成。如果分別求出三個圓柱的表面積，再把三個圓柱的表面積加在一起，然后減去重疊部分的面積，才能得到這個物體的表面積，這種計算方法很麻煩。這是以一般的觀察方法去解題。如果我們改變觀察的方法，從這個物體的正上方向下俯視這個物體，會看到這個物體上面的面積就像圖1-17那樣。這三個圓的面積，就是底面半徑是1.5米的那個圓柱的底面積。所以，這個物體的表面積，就等于一個大圓柱的表面積加上中、小圓柱的側(cè)面積。（2π×1.52+2π×1.5×1）+（2π×1×1）+（2π×0.5×1）=（4.5π+3π）+2π+π=7.5π+3π=10.5π=10.5×3.14=32.97（平方米）答略。*例11如圖1-18所示，某鑄件的橫截面是扇形，半徑是15厘米，圓心角是72°，鑄件長20厘米。求它的表面積和體積。（適于六年級程度）解：遇到這樣的題目，不但要注意計算的技巧，還要注意觀察的全面性，不可漏掉某一側(cè)面。圖1-18表面積中的一個長方形和一個扇形就容易被漏掉，因而在解題時要仔細。求表面積的方法1：＝3.14×45×2+600+120×3.14=3.14×90+3.14×120+600=3.14×（90+120）+600=659.4+600=1259.4（平方厘米）求表面積的方法2：=3.14×210+600=659.4+600=1259.4（平方厘米）鑄件的體積：=3.14×225×4=3.14×900=2826（立方厘米）答略。第二講嘗試法解應用題時，按照自己認為可能的想法，通過嘗試，探索規(guī)律，從而獲得解題方法，叫做嘗試法。嘗試法也叫“嘗試探索法”。一般來說，在嘗試時可以提出假設、猜想，無論是假設或猜想，都要目的明確，盡可能恰當、合理，都要知道在假設、猜想和嘗試過程中得到的結(jié)果是什么，從而減少嘗試的次數(shù)，提高解題的效率。例1把數(shù)字3、4、6、7填在圖2-1的空格里，使圖中橫行、堅列三個數(shù)相加都等于14。（適于一年級程度）解：七八歲的兒童，觀察、總結(jié)、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的能力薄弱，做這種填空練習，一般都感到困難。可先啟發(fā)他們認識解此題的關鍵在于試填中間的一格。中間一格的數(shù)確定后，下面一格的數(shù)便可由豎列三個數(shù)之和等于14來確定，剩下的兩個數(shù)自然應填入左右兩格了。中間一格應填什么數(shù)呢？先看一個日常生活中的例子。如果我們要從一種月刊全年的合訂本中找到第六期的第23頁，我們一定要從合訂本大約一半的地方打開。要是翻到第五期，就要再往后翻；要是翻到第七期、第八期，就要往前翻。找到第六期后，再往接近第23頁的地方翻，……這樣反復試探幾次，步步逼近，最后就能找到這一頁。這就是在用“嘗試法”解決問題。本題的試數(shù)范圍是3、4、6、7四個數(shù)，可由小至大，或由大至小依次填在中間的格中，按“橫行、豎列三個數(shù)相加都得14”的要求來逐個嘗試。

如果中間的格中填3，則豎列下面的一格應填多少呢？因為14-5-3=6，所以豎列下面的一格中應填6（圖2-2）。下面就要把剩下的4、7，分別填入橫行左右的兩個格中（圖2-3）。把橫行格中的4、3、7三個數(shù)加起來，得14，合乎題目要求。如果中間一格填4、或填6、7都不合乎題目的要求。所以本題的答案是圖2-3或圖2-4。例2把1、2、3……11各數(shù)填在圖2-5的方格里，使每一橫行、每一豎行的數(shù)相加都等于18。（教科書第四冊第57頁的思考題，適于二年級程度）解：圖2-5中有11個格，正好每一格填寫一個數(shù)。圖2-6中寫有A、B、C的三個格中的三個數(shù)，既要參加橫向的運算，又要參加縱向的運算，就是說這三個數(shù)都要被用兩次。因此，確定A、B、C這三個數(shù)是解此題的關鍵。

因為1～11之中中間的三個數(shù)是5、6、7，所以，我們以A、B、C分別為5、6、7開始嘗試（圖2-7）。以6為中心嘗試，看6上、下兩個格中應填什么數(shù)。因為18-6=12，所以6上、下兩格中數(shù)字的和應是12?？紤]6已是1～11之中中間的數(shù)，那么6上、下兩格中的數(shù)應是1～11之中兩頭的數(shù)。再考慮6上面的數(shù)還要與5相加，6下面的數(shù)還要與7相加，5比7小，題中要求是三個數(shù)相加都等于18，所以在6上面的格中填11，在6下面的格中填1（圖2-8）。6+11+1=18看圖2-8。6上面的數(shù)是11，11左鄰的數(shù)是5，18-11-5=2，所以5左鄰的數(shù)是2（圖2-9）。再看圖2-8。6下面的數(shù)是1，1右鄰的數(shù)是7，18-1-7=10，所以7右鄰的數(shù)是10（圖2-9）?，F(xiàn)在1～11之中只剩下3、4、8、9這四個數(shù)，圖2-9中也只剩下四個空格。在5的上、下，在7的上、下都應填什么數(shù)呢？

因為18-5=13，所以5上、下兩格中數(shù)字的和應是13，3、4、8、9這四個數(shù)中，只有4+9=13，所以在5的上、下兩格中應填9與4（圖2-10）?？磮D2-10。因為6左鄰的數(shù)是4，18-4-6=8，所以6右鄰的數(shù)是8。因為18-7-8=3，并且1-11的數(shù)中，只剩下3沒有填上，所以在7下面的格中應填上3。圖2-10是填完數(shù)字的圖形。*例3在9只規(guī)格相同的手鐲中混有1只較重的假手鐲。在一架沒有砝碼的天平上，最多只能稱兩次，你能把假手鐲找出來嗎？（適于三年級程度）解：先把9只手鐲分成A、B、C三組，每組3只。①把A、B兩組放在天平左右兩邊的秤盤上，如果平衡，則假的1只在C組里；若不平衡，則哪組較重，假的就在哪組里。②再把有假手鐲的那組中的兩只分別放在天平的左右秤盤上。如果平衡，余下的1只是假的；若不平衡，較重的那只是假的。*例4在下面的15個8之間的任何位置上，添上+、-、×、÷符號，使得下面的算式成立。（適于三年級程度）888888888888888=1986解：先找一個接近1986的數(shù)，如：8888÷8+888=1999。1999比1986大13。往下要用剩下的7個8經(jīng)過怎樣的運算得出一個等于13的算式呢？88÷8=11，11與13接近，只差2。往下就要看用剩下的4個8經(jīng)過怎樣的運算等于2。8÷8+8÷8=2。把上面的思路組合在一起，得到下面的算式：8888÷8+888-88÷8-8÷8-8÷8=1986例5三個連續(xù)自然數(shù)的積是120，求這三個數(shù)。（適于四年級程度）解：假設這三個數(shù)是2、3、4，則：2×3×4=2424＜120，這三個數(shù)不是2、3、4；假設這三個數(shù)是3、4、5，則：3×4×5＝6060＜120，這三個數(shù)不是3、4、5；假設這三個數(shù)是4、5、6，則：4×5×6=1204、5、6的積正好是120，這三個數(shù)是4、5、6。例6在下面式子里的適當位置上加上括號，使它們的得數(shù)分別是47、75、23、35。（適于四年級程度）（1）7×9+12÷3-2＝47（2）7×9+12÷3-2=75（3）7×9+12÷3-2=23（4）7×9+12÷3-2=35解：本題按原式的計算順序是先做第二級運算，再做第一級運算，即先做乘除法而后做加減法，結(jié)果是：7×9+12÷3-2=63+4-2=65“加上括號”的目的在于改變原來的計算順序。由于此題加中括號還是加小括號均未限制，因此解本題的關鍵在于加寫括號的位置?？梢詮募訉懸粋€小括號想起，然后再考慮加寫中括號。如：（1）7×7=49，再減2就是47。這里的第一個數(shù)7是原算式中的7，要減去的2是原算式等號前的數(shù)，所以下面應考慮能否把9+12÷3通過加括號后改成得7的算式。經(jīng)過加括號，（9+12）÷3=7，因此：7×[（9+12）÷3]-2=47因為一個數(shù)乘以兩個數(shù)的商，可以用這個數(shù)乘以被除數(shù)再除以除數(shù)，所以本題也可以寫成：7×（9+12）÷3-2=47（2）7×11=77，再減2就得75。這里的7是原算式中的第一個數(shù)，要減去的2是等號前面的數(shù)。下面要看9+12÷3能不能改寫成得11的算式。經(jīng)嘗試9+12÷3不能改寫成得11的算式，所以不能沿用上一道題的解法。7×9+12得75，這里的7、9、12就是原式中的前三個數(shù)，所以只要把3-2用小括號括起來，使7×9+12之和除以1，問題就可解決。由此得到：（7×9+12）÷（3-2）=75因為（3-2）的差是1，所以根據(jù)“兩個數(shù)的和除以一個數(shù)，可以先把兩個加數(shù)分別除以這個數(shù)，然后把兩個商相加”這一運算規(guī)則，上面的算式又可以寫成：7×9+12÷（3-2）=75在上面的這個算式中，本應在7×9的后面寫上“÷（3-2）”，因為任何數(shù)除以1等于這個數(shù)本身，為了適應題目的要求，不在7×9的后寫出“÷（3-2）”。（3）25-2=23，這個算式中，只有2是原算式等號前的數(shù)，只要把7×9+12÷3改寫成得25的算式，問題就可解決。又因為7×9+12=75，75÷3=25，所以只要把7×9+12用小括號括起來，就得到題中所求了。（7×9+12）÷3-2=23（4）7×5=35，7是原算式中的第一個數(shù)，原算式中的9+12÷3-2能否改寫成得5的算式呢？因為7-2=5，要是9+12÷3能改寫成得7的算式就好了。經(jīng)改寫為（9+12）÷3=7，因此問題得到解決。題中要求的算式是：7×[（9+12）÷3-2]=35*例7王明和李平一起剪羊毛，王明剪的天數(shù)比李平少。王明每天剪20只羊的羊毛，李平每天剪12只羊的羊毛。他倆共剪了112只羊的羊毛，兩人平均每天剪14只羊的羊毛。李平剪了幾天羊毛？（適于四年級程度）解：王明、李平合在一起，按平均每天剪14只羊的羊毛計算，一共剪的天數(shù)是：112÷14=8（天）因為王明每天剪20只，李平每天剪12只，一共剪了112只，兩人合起來共剪了8天，并且李平剪的天數(shù)多，所以假定李平剪了5天。則：12×5+20×（8-5）=120（只）120＞112，李平不是剪了5天，而是剪的天數(shù)多于5天。假定李平剪了6天，則：12×6+20×（8-6）=112（只）所以按李平剪6天計算，正滿足題中條件。答：李平剪了6天。*例8一名學生讀一本書，用一天讀80頁的速度，需要5天讀完，用一天讀90頁的速度，需要4天讀完。現(xiàn)在要使每天讀的頁數(shù)跟能讀完這本書的天數(shù)相等，每天應該讀多少頁？（適于五年級程度）解：解這道題的關鍵是要求出一本書的總頁數(shù)。因為每天讀的頁數(shù)乘以讀的天數(shù)等于一本書的總頁數(shù)，又因為每天讀的頁數(shù)與讀完此書的天數(shù)相等，所以知道了總頁數(shù)就可以解題了。根據(jù)“用一天讀80頁的速度，需要5天讀完”，是否能夠認為總頁數(shù)就是80×5=400（頁）呢？不能。因為5天不一定每天都讀80頁，所以只能理解為：每天讀80頁，讀了4天還有余下的，留到第五天才讀完。這也就是說，這本書超過了80×4=320（頁），最多不會超過：90×4=360（頁）根據(jù)以上分析，可知這本書的頁數(shù)在321～360頁之間。知道總頁數(shù)在這個范圍之內(nèi)，往下就不難想到什么數(shù)自身相乘，積在321～360之間。因為17×17=289，18×18=324，19×19=361，324在321～360之間，所以只有每天讀18頁才符合題意，18天看完，全書324頁。答：每天應該讀18頁。*例9一個數(shù)是5個2，3個3，2個5，1個7的連乘積。這個數(shù)有許多約數(shù)是兩位數(shù)。這些兩位數(shù)的約數(shù)中，最大的是幾？（適于六年級程度）解：兩位數(shù)按從大到小的順序排列為：99、98、97、96……11、10以上兩位數(shù)分解后，它的質(zhì)因數(shù)只能是2、3、5、7，并且在它的質(zhì)因數(shù)分解中2的個數(shù)不超過5，3的個數(shù)不超過3，5的個數(shù)不超過2，7的個數(shù)不超過1。經(jīng)嘗試，99不符合要求，因為它有質(zhì)因數(shù)11；98的分解式中有兩個7，也不符合要求；質(zhì)數(shù)97當然更不會符合要求。而，96=2×2×2×2×2×3所以在這些兩位數(shù)的約數(shù)中，最大的是96。答略。*例10從一個油罐里要稱出6千克油來，但現(xiàn)在只有兩個桶，一個能容4千克，另一個能容9千克。求怎樣才能稱出這6千克油？（適于六年級程度）解：這道題單靠計算不行，我們嘗試一些做法，看能不能把問題解決。已知大桶可裝9千克油，要稱出6千克油，先把能容9千克油的桶倒?jié)M，再設法倒出9千克油中的3千克，為達到這一目的，我們應使小桶中正好有1千克油。怎樣才能使小桶里裝1千克油呢？（1）把能容9千克油的大桶倒?jié)M油。（2）把大桶里的油往小桶里倒，倒?jié)M小桶，則大桶里剩5千克油，小桶里有4千克油。（3）把小桶中的4千克油倒回油罐。（4）把大桶中剩下的油再往小桶里倒，倒?jié)M小桶，則大桶里剩下1千克油。（5）把小桶中現(xiàn)存的4千克油倒回油罐。此時油罐外，只有大桶里有1千克油。（6）把大桶中的1千克油倒入小桶。（7）往大桶倒?jié)M油。（8）從大桶里往有1千克油的小桶里倒油，倒?jié)M。（9）大桶里剩下6千克油。第三講列舉法解應用題時，為了解題的方便，把問題分為不重復、不遺漏的有限情況，一一列舉出來加以分析、解決，最終達到解決整個問題的目的。這種分析、解決問題的方法叫做列舉法。列舉法也叫枚舉法或窮舉法。用列舉法解應用題時，往往把題中的條件以列表的形式排列起來，有時也要畫圖。例1一本書共100頁，在排頁碼時要用多少個數(shù)字是6的鉛字？（適于三年級程度）解：把個位是6和十位是6的數(shù)一個一個地列舉出來，數(shù)一數(shù)。個位是6的數(shù)字有：6、16、26、36、46、56、66、76、86、96，共10個。十位是6的數(shù)字有：60、61、62、63、64、65、66、67、68、69，共10個。10+10=20（個）答：在排頁碼時要用20個數(shù)字是6的鉛字。*例2從A市到B市有3條路，從B市到C市有兩條路。從A市經(jīng)過B市到C市有幾種走法？（適于三年級程度）解：作圖3-1，然后把每一種走法一一列舉出來。第一種走法：A①B④C第二種走法：A①B⑤C第三種走法：A②B④C第四種走法：A②B⑤C第五種走法：A③B④C第六種走法：A③B⑤C答：從A市經(jīng)過B市到C市共有6種走法。*例39○13○7=10014○2○5=□把+、-、×、÷四種運算符號分別填在適當?shù)膱A圈中（每種運算符號只能用一次），并在長方形中填上適當?shù)恼麛?shù)，使上面的兩個等式都成立。這時長方形中的數(shù)是幾？（適于四年級程度）解：把+、-、×、÷四種運算符號填在四個圓圈里，有許多不同的填法，要是逐一討論怎樣填會特別麻煩。如果用些簡單的推理，排除不可能的填法，就能使問題得到簡捷的解答。先看第一個式子：9○13○7=100如果在兩個圓圈內(nèi)填上“÷”號，等式右端就要出現(xiàn)小于100的分數(shù)；如果在兩個圓圈內(nèi)僅填“+”、“-”號，等式右端得出的數(shù)也小于100，所以在兩個圓圈內(nèi)不能同時填“÷”號，也不能同時填“+”、“-”號。要是在等式的一個圓圈中填入“×”號，另一個圓圈中填入適當?shù)姆柧腿菀资沟仁接叶说贸?00。9×13-7=117-7=110，未湊出100。如果在兩個圈中分別填入“+”和“×”號，就會湊出100了。9+13×7=100再看第二個式子：14○2○5=□上面已經(jīng)用過四個運算符號中的兩個，只剩下“÷”號和“-”號了。如果在第一個圓圈內(nèi)填上“÷”號，14÷2得到整數(shù)，所以：14÷2-5=2即長方形中的數(shù)是2。*例4

印刷工人在排印一本書的頁碼時共用1890個數(shù)碼，這本書有多少頁？（適于四年級程度）解：（1）數(shù)碼一共有10個：0、1、2……8、9。0不能用于表示頁碼，所以頁碼是一位數(shù)的頁有9頁，用數(shù)碼9個。（2）頁碼是兩位數(shù)的從第10頁到第99頁。因為99-9=90，所以，頁碼是兩位數(shù)的頁有90頁，用數(shù)碼：2×90=180（個）（3）還剩下的數(shù)碼：1890-9-180=1701（個）（4）因為頁碼是三位數(shù)的頁，每頁用3個數(shù)碼，100頁到999頁，999-99=900，而剩下的1701個數(shù)碼除以3時，商不足600，即商小于900。所以頁碼最高是3位數(shù)，不必考慮是4位數(shù)了。往下要看1701個數(shù)碼可以排多少頁。1701÷3=567（頁）（5）這本書的頁數(shù)：9+90+567=666（頁）答略。*例5用一根80厘米長的鐵絲圍成一個長方形，長和寬都要是5的倍數(shù)。哪一種方法圍成的長方形面積最大？（適于四年級程度）解：要知道哪種方法所圍成的面積最大，應將符合條件的圍法一一列舉出來，然后加以比較。因為長方形的周長是80厘米，所以長與寬的和是40厘米。列表3-1：表3-1表3-1中，長、寬的數(shù)字都是5的倍數(shù)。因為題目要求的是哪一種圍法的長方形面積最大，第四種圍法圍出的是正方形，所以第四種圍法應舍去。前三種圍法的長方形面積分別是：35×5=175（平方厘米）30×10=300（平方厘米）25×15=375（平方厘米）答：當長方形的長是25厘米，寬是15厘米時，長方形的面積最大。例6如圖3-2，有三張卡片，每一張上寫有一個數(shù)字1、2、3，從中抽出一張、兩張、三張，按任意次序排列起來，可以得到不同的一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)。請將其中的質(zhì)數(shù)都寫出來。（適于五年級程度）解：任意抽一張，可得到三個一位數(shù)：1、2、3，其中2和3是質(zhì)數(shù)；任意抽兩張排列，一共可得到六個不同的兩位數(shù)：12、13、21、23、31、32，其中13、23和31是質(zhì)數(shù)；三張卡片可排列成六個不同的三位數(shù)，但每個三位數(shù)數(shù)碼的和都是1+2+3=6，即它們都是3的倍數(shù)，所以都不是質(zhì)數(shù)。綜上所說，所能得到的質(zhì)數(shù)是2、3、13、23、31，共五個。*例7在一條筆直的公路上，每隔10千米建有一個糧站。一號糧站存有10噸糧食，2號糧站存有20噸糧食，3號糧站存有30噸糧食，4號糧站是空的，5號糧站存有40噸糧食。現(xiàn)在要把全部糧食集中放在一個糧站里，如果每噸1千米的運費是0.5元，那么糧食集中到第幾號糧站所用的運費最少（圖3-3）？（適于五年級程度）解：看圖3-3，可以斷定糧食不能集中在1號和2號糧站。下面將運到3號、4號、5號糧站時所用的運費一一列舉，并比較。（1）如果運到3號糧站，所用運費是：0.5×10×（10+10）+0.5×20×10+0.5×40×（10+10）=100+100+400=600（元）（2）如果運到4號糧站，所用運費是：0.5×10×（10+10+10）+0.5×20×（10+10）+0.5×30×10+0.5×40×10=150+200+150+200=700（元）（3）如果運到5號糧站，所用費用是：0.5×10×（10+10+10+10）+0.5×20×（10+10+10）+0.5×30×（10+10）=200+300+300=800（元）800＞700＞600答：集中到第三號糧站所用運費最少。*例8小明有10個1分硬幣，5個2分硬幣，2個5分硬幣。要拿出1角錢買1支鉛筆，問可以有幾種拿法？用算式表達出來。（適于五年級程度）解：（1）只拿出一種硬幣的方法：①全拿1分的：1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=1（角）②全拿2分的：2+2+2+2+2=1（角）③全拿5分的：5+5=1（角）只拿出一種硬幣，有3種方法。（2）只拿兩種硬幣的方法：①拿8枚1分的，1枚2分的：1+1+1+1+1+1+1+1+2=1（角）②拿6枚1分的，2枚2分的：1+1+1+1+1+1+2+2=1（角）③拿4枚1分的，3枚2分的：1+1+1+1+2+2+2=1（角）④拿2枚1分的，4枚2分的：1+1+2+2+2+2=1（角）⑤拿5枚1分的，1枚5分的：1+1+1+1+1+5=1（角）只拿出兩種硬幣，有5種方法。（3）拿三種硬幣的方法：①拿3枚1分，1枚2分，1枚5分的：1+1+1+2+5=1（角）②拿1枚1分，2枚2分，1枚5分的：1+2+2+5=1（角）拿出三種硬幣，有2種方法。共有：3+5+2=10（種）答：共有10種拿法。*例9甲、乙、丙、丁與小強五位同學一起比賽象棋，每兩人都要比賽一盤。到現(xiàn)在為止，甲賽了4盤，乙賽了3盤，丙賽了2盤，丁賽了1盤。問小強賽了幾盤？（適于五年級程度）解：作表3-2。表3-2甲已經(jīng)賽了4盤，就是甲與乙、丙、丁、小強各賽了一盤，在甲與乙、丙、丁、小強相交的那些格里都打上√；乙賽的盤數(shù)，就是除了與甲賽的那一盤，又與丙和小強各賽一盤，在乙與丙、小強相交的那兩個格中都打上√；丙賽了兩盤，就是丙與甲、乙各賽一盤，打上√；丁與甲賽的那一盤也打上√。丁未與乙、丙、小強賽過，在丁與乙、丙與小強相交的格中都畫上圈。根據(jù)條件分析，填完表格以后，可明顯地看出，小強與甲、乙各賽一盤，未與丙、丁賽，共賽2盤。答：小強賽了2盤。*例10商店出售餅干，現(xiàn)存10箱5千克重的，4箱2千克重的，8箱1千克重的，一位顧客要買9千克餅干，為了便于攜帶要求不開箱。營業(yè)員有多少種發(fā)貨方式？（適于五年級程度）解：作表3-3列舉發(fā)貨方式。表3-3答：不開箱有7種發(fā)貨方式。*例11運輸隊有30輛汽車，按1～30的編號順序橫排停在院子里。第一次陸續(xù)開走的全部是單號車，以后幾次都由余下的第一輛車開始隔一輛開走一輛。到第幾次時汽車全部開走？最后開走的是第幾號車？（適于五年級程度）解：按題意畫出表3-4列舉各次哪些車開走。表3-4從表3-4中看得出，第三次開走后剩下的是第8號、16號、24號車。按題意，第四次8號、24號車開走。到第五次時汽車全部開走，最后開走的是第16號車。答：到第五次時汽車全部開走，最后開走的是第16號車。*例12在甲、乙兩個倉庫存放大米，甲倉存90袋，乙倉存50袋，甲倉每次運出12袋，乙倉每次運出4袋。運出幾次后，兩倉庫剩下大米的袋數(shù)相等？（適于五年級程度）解：根據(jù)題意列表3-5。表3-5從表3-5可以看出，原來甲乙兩倉庫所存大米相差40袋；第一次運走后，兩倉剩下的大米相差78-46=32（袋）；第二次運走后，兩倉剩下的大米相差66-42=24（袋）；第三次運走后，兩倉剩下的大米相差54-38=16（袋）；第四次運走后，兩倉剩下的大米相差42-34=8（袋）；第五次運走后，兩倉剩下的大米袋數(shù)相等。40-32=832-24=824-16=8……從這里可以看出，每運走一次，兩倉庫剩下大米袋數(shù)的相差數(shù)就減少8袋。由此可以看出，兩倉庫原存大米袋數(shù)的差，除以每次運出的袋數(shù)差就得出運幾次后兩個倉庫剩下大米的袋數(shù)相等。（90-50）÷（12-4）=5（次）答：運出5次后兩個倉庫剩下大米的袋數(shù)相等。*例13有三組小朋友共72人，第一次從第一組里把與第二組同樣多的人數(shù)并入第二組；第二次從第二組里把與第三組同樣多的人數(shù)并入第三組；第三次從第三組里把與第一組同樣多的人數(shù)并入第一組。這時，三組的人數(shù)一樣多。問原來各組有多少個小朋友？（適于五年級程度）解：三個小組共72人，第三次并入后三個小組人數(shù)相等，都是72÷3=24（人）。在這以前，即第三組未把與第一組同樣多的人數(shù)并入第一組時，第一組應是24÷2=12（人），第三組應是（24+12）=36（人），第二組人數(shù)仍為24人；在第二次第二組未把與第三組同樣多的人數(shù)并入第三組之前，第三組應為36÷2=18（人），第二組應為（24+18）=42（人），第一組人數(shù)仍是12人；在第一次第一組未把與第二組同樣多的人數(shù)并入第二組之前，第二組的人數(shù)應為42÷2=21（人），第一組人數(shù)應為12+21=33（人），第三組應為18人。這33人、21人、18人分別為第一、二、三組原有的人數(shù)，列表3-6。表3-6答：第一、二、三組原有小朋友分別是33人、21人、18人第四講綜合法從已知數(shù)量與已知數(shù)量的關系入手，逐步分析已知數(shù)量與未知數(shù)量的關系，一直到求出未知數(shù)量的解題方法叫做綜合法。以綜合法解應用題時，先選擇兩個已知數(shù)量，并通過這兩個已知數(shù)量解出一個問題，然后將這個解出的問題作為一個新的已知條件，與其它已知條件配合，再解出一個問題……一直到解出應用題所求解的未知數(shù)量。運用綜合法解應用題時，應明確通過兩個已知條件可以解決什么問題，然后才能從已知逐步推到未知，使問題得到解決。這種思考方法適用于已知條件比較少，數(shù)量關系比較簡單的應用題。例1甲、乙兩個土建工程隊共同挖一條長300米的水渠，4天完成任務。甲隊每天挖40米，乙隊每天挖多少米？（適于三年級程度）解：根據(jù)“甲、乙兩個土建工程隊共同挖一條長300米的水渠”和“4天完成任務”這兩個已知條件，可以求出甲乙兩隊每天共挖水渠多少米（圖4-1）。300÷4=75（米）根據(jù)“甲、乙兩隊每天共挖水渠75米”和“甲隊每天挖40米”這兩個條件，可以求出乙隊每天挖多少米（圖4-1）。75-40=35（米）綜合算式：300÷4-40=75-40=35（米）答：乙隊每天挖35米。例2兩個工人排一本39500字的書稿。甲每小時排3500字，乙每小時排3000字，兩人合排5小時后，還有多少字沒有排？（適于四年級程度）解：根據(jù)甲每小時排3500字，乙每小時排3000字，可求出兩人每小時排多少字（圖4-2）。3500+3000=6500（字）根據(jù)兩個人每小時排6500字，兩人合排5小時，可求出兩人5小時已排多少字（圖4-2）。6500×5=32500（字）根據(jù)書稿是39500字，兩人已排32500字，可求出還有多少字沒有排（圖4-2）。39500-32500=7000（字）綜合算式：39500-（3500+3000）×5=39500-6500×5=39500-32500=7000（字）答略。例3客車、貨車同時由甲、乙兩地出發(fā)，相向而行。客車每小時行60千米，貨車每小時行40千米，5小時后客車和貨車相遇。求甲、乙兩地之間的路程。（適于四年級程度）解：根據(jù)“客車每小時行60千米”和“貨車每小時行40千米”這兩個條件，可求出兩車一小時共行多少千米（圖4-3）。60+40=100（千米）根據(jù)“兩車一小時共行100千米”和兩車5小時后相遇，便可求出甲、乙兩地間的路程是多少千米（圖4-3）。100×5=500（千米）綜合算式：（60+40）×5=100×5=500（千米）答：甲、乙兩地間的路程是500千米。例4一個服裝廠計劃做660套衣服，已經(jīng)做了5天，平均每天做75套。剩下的要3天做完，問平均每天要做多少套？（適于四年級程度）解：根據(jù)“已經(jīng)做了5天，平均每天做75套”這兩個條件可求出已做了多少套（圖4-4）。75×5=375（套）根據(jù)“計劃做660套”和“已經(jīng)做了375套”這兩個條件，可以求出還剩下多少套（圖4-4）。660-375=285（套）再根據(jù)“剩下285套”和“剩下的要3天做完”，便可求出平均每天要做多少套（圖4-4）。285÷3=95（套）綜合算式：（660-75×5）÷3=285÷3=95（套）答略。例5某裝配車間，甲班有20人，平均每人每天可做72個零件；乙班有24人，平均每人每天可做68個零件。如果裝一臺機器需要12個零件，那么甲、乙兩班每天生產(chǎn)的零件可以裝多少臺機器？（適于四年級程度）解：根據(jù)“甲班有20人，平均每人每天可做72個零件”這兩個條件可求出甲班一天生產(chǎn)多少個零件（圖4-5）。72×20=1440（個）根據(jù)“乙班有24人，平均每天每人可做68個零件”這兩個條件可求出乙班一天生產(chǎn)多少個零件（圖4-5）。68×24=1632（個）根據(jù)甲、乙兩個班每天分別生產(chǎn)1440個、1632個零件，可以求出甲、乙兩個班一天共生產(chǎn)多少個零件（圖4-5）。1440+1632=3072（個）再根據(jù)兩個班一天共做零件3072個和裝一臺機器需要12個零件這兩條件，可求出兩個班一天生產(chǎn)的零件可以裝多少臺機器。3072÷12=256（臺）綜合算式：（72×20+68×24）÷12=（1440+1632）÷12=3072÷12=256（臺）答略。例6一個服裝廠計劃加工2480套服裝，每天加工100套，工作20天后，每天多加工20套。提高工作效率后，還要加工多少天才能完成任務？（適于四年級程度）解：根據(jù)每天加工100套，加工20天，可求出已經(jīng)加工多少套（圖4-6）。100×20=2000（套）根據(jù)計劃加工2480套和加工了2000套，可求出還要加工多少套（圖4-6）。2480-2000=480（套）根據(jù)原來每天加工100套，現(xiàn)在每天多加工20套，可求出現(xiàn)在每天加工多少套（圖4-6）。100+20=120（套）根據(jù)還要加工480套，現(xiàn)在每天加工120套，可求出還要加工多少天（圖4-6）。48O÷120=4（天）綜合算式：（2480-100×20）÷（100+20）=480÷120=4（天）答略。剛開始學習以綜合法解應用題時，一定要畫思路圖，當對綜合法的解題方法已經(jīng)很熟悉時，就可以不再畫思路圖，而直接解答應用題了。解：此題先后出現(xiàn)了兩個標準量：“第一桶的重量”和“第二桶的重量”。=49.5（千克）答略。解：此題先后出現(xiàn)兩個標準量：“甲塊地產(chǎn)高粱的重量”和“乙塊地產(chǎn)高粱的重量”。將題中已知條件的順序變更一下：丙塊地產(chǎn)高粱450千克，丙塊地比乙條件，可求出乙塊地產(chǎn)高粱是：（這里乙塊地的產(chǎn)量是標準量1）（這里甲塊地的產(chǎn)量是標準量1）綜合算式：=546（千克）答略。第五講分析法從求解的問題出發(fā)，正確選擇所需要的兩個條件，依次推導，一直到問題得到解決的解題方法叫分析法。用分析法解應用題時，如果解題所需要的兩個條件，（或其中的一個條件）是未知的，就要分別求解找出這兩個（或一個）條件，一直到所需要的條件都是已知的為止。分析法適于解答數(shù)量關系比較復雜的應用題。例1玩具廠計劃每天生產(chǎn)200件玩具，已經(jīng)生產(chǎn)了6天，共生產(chǎn)1260件。問平均每天超過計劃多少件？（適于三年級程度）解：這道題是求平均每天超過計劃多少件。要求平均每天超過計劃多少件，必須具備兩個條件（圖5-1）：①實際每天生產(chǎn)多少件；②計劃每天生產(chǎn)多少件。計劃每天生產(chǎn)200件是已知條件。實際每天生產(chǎn)多少件，題中沒有直接告訴，需要求出來。要求實際每天生產(chǎn)多少件，必須具備兩個條件（圖5-1）：①一共生產(chǎn)了多少件；②已經(jīng)生產(chǎn)了多少天。這兩個條件都是已知的：①一共生產(chǎn)了1260件；②已經(jīng)生產(chǎn)了6天。分析到這里，問題就得到解決了。此題分步列式計算就是：（1）實際每天生產(chǎn)多少件？1260÷6=210（件）（2）平均每天超過計劃多少件？210-200=10（件）綜合算式：1260÷6-200=210-200=10（件）例2四月上旬，甲車間制造了257個機器零件，乙車間制造的機器零件是甲車間的2倍。四月上旬兩個車間共制造多少個機器零件？（適于三年級程度）解：要求兩個車間共制造多少個機器零件，必須具備兩個條件（圖5-2）：①甲車間制造多少個零件；②乙車間制造多少個零件。已知甲車間制造257個零件，乙車間制造多少個零件未知。下面需要把“乙車間制造多少個零件”作為一個問題，并找出解答這個問題所需要的兩個條件。這兩個條件（圖5-2）是：①甲車間制造多少個零件；②乙車間制造的零件是甲車間的幾倍。這兩個條件都是已知的：①甲車間制造257個，乙車間制造的零件數(shù)是甲車間的2倍。分析到此，問題就得到解決了。此題分步列式計算就是：（1）乙車間制造零件多少個？257×2=514（個）（2）兩個車間共制造零件多少個？257+514=771（個）綜合算式：257+257×2=257+514=771（個）答略。例3某車間要生產(chǎn)180個機器零件，已經(jīng)工作了3天，平均每天生產(chǎn)20個。剩下的如果每天生產(chǎn)30個，還需要幾天才能完成？（適于四年級程度）解：要求還需要幾天才能完成，必須具備兩個條件（圖5-3）：①還剩下多少個零件；②每天生產(chǎn)多少個零件。在這兩個條件中，每天生產(chǎn)30個零件是已知條件，還剩多少個零件未知。先把“還剩多少個零件”作為一個問題，并找出解答這個問題所需要的兩個條件。要算出還剩下多少個零件，必須具備的兩個條件（圖5-3）是：①要生產(chǎn)多少個零件；②已經(jīng)生產(chǎn)了多少個零件。要生產(chǎn)180個零件是已知條件，已經(jīng)生產(chǎn)多少個零件未知。然后把“已經(jīng)生產(chǎn)多少個零件”作為一個問題，并找出解答這個問題所需要的兩個條件。要算出已生產(chǎn)多少個零件，必須知道的兩個條件（圖5-3）是：①每天生產(chǎn)多少個零件；②生產(chǎn)了幾天。這兩個條件題中都已經(jīng)給出：每天生產(chǎn)20個零件，生產(chǎn)了3天。分析到此，問題就得到解決。

上面的思考過程，分步列式計算就是：（1）已經(jīng)生產(chǎn)了多少個零件？20×3=60（個）（2）剩下多少個零件？180-60=120（個）（3）還要幾天才能完成？120÷30=4（天）綜合算式：（180-20×3）÷30=（180-60）÷30=120÷30=4（天）答略。例4王明買了24本筆記本和6支鉛筆，共花了9.60元錢。已知每支鉛筆0.08元，每本筆記本多少錢？（適于五年級程度）解：要算出每本筆記本多少錢，必須具備兩個條件（圖5-4）：①買筆記本用了多少錢；②買了多少本筆記本。從題中已知買了24本筆記本，買筆記本用的錢數(shù)未知。先把買筆記本用的錢數(shù)作為一個問題，并找出解答這個問題所需要的兩個條件。要算出買筆記本用多少錢，必須知道的兩個條件（圖5-4）是：①買筆記本、鉛筆共用多少錢；②買鉛筆用多少錢。已知買筆記本、鉛筆共用9.60元，買鉛筆用去多少錢未知。然后找出“買鉛筆用多少錢”所需要的兩個條件。要算出買鉛筆用多少錢，必須知道的兩個條件（圖5-4）是：①買多少支鉛筆；②每支鉛筆多少錢。這兩個條件在題中都是已知的：買6支鉛筆，每支0.08元。分析到此，問題就得到解決。此題分步列式計算就是：（1）買鉛筆用去多少元？0.08×6=0.48（元）（2）買筆記本用去多少元？9.60-0.48=9.12（元）（3）每本筆記本多少元？9.12÷24=0.38（元）列綜合算式計算：（9.60-0.08×6）÷24＝（9.60-0.48）÷24=9.12÷24=0.38（元）答：每本筆記本0.38元。例5倉庫里共有化肥2520袋，兩輛車同時往外運，共運30次，每次甲車運51袋。每次甲車比乙車多運多少袋？（適于五年級程度）解：求每次甲車比乙車多運多少袋，必須具備兩個條件（圖5-5）：①甲車每次運多少袋；②乙車每次運多少袋。甲車每次運51袋已知，乙車每次運多少袋未知。先找出解答“乙車每次運多少袋”所需要的兩個條件。要算出乙車每次運多少袋，必須具備兩個條件（圖5-5）：①兩車一次共運多少袋；②甲車一次運多少袋。甲車一次運51袋已知；兩車一次共運多少袋是未知條件。然后把“兩車一次共運多少袋”作為一個問題，并找出解答這個問題所需要的兩個條件。要算出兩車一次共運多少袋，必須具備兩個條件（圖5-5）：①一共有多少袋化肥；②兩車共運多少次。這兩個條件都是已知的：共有2520袋化肥，兩車共運30次。分析到此，問題就得到解決。此題分步列式計算就是：①兩車一次共運多少袋？2520÷30=84（袋）②乙車每次運多少袋？84-51=33（袋）③每次甲車比乙車多運多少袋？51-33=18（袋）綜合算式：51-（2520÷30-51）=51-33=18（袋）答略。*例6把627.5千克梨裝在紙箱中，先裝7箱，每箱裝梨20千克，其余的梨每箱裝37.5千克。這些梨共裝多少箱？（適于五年級程度）解：要算出共裝多少箱，必須具備兩個條件（圖5-6）：①先裝多少箱。②后裝多少箱。先裝7箱已知，后裝多少箱未知。先把“后裝多少箱”作為一個問題，并找出解答這個問題所需要的兩個條件。要算出后裝多少箱，必須具備兩個條件（圖5-6）：①后來一共要裝多少千克；②后來每箱裝多少千克。后來每箱裝37.5千克已知，后來一共裝多少千克未知。要把“后來一共要裝多少千克”作為一個問題提出，并找出回答這一問題所需要的兩個條件。要求后來一共要裝多少千克，必須具備兩個條件（圖5-6）：①梨的總重量；②先裝了多少千克。梨的總重量是627.5千克已知的；先裝了多少千克是未知的，要把它作為一個問題提出來，并找出回答這個問題所需要的兩個條件。這兩個條件（圖5-6）是：①先裝的每箱裝梨多少千克；②裝了多少箱。這兩個條件都是已知的：先裝的每箱裝梨20千克，裝了7箱。分析到此，問題就得到解決了。此題分步列式計算就是：①先裝多少千克？20×7=140（千克）②后來共裝多少千克？627.5-140=487.5（千克）③后來裝了多少箱？487.5÷37.5=13（箱）④共裝多少箱？7+13=20（箱）綜合算式：7+（627.5-20×7）÷37.5=7+（627.5-140）÷37.5=7+487.5÷37.5=7+13=20（箱）答略。注意：開始學習用分析法解應用題時，一定要畫思路圖，當對分析法的解題方法已經(jīng)很熟悉時，可不再畫思路圖，而直接分析解答應用題了。節(jié)約了15％。問六月份比四月份少用煤多少噸？（適于六年級程度）解：此題中出現(xiàn)兩個標準量：“四月份的用煤量”和“五月份的用煤量”。四月份的用煤量和六月份的用煤量都與五月份的用煤量有直接聯(lián)系。要算出六月份比四月份少用煤多少噸，必須知道六月份、四月份各用煤多少噸。要算出六月份用煤多少噸，必須知道兩個條件：①五月份用煤多少噸；②六月份比五月份節(jié)約多少。這兩個條件都是已知的。六月份用煤的噸數(shù)是：3200×（1-15％）=2720（噸）要算出四月份用煤多少噸，必須知道兩個條件：①五月份用煤多少噸；②五月份比四月份節(jié)約多少。這兩個條件都是已知的。四月份用煤的噸數(shù)是：知道了六月份、四月份用煤的噸數(shù)，就可以求出六月份比四月份少用煤多少噸。3600-2720=880（噸）綜合算式：=3600-2720=880（噸）答略。答略。第六講分析-綜合法綜合法和分析法是解應用題時常用的兩種基本方法。在解比較復雜的應用題時，由于單純用綜合法或分析法時，思維會出現(xiàn)障礙，所以要把綜合法和分析法結(jié)合起來使用。我們把分析法和綜合法結(jié)合起來解應用題的方法叫做分析-綜合法。*例1運輸隊要把600噸化肥運到外地，計劃每天運22噸。運了15天以后，剩下的化肥要在10天內(nèi)運完。這樣每天要比原計劃多運多少噸？（適于五年級程度）解：解此題要運用分析法和綜合法去思考。先用綜合法思考。根據(jù)“原計劃每天運22噸”和“運了15天”這兩個條件，可以求出已經(jīng)運出的噸數(shù)（圖6-1）。根據(jù)要“運600噸”和已經(jīng)運出的噸數(shù)，可以求出剩下化肥的噸數(shù)（圖6-1）。接下去要用哪兩個數(shù)量求出什么數(shù)量呢？不好思考了。所以用綜合法分析到這兒，接著要用分析法思考了。要求“每天比原計劃多運多少噸”，必須知道“后來每天運多少噸”和“原計劃每天運多少噸”?！霸媱澝刻爝\22噸”是已知條件，“后來每天運多少噸”不知道，這是此題的中間問題（圖6-2）。要知道“后來每天運多少噸”，必須知道“剩下多少噸”和“要在多少天內(nèi)運完”。這兩個條件中，第二個條件是已知的，“要在10天內(nèi)運完”，“剩下多少噸”是未知的中間問題。我們在前面用綜合法分析這道題時，已經(jīng)得到求剩下噸數(shù)的方法了。所以本題分析到這里就可以解答了。此題分步列式解答時，要從圖6-1的上面往下看，接著從圖6-2的下面往上看。（1）已經(jīng)運多少噸？22×15=330（噸）（2）剩下多少噸？600-330=270（噸）（3）后來每天運多少噸？270÷10=27噸）（4）每天比原計劃多運多少噸？27-22=5（噸）綜合算式：（600-22×15）÷10-22=（600-330）÷10-22=270÷10-22=27-22=5（噸）答略。*例2某鞋廠原計劃30天做皮鞋13500雙，實際上每天比原計劃多做50雙。問這個鞋廠提前幾天完成原計劃的任務？（適于五年級程度）解：解答此題一般要運用分析法和綜合法去思考。先用分析法思考。要算出提前幾天完成計劃，必須知道“原計劃天數(shù)”和“實際做鞋數(shù)”（圖6-3）?！霸媱澨鞌?shù)”是30天，已經(jīng)知道；“實際做鞋天數(shù)”不知道，是中間問題。要知道“實際做鞋天數(shù)”必須知道“皮鞋總數(shù)”和“實際每天做的皮鞋數(shù)”（圖6-3）。到此可以往下思考，要算出實際每天做的皮鞋數(shù)，必須具備哪兩個條件？但有的人覺得這樣思考時不順當，思路會“卡殼”，這時就要換用綜合法進行思考。由“原計劃30天做皮鞋13500雙”，可求出“原計劃每天做的皮鞋數(shù)”（圖6-4）。由“原計劃每天做的皮鞋數(shù)”和“實際每天比原計劃多做50雙”，可用加法算出“實際每天做的皮鞋數(shù)”（圖6-4）。分析到此，這道題的問題就得到解決了。此題用分步列式的方法計算時，得從圖6-4的上面往下面推想，然后從圖6-3的后面（下面）往前推想。（1）看圖6-4的思路圖。通過把原計劃做的13500雙除以計劃做的30天，可以得到原計劃每天做多少雙皮鞋。13500÷30=450（雙）（2）在計劃每天做的450雙皮鞋上，加上實際每天多做的50雙，得到實際每天做的皮鞋數(shù)。450+50=500（雙）（3）接著看圖6-3的思路圖。從思路圖的下面往上推想，皮鞋總數(shù)除以實際每天做的皮鞋數(shù)500雙，得到實際制做的天數(shù)。13500÷500=27（天）（4）接著往上看，從原計劃做的30天，減去實際做的天數(shù)27天，就得到提前完成計劃的天數(shù)。30-27=3（天）把上面分步計算的算式綜合為一個算式是：30-13500÷（13500÷30+50）=30-13500÷500=30-27=3（天）答略。*例3甲、乙兩隊同時開鑿一條2160米長的隧道，甲隊從一端起，每天開鑿20米，乙隊從另一端起，每天比甲隊多開鑿5米。兩隊在離中點多遠的地方會合？（適于五年級程度）解：看圖6-5。要求兩隊在離中點多遠的地方會合，需要知道隧道的中點及會合點離一端的距離（分析法）。每天20米每天比甲隊多5米隧道全長2160米，中點到一端的距離可以通過2160÷2求得（綜合法）。要求出會合點（在甲隊的一側(cè)）距離甲隊開鑿點的距離，實際就是求甲隊開鑿的米數(shù)。要求甲隊開鑿的米數(shù)，就要知道甲隊（或乙隊）每天開鑿的米數(shù)（已知）和開鑿的天數(shù)（分析法）。甲隊每天開鑿20米已知，開鑿的天數(shù)不知道。要求出開鑿的天數(shù)，需要知道隧道的全長（已知）和兩隊每天共開鑿多少米（分析法）。已知甲隊每天開鑿20米，乙隊每天比甲隊多開鑿5米，這樣可以求出乙隊每天開鑿多少米，從而求出甲、乙兩隊一天共開鑿多少米（綜合法）。分析到此，這道題的問題就得到解決了。此題用分步列式的方法計算時，還得從上面分析過程的后面往前推理。（1）乙隊每天開鑿多少米？20+5=25（米）（2）甲乙兩隊一天共開鑿多少米？20+25=45（米）（3）甲乙兩隊共同開鑿這個隧道用多少天？2160÷45=48（天）（4）甲隊開鑿了多少米？（會合點與甲隊開鑿點的距離）20×48=960（米）（5）甲隊到中點的距離是多少米？2160÷2=1080（米）（6）會合點與中點間的距離是多少米？1080-960=120（米）綜合算式：2160÷2-20×[2160÷（20+20+5）]=1080-20×48=1080-960=120（米）答略。*例4某中隊三個小隊的少先隊員采集樹種。第一小隊8名隊員共采集11.6千克，第二小隊6名隊員比第一小隊少采集2.8千克，第三小隊10名克？（適于五年級程度）解：如果先用綜合法分析，雖然已知數(shù)量間存在著一定的關系，但不容易選擇出與所求數(shù)量有直接聯(lián)系的數(shù)量關系。而用分析法分析，能立即找到與所求數(shù)量有直接聯(lián)系的數(shù)量關系，找到解題所需要的數(shù)量后，再用綜合法分析。要求出三個小隊平均每名隊員采集多少千克，必需知道“三個小隊共采集樹種多少千克”和“全體隊員的人數(shù)”（圖6-6）。要求“三個小隊共采集多少千克”，必須知道一、二、三這三個小隊各采集多少千克；要求“全體隊員人數(shù)”必須知道各小隊的人數(shù)（圖6-6）。三個小隊的人數(shù)都已經(jīng)知道，第一小隊采集11.6千克也已知，只是第二、三小隊各采集多少還不知道。往下可用綜合法得出二、三小隊各采集多少千克（圖6-6）。由“第一小隊共采集11.6千克”和“第二小隊比第一小隊少采集2.8千克”，可求出第二小隊采集多少千克；由“第二小隊采集的重量”和“第往下可由三個小隊各采集多少千克之和，求出三個小隊共采集多少千克；也可以由各小隊的人數(shù)之和求出“全體隊員的人數(shù)”。到此本題就可以解出來了。本題分步列式解答的方法是：（1）第二小隊采集多少千克？11.6-2.8=8.8（千克）（2）第三小隊采集多少千克？（3）三個小隊共采集多少千克？11.6+8.8+13.2=33.6（千克）（4）三個小隊有多少隊員？8+6+10=24（人）（5）平均每人采集多少千克？33.6÷24=1.4（千克）綜合算式：=33.6÷24=1.4（千克）答略。*例5甲、乙兩城之間的路程是210千米，慢車以每小時40千米的速度由甲城開往乙城，行車15分鐘后，快車由乙城開往甲城，經(jīng)過2小時兩車相遇。這時快車開到甲城還需要多少小時？（適于六年級程度）解：運用分析法和綜合法，分析此題的思路是：先用分析法來思考。要求出“快車開到甲城還需要多少小時”，必須知道兩個條件（圖6-7）：①相遇地點到甲城的距離；②快車每小時行多少千米。這兩個條件題目中都沒給出，應把它們分別作為中間問題。接著思考，要求相遇地點到甲城的路程必須具備哪兩個條件？要求快車每小時行多少千米必須具備哪兩個條件？……如果思路不“卡殼”，就一直思考下去，直到解答出所求問題。如果思路“卡殼”了，就改用綜合法思考。另畫一個思路圖（圖6-8）。圖6-8中慢車已行的路程，就是快車從相遇點到甲城的路程。這段路程是：快車已行的路程是：210-90=120（千米）快車每小時所行的路程是：120÷2=60（千米）到此，我們可以把慢車走過的路程除以快車的速度，得到快車開到甲城還需要的時間是：90÷60=1.5（小時）綜合算式：答略。第七講歸一法先求出單位數(shù)量（如單價、工效、單位面積的產(chǎn)量等），再以單位數(shù)量為標準，計算出所求數(shù)量的解題方法叫做歸一法。歸一法分為一次直進歸一法、一次逆反歸一法、二次直進歸一法、二次逆反歸一法。用歸一法一般是解答整數(shù)、小數(shù)應用題，但也可以解答分數(shù)應用題。有些應用題用其它方法解答比較麻煩，不易懂，用歸一法解則簡單，容易懂。（一）一次直進歸一法通過一步運算求出單位數(shù)量之后，再求出若干個單位數(shù)量和的解題方法叫做一次直進歸一法。1.解整數(shù)、小數(shù)應用題例1某零件加工小組，5天加工零件1500個。照這樣計算，14天加工零件多少個？（適于三年級程度）解：（1）一天加工零件多少個？1500÷5=300（個）（2）14天加工零件多少個？300×14=4200（個）綜合算式：1500÷5×14=4200（個）答略。此類型題是適宜用一次直進歸一法解的基本題型，下面的題都在此類型題的基礎上有所擴展。例2用一臺大型抽水機澆地，5小時澆了15公頃。照這樣計算，再澆3小時，這臺抽水機比原來多澆多少公頃地？（適于三年級程度）解：（1）一小時澆地多少公頃？15÷5=3（公頃）（2）3小時澆地多少公頃？3×3=9（公頃）綜合算式：15÷5×3=9（公頃）答略。例3一輛汽車3小時行駛了123.6千米。照這樣的速度，再行駛4小時，這輛汽車一共行駛了多少千米？（適于五年級程度）解：（1）一小時行駛多少千米？123.6÷3=41.2（千米）（2）前后共行駛多少小時？3+4=7（小時）（3）一共行駛多少千米？41.2×7=288.4（千米）綜合算式：123.6÷3×（3+4）=41.2×7=288.4（千米）答略。2.解分數(shù)應用題經(jīng)行駛了4份，還剩下全路程的7-4=3（份）。還可知，行駛4份用的時間是8小時。（1）行駛1份用的時間是：8÷4=2（小時）（2）行駛剩下的3份用的時間是：2×3=6（小時）答略。數(shù)量是單位“1”。把六月份的伐木數(shù)量平均分成6份，五月份的伐木數(shù)量就相當于六月份伐木數(shù)量的5份。（1）一份木材是多少立方米？240÷5=48（立方米）（2）因為六月份比五月份多伐一份，所以六月份的伐木數(shù)量是：240+48=288（立方米）答略。兔，其余的是灰兔。已知黑兔比白兔多21只。求灰免有多少只？（適于六年級程度）12份，白兔占5份，則灰兔占20-12-5=3（份）。（1）黑兔比白兔多21只，這21只所對應的份數(shù)是：12-5=7（份）（2）每一份的只數(shù)是：21÷7=3（只）（3）灰兔的只數(shù)是：3×3=9（只）答略。程度）運進一些紅糖后，把兩種糖的總重量平均分成10份，紅糖占3份，白糖占7份。把上面的數(shù)量用表7-1表示。表7-1（1）白糖的重量是：63O÷5×4=504（千克）（2）運來紅糖后兩種糖的總重量是：504÷7×10=720（千克）（3）運來的紅糖是：720-630=90（千克）答略。（二）一次逆轉(zhuǎn)歸一法通過一步計算求出單位數(shù)量，再求總數(shù)量里包含多少個單位數(shù)量的解題方法，叫做一次逆轉(zhuǎn)歸一法。例1一列火車6小時行駛390千米。照這樣的速度，要行駛1300千米的路程，需要多少小時？（適于三年級程度）解：（1）一小時行駛多少千米？390÷6=65（千米）（2）行駛1300千米需要多少小時？1300÷65=20（小時）綜合算式：1300÷（390÷6）=1300÷65=20（小時）答略。此題是一次逆轉(zhuǎn)歸一的基本題，下面的題都在此題的基礎上有所擴展。例2某人騎自行車從甲地到乙地，2小時行了26千米，剩下的路程是52千米。按照這樣的速度，此人從甲地到乙地要行幾小時？（適于四年級程度）解：（1）一小時行多少千米？26÷2=13（千米）（2）行駛52千米用幾小時？52÷13=4（小時）（3）從甲地到乙地要行幾小時？2+4=6（小時）綜合算式：2+52÷（26÷2）=2+52÷13=2+4=6（小時）答略。例3學校買來135米塑料繩，先剪下9米做了5根跳繩。照這樣計算，剩下的塑料繩可以做多少根跳繩？（適于五年級程度）解：（1）一根跳繩有多少米？9÷5=1.8（米）（2）剩下的塑料繩有多少米？135-9=126（米）（3）剩下的繩子可以做多少根跳繩？126÷1.8=70（根）綜合算式：（135-9）÷（9÷5）=126÷1.8=70（根）答略。（三）二次直進歸一法通過兩步計算求出單位數(shù)量，再求若干個單位數(shù)量和的解題方法叫做二次直進歸一法。*例14輛同樣的卡車7次運貨物224噸。照這樣計算，9輛同樣的卡車10次可以運貨物多少噸？（適于五年級程度）解：摘錄整理題中的條件，排列成表7-2。（1）4輛卡車一次運貨多少噸？224÷7=32（噸）（2）一輛卡車一次運貨多少噸？32÷4=8（噸）（3）9輛卡車一次運貨多少噸？8×9=72（噸）表7-2（4）9輛卡車10次運貨多少噸？72×10=720（噸）綜合算式：224÷7÷4×9×10=8×9×10=720（噸）答略。此題是二次直進歸一的基本題，下面的題在此基礎上都有所變化。*例2某水庫上游有農(nóng)田需抽水澆地，抽水站七月上旬用一臺柴油機從農(nóng)田用水量要增加，這個抽水站準備同時用4臺柴油機抽水。這個抽水站最少還應準備多少千克柴油？（適于五年級程度）解：摘錄整理題中條件，排列成表7-3。分成5份中的4份，所以5份中的1份是：200÷4=50（千克）表7-3（2）一臺柴油機一天用油多少千克？50÷10=5（千克）（3）4臺柴油機21天用油多少千克？5×4×21=420（千克）（4）還應準備柴油多少千克？420-200=220（千克）綜合算式：200÷4÷10×4×21-200=5×4×21-200=420-200=220（千克）答略。*例3冬天，有12頭牛3天吃干草720千克。牽走3頭牛后，有720千克干草要給剩下的牛吃4天，干草是不是夠用？（適于五年級程度）解：摘錄整理題中條件，排列成表7-4。（1）1頭牛1天吃干草多少千克？720÷12÷3=20（千克）（2）牽走3頭牛后，剩下幾頭牛？12-3=9（頭）表7-4（3）9頭牛4天吃干草多少千克？20×9×4=720（千克）綜合算式：720÷12÷3×（12-3）×4=20×9×4=720（千克）答：720千克干草正好夠用。*例4用手工剪羊毛，第一天4人6小時剪羊毛120千克。第二天增加了同樣能干的3個人，還是工作6小時。問兩天一共剪羊毛多少千克？（適于五年級程度）解：摘錄整理題中條件，排列成表7-5。（1）1人1小時剪羊毛多少千克？120÷4÷6=5（千克）（2）增加3個人后共有多少個人？4+3=7（人）表7-5（3）7個人6小時剪多少千克羊毛？5×7×6=210（千克）（4）兩天一共剪多少千克羊毛？120+210=330（千克）綜合算式：120+120÷4÷6×（4+3）×6=120+5×7×6=120+210=330（千克）答略。（四）二次逆轉(zhuǎn)歸一法通過兩步計算，求出單位數(shù)量之后，再求出總數(shù)量里包含多少個單位數(shù)量的解題方法，叫做二次逆轉(zhuǎn)歸一法。*例13臺拖拉機8小時耕地4.8公頃。照這樣計算，9公頃地，用5臺拖拉機耕，需要多少小時？（適于五年級程度）解：摘錄整理題中條件，排列成表7-6。（1）1臺拖拉機1小時耕地多少公頃？4.8÷3÷8=0.2（公頃）（2）5臺拖拉機耕9公頃土地用多少小時？表7-69÷5÷0.2=9（小時）綜合算式：9÷5÷（4.8÷3÷8）=9÷5÷0.2=9（小時）答略。此題是適于用二次逆轉(zhuǎn)歸一法解的基本題，下面的題在此基礎上都有所擴展。*例27名工人10小時生產(chǎn)機器零件420個。在缺席2名工人的情況下，要生產(chǎn)330個機器零件，要用多少小時？（適于五年級程度）解：摘錄整理題中條件，排列出表7-7。（1）1名工人1小時生產(chǎn)多少個機器零件？表7-7420÷7÷10=6（個）（2）缺席2名工人，剩下多少名工人？7-2=5（名）（3）5名工人生產(chǎn)330個機器零件要用多少小時？330÷5÷6=11（小時）綜合算式：330÷（7-2）÷（420÷7÷10）=330÷5÷6=11（小時）答略。*例3有900立方米的土，需要25人12天挖完。如果增加5人，可以提前幾天挖完？（適于五年級程度）解：摘錄整理題中條件，排列成表7-8。設提前x天挖完，則實際完成的天數(shù)是（12-x）天。表7-8（1）原來1人1天挖土多少立方米？900÷12÷25=3（立方米）（2）增加5人后共有多少人？25+5=30（人）（3）30人多少天挖完？900÷30÷3=10（天）（4）可以提前幾天挖完？12-10=2（天）綜合算式：12-9000÷（25+5）÷（900÷25÷12）=12-900÷30÷3=12-10=2（天）答略。第八講歸總法已知單位數(shù)量和單位數(shù)量的個數(shù)，先求出總數(shù)量，再按另一個單位數(shù)量或單位數(shù)量的個數(shù)求未知數(shù)量的解題方法叫做歸總法。解答這類問題的基本方法是：總數(shù)量=單位數(shù)量×單位數(shù)量的個數(shù)；另一單位數(shù)量（或個數(shù)）=總數(shù)量÷單位數(shù)量的個數(shù)（或單位數(shù)量）。例1李明從學校步行回家，每小時走4千米，5小時到家。如果他每小時走5千米，幾小時到家？（適于三年級程度）解：要求每小時走5千米，幾小時到家，要先求出學校到家有多遠，再求幾小時到家。因此，4×5÷5=20÷5=4（小時）答：如果他每小時走5千米，4小時到家。例2王明看一本故事書，計劃每天看15頁，20天看完。如果要在12天看完，平均每天要看多少頁？（適于三年級程度）解：要求12天看完，平均每天看多少頁，必須先求出這本故事書一共有多少頁，再求平均每天看多少頁。