2023屆廣西貴港市高三畢業(yè)班上學(xué)期12月模擬考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2023屆廣西貴港市高三畢業(yè)班上學(xué)期12月模擬考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)的運算律求出復(fù)數(shù),再由共軛復(fù)數(shù)的定義即可得到答案.【詳解】由得，所以.故選:2．如圖是某統(tǒng)計部門網(wǎng)站發(fā)布的《某市年月國民經(jīng)濟和社會發(fā)展統(tǒng)計公報》中居民消費價格指數(shù)（）月度漲跌幅度折線圖（注：同比是今年第個月與去年第個月相比，環(huán)比是現(xiàn)在的統(tǒng)計周期和上一個統(tǒng)計周期相比）下列說法錯誤的是（

）①年月環(huán)比上升，同比上漲②年月環(huán)比上升，同比無變化③年月環(huán)比下降，同比上漲④年月環(huán)比下降，同比上漲A．①③ B．①④ C．②④ D．②③【答案】D【分析】根據(jù)月度同比折線圖與月度環(huán)比折線圖判斷可得出結(jié)論.【詳解】根據(jù)折線圖中的數(shù)據(jù)可得，月份月度環(huán)比比上年上漲，同比比上年上漲，故①正確，②錯誤；根據(jù)數(shù)據(jù)可得，月份月度環(huán)比比上年下降，同比比上年上漲，故④正確，③錯誤.故選：D．3．設(shè)集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】解不等式化簡集合A，B，再利用交集的定義求解作答.【詳解】由得，解得，即，由得，解得，即，所以.故選：C4．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性將問題轉(zhuǎn)化，再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可；【詳解】解：因為在上單調(diào)遞增，由得到，由在定義域上單調(diào)遞增，又，即，所以；故由能夠推得出，即充分性成立；由推不出，即必要性不成立，故是的充分不必要條件；故選：A5．公元5世紀，我國古代著名數(shù)學(xué)家祖沖之給出了圓周率的兩個近似分數(shù)值：（稱為“約率”）和（稱為“密率”）.一幾何體的三視圖如圖所示（每個小方格的邊長為1），如果取圓周率為“密率”，則該幾何體的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先把三視圖轉(zhuǎn)化為幾何體,再根據(jù)椎體體積公式求出幾何體的體積.【詳解】如圖，幾何體由圓錐的一半與一個三棱錐組合而成，所以故選:.6．函數(shù)在的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求出函數(shù)的定義域，然后判斷出函數(shù)的奇偶性,取特殊值判斷函數(shù)值的符號，從而可排除不滿足的選項，得出答案.【詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)，，，則在區(qū)間上為偶函數(shù)，所以排除BC，又由，所以排除D，故選：A．7．若函數(shù)有兩個極值點且這兩個極值點互為倒數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)極值點互為倒數(shù)應(yīng)用韋達定理，得出，即可求出導(dǎo)函數(shù)的值.【詳解】，函數(shù)的極值點即方程的兩個實根，由題意可知，兩實根互為倒數(shù)，則，解得，所以，故，故選：.8．如圖是杭州2022年第19屆亞運會會徽，名為“潮涌”，形象象征著新時代中國特色社會主義大潮的涌動和發(fā)展.如圖是會徽的幾何圖形.設(shè)弧的長度是，弧的長度是，幾何圖形面積為，扇形面積為，若，則（

）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】由弧長比可得,結(jié)合扇形面積公式得答案.【詳解】因為，所以，又因為，，所以，所以.故選:9．已知等比數(shù)列的前4項和為600，，則（

）A．5 B．9 C．12 D．15【答案】A【分析】本題分兩種情況解答和，利用等比數(shù)列前項和公式和通項公式，聯(lián)立方程組，基本量運算得到，再由通項公式計算即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，，若，則，與題意矛盾，所以，則，解得，所以.故選：.10．以為底的兩個正三棱錐和內(nèi)接于同一個球，并且正三棱錐的側(cè)面與底面所成的角為45°，記正三棱錐和正三棱錐的體積分別為和，則（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】由題意畫出圖形，把正三棱錐的體積比轉(zhuǎn)化為高的比，然后通過求解直角三角形得到兩三棱錐高的關(guān)系得答案．【詳解】解：如圖，正三棱錐和正三棱錐內(nèi)接于同一個球，設(shè)到底面的距離為，到底面的距離為，則，取的中點，連接，，，記與平面的交點為，由兩個正三棱錐和內(nèi)接于同一個球，故一定為球的直徑，記其中點為，且由題意可知，為正三角形的中心，因此，，分別為正三棱錐和正三棱錐的高，，由，，，且為的中點，可得，，，則為正三棱錐的側(cè)面與底面所成的角為，，，記球的半徑為，于是，在中，由勾股定理可得，，解得，于是，則．．故選：D.11．已知橢圓（）的離心率為，直線交橢圓于兩點，點在橢圓上（與點不重合）.若直線，的斜率分別為，，則的最小值為（

）A．2 B． C．4 D．【答案】A【分析】設(shè)點，然后列出方程利用點差法表示出，根據(jù)離心率計算出結(jié)果變換，在利用基本不等式求最值【詳解】設(shè)，，則，∵點，都在橢圓上，∴，兩式相減得，∴，即.∴.當(dāng)且僅當(dāng)時取“＝”，故選：A.12．已知是定義在上的函數(shù)，且滿足為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的周期為2 B．函數(shù)關(guān)于直線對稱C．函數(shù)關(guān)于點中心對稱 D．【答案】C【分析】根據(jù)為偶函數(shù)推導(dǎo)出，根據(jù)為奇函數(shù)，得到，得到函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，故B錯誤，C正確；由由及推導(dǎo)出，故周期為4，A錯誤；根據(jù)函數(shù)的周期性求出，D錯誤.【詳解】∵為偶函數(shù)，∴，∴，故即，∴函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.∵為奇函數(shù)，∴，∴，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，故B錯誤，C正確；由及知，，∴，∴，即，∴，故∴函數(shù)的周期為4，A錯誤，，故D錯誤.故選：C.二、填空題13．已知向量，滿足，，，則____________.【答案】##0.5【分析】由數(shù)量積運算得到,再由數(shù)量積公式計算可解得向量夾角余弦值.【詳解】∵，∴故答案為:14．已知雙曲線（，）的漸近線與圓相切，則雙曲線的離心率為____________.【答案】【分析】結(jié)合已知條件，寫出雙曲線的漸近線方程，然后利用圓心到直線的距離等于半徑求出之間的關(guān)系即可求解.【詳解】不妨取雙曲線（，）的一條漸近線方程為，即，化圓的方程為標準方程，得，則圓心坐標為，半徑為.由題意可得，即，即，即，又所以雙曲線的離心率為，故答案為：.15．在新的高考改革方案中規(guī)定：每位考生的高考成績是按照3（語文、數(shù)學(xué)、英語）+2（物理、歷史）選1+4（化學(xué)、生物、地理、政治）選2的模式設(shè)置的，則在選考的科目中甲、乙兩位同學(xué)恰有兩科相同的概率為______________.【答案】【分析】先計算出甲、乙兩位同學(xué)選考的總數(shù)，再分兩種情況求出甲、乙兩位同學(xué)恰有兩科相同的總數(shù)，利用古典概型求概率公式進行求解.【詳解】由題意得出甲、乙兩位同學(xué)選考的總數(shù)為種，若相同的科目為4選2的科目，從4科中選2科，有種選擇，則2選1兩人選擇不同，由種選擇，共有種；若相同的科目為2選1和4選2中的各1個，從4科中先選出1科相同的，有種選擇，甲乙再分別從剩余3科中選擇1個不同的，有種選擇，再從2選1中選擇一科相同的，有種選擇，共有種，所以所求概率為.故答案為：.16．已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有3個極值點，給出下列四個結(jié)論，正確的序號是_______________.①在區(qū)間上有且僅有3個不同的零點；②的最小正周期可能是；③的取值范圍是；④在區(qū)間上單調(diào)遞增.【答案】②④【分析】由函數(shù)在區(qū)間上有且僅有3個極值點,，即,可求出判斷出,再利用三角函數(shù)的性質(zhì)依次可判斷.【詳解】由題意可知，要使得函數(shù)在區(qū)間上有且僅有3個極值點，只需，解得，故③錯誤；又，故的最小正周期可能是，故②正確；當(dāng)，即時，在區(qū)間上有且僅有2個不同的零點，故①錯誤；由得，由可知，故在上單調(diào)遞增，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，故④正確.故答案為:②④.三、解答題17．在①；②；③.這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中并作答.在中，內(nèi)角所對的邊分別是，，，________________.(1)求；(2)若，，點在線段上，，求的余弦值.【答案】(1)選①②③答案均為(2)【分析】（1）選①②：由正弦定理得到，再由余弦定理得到，結(jié)合，求出；選③：化簡得到，由正弦定理得到，，求出；（2）先由余弦定理求出，結(jié)合第一問求出得到是等邊三角形，，由余弦定理求出的余弦值.【詳解】（1）選擇①：由，可得，由正弦定理得，即，由余弦定理，得，因為，所以；選②：，由正弦定理得：，由余弦定理，得，因為，所以；選擇③：因為，所以，，所以，因為，故，所以，因為，所以.（2）因為，，所以，可得，因為，可得，在中，，，故是等邊三角形，故，，故.18．如圖，在四棱錐中，平面，底面四邊形是正方形，，點為上的點，.(1)求證：平面平面；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2).【分析】(1)由，，得到線面垂直，再根據(jù)面面垂直的判定定理得出面面垂直.（2）以為坐標原點，，，所在的直線分別為，，軸建立空間直角坐標系，設(shè)，分別求出平面與平面的法向量，由法向量所成角的余弦值可得平面與平面所成二面角的余弦值，根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系可求出正弦值.【詳解】（1）因為底面四邊形為正方形，所以，因為平面，平面，所以，又，平面,平面,所以平面，又平面，所以平面平面.（2）設(shè)，則，以為坐標原點，，，所在的直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，.所以，由得，，.設(shè)平面的法向量，則，取，可得，，所以，，.設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，，所以.設(shè)二面角的平面角為，則，∴，即二面角的正弦值為.19．2022年是中國共產(chǎn)主義青年團成立100周年，八桂大地興起一股青年大學(xué)習(xí)的熱潮，我市共青團委會為了響應(yīng)青年的這股熱潮決定舉辦一次共青團知識擂臺賽，我市A縣團委為此舉辦了一場選拔賽，選拔賽分為初賽和決賽，初賽通過后才能參加決賽，決賽通過后將代表縣參加市賽.已知A縣甲、乙、丙3位選手都參加初賽且通過初賽的概率均為，通過初賽后再通過決賽的概率依次為，，，假設(shè)他們之間通過與否互不影響.(1)求這3人中至少有1人通過初賽的概率；(2)設(shè)這3人中參加市賽的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）先求出3人都沒有通過初賽的概率，再利用對立事件求概率公式求出答案；（2）得到的可能取值，利用獨立事件概率乘法公式及互斥事件概率加法公式求得相應(yīng)的概率，得到分布列及數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）3人都沒有通過初賽的概率為，所以這3人中至少有1人通過初賽的概率為.（2）依題意的可能取值為0，1，2，3.設(shè)事件A表示“甲參加市賽”，事件表示“乙參加市賽”，事件表示“丙參加市賽”，則，，，則，，，，所以的分布列為0123所以的數(shù)學(xué)期望為.20．已知動圓與直線相切，且與圓外切.(1)求動圓的圓心軌跡的方程；(2)過點且斜率為的直線與軌跡交于A，兩點，點，延長，分別與軌跡交于，兩點，設(shè)的斜率為，證明：為定值.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)出圓的圓心坐標為，根據(jù)幾何關(guān)系列出方程，求出軌跡方程；（2）設(shè)出設(shè)，，，，直線的方程為，，聯(lián)立拋物線，得到兩根之和，兩根之積，接下來可用兩種方法得到，，進而，得到答案.【詳解】（1）圓的標準方程為圓，設(shè)動圓的圓心坐標為，由動圓與直線相切，且與圓外切，故有，兩邊平方化簡得，所以動圓的圓心軌跡方程為；（2）設(shè)點，點，點，點，由題意可知直線的方程為，其中，代入拋物線中，消去得，則，.處理方式1（拋物線的直線弦方程），，故直線的方程為，整理得，即，又因為直線過點，故有，可得，∴.同理，由直線過點，可得.處理方式2（三點共線），由題意可知，，三點共線，故，即，整理得，又，在拋物線上，故，，代入得，，即，∴.同理，由，，三點共線，可得.于是，即證為定值2，命題得證.【點睛】定值問題常見方法：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；（2）直接推理計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.通常思路為設(shè)出直線方程，與圓錐曲線方程聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，應(yīng)用設(shè)而不求的思想，進行求解；注意考慮直線方程的斜率存在和不存在的情況.21．已知函數(shù).(1)證明不等式：，；(2)若，，使得，求證：.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】(1)移項構(gòu)造新函數(shù),應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)最值證明結(jié)論成立.(2)根據(jù),得到,結(jié)合(1)及函數(shù)的單調(diào)性求出,換元證明成立即可.【詳解】（1）令，，則，故在上單調(diào)遞增，故，即，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立；（2）由得，整理得，不妨設(shè)，由（1）可知在上單調(diào)遞增，故有，從而，所以，所以.下面證明，即證，令，即證明，其中，故只需證明.設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，即，所以.22．在平面直角坐標系xOy中，直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).設(shè)直線與的交點為P，當(dāng)變化時點P的軌跡為曲線.(1)求出曲線的普通方程;(2)以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為，點為曲線上的動點，求點到直線的距離的最大值.【答案】(1)(2).【分析】（1）消參得兩直線的普通方程，兩式相乘可得，再由，可得；（2）直線的直角坐標方程與的參數(shù)方程，設(shè)點，代入點到直線的距離公式，利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得最大值.【詳解】（1）分別消去，的參數(shù)方程中的參數(shù)，得，的