2018-2019學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)選修4-5同步指導(dǎo)學(xué)案：第二章 幾個(gè)重要的不等式 3.2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3。2數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的不等式。2.了解貝努利不等式,并會證明貝努利不等式.3.體會歸納—猜想-證明的思想方法．知識點(diǎn)一用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)n有關(guān)的不等式思考1用數(shù)學(xué)歸納法證明問題必須注意的步驟是什么？答案(1)歸納奠基：驗(yàn)證初始值．(2)歸納遞推：在假設(shè)n＝k成立的前提下,證明n＝k＋1時(shí)問題成立．思考2證明不等式與證明等式有什么不同？答案證明不等式需注意的是對式子進(jìn)行“放縮”．梳理利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式在運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)，由n＝k時(shí)命題成立，推導(dǎo)n＝k＋1命題成立時(shí)，常常要與其他方法，如比較法、分析法、綜合法、放縮法等結(jié)合進(jìn)行．知識點(diǎn)二貝努利不等式對任意實(shí)數(shù)x≥－1和任何正整數(shù)n，有(1＋x）n≥1＋nx。類型一數(shù)學(xué)歸納法與放縮法結(jié)合證明不等式例1證明：1＋eq\f（1，22)＋eq\f（1,32）＋…＋eq\f(1,n2）＜2－eq\f(1，n）（n∈N＋，n≥2)．證明(1)當(dāng)n＝2時(shí),左邊＝1＋eq\f(1,22)＝eq\f（5,4)，右邊＝2－eq\f(1,2）＝eq\f（3，2),由于eq\f（5,4）＜eq\f(3，2），因此命題成立．（2）假設(shè)當(dāng)n＝k（k∈N＋，k≥2)時(shí)，命題成立，即1＋eq\f（1,22）＋eq\f(1，32）＋…＋eq\f（1,k2)＜2－eq\f（1，k)。當(dāng)n＝k＋1時(shí)，1＋eq\f（1，22)＋eq\f（1，32）＋…＋eq\f(1,k2）＋eq\f(1，k＋12)＜2－eq\f（1,k）＋eq\f(1,k＋12)＜2－eq\f（1,k）＋eq\f(1，kk＋1）＝2－eq\f（1，k)＋eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1,k）－\f(1，k＋1）)）＝2－eq\f（1,k＋1),即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題成立．由（1）（2)可知，不等式對一切n∈N＋,n≥2都成立．反思與感悟在歸納遞推過程中常用到放縮法，這也是在用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問題時(shí)常用的方法之一．跟蹤訓(xùn)練1用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋eq\f（1，2）＋eq\f（1，3）＋…＋eq\f(1，2n－1）＜n(n∈N＋,n＞1)．證明(1）當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝1＋eq\f（1,2）＋eq\f(1，3），右邊＝2，左邊＜右邊，不等式成立．（2）假設(shè)當(dāng)n＝k（k〉1，k∈N＋)時(shí)，不等式成立，即1＋eq\f（1，2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2k－1)<k，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，有1＋eq\f（1,2)＋eq\f（1,3)＋…＋eq\f（1,2k－1)＋eq\f（1,2k）＋eq\f(1，2k＋1）＋…＋eq\f(1,2k＋1－1）<k＋eq\f（1，2k）＋eq\f(1，2k＋1)＋…＋eq\f(1，2k＋1－1)<k＋eq\f(1×2k,2k）＝k＋1，所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式成立．由（1)（2）知，對于任意大于1的正整數(shù)n,不等式均成立．類型二利用數(shù)學(xué)歸納法證明與數(shù)列有關(guān)的不等式例2已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1＝eq\f(1,2），an＋2SnSn－1＝0（n≥2，n∈N＋)．(1）判斷eq\b\lc\｛\rc\｝(\a\vs4\al\co1(\f(1，Sn）))是否為等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論；(2)證明：Seq\o\al(2,1)＋Seq\o\al（2,2）＋…＋Seq\o\al（2,n）≤eq\f(1，2）－eq\f（1,4n）（n≥1且n∈N＋)．（1）解eq\b\lc\{\rc\}（\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn）)）是等差數(shù)列，證明如下：S1＝a1＝eq\f（1,2）,所以eq\f（1，S1)＝2。當(dāng)n≥2時(shí),an＝Sn－Sn－1，即Sn－Sn－1＝－2SnSn－1。所以eq\f(1,Sn）－eq\f(1,Sn－1）＝2。故eq\b\lc\｛\rc\｝(\a\vs4\al\co1（\f(1，Sn））)是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，且eq\f（1,Sn)＝2n.(2)證明①當(dāng)n＝1時(shí)，Seq\o\al（2，1）＝eq\f（1，4）＝eq\f（1,2)－eq\f(1，4×1)，不等式成立．②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)，不等式成立,即Seq\o\al(2,1）＋Seq\o\al(2，2)＋…＋Seq\o\al（2，k)≤eq\f（1,2）－eq\f（1,4k)成立,則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，Seq\o\al(2,1)＋Seq\o\al（2,2)＋…＋Seq\o\al（2,k）＋Seq\o\al(2，k＋1)≤eq\f（1，2）－eq\f（1，4k）＋eq\f（1,4k＋12)＝eq\f（1，2）－eq\f(1，4）eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1（\f(1，k)－\f(1，k＋12））)＝eq\f（1，2)－eq\f（1，4）·eq\f(k2＋k＋1，kk＋12）＜eq\f（1,2）－eq\f(1,4)·eq\f（k2＋k，kk＋12)＝eq\f(1,2)－eq\f（1,4k＋1）。即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式成立．由①②可知,對任意n∈N＋不等式都成立．反思與感悟（1）首先掌握好數(shù)學(xué)歸納法求解問題的步驟及等差、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識，這是解決這類問題的基礎(chǔ)．（2）此類題型通常與數(shù)列的遞推公式、通項(xiàng)公式有關(guān)，有時(shí)要證明的式子是直接給出，有時(shí)是根據(jù)條件從前幾項(xiàng)入手,通過觀察、猜想，歸納出一個(gè)式子，然后再用數(shù)學(xué)歸納法證明．跟蹤訓(xùn)練2設(shè)0＜a＜1,定義a1＝1＋a，an＋1＝eq\f(1,an)＋a，求證：對一切正整數(shù)n，有1＜an＜eq\f(1，1－a)。證明(1）當(dāng)n＝1時(shí)，a1＞1，a1＝1＋a＜eq\f(1，1－a)，命題成立．（2）假設(shè)當(dāng)n＝k（k≥1,k∈N＋）時(shí)，命題成立，即1＜ak＜eq\f（1，1－a）.當(dāng)n＝k＋1時(shí)，由遞推公式知,ak＋1＝eq\f(1,ak)＋a＞（1－a）＋a＝1。同時(shí)，ak＋1＝eq\f(1,ak）＋a＜1＋a＝eq\f（1－a2,1－a）＜eq\f(1，1－a）,故當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題也成立，即1＜ak＋1＜eq\f(1，1－a).綜合(1）(2）可知，對一切正整數(shù)n，都有1＜an＜eq\f（1,1－a)。1．用數(shù)學(xué)歸納法證明3n≥n3(n≥3，n∈N＋),第一步驗(yàn)證（）A．n＝1B．n＝2C．n＝3D．n＝4答案C解析由題知，n的最小值為3,所以第一步驗(yàn)證n＝3是否成立．2．用數(shù)學(xué)歸納法證明“Sn＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f（1,n＋2）＋eq\f(1，n＋3）＋…＋eq\f（1,n2＋3)＞1(n∈N＋)”時(shí)，S1等于()A.eq\f（1，2）B。eq\f（1,4)C.eq\f（1,2）＋eq\f（1，3）D。eq\f(1,2）＋eq\f(1，3)＋eq\f(1，4)答案D解析S1＝eq\f(1,1＋1）＋eq\f（1，1＋2)＋eq\f（1，12＋3）＝eq\f(1,2)＋eq\f（1,3）＋eq\f(1,4）。3．用數(shù)學(xué)歸納法證明eq\f(1，22）＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n＋12)＞eq\f(1，2)－eq\f(1,n＋2)。假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí),不等式成立,則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，應(yīng)推證的目標(biāo)不等式是____________________．答案eq\f（1,22)＋eq\f（1，32）＋…＋eq\f（1,k＋12）＋eq\f(1，k＋22)＞eq\f（1,2）－eq\f（1，k＋3)解析當(dāng)n＝k＋1時(shí),目標(biāo)不等式為eq\f（1,22)＋eq\f(1,32）＋…＋eq\f(1,k＋12)＋eq\f（1,k＋22）＞eq\f（1,2）－eq\f（1，k＋3）.4．用數(shù)學(xué)歸納法證明：2n＋2＞n2，n∈N＋.證明（1)當(dāng)n＝1時(shí),左邊＝21＋2＝4；右邊＝1，左邊＞右邊；當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝22＋2＝6，右邊＝22＝4,所以左邊＞右邊；當(dāng)n＝3時(shí)，左邊＝23＋2＝10，右邊＝32＝9，所以左邊＞右邊．因此當(dāng)n＝1，2，3時(shí),不等式成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥3且k∈N＋)時(shí)，不等式成立，即2k＋2＞k2.當(dāng)n＝k＋1時(shí),2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2（2k＋2)－2＞2k2－2＝k2＋2k＋1＋k2－2k－3＝（k2＋2k＋1)＋(k＋1)(k－3）≥k2＋2k＋1＝（k＋1）2（因?yàn)閗≥3，所以k－3≥0，k＋1＞0）．所以2k＋1＋2＞（k＋1）2。故當(dāng)n＝k＋1時(shí)，原不等式也成立．由(1）（2）知，原不等式對任何n∈N＋都成立．?dāng)?shù)學(xué)歸納法證明不等式的技巧(1）證明不等式時(shí)，由n＝k到n＝k＋1的推證過程與證明等式有所不同，由于不等式中的不等關(guān)系，需要我們在證明時(shí)，對原式進(jìn)行“放大”或者“縮小"，才能使用到n＝k時(shí)的假設(shè)，所以需要認(rèn)真分析,適當(dāng)放縮，才能使問題簡單化，這是利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)常用的方法之一．（2）數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用通常需要與數(shù)學(xué)的其他方法聯(lián)系在一起，如比較法、放縮法、配湊法、分析法和綜合法等,才能完成證明過程．一、選擇題1．對于不等式eq\r(n2＋n)＜n＋1(n∈N＋)，某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法的證明過程如下：(1）當(dāng)n＝1時(shí)，eq\r（12＋1）＜1＋1，不等式成立．（2)假設(shè)當(dāng)n＝k（k∈N＋)時(shí)，不等式成立，即eq\r（k2＋k）＜k＋1，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，eq\r(k＋12＋k＋1）＝eq\r(k2＋3k＋2）＜eq\r(k2＋3k＋2＋k＋2）＝eq\r(k＋22）＝（k＋1）＋1，∴n＝k＋1時(shí),不等式成立．則上述證法（)A．過程全部正確B．n＝1驗(yàn)得不正確C．歸納假設(shè)不正確D．從n＝k到n＝k＋1的推理不正確答案D解析證明過程中，當(dāng)n＝k＋1時(shí),沒有應(yīng)用n＝k時(shí)的歸納假設(shè),故選D.2．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋eq\f(1，22）＋eq\f（1，32）＋…＋eq\f（1，2n－12）<2－eq\f（1，2n－1）（n≥2，n∈N＋）的第一步需證明（)A．1<2－eq\f(1,2－1）B．1＋eq\f（1,22)〈2－eq\f(1，22－1)C．1＋eq\f（1，22）＋eq\f（1,32)<2－eq\f(1,22－1）D．1＋eq\f(1,22）＋eq\f(1，32）＋eq\f(1，42）<2－eq\f(1,22－1）答案C3．若不等式eq\f（1,n＋1）＋eq\f（1，n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)＞eq\f(m，24）對大于1的一切自然數(shù)n都成立,則自然數(shù)m的最大值為（）A．12B．13C．14D．不存在答案B解析令f（n）＝eq\f(1,n＋1）＋eq\f(1，n＋2）＋…＋eq\f（1,2n），取n＝2，3，4，5等值,發(fā)現(xiàn)f(n）是單調(diào)遞增的，所以［f(n)］min＞eq\f（m,24），由f（2）＞eq\f（m,24)，得m的最大值為13。4．對于正整數(shù)n,下列不等式不正確的是（）A．3n≥1＋2n B．0.9n≥1－0。1nC．0。9n＜1－0。1n D．0.1n≥1－0。9n答案C解析由貝努利不等式(1＋x）n≥1＋nx(n∈N＋，x≥－1），得A中，當(dāng)x＝2時(shí),即3n≥1＋2n成立;B中，當(dāng)x＝－0.1時(shí),0.9n≥1－0。1n成立;D中，當(dāng)x＝－0。9時(shí),0.1n≥1－0.9n成立．∴0.9n＜1－0。1n不成立．5．若不等式對n＝k成立,則它對n＝k＋2也成立．若該不等式對n＝2成立，則下列結(jié)論正確的是(）A．該不等式對所有正整數(shù)n都成立B．該不等式對所有正偶數(shù)n都成立C．該不等式對所有正奇數(shù)n都成立D．該不等式對所有自然數(shù)n都成立答案B解析因?yàn)楫?dāng)n＝2時(shí),不等式成立，且該不等式對n＝k＋2也成立，所以該不等式對所有的正偶數(shù)n都成立．6．已知n為正偶數(shù),用數(shù)學(xué)歸納法證明:1－eq\f（1,2）＋eq\f(1,3)－eq\f（1，4)＋…－eq\f（1，n)＝2eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1，n＋2）＋\f(1,n＋4）＋…＋\f(1,2n)）)時(shí)，若已假設(shè)n＝k（k≥2且為偶數(shù)）時(shí)，等式成立，則還需要用歸納假設(shè)再證()A．n＝k＋1時(shí)等式成立B．n＝k＋2時(shí)等式成立C．n＝2k＋2時(shí)等式成立D．n＝2(k＋2）時(shí)等式成立答案B解析偶數(shù)k的后繼偶數(shù)為k＋2,故應(yīng)再證n＝k＋2時(shí)等式成立．二、填空題7．證明：eq\f（n＋2,2）＜1＋eq\f(1,2)＋eq\f（1，3)＋…＋eq\f(1,2n)＜n＋1(n＞1），當(dāng)n＝2時(shí)，要證明的式子為________________．答案2＜1＋eq\f（1，2）＋eq\f（1,3）＋eq\f(1，4）＜3解析當(dāng)n＝2時(shí),要證明的式子為2＜1＋eq\f(1,2)＋eq\f（1,3)＋eq\f(1，4)＜3。8．用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n＞n2＋1對于n≥n0的正整數(shù)n都成立"時(shí),第一步證明中的起始值n0應(yīng)取________．答案5解析n取1，2,3，4時(shí)不等式不成立，起始值為5。9．設(shè)a，b均為正實(shí)數(shù)（n∈N＋)，已知M＝（a＋b）n，N＝an＋nan－1b，則M，N的大小關(guān)系為________．答案M≥N解析當(dāng)n＝1時(shí)，M＝a＋b＝N。當(dāng)n＝2時(shí)，M＝（a＋b）2，N＝a2＋2ab＜M.當(dāng)n＝3時(shí)，M＝（a＋b）3，N＝a3＋3a2b＜M.歸納得M≥N。10．以下是用數(shù)學(xué)歸納法證明“n∈N＋時(shí)，2n＞n2"的過程，證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，21＞12，不等式顯然成立．（2)假設(shè)當(dāng)n＝k（k≥1，k∈N＋)時(shí)不等式成立，即2k＞k2.那么,當(dāng)n＝k＋1時(shí)，2k＋1＝2×2k＝2k＋2k＞k2＋k2≥k2＋2k＋1＝（k＋1)2.即當(dāng)n＝k＋1時(shí)不等式也成立．根據(jù)(1)和（2）可知，對任何n∈N＋不等式都成立．其中錯(cuò)誤的步驟為________．（填序號)答案(2）解析在2k＋1＝2×2k＝2k＋2k＞k2＋k2≥k2＋2k＋1中用了k2≥2k＋1，這是一個(gè)不確定的結(jié)論．如當(dāng)k＝2時(shí),k2＜2k＋1。三、解答題11．用數(shù)學(xué)歸納法證明：對一切大于1的自然數(shù)n,不等式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1，3）))eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（1＋\f(1，5）））…eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（1＋\f(1,2n－1)））〉eq\f（\r（2n＋1）,2）成立．證明（1)當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝1＋eq\f（1，3)＝eq\f(4，3），右邊＝eq\f(\r(5),2），左邊>右邊，所以不等式成立．(2）假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2且k∈N＋）時(shí),不等式成立,即eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（1＋\f(1,3）））eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（1＋\f(1，5）)）…eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（1＋\f(1，2k－1）））>eq\f(\r（2k＋1),2)，那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(1＋\f（1，3)))eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（1＋\f(1，5)）)…eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（1＋\f(1，2k－1)))eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\f（1,2k＋1－1)）)〉eq\f（\r（2k＋1)，2）·eq\f（2k＋2，2k＋1）＝eq\f(2k＋2,2\r(2k＋1)）＝eq\f（\r(4k2＋8k＋4),2\r（2k＋1）)>eq\f(\r(4k2＋8k＋3)，2\r（2k＋1）)＝eq\f（\r（2k＋3）\r(2k＋1），2\r(2k＋1）)＝eq\f(\r(2k＋1＋1），2），所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式也成立．由（1)（2）知,對一切大于1的自然數(shù)n，不等式都成立．12．已知Sn＝1＋eq\f(1，2)＋eq\f（1，3）＋…＋eq\f（1,n)(n＞1，且n∈N＋),求證：S2n＞1＋eq\f（n，2）。證明(1)當(dāng)n＝2時(shí),S22＝1＋eq\f（1，2）＋eq\f(1，3)＋eq\f（1,4）＝eq\f（25，12）＞1＋eq\f(2,2），即n＝2時(shí)命題成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k（k〉1,k∈N＋）時(shí)，命題成立，即＝1＋eq\f（1，2）＋eq\f（1，3）＋…＋eq\f(1,2k)＞1＋eq\f（k,2）.當(dāng)n＝k＋1時(shí)，＝1＋eq\f(1,2）＋eq\f（1,3）＋…＋eq\f(1，2k)＋eq\f（1,2k＋1)＋…＋eq\f(1,2k＋1)＞1＋eq\f(k,2)＋＞1＋eq\f（k,2)＋eq\f(2k,2k＋1）＝1＋eq\f（k,2）＋eq\f(1，2)＝1＋eq\f(k＋1,2）,故當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題也成立．由（1）(2)知，對n∈N＋，n>1，＞1＋eq\f(n，2）成立．13．已知遞增等差數(shù)列｛an}滿足:a1＝1，且a1，a2，a4成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;（2)若不等式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（1－\f(1,2a1）））·eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(1－\f(1，2a2)））·…·eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(1－\f（1，2an）))≤eq\f（m,\r（2an＋1）)對任意n∈N＋恒成立，試猜想出實(shí)數(shù)m的最小值，并證明．解（1)設(shè)數(shù)列{an｝的公差為d（d〉0)，由題意可知a1·a4＝aeq\o\al(2,2)，即1（1＋3d）＝（1＋d）2，解得d＝1或d＝0(舍去）．所以an＝1＋(n－1）·1＝n.（2）不等式等價(jià)于eq\f(1，2）·eq\f(3,4）·eq\f(5，6)·…·eq\f(2n－1,2n)≤eq\f（m,\r(2n＋1）），當(dāng)n＝1時(shí)，m≥eq\f（\r（3）,2）；當(dāng)n＝2時(shí)，m≥eq\f(3\r(5）,8)；而eq\f(\r（3）,2）〉eq\f(3\r（5），8)，所以猜想，m的最小值為eq\f(\r（3),2）。下面證不等式eq\f（1，2)·eq\f（3,4）·eq\f（5，6）·…·eq\f（2n－1，2n)≤eq\f(\f（\r（3)，2），\r(2n＋1)）對任意n∈N＋恒成立．證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，eq\f（1，2）≤eq\f(\f（\r（3),2),\r（3）)＝eq\f(1，2），命題成立．②假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí),不等式eq\f(1，2）·eq\f（3,4）·eq\f(5,6）·…·eq\f(2k－1,2k）≤eq\f(\f(\r(3），2),\r(2k＋1))成立，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，eq\f(1，2）·eq\f（3，4）·eq\f(5，6)·…·eq\f(2k－1,2k）·eq\f（2k＋1，2k＋2）≤eq\f(\f(\r（3）,2)，\r(2k＋1))·eq\f(2k＋1,2k＋2）,只需證eq\f（\f（\r(3）