水動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)

關(guān)于水動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)第一頁，共五十八頁，2022年，8月28日3.1液體運(yùn)動(dòng)的描述方法a)流體質(zhì)點(diǎn)的宏觀尺寸非常小。b)流體質(zhì)點(diǎn)的微觀尺寸足夠大。c)流體質(zhì)點(diǎn)是包含有足夠多分子在內(nèi)的一個(gè)物理實(shí)體，具有一定的宏觀物理量。如：

具有質(zhì)量、密度、溫度、壓強(qiáng)、還具有速度、加速度、動(dòng)量、動(dòng)能等等d)流體質(zhì)點(diǎn)的形狀可以任意劃定。流體質(zhì)點(diǎn)的四個(gè)特點(diǎn)：對(duì)這些量的描述就著眼于質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)通過的空間點(diǎn)兩種描述流體運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)和方法第二頁，共五十八頁，2022年，8月28日3.1液體運(yùn)動(dòng)的描述方法當(dāng)?shù)胤枋龇椒S體法拉格朗日法

歐拉法質(zhì)點(diǎn)軌跡：參數(shù)分布：B=B（x,y,z,t）

描述流體流動(dòng)的方法有兩種：

1）拉格朗日法

2）歐拉法第三頁，共五十八頁，2022年，8月28日3.1.1拉格朗日法（J.Lagrange）拉格朗日法—把液體的運(yùn)動(dòng)看成是無數(shù)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的總和，以個(gè)別質(zhì)點(diǎn)作為研究對(duì)象加以描述，再將各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)匯總起來，就得到整個(gè)流動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。x=x（a,b,c,t）y=y（a,b,c,t）c=c（a,b,c,t）3.1液體運(yùn)動(dòng)的描述方法第四頁，共五十八頁，2022年，8月28日運(yùn)動(dòng)軌跡、速度、加速度之間的關(guān)系可表示為：3.1液體運(yùn)動(dòng)的描述方法比較復(fù)雜，一般不采用第五頁，共五十八頁，2022年，8月28日3.1.2歐拉（Euler）法歐拉法—以充滿液體的空間，即流場(chǎng)為對(duì)象，觀察不同時(shí)刻流場(chǎng)中各空間點(diǎn)上液體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)（流速等），將其匯總起來，就形成了對(duì)整個(gè)流場(chǎng)的描述。3.1液體運(yùn)動(dòng)的描述方法第六頁，共五十八頁，2022年，8月28日加速度需采用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的方法求出:3.1液體運(yùn)動(dòng)的描述方法第七頁，共五十八頁，2022年，8月28日3.1液體運(yùn)動(dòng)的描述方法為某空間點(diǎn)速度隨時(shí)間的變化率，稱為時(shí)變加速度或當(dāng)?shù)丶铀俣?；其他各?xiàng)則是該空間點(diǎn)速度由空間點(diǎn)位置變化所引起的加速度，稱為位變加速度或遷移加速度。第八頁，共五十八頁，2022年，8月28日3.1液體運(yùn)動(dòng)的描述方法ABAB水箱水位下降，兩水箱水管中均有時(shí)變加速度；水箱水位恒定不變，兩水箱水管中均無時(shí)變加速度；前面水箱水管管徑不變，A、B兩點(diǎn)速度相同，無位變加速度；后面水箱水管管徑變化，A、B兩點(diǎn)速度不同，有位變加速度。第九頁，共五十八頁，2022年，8月28日3.1液體運(yùn)動(dòng)的描述方法兩種描述流動(dòng)的方法之比較不適合描述流體微元的運(yùn)動(dòng)變形特性適合描述流體微元的運(yùn)動(dòng)變形特性

拉格朗日法歐拉法分別描述有限質(zhì)點(diǎn)的軌跡同時(shí)描述所有質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)參數(shù)表達(dá)式復(fù)雜表達(dá)式簡(jiǎn)單不能直接反映參數(shù)的空間分布直接反映參數(shù)的空間分布拉格朗日觀點(diǎn)是重要的流體力學(xué)最常用的解析方法跟蹤跟蹤追擊布哨守株待兔第十頁，共五十八頁，2022年，8月28日第二章水靜力學(xué)§3.1液體運(yùn)動(dòng)的描述方法§3.2研究流體運(yùn)動(dòng)的基本概念§3.3連續(xù)性方程§3.4液體運(yùn)動(dòng)微分方程§3.5伯努利方程§3.6動(dòng)量方程第十一頁，共五十八頁，2022年，8月28日3.2

研究流體運(yùn)動(dòng)的基本概念概念（1）流線和跡線流線（streamline）—流場(chǎng)中的空間曲線，在同一瞬時(shí)線上各點(diǎn)的速度矢量與之相切。u1u2u3

兩流線不能相交或?yàn)檎劬€，而是光滑曲線或直線。某時(shí)段內(nèi)，液體質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過的軌跡稱跡線（pathline）。跡線與流線是完全不同的兩個(gè)概念。恒定流時(shí)，流線與跡線重合第十二頁，共五十八頁，2022年，8月28日3.2

研究流體運(yùn)動(dòng)的基本概念（2）流量與斷面平均流速單位時(shí)間內(nèi)通過過水?dāng)嗝嬉后w的體積，稱為體積流量，簡(jiǎn)稱流量，單位為立方米每秒（m3/s）若以dA表示元流過水?dāng)嗝婷娣e，u

表示該斷面流速，則總流流量為除體積流量外，還可有質(zhì)量流量及重量流量等。第十三頁，共五十八頁，2022年，8月28日3.2

研究流體運(yùn)動(dòng)的基本概念為便于計(jì)算，設(shè)想過水?dāng)嗝嫔狭魉倬鶆蚍植?，即各點(diǎn)流速相同，通過的流量與實(shí)際相同，于是定義v

為該斷面的斷面平均流速（meanvelocity），表示為

或Auv第十四頁，共五十八頁，2022年，8月28日3.2

研究流體運(yùn)動(dòng)的基本概念運(yùn)動(dòng)液體的分類（1）恒定流和非恒定流（steadyandunsteadyflows）恒定流—流場(chǎng)中各空間點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)要素（流速等）均不隨時(shí)間變化的流動(dòng)，反之為非恒定流。對(duì)于恒定流：恒定流時(shí)，時(shí)變加速度為零。第十五頁，共五十八頁，2022年，8月28日3.2

研究流體運(yùn)動(dòng)的基本概念（2

）一元、二元和三元流動(dòng)（one/two/threedimensionalflows）流動(dòng)參數(shù)（如流速）是三個(gè)空間坐標(biāo)的函數(shù)，流動(dòng)是三元的。其他依此類推。第十六頁，共五十八頁，2022年，8月28日3.2

研究流體運(yùn)動(dòng)的基本概念（3）均勻流和非均勻流（uniformandnonuniformflows）流線為平行直線的流動(dòng)為均勻流，否則為非均勻流。非均勻流又包括漸變流與急變流。流線接近平行直線的流動(dòng)為漸變流，否則為急變流。第十七頁，共五十八頁，2022年，8月28日3.2

研究流體運(yùn)動(dòng)的基本概念（4）元流與總流

流場(chǎng)中取一非流線的封閉曲線，通過曲線上各點(diǎn)的流線所構(gòu)成的管狀表面稱為流管。恒定流時(shí)，流管形狀保持不變。

第十八頁，共五十八頁，2022年，8月28日3.2

研究流體運(yùn)動(dòng)的基本概念與流管上所有流線都正交的橫斷面稱為過水?dāng)嗝妫╟rosssection）。流線相互平行時(shí)，過水?dāng)嗝鏋槠矫?，否則為曲面。過水?dāng)嗝鏋闊o限小時(shí)，流管及其內(nèi)部的液體稱為元流（elementaryflow）。元流的幾何特征與流線相同。過水?dāng)嗝鏋橛邢薮笮r(shí)，流管及其內(nèi)部的液體稱為總流（totalflow）。總流是由無數(shù)元流組成。第十九頁，共五十八頁，2022年，8月28日質(zhì)量守恒定律能量守恒定律動(dòng)量定理連續(xù)性方程能量方程（伯努利方程）動(dòng)量方程第二十頁，共五十八頁，2022年，8月28日第二章水靜力學(xué)§3.1液體運(yùn)動(dòng)的描述方法§3.2研究流體運(yùn)動(dòng)的基本概念§3.3連續(xù)性方程§3.4液體運(yùn)動(dòng)微分方程§3.5伯努利方程§3.6動(dòng)量方程第二十一頁，共五十八頁，2022年，8月28日3.3連續(xù)性方程考慮到：形狀不變；（2）連續(xù)介質(zhì)，元流內(nèi)部無間隙；（1）恒定流時(shí)，元流A1

A2

u1

u2

dA1

dA2

（3）流線性質(zhì)，流管側(cè)壁無液體流入流出。

根據(jù)質(zhì)量守恒定律，單位時(shí)間內(nèi)從dA1流入液體的質(zhì)量等于從dA2

流出液體的質(zhì)量，即第二十二頁，共五十八頁，2022年，8月28日3.3連續(xù)性方程對(duì)于不可壓縮液體，有

對(duì)總流過水?dāng)嗝娣e分，得或于是或

連續(xù)性方程是質(zhì)量守恒定律的水力學(xué)表達(dá)式。

或第二十三頁，共五十八頁，2022年，8月28日3.3連續(xù)性方程問題一：

水由水箱經(jīng)等直徑圓管滿管向下流，沿途流速如何變化？問題二：

MIT（MassachusettsInstituteofTechnology）教學(xué)樓下的風(fēng)。100mile/hr第二十四頁，共五十八頁，2022年，8月28日第二章水靜力學(xué)§3.1液體運(yùn)動(dòng)的描述方法§3.2研究流體運(yùn)動(dòng)的基本概念§3.3連續(xù)性方程§3.4液體運(yùn)動(dòng)微分方程§3.5伯努利方程§3.6動(dòng)量方程第二十五頁，共五十八頁，2022年，8月28日3.4

液體運(yùn)動(dòng)微分方程x

理想液體內(nèi)取邊長(zhǎng)分別為dx,dy,dz的微元六面體，pMyzbdxb’aa’zyxdydzO’c’d’dcpN

受力和運(yùn)動(dòng)情況。中心點(diǎn)O’(x,y,z)壓強(qiáng)p(x,y,z)、流速u(x,y,z)。

根據(jù)牛頓第二定律，以x方向?yàn)槔?，分析微元六面體的第二十六頁，共五十八頁，2022年，8月28日3.4

液體運(yùn)動(dòng)微分方程

液體運(yùn)動(dòng)微分方程，由歐拉（Euler)于1755導(dǎo)出，又稱歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程。第二十七頁，共五十八頁，2022年，8月28日第二章水靜力學(xué)§3.1液體運(yùn)動(dòng)的描述方法§3.2研究流體運(yùn)動(dòng)的基本概念§3.3連續(xù)性方程§3.4液體運(yùn)動(dòng)微分方程§3.5伯努利方程§3.6動(dòng)量方程第二十八頁，共五十八頁，2022年，8月28日恒定元流的能量方程理想液體恒定元流的能量方程實(shí)際液體恒定元流的能量方程恒定總流的能量方程3.5

伯努利方程第二十九頁，共五十八頁，2022年，8月28日3.5

伯努利方程3.5.1理想液體運(yùn)動(dòng)微分方程的伯努利積分——

恒定元流的能量方程將歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程各式分別乘以流線上微元線段的投影dx、dy

和dz，然后相加第三十頁，共五十八頁，2022年，8月28日3.5

伯努利方程引入限定條件：（1）作用在液體上的質(zhì)量力只有重力，即于是Xdx+Ydy+Zdz=－gdz（2）不可壓縮液體做恒定流動(dòng)時(shí)ρ=const，p=p(x,y,z)X=Y=0，Z=－g于是（3）恒定流動(dòng)時(shí)，流線與跡線重合dx=uxdt，dy=uydt，dz=uzdt

于是于是于是第三十一頁，共五十八頁，2022年，8月28日3.5

伯努利方程將限定條件代回原方程積分該式由瑞士物理學(xué)家伯努利于1738年推出，稱伯努利方程。

或同除以g第三十二頁，共五十八頁，2022年，8月28日伯努利DanielBernoulli

1700年生于荷蘭的格羅寧根，5歲同家人回遷瑞士的巴塞爾。1782年，逝世于瑞士的巴塞爾，享年82歲。曾在巴塞爾等多所大學(xué)學(xué)習(xí)。1716年獲藝術(shù)碩士學(xué)位；1721年又獲醫(yī)學(xué)博士學(xué)位。25歲為圣彼得堡科學(xué)院的數(shù)學(xué)院士。8年后回到瑞士的巴塞爾，先后任解剖學(xué)、植物學(xué)教授和物理學(xué)教授。

1738年出版了《流體動(dòng)力學(xué)》一書，給出了流體動(dòng)力學(xué)的基本方程，后人稱之為“伯努利方程”。他還提出把氣壓看成氣體分子對(duì)容器壁表面撞擊而生的效應(yīng)。

1728年起，他和歐拉還共同研究柔韌而有彈性的鏈和梁的力學(xué)問題，還研究了弦和空氣柱的振動(dòng)。伯努利的貢獻(xiàn)還涉及到醫(yī)學(xué)、力學(xué)、數(shù)學(xué)等各個(gè)方面。第三十三頁，共五十八頁，2022年，8月28日伯努利方程的意義沿元流機(jī)械能守恒，故又稱能量方程。單位重量液體所具有的位置勢(shì)能，或位能；單位重量液體所具有的壓強(qiáng)勢(shì)能，或壓能；單位重量液體所具有的總勢(shì)能；單位重量液體所具有的動(dòng)能；單位重量液體所具有的機(jī)械能；某點(diǎn)到基準(zhǔn)面的位置高度，或位置水頭；該點(diǎn)的測(cè)壓管高度，或壓強(qiáng)水頭；該點(diǎn)測(cè)壓管液面的總高度，或測(cè)壓管水頭；該點(diǎn)的流速高度，或流速水頭；該點(diǎn)的總水頭；沿元流各點(diǎn)總水頭相等，總水頭線水平。第三十四頁，共五十八頁，2022年，8月28日3.5

伯努利方程畢托管（Pitottube）與流速水頭

1730年法國(guó)工程師畢托用一根前端彎成直角的玻璃管測(cè)量塞納河水的流速。h由此可見，測(cè)速管（畢托管）與測(cè)壓管之差即流速水頭。AB

由于A、B兩點(diǎn)距離很近，兩點(diǎn)的機(jī)械能相等，即或第三十五頁，共五十八頁，2022年，8月28日3.5

伯努利方程

3.5.2實(shí)際液體元流伯努利方程實(shí)際液體具有黏滯性，流動(dòng)阻力消耗機(jī)械能。實(shí)際液體元流伯努利方程可為第三十六頁，共五十八頁，2022年，8月28日3.5

伯努利方程3.5.3實(shí)際液體總流的伯努利方程總流是元流的集合，不同的元流存在著不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，因此將元流伯努利方程用于總流時(shí)必須考慮：

（1）在總流計(jì)算中，所取兩計(jì)算斷面必須為漸變流過水?dāng)嗝妗?23流線有圓弧運(yùn)動(dòng)，質(zhì)量力除重力外，還有慣性力，故無上式的關(guān)系。而在急變流過水?dāng)嗝嫔希捎诘谌唔?，共五十八頁?022年，8月28日3.5

伯努利方程

（2）由于總流過水?dāng)嗝嫔细鼽c(diǎn)流速不同，若用斷面α值取決于斷面流速分布，通常取α=1。平均流速v

取代各點(diǎn)的真實(shí)流速u，必須考慮用二者計(jì)算動(dòng)能存在的差異。為此，引入動(dòng)能修正系數(shù)α予以修正第三十八頁，共五十八頁，2022年，8月28日3.5

伯努利方程（3）由于總流過水?dāng)嗝嫔细鼽c(diǎn)流速不同，因此每個(gè)元流所消耗的機(jī)械能也不同。實(shí)用中，用總流單位重量液體1-1斷面和2-2斷面間的平均機(jī)械能損失或水頭損失hl

取代元流的水頭損失hl’

。得實(shí)際液體總流的伯努利方程或總流能量方程。第三十九頁，共五十八頁，2022年，8月28日3.5

伯努利方程總流伯努利方程的適用條件

由于在總流伯努利方程推導(dǎo)過程中使用了若干限定條件，因此在使用總流伯努利方程時(shí)，首先要恒定流動(dòng)；質(zhì)量力只有重力；不可壓縮流體；漸變流過水?dāng)嗝?；兩斷面間無分流或合流；兩斷面間無能量輸入或輸出。

第四十頁，共五十八頁，2022年，8月28日【例1】用直徑D=100mm的水管自開口水箱引水。水箱水面與管道出口斷面中心的高差H=4m且保持恒定，水頭損失hl

=3m。求管道流量Q

?！窘狻坑煽偭鞑匠?.選取基準(zhǔn)面0-0；

z1=H，z2=0；p1=0，p2=0；v1=0，v2

待求；令α=1。

于是HD002.選取計(jì)算斷面1-1和2-2；1122第四十一頁，共五十八頁，2022年，8月28日【例2】離心泵由水池抽水。已知泵的安裝高度為Hs=5m，泵的抽水量Q=5.56L/s，泵的吸水管直徑

D=100mm，吸水管的水頭損失hl=0.25mH2O。試求水泵進(jìn)口處的真空度。DHs【解】由伯努利方程1.取基準(zhǔn)面0-0；002.取計(jì)算斷面1-1，2-2；

z1=0，z2=Hs；p1=pa，p2待求。

v1=0，v2可求；令α=1。其中1122第四十二頁，共五十八頁，2022年，8月28日【例3】文丘里（Venturi)流量計(jì)。已知進(jìn)口直徑D1=100mm，喉管直徑D2=50mm，測(cè)壓管水頭差h=0.6m（或水銀差壓計(jì)液面差hm=4.76cm），流量系數(shù)μ=0.98，試求輸水流量。【解】由伯努利方程

1.取基準(zhǔn)面0-0；00

2.取計(jì)算斷面1-1，2-2；1122hhm

水頭損失忽略不計(jì)，則

列伯努利方程

令α=1。z1z2第四十三頁，共五十八頁，2022年，8月28日再將連續(xù)性方程于是，流量為與上式聯(lián)立求得令儀器常數(shù)為

K或第四十四頁，共五十八頁，2022年，8月28日【練習(xí)題】如圖所示，設(shè)某虹吸管a=2m，h=6m，d=15m。Z11122SahZ2試求：（1）管內(nèi)的流量Q；（2）管內(nèi)最高點(diǎn)S的壓強(qiáng)；（3）若h不變，點(diǎn)s繼續(xù)升高（即a增大，而上端管口始終浸入水內(nèi)），問使虹管內(nèi)的水不能連續(xù)流動(dòng)的a值為多大？第四十五頁，共五十八頁，2022年，8月28日3.5

伯努利方程3.5.4有能量輸入或輸出的伯努利方程11221122水泵水輪機(jī)式中+Hm單位重量流體獲得的機(jī)械能，如水泵的揚(yáng)程；

-Hm單位重量流體失去的機(jī)械能，如水輪機(jī)的水頭。第四十六頁，共五十八頁，2022年，8月28日3.5

伯努利方程有分流或合流的伯努利方程方程可為11112233或者第四十七頁，共五十八頁，2022年，8月28日第二章水靜力學(xué)§3.1液體運(yùn)動(dòng)的描述方法§3.2研究流體運(yùn)動(dòng)的基本概念§3.3連續(xù)性方程§3.4液體運(yùn)動(dòng)微分方程§3.5伯努利方程§3.6動(dòng)量方程第四十八頁，共五十八頁，2022年，8月28日3.6動(dòng)量方程總流內(nèi)任取元流，過水?dāng)嗝婷娣edA1和dA2，流速分別為u1和u2。經(jīng)dt時(shí)間，元流的動(dòng)量增量為：恒定流動(dòng)，dt

前后元流重疊部分動(dòng)量相同，故11221’1’2’2’dA1dA2u1u2第四十九頁，共五十八頁，2022年，8月28日3.6動(dòng)量方程取過水?dāng)嗝鏋闈u變流斷面，各點(diǎn)的流速接近平行并令動(dòng)量定理則有對(duì)于不可壓縮液體，密度等于常數(shù)。若以斷面平均流速

v

代替真實(shí)流速u

，需引入動(dòng)量修正系數(shù)β。于是根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系第五十頁，共五十八頁，2022年，8月28日3.6動(dòng)量方程若總流兩斷面間有分流或合流，總流動(dòng)量方程可為得恒定總流動(dòng)量方程第五十一頁，共五十八頁，2022年，8月28日【例4】水平輸水彎管。直徑由D1=200mm經(jīng)α=60o轉(zhuǎn)角變?yōu)镈2=150mm。已知轉(zhuǎn)彎前斷面的表壓強(qiáng)p1=18kPa，輸水流量Q=0.1m3/s，不計(jì)水頭損失，求水流對(duì)彎管的作用力?！窘狻緿1αD21.取控制體；11222.取坐標(biāo)系；xoy3.