勾股定理的逆定理

17．2勾股定理的逆定理（第1課時(shí)）一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1．內(nèi)容勾股定理的逆定理證明及簡單應(yīng)用，原命題、逆命題的概念及相互關(guān)系.2．內(nèi)容解析勾股定理的逆定理：如果一個(gè)三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形.它是利用三角形邊長關(guān)系來判定三角形是直角三角形的一種方法.基于以上分析，可以確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是：證明勾股定理的逆定理；用勾股定理的逆定理解決具體的問題.二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1．目標(biāo)（1）理解勾股定理的逆定理，經(jīng)歷“實(shí)驗(yàn)—猜想—論證”的探究過程，體會(huì)“構(gòu)造法”證明數(shù)學(xué)命題的基本思想方法.（2）理解原命題、逆命題、逆定理的概念及關(guān)系.2．目標(biāo)解析目標(biāo)（1）要求經(jīng)歷勾股定理的逆定理的探究及證明過程，并理解通過構(gòu)造一個(gè)直角三角形，證明此三角形和原三角形全等，從而證明三角形為直角三角形的方法.要求能應(yīng)用勾股定理的逆定理來判斷一個(gè)三角形是直角三角形.目標(biāo)（2）能根據(jù)原命題寫出它的逆命題，并了解原命題為真命題時(shí)逆命題不一定為真命題.理解判斷逆命題為假命題只需舉出反例即可，但要說明逆命題，必須通過證明.三、教學(xué)問題診斷分析證明勾股定理的逆定理的實(shí)質(zhì)，是通過a2+b2=c2證明三角形中有一個(gè)角為90°.勾股定理的證明方法很多,有400多種,教材也提供了多種證法,而勾股定理逆定理的證明,教材的編寫卻相當(dāng)“簡潔”,即先用“構(gòu)造法”構(gòu)造一個(gè)直角三角形,再利用三角形全等得以證明.這個(gè)定理的證明方法學(xué)生不太容易想到.基于以上分析，可以確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是：勾股定理的逆定理的推導(dǎo).四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)1．創(chuàng)設(shè)情境問題1你能說出勾股定理的題設(shè)和結(jié)論嗎？師生活動(dòng)：師生共同回憶勾股定理，并讓學(xué)生正確說出勾股定理的題設(shè)和結(jié)論，教師揭示勾股定理從形的特殊性得出邊之間的數(shù)量關(guān)系.追問：反過來，由a2+b2=c2能否確定這是一個(gè)直角三角形？設(shè)計(jì)意圖：通過對(duì)前面所學(xué)知識(shí)的歸納總結(jié)，聯(lián)想到用三邊的關(guān)系是否可以判斷一個(gè)三角形為直角三角形，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)反思問題的能力．問題2古埃及人曾用下面的方法得到直角：用13個(gè)等距的結(jié),把一根繩子分成等長的12段,然后以3個(gè)結(jié)，4個(gè)結(jié)，5個(gè)結(jié)的長度為邊長，用木樁釘成一個(gè)三角形，其中一個(gè)角便是直角.按照這種做法真能得到一個(gè)直角三角形嗎？這個(gè)問題意味著，如果圍成的三角形的三邊分別為3、4、5．有下面的關(guān)系“32＋42＝52”．那么圍成的三角形是直角三角形．追問：請(qǐng)你測(cè)量這個(gè)圖中的最大角，它是直角嗎？然后回答問題:（1）這組數(shù)都滿足a2+b2=c2嗎？（2）再換一組數(shù)據(jù)試試:，6cm，（是否滿足a2+b2=c2，是否為直角三角形？）（3）任意滿足a2+b2=c2的三邊都可以嗎?幾何畫板再次驗(yàn)證.結(jié)合勾股定理，請(qǐng)?zhí)岢瞿愕牟孪耄翰孪朊}:如果一個(gè)三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形.同時(shí)，我們也進(jìn)一步明白了古埃及人那樣做的道理． 師生活動(dòng)：教師借助電子白板平臺(tái)演示，指導(dǎo)學(xué)生按要求畫出三角形，并用幾何畫板演示滿足a2+b2=c2的三邊組成的是直角三角形.由特殊到一般，引導(dǎo)歸納猜想出“如果三角形三邊a，b，c滿足a2＋b2＝c2，那么這個(gè)三角形就為直角三角形的結(jié)論，設(shè)計(jì)意圖：由特殊到一般，歸納猜想出“如果三角形三邊a，b，c滿足a2＋b2＝c2，那么這個(gè)三角形就為直免三角形的結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手操作能力和尋求解決數(shù)學(xué)問題的一般方法．追問:古埃及人用這種方法確實(shí)得到的是直角,你知道為什么嗎？設(shè)計(jì)意圖：探究的問題與學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)相關(guān)聯(lián)，并且滲透了數(shù)學(xué)史知識(shí)，因此喚起了學(xué)生的探究興趣，引起了學(xué)生的認(rèn)知沖突，觸發(fā)了學(xué)生的多元思考.2．證明逆定理問題3:請(qǐng)寫出這個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論.追問:你能根據(jù)以上題設(shè)和結(jié)論畫圖并寫出已知求證嗎?已知:如圖,△ABC的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2求證:△ABC是直角三角形問題4:要證明△ABC是直角三角形,只要證∠C=90°,由已知條件能直接證明嗎?追問:不能直接證明,怎么辦呢?前面我們已學(xué)習(xí)過勾股定理，而此問題中的已知條件a2+b2=c2類似于勾股定理中的結(jié)論.如果要想應(yīng)用已有知識(shí)，首先想到的是應(yīng)用勾股定理，而要應(yīng)用勾股定理就必須得有直角三角形這個(gè)條件，所以想到要構(gòu)造一個(gè)直角三角形和這個(gè)三角形全等，再應(yīng)用全等性質(zhì)得到直角.證明:作△A’B’C’，使∠C’=90°，A’C’=，B’C’=，那么A’B’=（勾股定理）又∵（已知）∴A’B’=，A’B’=c(A’B’＞0)在△ABC和△A’B’C’中，BC==B’C’CA==C’A’AB==A’B’∴△ABC≌△A’B’C’(SSS)∴∠C=∠C’=90°，∴△ABC是直角三角形老師還要告訴大家的是，本題的構(gòu)造法是一種很特殊的構(gòu)造法，叫同一法.我們將猜想證出，得到勾股定理的逆定理（板書），它是判定直角三角形的又一種方法.勾股定理的逆定理的證明方法不止這一種，目前有8種，有興趣的同學(xué)可以課下繼續(xù)研究.設(shè)計(jì)意圖:用構(gòu)造的方法或同一法來證明數(shù)學(xué)問題是一個(gè)富有思考性的問題，怎樣構(gòu)造？為什么這樣構(gòu)造？你是怎樣想到的？等等.這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力極為有益.但如果教師很突然地構(gòu)造了直角三角形，只是讓學(xué)生計(jì)算一下，來說明兩個(gè)三角形是否全等，這就降低了教學(xué)的要求.長此以往，“機(jī)械學(xué)習(xí)”也在所難免.學(xué)生自己經(jīng)過探索發(fā)現(xiàn)的命題，無論從思想感情上，還是在學(xué)習(xí)興趣上，都要比直接給出命題再加以證明更富有吸引力.數(shù)學(xué)創(chuàng)造往往開始于不嚴(yán)格的發(fā)散思維，而繼之以嚴(yán)格的邏輯分析思維，即收斂思維，有了猜想的結(jié)果，猜想正確的證明就變成了學(xué)生自發(fā)的需要.“先猜，后證”，這是大多數(shù)科學(xué)的發(fā)現(xiàn)之道.從而也突破了本節(jié)難點(diǎn).3.互逆命題,互逆定理問題5：比較勾股定理的逆定理和勾股定理,這兩個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論有何關(guān)系？設(shè)計(jì)意圖：認(rèn)識(shí)什么樣的兩個(gè)命題是互逆命題，明白什么是原命題，什么是逆命題?你前面遇到過有互逆命題嗎?說出下列命題的逆命題．這些命題的逆命題成立嗎?(1)兩條直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．(2)如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的平方相等．(3)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等．設(shè)計(jì)意圖:當(dāng)學(xué)生探究得到了勾股定理的逆定理，如果教師馬上轉(zhuǎn)向例題，講定理的應(yīng)用，勢(shì)必造成學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)定理的膚淺理解，失去了一次培養(yǎng)學(xué)生反思的良好機(jī)會(huì).于是，教師繼續(xù)提出問題讓學(xué)生思考.當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)所證定理和前面的勾股定理是互逆關(guān)系，進(jìn)而也理解了原定理、逆定理、原命題、逆命題等數(shù)學(xué)概念，這時(shí)教師繼續(xù)追問：如果一個(gè)原命題成立，那么它的逆命題成立嗎？讓學(xué)生舉例說明，最后學(xué)生得出結(jié)論：一個(gè)原命題成立，它的逆命題不一定成立.事實(shí)上，對(duì)于原定理、逆定理、原命題、逆命題等數(shù)學(xué)概念，學(xué)生是比較容易理解的，在得出勾股定理的逆定理后，讓學(xué)生將其作為“副產(chǎn)品”來探究發(fā)現(xiàn)，既保證了本節(jié)課的重點(diǎn)，又節(jié)約了時(shí)間，提高了教學(xué)效率.4．定理應(yīng)用例1判斷由a、b、c組成的三角形是不是直角三角形？(1)a＝15,b＝8,c＝17(2)a＝11,b＝13,c＝12解（1）∵152＋82＝225＋64＝289172＝289∴152＋82＝172∴這個(gè)三角形是直角三角形（2）∵112＋122＝169＋196＝265132＝169∴112＋122≠132∴這個(gè)三角形不是直角三角形鞏固練習(xí):下面以a,b,c為邊長的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一個(gè)角是直角？(1)a=25b=20c=15(2)a=13b=14c=15(3)a=1b=2c=(4)a:b:c=3:4:5像25,20,15,能夠成為直角三角形三條邊長的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù).追問：我們見國哪些勾股數(shù)？介紹勾股數(shù)的歷史:我國古代數(shù)學(xué)和天文著作《周髀算經(jīng)》中記載的“勾三股四弦五”就是最簡單的一組勾股數(shù)，即3,4,5，它是人們認(rèn)識(shí)發(fā)現(xiàn)最早的一組勾股數(shù).勾股數(shù)有無數(shù)組，最早研究并發(fā)現(xiàn)大批勾股數(shù)的是古巴比倫人.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，距今大約3000年前，古巴比倫人留下了一份數(shù)學(xué)手稿(古巴比倫數(shù)學(xué)泥板書)中記下了下面15組勾股數(shù)：⑴119,120,169⑵3367,3456,4825⑶4601,4800,6649⑷12709,13500,18541⑸65，72，97⑹319,360,481⑺2291,2700,3541⑻799,960,1249⑼481,600,769⑽4961,6480,8161⑾45，60,75⑿1679,2400,2929⒀161,240,289⒁1771,2700,3229⒂56,90,106三千年前的古人，就能取得如此輝煌的成就，確實(shí)令人驚訝和崇敬！設(shè)計(jì)意圖:鞏固逆定理，對(duì)學(xué)生滲透數(shù)學(xué)文化，感受古人的智慧.5.小結(jié)談?wù)勀愕氖斋@:(1)勾股定理的逆定理,它的作用是什么?我們是用什么方法證明這個(gè)定理的?(2)什么叫做互逆命題、原命題與逆命題?什么稱為互為逆定理?6.課后作業(yè)書34頁：習(xí)題第1題、第4題、第5題練習(xí)冊(cè)：第一課時(shí)A（B組選做）7.達(dá)標(biāo)測(cè)評(píng)：1、三角形三邊長a、b、c滿足條件(a+b)2－c2=2ab，則此三角形是（）A、銳角三角形B、直角三角形C、鈍角三角形D、等邊三角形2、已知△ABC的三邊長為a、b、c且a=m2－n2，b=2mn,c=m2+n2，(m>n,m、n是正整數(shù),則此三角形是直角三角形嗎?說明理由.3、已知：如圖，四邊形ABCD中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四邊形ABCD的面積?五、課后反思1．“問題-探究”教學(xué)的一些思考：本節(jié)課的核心是“問題-探究”.探究的本質(zhì)是對(duì)“未知”不懈的“追問”，通過對(duì)問題的不斷解決和“追問”，探究出未知的數(shù)學(xué)世界，這既符合數(shù)學(xué)知識(shí)本身發(fā)展的規(guī)律，也符合學(xué)生個(gè)體心理發(fā)展的規(guī)律.探究學(xué)習(xí)可以是有意義的，也可能是機(jī)械的.探究式學(xué)習(xí)有時(shí)也被人們稱為“問題導(dǎo)向式”的學(xué)習(xí)，因此“數(shù)學(xué)問題”往往被視為探究式學(xué)習(xí)的核心.沒有問題的思考，不是真正的思考；沒有思考的探究，不是真正的探究.2．營造數(shù)學(xué)文化：本節(jié)課多次滲透了數(shù)學(xué)史的知識(shí)：古埃及確定直角的方法，中國的《周髀算經(jīng)》，古巴比侖數(shù)學(xué)泥板書，旨在激發(fā)興趣，提高學(xué)生們的創(chuàng)新意識(shí).3．借助媒體：經(jīng)過