專題27 雙曲線（解析版）

專題27雙曲線十年大數(shù)據(jù)*全景展示年份題號考點(diǎn)考查內(nèi)容2011理7雙曲線直線與雙曲線的位置關(guān)系，雙曲線的幾何性質(zhì)2012理8文10雙曲線拋物線與雙曲線的幾何性質(zhì)，直線與雙曲線的位置關(guān)系2013卷1文理4雙曲線雙曲線的離心率和漸近線2014卷1理4雙曲線雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)文4雙曲線雙曲線的離心率卷2理5雙曲線雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)2015卷1文16雙曲線雙曲線的定義；直線與雙曲線的位置關(guān)系卷2理11雙曲線雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)文15雙曲線雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，雙曲線的漸近線2016卷2理11雙曲線雙曲線的幾何性質(zhì)，雙曲線離心率的計算2017卷1理15雙曲線雙曲線的幾何性質(zhì)，雙曲線離心率的求法文5雙曲線雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)卷2理9圓、雙曲線圓的幾何性質(zhì)，雙曲線的幾何性質(zhì)，雙曲線離心率的計算文5雙曲線雙曲線的幾何性質(zhì)，雙曲線離心率的計算卷3理5雙曲線雙曲線與橢圓的幾何性質(zhì)，待定系數(shù)法求雙曲線的方程文14雙曲線雙曲線的漸近線2018卷1理11雙曲線雙曲線的幾何性質(zhì)，直線與雙曲線的位置關(guān)系卷2理5文6雙曲線雙曲線的幾何性質(zhì)卷3理11雙曲線雙曲線的幾何性質(zhì)，雙曲線離心率的求法文10雙曲線雙曲線的離心率、漸近線，點(diǎn)到直線距離公式2019卷1理16雙曲線雙曲線的幾何性質(zhì)，雙曲線離心率的求法文10雙曲線雙曲線的離心率、漸近線卷2理11文12圓、雙曲線直線與圓的位置關(guān)系，雙曲線的幾何性質(zhì)，雙曲線離心率的求法卷3理10雙曲線雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)文10雙曲線雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)2020卷1理15雙曲線雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，雙曲線離心率的求法文11雙曲線雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)卷2理8文9雙曲線雙曲線的幾何性質(zhì)，直線與雙曲線的位置關(guān)系卷3理11雙曲線雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)文14雙曲線雙曲線的漸近線、離心率大數(shù)據(jù)分析*預(yù)測高考考點(diǎn)出現(xiàn)頻率2021年預(yù)測考點(diǎn)92雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程23次考2次命題角度：（1）雙曲線的定義及應(yīng)用；（2）雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（3）雙曲線的幾何性質(zhì)．核心素養(yǎng)：直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算考點(diǎn)93雙曲線的幾何性質(zhì)23次考21次考點(diǎn)94直線與雙曲線的位置關(guān)系23次考5次十年試題分類*探求規(guī)律考點(diǎn)92雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程1．（2017新課標(biāo)Ⅲ理）已知雙曲線：的一條漸近線方程為，且與橢圓有公共焦點(diǎn)，則的方程為A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意可得：，，又，解得，，則的方程為，故選B．2．（2017天津理）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，離心率為．若經(jīng)過和兩點(diǎn)的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的方程為A．B．C．D．【答案】B【解析】設(shè)，雙曲線的漸近線方程為，由，由題意有，又，，得，，故選B．3．【2017天津文】已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，是邊長為2的等邊三角形（為原點(diǎn)），則雙曲線的方程為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題意可得，解得，故雙曲線方程為，故選D．4．(2016天津理)已知雙曲線，以原點(diǎn)為圓心，雙曲線的實(shí)半軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于、、、四點(diǎn)，四邊形的的面積為，則雙曲線的方程為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】不妨設(shè)在第一象限，，所以，解得，故四邊形的面積為，解得．故所求的雙曲線方程為，故選D．5．【2016天津文】已知雙曲線的焦距為，且雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則雙曲線的方程為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意得，故選A．6．（2015安徽理）下列雙曲線中，焦點(diǎn)在軸上且漸近線方程為的是A．B．C．D．【答案】C【解析】由題意，選項(xiàng)的焦點(diǎn)在軸，故排除，項(xiàng)的漸近線方程為，即，故選C．7．（2014天津理）已知雙曲線的一條漸近線平行于直線：，雙曲線的一個焦點(diǎn)在直線上，則雙曲線的方程為A．B．C．D．【答案】A【解析】依題意得，所以，，雙曲線的方程為．8．（2012湖南文理）已知雙曲線C：=1的焦距為10，點(diǎn)P(2，1)在C的漸近線上，則C的方程為A．=1B．=1C．=1D．=1【答案】A【解析】設(shè)雙曲線C：-=1的半焦距為，則．又C的漸近線為，點(diǎn)P(2，1)在C的漸近線上，，即．又，，C的方程為-=1．9．（2011山東文理）已知雙曲線的兩條漸近線均和圓：相切，且雙曲線的右焦點(diǎn)為圓的圓心，則該雙曲線的方程為A．B．C．D．【答案】A【解析】圓，而，則，故選A．10．（2016北京文）已知雙曲線的一條漸近線為，一個焦點(diǎn)為，則=_______；=_____________．【答案】．【解析】依題意有，結(jié)合，解得．11．(2016北京理)雙曲線的漸近線為正方形的邊所在的直線，點(diǎn)為該雙曲線的焦點(diǎn)．若正方形的邊長為2，則=______．2【解析】不妨令為雙曲線的右焦點(diǎn)，在第一象限，則雙曲線圖象如圖，∵為正方形，∴，，∵直線是漸近線，方程為，∴，又∵，∴．12．（2015新課標(biāo)1文）已知雙曲線過點(diǎn)，且漸近線方程為，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】【解析】∵雙曲線的漸近線方程為，故可設(shè)雙曲線的方程為，又雙曲線過點(diǎn)，∴，∴，故雙曲線的方程為．13．（2015北京理）已知雙曲線的一條漸近線為，則．【解析】因?yàn)殡p曲線的一條漸近線為，所以，故．14．（2011山東文理）已知雙曲線和橢圓有相同的焦點(diǎn)，且雙曲線的離心率是橢圓離心率的兩倍，則雙曲線的方程為．【答案】【解析】由題意可知雙曲線的焦點(diǎn)，，即，又因雙曲線的離心率為，∴，故，∴雙曲線的方程為．考點(diǎn)93雙曲線的幾何性質(zhì)15．（2020·新課標(biāo)Ⅰ文）設(shè)是雙曲線的兩個焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在上且，則的面積為（）A． B．3 C． D．2【答案】B【解析】由已知，不妨設(shè)，則，∵，∴點(diǎn)在以為直徑的圓上，[來源：Z．xx．k．Com]即是以P為直角頂點(diǎn)的直角三角形，故，即，又，∴，解得，∴，故選B．16．【2020年高考全國Ⅲ卷理數(shù)11】已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)，離心率為．是上的一點(diǎn)，且．若的面積為，則 （）A．B．C．D．【答案】A【思路導(dǎo)引】根據(jù)雙曲線的定義，三角形面積公式，勾股定理，結(jié)合離心率公式，即可得出答案．【解析】解法一：，，根據(jù)雙曲線的定義可得，，即，，，，即，解得，故選A．解法二：由題意知，雙曲線的焦點(diǎn)三角形面積為．∴=4，則，又∵，∴．解法三：設(shè)，則，，，求的．17．【2020年高考浙江卷8】已知點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)滿足，且為函數(shù)圖像上的點(diǎn)，則 （）A．B．C．D．【答案】D【解析】由條件可知點(diǎn)在以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支上，并且，∴，方程為且點(diǎn)為函數(shù)上的點(diǎn)，聯(lián)立方程，解得：，，，故選D．18．【2019·全國Ⅰ文】雙曲線C：的一條漸近線的傾斜角為130°，則C的離心率為（）A．2sin40° B．2cos40°C． D．【答案】D【解析】由已知可得，，故選D．19．【2019年高考全國Ⅱ理】設(shè)F為雙曲線C：的右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為直徑的圓與圓交于P，Q兩點(diǎn)．若，則C的離心率為A． B． C．2 D．【答案】A【解析】設(shè)與軸交于點(diǎn)，由對稱性可知軸，又，為以為直徑的圓的半徑，∴，，又點(diǎn)在圓上，，即．，故選A．20．【2019年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】雙曲線C：=1的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在C的一條漸近線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則△PFO的面積為A． B．C． D．【答案】A【解析】由，又P在C的一條漸近線上，不妨設(shè)為在上，則，，故選A．【名師點(diǎn)睛】本題考查以雙曲線為載體的三角形面積的求法，滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．21．【2019·全國Ⅲ文】已知F是雙曲線C：的一個焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則的面積為A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)點(diǎn)，則①．又，②．由①②得，即，，故選B．22．【2019·北京文】已知雙曲線（a>0）的離心率是，則a=（）A． B．4C．2 D．【答案】D【解析】∵雙曲線的離心率，，∴，解得，故選D．23．【2019·浙江卷】漸近線方程為x±y=0的雙曲線的離心率是（）A． B．1 C． D．2【答案】C【解析】∵雙曲線的漸近線方程為，∴，則，∴雙曲線的離心率．故選C．24．（2018全國Ⅱ文理）雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，∴，∴，∵漸近線方程為，∴漸近線方程為，故選A．25．【2018·全國Ⅲ文】已知雙曲線的離心率為，則點(diǎn)到的漸近線的距離為A． B． C． D．【答案】D【解析】，，∴雙曲線的漸近線方程為，∴點(diǎn)到漸近線的距離，故選D．26．【2018高考浙江2】雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 （）A． B． C． D．【答案】B【解析】試題分析：根據(jù)雙曲線方程確定焦點(diǎn)位置，再根據(jù)求焦點(diǎn)坐標(biāo)．試題解析：雙曲線方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)可設(shè)為．，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選B．【名師點(diǎn)睛】由雙曲線方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，漸近線方程為．27．【2018高考全國1理11】已知雙曲線，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為的右焦點(diǎn)，過的直線與的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為．若為直角三角形，則 （）A． B．3 C．D．4【答案】B【解析】【基本解法1】（直接法）∵雙曲線，∴漸近線方程為，傾斜角分別為，∴，不妨設(shè)，∴，∵，∴在中，，∴在中，．【基本解法2】（直接法）根據(jù)題意，可知其漸近線的斜率為，且右焦點(diǎn)為，從而得到，∴直線的傾斜角為或，根據(jù)雙曲線的對稱性，設(shè)其傾斜角為，可以得出直線的方程為，分別與兩條漸近線和聯(lián)立，求得，故選B．28．【2018高考天津文理7】已知雙曲線的離心率為2，過右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)．設(shè)A，B到雙曲線同一條漸近線的距離分別為和，且，則雙曲線的方程為 （）A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則，由可得：，不妨設(shè)：，雙曲線的一條漸近線方程為：，據(jù)此可得：，，則，則，雙曲線的離心率：，據(jù)此可得：，則雙曲線的方程為，故選C．29．【2017·全國Ⅰ文】已知F是雙曲線C：的右焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，且PF與x軸垂直，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1，3)，則△APF的面積為A． B．C． D．【答案】D【解析】由得，∴，將代入，得，∴，又點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1，3)，故△APF的面積為，故選D．30．【2017·全國Ⅱ文】若，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題意得，∵，∴，則，故選C．31．（2017新課標(biāo)Ⅱ理）若雙曲線：的一條漸近線被圓所截得的弦長為2，則QUOTEC的離心率為（）A．2B．C．D．【答案】A【解析】雙曲線的漸近線方程為，圓心到漸近線的距離為，圓心到弦的距離也為，所以，又，所以得，所以離心率，選A．32．(2016全國I理)已知方程表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，則n的取值范圍是A．(–1，3)B．(–1，EQ\R(3))C．(0，3)D．(0，EQ\R(3))【答案】A【解析】由題意得，解得，又由該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，得M，即，所以．33．(2016全國II理)已知，是雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，與軸垂直，，則的離心率為（）A．B．C．D．2【答案】A【解析】設(shè)，將代入雙曲線方程，得，化簡得，因?yàn)?，所以，所以，所以，故選A．34．（2016浙江理）已知橢圓：（）與雙曲線：（）的焦點(diǎn)重合，，分別為，的離心率，則A．且B．且C．且D．且【答案】A【解析】由題意知，即，，∴．故選A．35．（2015湖南文）若雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)，則此雙曲線的離心率為A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知可得雙曲線的漸近線方程為，點(diǎn)在漸近線上，∴，又，∴，∴．36．（2015四川文理）過雙曲線的右焦點(diǎn)且與軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于兩點(diǎn)，則＝A．B．2C．6D．4【答案】D【解析】雙曲線的右焦點(diǎn)為，漸近線方程為，將代入得，∴．37．（2015福建理）若雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線上，且，則等于（）A．11B．9C．5D．3【答案】B【解析】由雙曲線定義得，即，解得，故選B．38．（2015湖北理）將離心率為的雙曲線的實(shí)半軸長和虛半軸長同時增加個單位長度，得到離心率為的雙曲線，則A．對任意的，B．當(dāng)時，；當(dāng)時，C．對任意的，D．當(dāng)時，；當(dāng)時，【答案】D【解析】由題意，，∵，由于，，，所以當(dāng)時，，，，，所以；當(dāng)時，，，而，，所以．所以當(dāng)時，；當(dāng)時，．39．（2015重慶文）設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)是，左、右頂點(diǎn)分別是，過做的垂線與雙曲線交于兩點(diǎn)，若，則雙曲線的漸近線的斜率為A．B．C．D．【答案】C【解析】由題意，得，將代入雙曲線方程，解得．不妨設(shè)，，則，根據(jù)題意，有，整理得，∴雙曲線的漸近線的斜率為．40．（2015重慶理）設(shè)雙曲線（）的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，過作的垂線與雙曲線交于兩點(diǎn)，過分別作的垂線，兩垂線交于點(diǎn)．若到直線的距離小于，則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意，由雙曲線的對稱性知在軸上，設(shè)，由得，解得，所以，所以，而雙曲線的漸近性斜率為，所以雙曲線的漸近線的斜率取值范圍是，故選A．41．（2014新課標(biāo)1文理）已知是雙曲線：的一個焦點(diǎn)，則點(diǎn)到的一條漸近線的距離為A．B．3C．D．【答案】A【解析】雙曲線方程為，焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為，故選A．42．（2014廣東文理）若實(shí)數(shù)k滿足，則曲線與曲線的A．焦距相等B．實(shí)半軸長相等C．虛半軸長相等D．離心率相等【答案】A【解析】∵，∴，本題兩條曲線都是雙曲線，又，∴兩雙曲線的焦距相等，故選A．43．（2014重慶文理）設(shè)分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，雙曲線上存在一點(diǎn)使得則該雙曲線的離心率為A．B．C．D．3【答案】B【解析】由雙曲線的定義得，又，∴，即，因此，即，則（）（）=0，解得舍去），則雙曲線的離心率．44．（2013新課標(biāo)1文理）已知雙曲線：（）的離心率為，則的漸近線方程為A． B．C．D．【答案】C【解析】由題知，，即==，∴=，∴=，∴的漸近線方程為，故選C．45．（2013湖北文理）已知，則雙曲線與的A．實(shí)軸長相等 B．虛軸長相等 C．焦距相等 D．離心率相等【答案】D【解析】雙曲線的離心率是，雙曲線的離心率是，故選D．46．（2012新課標(biāo)文理）等軸雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，與拋物線的準(zhǔn)線交于、兩點(diǎn)，，則的實(shí)軸長為（）A． B． C．4 D．8【答案】C【解析】設(shè)交的準(zhǔn)線于得：47．（2012福建文理）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，則該雙曲線的離心率等于A． B．C． D．【答案】C【解析】∵雙曲線的右焦點(diǎn)為（3，0），∴+5=9，∴=4，∴=2，∵=3，∴，故選C．48．（2011安徽文理）雙曲線的實(shí)軸長是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】可變形為，則，，．故選C．49．（2011湖南文理）設(shè)雙曲線的漸近線方程為，則的值為A．4B．3C．2D．1【答案】C【解析】由雙曲線方程可知漸近線方程為，故可知．50．（2011天津文理）已知雙曲線的左頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)的距離為4，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2，1)，則雙曲線的焦距為（） A． B． C． D．【答案】B【解析】雙曲線的漸近線為，由雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（－2，－1）得，即，又∵，∴，將（－2，－1）代入得，∴，即．51．【2020年高考全國Ⅰ理15】已知為雙曲線的右焦點(diǎn)，為的右頂點(diǎn)，為上的點(diǎn)，且垂直于軸．若的斜率為，則的離心率為．【答案】2【思路導(dǎo)引】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)可知，，，即可根據(jù)斜率列出等式求解即可．【解析】依題可得，，而，，即，變形得，化簡可得，，解得或（舍去）．故答案為：．52．【2020年高考江蘇6】在平面直角坐標(biāo)系中，若雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率是．【答案】【解析】由得漸近線方程為，又，則，，，得離心率．53．【2020年高考北京卷12】已知雙曲線，則的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為________；的焦點(diǎn)到其漸近線的距離是__________．【答案】，【解析】∵雙曲線，∴，，，∴，∴右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，∵雙曲線中焦點(diǎn)到漸近線距離為，∴．54．【2019·江蘇】在平面直角坐標(biāo)系中，若雙曲線經(jīng)過點(diǎn)（3，4)，則該雙曲線的漸近線方程是▲．【答案】【解析】由已知得，解得或，∵，∴．∵，∴雙曲線的漸近線方程為．55．【2018·北京文】若雙曲線的離心率為，則________________．【答案】4【解析】在雙曲線中，且，∴，即，∵，∴．56．（2018北京理14）已知橢圓，雙曲線．若雙曲線的兩條漸近線與橢圓的四個交點(diǎn)及橢圓的兩個焦點(diǎn)恰為一個正六邊形的頂點(diǎn)，則橢圓的離心率為__________；雙曲線的離心率為__________．【答案】【解析】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，雙曲線的漸近線與橢圓在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為，由題意可知，由點(diǎn)在橢圓上得，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴（舍去）或，∴橢圓的離心率，∵雙曲線的漸近線過點(diǎn)，漸近線方程為，故雙曲線的離心率．57．【2018高考江蘇8】在平面直角坐標(biāo)系中，若雙曲線的右焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為，則其離心率的值是▲．【答案】2【解析】試題分析：先確定雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離，再根據(jù)條件求離心率．試題解析：∵雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線即的距離為，，因此．【名師點(diǎn)睛】雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為b，焦點(diǎn)在漸近線上的射影到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為．58．【2018高考上海2】雙曲線的漸近線方程為．【答案】【解析】由已知得，漸近線方程為．【考點(diǎn)分析】雙曲線簡單的幾何性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力59．（2017新課標(biāo)Ⅰ理）已知雙曲線：的右頂點(diǎn)為，以為圓心，為半徑做圓，圓與雙曲線的一條漸近線交于、兩點(diǎn)．若=60°，則的離心率為________．【答案】【解析】如圖所示，，，=60°，所以，又所在直線的方程為，到的距離，在中，有，所以，即，因?yàn)椋?，所以?0．（2017新課標(biāo)Ⅲ文）雙曲線的一條漸近線方程為，則=．【答案】5【解析】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得漸近線方程為，結(jié)合題意可得．61．（2017山東文理）在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的右支與焦點(diǎn)為的拋物線交于，兩點(diǎn)，若，則該雙曲線的漸近線方程為．【答案】【解析】由拋物線定義可得：，∵，∴漸近線方程為．62．（2017北京文理）若雙曲線的離心率為，則實(shí)數(shù)m=_________．【答案】2【解析】∵，∴，解得．63．【2016浙江文】設(shè)雙曲線x2–=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2．若點(diǎn)P在雙曲線上，且△F1PF2為銳角三角形，則|PF1|+|PF2|的取值范圍是_______．【答案】．【解析】由已知得，則，設(shè)是雙曲線上任一點(diǎn)，由對稱性不妨設(shè)在雙曲線的右支上，則，，，為銳角，則，即，解得，∴，則．64．（2016山東文理）已知雙曲線：，若矩形的四個頂點(diǎn)在上，，的中點(diǎn)為的兩個焦點(diǎn)，且，則的離心率是．【答案】【解析】依題意，不妨設(shè)，作出圖象如下圖所示則故離心率65．（2015新課標(biāo)1文）已知是雙曲線：的右焦點(diǎn)，是左支上一點(diǎn)，，當(dāng)周長最小時，該三角形的面積為．【答案】【解析】由題意，雙曲線：的右焦點(diǎn)為，實(shí)半軸長，左焦點(diǎn)為，∵在的左支上，∴的周長=，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線且在中間時取等號，此時直線的方程為，與雙曲線的方程聯(lián)立得的坐標(biāo)為，此時，的面積為．66．（2015山東文）過雙曲線的右焦點(diǎn)作一條與其漸近線平行的直線，交于點(diǎn)，若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則的離心率為．【答案】【解析】設(shè)直線方程為，由，得，由，，解得（舍去）．67．（2015山東理）平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線：的漸近線與拋物線：()交于，若△的垂心為的焦點(diǎn)，則的離心率為_______．【解析】的漸近線為，則，，的焦點(diǎn)，則，即，，．68．（2014山東文理）已知雙曲線的焦距為，右頂點(diǎn)為A，拋物線的焦點(diǎn)為F，若雙曲線截拋物線的準(zhǔn)線所得線段長為，且，則雙曲線的漸近線方程為．【答案】【解析】拋物線的準(zhǔn)線，與雙曲線的方程聯(lián)立得，根據(jù)已知得①，由得②，由①②得，即，∴所求雙曲線的漸近線方程為．69．（2014浙江文理）設(shè)直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)，，若點(diǎn)滿足，則該雙曲線的離心率是．【答案】【解析】聯(lián)立直線方程與雙曲線漸近線方程可解得交點(diǎn)為，，而，由，可得的中點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率為3，可得，∴．70．（2014北京文理）設(shè)雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，且與具有相同漸近線，則的方程為________；漸近線方程為________．【答案】【解析】設(shè)與具有相同漸近線的雙曲線C的方程為，將點(diǎn)代入C的方程中，得．∴雙曲線的方程為，漸近線方程為．71．（2014湖南文理）設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：的兩個焦點(diǎn)．若在C上存在一點(diǎn)P，使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，則C的離心率為_________．【答案】【解析】由已知可得，，，由雙曲線的定義，可得，則．72．（2013遼寧文理）已知為雙曲線的左焦點(diǎn)，為上的點(diǎn)，若的長等于虛軸長的2倍，點(diǎn)在線段，則的周長為．【答案】44【解析】由題意得，，，兩式相加，利用雙曲線的定義得，∴的周長為．73．（2013陜西理）雙曲線的離心率為．【解析】74．（2012遼寧文理）已知雙曲線，點(diǎn)為其兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線上一點(diǎn)，若，則的值為．【答案】【解析】由雙曲線的方程可知75．（2012天津文理）已知雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，且的右焦點(diǎn)為，則．【答案】1，2【解析】雙曲線的漸近線為，而的漸近線為，∴有，，又雙曲線的右焦點(diǎn)為，∴，又，即，∴．76．（2012江蘇文理）在平面直角坐標(biāo)系中，若雙曲線的離心率為，則的值為．【答案】2【解析】由題意得＞0，∴=，=由=得，解得=2．77．（2011北京文理）已知雙曲線的一條漸近線的方程為，則=．【答案】2【解析】由得漸近線的方程為，即，由一條漸近線的方程為得．考點(diǎn)94直線與雙曲線的位置關(guān)系78．（2020·新課標(biāo)Ⅱ文理8）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)，若的面積為8，則的焦距的最小值為 （）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】B【思路導(dǎo)引】∵，可得雙曲線的漸近線方程是，與直線聯(lián)立方程求得，兩點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得，根據(jù)的面積為，可得值，根據(jù)，結(jié)合均值不等式，即可求得答案．【解析】∵，雙曲線的漸近線方程是，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，不妨設(shè)為在第一象限，在第四象限，聯(lián)立，解得，故，聯(lián)立，解得，故，，面積為：．雙曲線，其焦距為，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，的焦距的最小值：，故選B．79．（2020·浙江卷）已知點(diǎn)O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．設(shè)點(diǎn)P滿足|PA|–|PB|=2，且P為函數(shù)y=圖像上的點(diǎn)，則|OP|=（）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，∴點(diǎn)在以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為，焦距為的雙曲線的右支上，由可得，，即雙曲線的右支方程為，而點(diǎn)還在函數(shù)的圖象上，∴，由，解得，即．80．（2019天津文理）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，若與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，且（為原點(diǎn)），則雙曲線的離心率為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】拋物線的準(zhǔn)線的方程為，雙曲線的漸近線方程為，則有，∴，，，∴，故選D．【名師點(diǎn)睛】本題考查拋物線和雙曲線的性質(zhì)以及離心率的求解，解題關(guān)鍵是求出AB的長度．解答時，只需把用表示出來，即可根據(jù)雙曲線離心率的定義求得離心率．81．【2018高考全國2理5】雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為 （）A．B． C． D．【答案】A【解析】試題分析：根據(jù)離心率得關(guān)系，進(jìn)而得關(guān)系，再根據(jù)雙曲線方程求漸近線方程，得結(jié)果．試題解析：．∵漸近線方程為漸近線方程為，故選A．【名師點(diǎn)睛】已知雙曲線方程求漸近線方程：．【考點(diǎn)】雙曲線的簡單幾何性質(zhì)（離心率、漸近線方程）82．【2018高考全國3理11】設(shè)是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)．過作的一條漸近線的垂線，垂足為．若，則的離心率為 （）A． B．2 C． D．【答案】C【解析】試題分析：由雙曲線性質(zhì)得到，，然后在和在中利用余弦定理可得．試題解析：由題可知，．在中，，，，，故選C．【名師點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的相關(guān)知識，考查了雙曲線的離心率和余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．83．（2018天津文理）已知雙曲線的離心率為，過右焦點(diǎn)且垂直于軸的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)．設(shè)，到雙曲線同一條漸近線的距離分別為和，且，則雙曲線的