正態(tài)總體均值的假設檢驗講義

本資料來源第二節(jié)正態(tài)總體均值的假設檢驗一、單個總體均值的檢驗二、兩個總體均值差的檢驗(t檢驗)三、基于成對數據的檢驗(t檢驗)四、小結一、單個總體均值的檢驗一個有用的結論有相同的拒絕域.證明從直觀上看,合理的檢驗法則是:由標準正態(tài)分布的分布函數的單調性可知,第二類形式的檢驗問題可歸結為第一類形式討論.例1某切割機在正常工作時,切割每段金屬棒的平均長度為10.5cm,標準差是0.15cm,今從一批產品中隨機的抽取15段進行測量,其結果如下:假定切割的長度服從正態(tài)分布,且標準差沒有變化,試問該機工作是否正常?解查表得定理理三三根據據第六六章章§§2定理理三三知,在實實際際中中,正正態(tài)態(tài)總總體體的的方方差差常常為為未未知知,所所以以我我們們常常用用t檢驗驗法法來來檢檢驗驗關關于于正正態(tài)態(tài)總總體體均均值值的的檢檢驗驗問問題題.上述述利利用用t統(tǒng)計計量量得得出出的的檢檢驗驗法法稱稱為為t檢驗驗法法.如果果在在例例1中中只只假定定切切割割的的長長度度服服從從正正態(tài)態(tài)分分布布,問問該該機機切切割割的的金金屬屬棒棒的的平平均均長長度度有有無無顯顯著著變變化化?解查表表得得t分布布表表例2某種種電電子子元元件件的的壽壽命命X(以小小時時計計)服服從從正正態(tài)態(tài)分分布布,均為為未未知知.現現測得得16只只元元件件的的壽壽命命如如下下:問是是否否有有理理由由認認為為元元件件的的平平均均壽壽命命大大于于225(小小時時)?例3解依題題意意需需檢檢驗驗假假設設查表表得得t分布布表表典型型例例題題解設某某次次考考試試的的考考生生成成績績服服從從正正態(tài)態(tài)分分布布,從從中中隨隨機機地地抽抽取取36位位考考生生的的成成績績,算算得得平平均均成成績績?yōu)闉?6.5分分,標標準準差差為為15分分,問問在在顯顯著著性性水水平平0.05下下,是是否否可可以以認認為為這這次次考考試試全全體體考考生生的的平平均均成成績績?yōu)闉?0分分?并并給給出出檢檢驗驗過過程程.需檢檢驗驗假假設設:例1查表表8-1知知拒拒絕絕域域為為二、、兩兩個個總總體體的的情情況況利用用t檢驗驗法法檢檢驗驗具具有有相相同同方方差差的的兩兩正正態(tài)態(tài)總總體體均均值值差差的的假假設設.定理理四四根據據第六六章章§§2定理理四四知,其拒拒絕絕域域的的形形式式為為故拒拒絕絕域域為為關于于均均值值差差的的其其它它兩兩個個檢檢驗驗問問題題的的拒拒絕絕域域見見表表8.1,當兩兩個個正正態(tài)態(tài)總總體體的的方方差差均均為為已已知知(不不一一定定相相等等)時時,我我們們可可用用Z檢驗驗法法來來檢檢驗驗兩兩正正態(tài)態(tài)總總體體均均值值差差的的假假設設問問題題,見見表表8.1.例4在平爐爐上進進行一一項試試驗以以確定定改變變操作作方法法的建建議是是否會會增加加鋼的的得率率,試試驗驗是在在同一一只平平爐上上進行行的.每每煉一一爐鋼鋼時除除操作作方法法外,其其它條條件都都盡可可能做做到相相同.先采采用標標準方方法煉煉一爐爐,然然后后用建建議的的新方方法煉煉一爐爐,以以后后交替替進行行,各各煉煉了10爐爐,其其得得率分分別為為(1)標準準方法法:78.1,72.4,76.2,74.3,77.4,78.4,76.0,75.5,76.7,77.3;(2)新新方法法:79.1,81.0,77.3,79.1,80.0,78.1,79.1,77.3,80.2,82.1;設設這兩兩個樣樣本相相互獨獨立,且且分別別來自自正態(tài)態(tài)總體體問建議議的新新操作作方法法能否否提高高得率率?解分別求求出標標準方方法和和新方方法下下的樣樣本均均值和和樣本本方差差:即認為為建議議的新新操作作方法法較原原來的的方法法為優(yōu)優(yōu).附表8.1查表8.1知其拒拒絕域域為例5有甲、乙兩臺機床加工相同的產品,從這兩臺機床加工的產品中隨機地抽取若干件,測得產品直徑(單位:mm)為機床甲:20.5,19.8,19.7,20.4,20.1,20.0,19.0,19.9機床乙:19.7,20.8,20.5,19.8,19.4,20.6,19.2,試比較甲、乙兩臺機床加工的產品直徑有無顯著差異?假定兩臺機床加工的產品直徑都服從正態(tài)分布,且總體方差相等.解即甲、乙兩臺臺機床床加工工的產產品直直徑無無顯著著差異異.三、基基于成成對數數據的的檢驗驗(t檢驗)（不作作要求求，可可以忽忽略））有時為為了比比較兩兩種產產品,或或兩種種儀器器,兩兩種種方法法等的的差異異,我我們們常在在相同同的條條件下下作對對比試試驗,得得到一一批成成對的的觀察察值.然然后分分析觀觀察數數據作作出推推斷.這這種方方法常常稱為為逐對比比較法法.例6有兩臺臺光譜譜儀Ix,Iy,用來測測量材材料中中某種種金屬屬的含含量,為為鑒定定它們們的測測量結結果有有無顯顯著差差異,制制備了了9件件試塊塊(它它們的的成分分、金金屬含含量、、均勻勻性等等各不不相同同),現現在分分別用用這兩兩臺機機器對對每一一試塊塊測量量一次次,得得到到9對對觀察察值如如下:問能否否認為為這兩兩臺儀儀器的的測量量結果果有顯顯著的的差異異?解本題中中的數數據是是成對對的,即即對同同一試試塊測測出一一對數數據,我我們看看到一一對與與另一一對之之間的的差異異是由由各種種因素素,如如材材料成成分、、金屬屬含量量、均均勻性性等因因素引引起的的.[這這也表表明不不能將將光譜譜儀Ix對9個個試塊塊的測測量結結果(即表表中第第一行行)看看成是是一個個樣本本,同同樣樣也不不能將將表中中第二二行看看成一一個樣樣本,因因此不不能用用表8.1中第第4欄欄的檢檢驗法法作檢檢驗].而同一一對中中兩個個數據據的差差異則則可看看成是是僅由由這兩兩臺儀儀器性性能的的差異異所引引起的的.這這樣樣,局局限限于各各對中中兩個個數據據來比比較就就能排排除種種種其其他因因素,而而只考考慮單單獨由由儀器器的性性能所所產生生的影影響.表中第第三行行表示示各對對數據據的差差若兩臺臺機器器的性性能一一樣,隨機誤誤差可可以認認為服服從正正態(tài)分分布,其其均值值為零零.按表8.1中第第二欄欄中關關于單單個正正態(tài)分分布均均值的的t檢驗,知知拒絕絕域為為認為這這兩臺臺儀器器的測測量結結果無無顯著著的差差異.四、小小結本節(jié)學學習的的正態(tài)態(tài)總體體均值值的假假設檢檢驗有有:正態(tài)總總體均均值、、方差差的檢檢驗法法見下下表

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1765附表8.1

4321第六章章§2定理三三第六章章§2定理四四t分布表表a=0.250.100.050.0250.010.005123456789101112131415161.00000.81650.76490.74070.72670.71760.71110.70640.70270.69980.69740.69550.69380.69240.69120.69013.07771.88561.63771.53321.47591.43981.41491.39681.38301.37221.36341.35621.35021.34501.34061.33686.31382.92002.35342.13182.01501.94321.89461.85951.83311.81251.79591.78231.77091.76131.75311.745912.70624.30273.18242.77642.57062.44692.36462.30602.26222.22812.20102.17882.16042.14482.13152.119931.82076.96464.54073.74693.36493.1427