構(gòu)建高等數(shù)學知識群的實踐與思考

構(gòu)建高等數(shù)學知識群的實踐與思考

趙衍才【Summary】如何有效改善學生對高等數(shù)學的興趣和效果，一直是高等數(shù)學，特別是高職高專高等數(shù)學改革的熱門話題，但目前的狀況是“在相當部分高職院校，高等數(shù)學課程改革目前尚處于紙上談兵階段，實踐中的改革乏力”.在多年實踐經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，本文提出了構(gòu)建“高等數(shù)學知識群”的教學改革模式，意在將高等數(shù)學的教學改革引向細致和深入.【Key】高等數(shù)學；高等數(shù)學知識群；高等數(shù)學改革.【分類號】G642.4一、研究現(xiàn)狀綜述目前，高職高等數(shù)學的教學改革的主要思想是如何提高學生學習的興趣和效果，許多學者進行了有益的探索和思考.模塊化教學是當前的一個研究熱點，其一般做法為：先將高等數(shù)學分為若干個模塊，模塊設(shè)計好后，由各系專業(yè)教師根據(jù)專業(yè)需要選擇模塊，提出模塊內(nèi)容的具體要求，再由數(shù)學教師組織教學.在教學實踐中，根據(jù)專業(yè)需要對模塊內(nèi)容的設(shè)置和選擇進行了調(diào)整，初步完成模塊化教學內(nèi)容體系的構(gòu)建.如文獻[3]中，將高等數(shù)學劃分為6個模塊，分別為：一元微積分、線性代數(shù)、概率初步、統(tǒng)計初步、積分變換、數(shù)學建模與數(shù)學實驗.這些模塊化劃分對改革高等數(shù)學的教學有很大幫助，但筆者認為，這些劃分宏觀層面的意味比較強，還不很細致和深入.在本文中，我們將提出構(gòu)建“高等數(shù)學知識群”的思想，這可以看作是一種比模塊化更加微觀的劃分，而且可以徹底打破傳統(tǒng)的模塊化劃分.二、高等數(shù)學知識群的構(gòu)建所謂高等數(shù)學知識群的構(gòu)建，我們將其定義為：人們通過類比、對比、或其他方式的聯(lián)想，而將一系列數(shù)學知識、數(shù)學方法聚合在一起，并集中學習的做法.由此可見，高等數(shù)學知識群的構(gòu)建是人們的心理活動對數(shù)學知識和數(shù)學方法內(nèi)在的關(guān)聯(lián)性的一個自然反應，是人們心理活動的結(jié)果.因此，高等數(shù)學知識群可能因人而異，它是開放的、發(fā)展的、不斷完善的.在教學中可以依學情等因素由教師自主組合.（一）只通過一個函數(shù)的聯(lián)想而構(gòu)建起函數(shù)單調(diào)性、極值、最值、凹凸性、曲率及相關(guān)專業(yè)知識的高等數(shù)學知識群通過直觀觀察，學生很容易理解極值的第一充分條件.無需證明即可讓學生理解并運用.3.自然過渡到第三個問題：還能進一步求最值嗎？學生易于得到答案：在x=±3時取最小值，沒有最大值.可進一步限定范圍：函數(shù)在閉區(qū)間[-2，2]或[-2，3]或任意其他閉區(qū)間上的最值？4.自然過渡到第四個問題：凹凸性？啟發(fā)學生類比認識：利用一階導數(shù)能判斷單調(diào)性，利用二階導數(shù)即可判斷凹凸性.進一步，還可引入拐點的定義和判斷方法.5.自然過渡到第五個問題：凹凸性反映了彎曲的方式，那么彎曲的程度如何衡量？從而展開曲率的知識.6.這些知識對我們的專業(yè)領(lǐng)域有什么幫助嗎？可以針對不同專業(yè)的學生，設(shè)計不同的實際問題，如：針對經(jīng)濟類的學生，可設(shè)計最大利潤的問題；工程技術(shù)類的學生，可設(shè)計道路、橋梁等的曲率漸變的問題；理科學生，可設(shè)計飛機俯沖時座椅對人體的壓力等問題.7.能畫出函數(shù)的圖像嗎？使學生自然而然的認識到：問題1-5的解決可幫助我們畫出函數(shù)的圖像.注意到：上述全部內(nèi)容，可在兩個連續(xù)課時內(nèi)完成.由于是環(huán)環(huán)相扣，學生興趣很高.然后，再用一個課時，讓學生練習.我們實踐的結(jié)果是，效果很好.如果按照傳統(tǒng)的課本順序講解，需要用四課時，且效果不好.8.能求二元函數(shù)的極值嗎？我們嘗試過，即使這個問題不做深入研究，只做簡單介紹，到下冊正式學習二元函數(shù)極值時，效果也明顯較好.（二）導數(shù)和偏導數(shù)知識群現(xiàn)有的教材均把一元函數(shù)求導和二元函數(shù)求偏導分在上、下兩冊，而筆者在教學實踐中做了貫通，將其做為一個知識群處理，收到了很好的效果.具體處理方法為：在講完一元函數(shù)求導后，很自然地引出一系列問題：二元函數(shù)有導數(shù)嗎？——偏導的概念——求偏導的方法——其實質(zhì)就是一元函數(shù)求導.然后我們將一元函數(shù)求導和二元函數(shù)求偏導一起讓學生練習，實踐表明：學生不僅能提早接觸多元函數(shù)的偏導數(shù)，而且對求一元函數(shù)的導數(shù)也掌握得更好，高等數(shù)學上冊的期末考試成績明顯較高.當然也不難理解，該屆學生學習高等數(shù)學下冊時，對偏導數(shù)的掌握也更好.還有一個方面的好處：學習上冊時多用了2個課時左右，但學習下冊是節(jié)省了大約6個課時.三、展望高等數(shù)學知識群是開放的、發(fā)展的、不斷變化的，可依學情等因素由教師自主組合.組合過程中，可以打破大的模塊限制甚至是上、下冊內(nèi)容的限