高一數(shù)學《對數(shù)函數(shù)》

要點梳理1.指數(shù)冪的概念

(1)根式一般地,如果一個數(shù)的n次方等于a(n＞1且n∈N*)，那么這個數(shù)叫做a的n次方根.也就是,若xn=a,則x叫做__________，其中n＞1且n∈N*.式子叫做

_____,這里n叫做______，a叫做________.a的n次方根根式根指數(shù)被開方數(shù)§2.4

指數(shù)與指數(shù)函數(shù)基礎知識自主學習編輯ppt（2）根式的性質①當n為奇數(shù)時,正數(shù)的n次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的

n次方根是一個負數(shù)，這時，a的n次方根用符號____

表示.②當n為偶數(shù)時，正數(shù)的n次方根有兩個，它們互為相反數(shù),這時，正數(shù)的正的n次方根用符號____表示,

負的n次方根用符號________表示.正負兩個n次方根可以合寫為________（a＞0）.③=______.a編輯ppt④當n為奇數(shù)時，=____;當n為偶數(shù)時，=_______________.⑤負數(shù)沒有偶次方根.⑥零的任何次方根都是零.

(3)分數(shù)指數(shù)冪的意義①=______（a>0，m、n∈N*，且n>1）；②=(a>0,m、n∈N*,且n>1).a編輯ppt思考分數(shù)指數(shù)冪與根式有何關系？分數(shù)指數(shù)冪是根式的另一種寫法,因此分數(shù)指數(shù)冪與根式之間可以相互轉化.在分數(shù)指數(shù)冪的定義中,我們只對正數(shù)和零的分數(shù)指數(shù)冪進行了定義,但事實上,負數(shù)也有分數(shù)指數(shù)冪,但必須保證相應的根式有意義.（2）有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質①asat=

______(a>0,t∈Q,s∈Q);

②as÷at=

______(a>0,t∈Q,s∈Q);

③(as)t=

______(a>0,t∈Q,s∈Q);④(ab)t=

_______(a>0,b>0,t∈Q).as+tastatbt提示as-t編輯ppt2.指數(shù)函數(shù)

(1)指數(shù)函數(shù)的定義:一般地,函數(shù)y=ax(a＞0且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù),其中x是自變量.(2)指數(shù)函數(shù)y=ax(a＞0且a≠1)的圖象及性質如下表所示:a＞10＜a＜1圖象性質y＞0當x=0時,y=1當x＞0時,y＞1,x＜0時,0＜y＜1.當x＞0時,0＜y＜1,x＜0時,y＞1.在(-∞,+∞)上是增函數(shù).在(-∞,+∞)上是減函數(shù).編輯ppt基礎自測1.化簡的結果是____.

解析原式=4-π+π-5=-1.2.(2010·淮安模擬)設y1=40.9,y2=80.44,y3=,則

y1,y2,y3的大小關系為_________.

解析∵y1=40.9=21.8,y2=80.44=21.32,∴y1>y3>y2.y1>y3>y2-1編輯ppt3.若a>0,a≠1,則函數(shù)y=ax-1的圖象一定過點_____.

解析由函數(shù)y=ax的圖象過點(0,1)可知函數(shù)y=ax-1

的圖象過點(1,1).4.當x∈［0,2］時,函數(shù)y=3x+1-2的值域是_______.

解析∵y=3x+1是增函數(shù),∴當x∈［0,2］時,3≤3x+1≤33,∴1≤3x+1-2≤25.(1,1)[1,25]編輯ppt【例1】(2010·鎮(zhèn)江模擬)化簡與計算:(1)(2)(3)

有理指數(shù)冪的運算,注意將小數(shù)化成分數(shù),根式化成分數(shù)指數(shù)冪.

典型例題深度剖析分析編輯ppt解編輯ppt跟蹤練習1

已知a,b是方程x2-6x+4=0的兩根(a>b),

求:(1)a3+b3;(2)

解

(1)∵a,b是方程的兩根且a>b,∴a+b=6,ab=4,∴a,b均為正數(shù),∴a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)[(a+b)2-3ab],

代入a+b=6,ab=4得

a3+b3=6×(62-3×4)=6×24=144.(2)∵a>b>0,∴

代入a+b=6,ab=4

編輯ppt【例2】已知函數(shù)

(1)作出圖象;(2)由圖象指出其單調區(qū)間;(3)由圖象指出,當x取什么值時有最值.

先化去絕對值符號,將函數(shù)寫成分段函數(shù)的形式,再作出其圖象,然后根據圖象判斷其單調性、

最值.

解

(1)由函數(shù)解析式可得其圖象分成兩部分分析編輯ppt一部分是(x≥-2)的圖象,由下列變換可得到另一部分y=2x+2(x<-2)的圖象,由下列變換可得到y(tǒng)=2xy=2x+2,如圖為函數(shù)的圖象.(2)由圖象觀察知函數(shù)在(-∞,-2］上是增函數(shù),在(-2,+∞)上是減函數(shù).(3)由圖象觀察知,x=-2時,函數(shù)有最大值,最大值為1,沒有最小值.向左平移2個單位向左平移2個單位編輯ppt跟蹤練習2(1)函數(shù)的定義域、值域分別是

_______、_______;(2)若直線y=2a與函數(shù)y=|ax-1|(a>0且a≠1)的圖象有兩個公共點,則a的取值范圍是_________.

解析

(1)方法一函數(shù)的定義域是R.

因為當x≥0時,0<≤1;當x<0時,0<2x<1.

所以函數(shù)的值域是(0,1］.編輯ppt方法二利用圖象變換作出的圖象.由圖可知值域為(0,1］.(2)畫y=2a與函數(shù)y=|ax-1|(a>0且a≠1)圖象,當a>1時,不可能有兩個公共點,當0<a<1時,如右圖.由圖象可知0<2a<1,∴0<a<答案

(1)R(0,1]編輯ppt【例3】求下列函數(shù)的定義域、值域及其單調區(qū)間:

(1)定義域是使函數(shù)有意義的x的取值范圍,

單調區(qū)間利用復合函數(shù)的單調性求解.(2)利用換元法,同時利用復合函數(shù)單調性判斷方法進而求得值域.

解

(1)依題意x2-5x+4≥0,

解得x≥4或x≤1,∴f(x)的定義域是(-∞,1］∪［4,+∞).分析編輯ppt∵x∈(-∞,1]∪[4,+∞),∴函數(shù)f(x)的值域是［1,+∞).∴當x∈(-∞,1］時,u是減函數(shù),當x∈［4,+∞)時,u是增函數(shù).而3>1,∴由復合函數(shù)的單調性可知,編輯ppt

在(-∞,1］上是減函數(shù),在［4,+∞)上是增函數(shù).故f(x)的增區(qū)間是［4,+∞),減區(qū)間是(-∞,1］.∴函數(shù)的定義域為R,令t=(t>0),∴g(t)=-t2+4t+5=-(t-2)2+9,∵t>0,∴g(t)=-(t-2)2+9≤9,等號成立的條件是t=2,即g(x)≤9,等號成立的條件是=2,即x=-1,∴g(x)的值域是(-∞,9］.編輯ppt由g(t)=-(t-2)2+9(t>0),而t=是減函數(shù),∴要求g(x)的增區(qū)間實際上是求g(t)的減區(qū)間,求g(x)的減區(qū)間實際上是求g(t)的增區(qū)間.∵g(t)在(0,2］上遞增,在［2,+∞)上遞減,由0<t=≤2,可得x≥-1,由t=≥2,可得x≤-1.∴g(x)在［-1,+∞)上遞減,在(-∞,-1］上遞增,故g(x)的單調遞增區(qū)間是(-∞,-1］,單調遞減區(qū)間是［-1,+∞).編輯ppt跟蹤練習3

(2010·南通模擬)已知函數(shù)f(x)=a2x+2ax

-1(a>0,且a≠1)在區(qū)間［-1,1］上的最大值為14,

求實數(shù)a的值.

指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)復合函數(shù)的性質的討論，可用換元法,同時要注意底數(shù)a對函數(shù)y=ax單調性的影響.

解令y=a2x+2ax-1=(ax+1)2-2,

由x∈［-1,1］知①當a>1時,

顯然當ax=a,即x=1時,ymax=(a+1)2-2.∴(a+1)2-2=14,即a=3(a=-5舍去).分析編輯ppt②當0<a<1時,則由x∈［-1,1］得ax∈綜上所述,a=或a=3.編輯ppt【例4】(14分)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)有最小正周期2,且當x∈(0,1)時,f(x)=(1)求f(x)在［-1,1］上的解析式;(2)證明:f(x)在(0,1)上是減函數(shù);

(3)當λ為何值時,方程f(x)=λ在[-1,1]上有實數(shù)解.

解題示范

(1)解當x∈(-1,0)時,-x∈(0,1).∵f(x)是奇函數(shù),

由f(0)=f(-0)=-f(0)且f(1)=f(-2+1)=f(-1)=-f(1),

得f(0)=f(1)=f(-1)=0.★編輯ppt∴在區(qū)間［-1,1］上,有

(2)證明當x∈(0,1)時,f(x)=設0<x1<x2<1,編輯ppt∵0<x1<x2<1,∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),故f(x)在(0,1)上單調遞減.［10分］(3)解

因為當x∈(0,1)時,f(x)是減函數(shù),所以f(x)∈同理x∈(-1,0)時,f(x)∈又f(1)=f(0)=f(-1)=0,

f(x)=λ在［-1,1］上有實數(shù)解.［14分］編輯ppt跟蹤練習4

設a>0,是R上的偶函數(shù).(1)求a的值;(2)求證:f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).(1)解∵f(x)是R上的偶函數(shù),∴f(-x)=f(x),編輯ppt(2)證明在(0,+∞)上任取x1、x2,且x1<x2,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),故f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).編輯ppt本節(jié)內容在高考中占有重要地位,以基本概念、基本運算、數(shù)值的大小比較及以指數(shù)函數(shù)的性質為載體考查不等式問題,有時也與函數(shù)性質、二次函數(shù)、方程、不等式等內容結合,以綜合題的形式考查.1.單調性是指數(shù)函數(shù)的重要性質,特別是函數(shù)圖象的無限伸展性,x軸是函數(shù)圖象的漸近線.當0<a<1,

x→+∞時,y→0;當a>1,x→-∞時,y→0;當a>1時,a

的值越大，圖象越靠近y軸，遞增的速度越快；思想方法感悟提高高考動態(tài)展望方法規(guī)律總結編輯ppt

當0<a<1時，a的值越小，圖象越靠近y軸，遞減的速度越快.2.畫指數(shù)函數(shù)y=ax的圖象,應抓住三個關鍵點:(1,a)、

(0,1)、3.熟記指數(shù)函數(shù)y=10x,y=2x,y=,y=,在同一坐標系中圖象的相對位置,由此掌握指數(shù)函數(shù)圖象的位置與底數(shù)大小的關系.4.在有關根式、分數(shù)指數(shù)冪的變形、求值過程中,要注意運用方程的觀點處理問題,通過解方程(組)來求值,或用換元法轉化為方程來求解.編輯ppt一、填空題1.(2010·鎮(zhèn)江模擬)若0<x<1,則2x,2-x,0.2x的大小關系是___________.

解析2x>2-x>0.2x定時檢測編輯ppt2.(2011·江蘇)已知a=,函數(shù)f(x)=ax,若實數(shù)m、n滿足f(m)>f(n),則m、n的大小關系為____.

解析∵0<a=<1,∴函數(shù)f(x)=ax在R上是減函數(shù).

又∵f(m)>f(n),∴m<n.3.(2011·山東煙臺模擬)函數(shù)y=2-|x|的單調增區(qū)間是

_________.

解析畫出函數(shù)的圖象,如圖m<n(-∞,0］編輯ppt4.(2010·泰州月考)設函數(shù)若f(x)

是奇函數(shù),則g(2)=_____.

解析∵f(-2)=2-2==-f(2)∴f(2)=

又∵f(2)=g(2),∴g(2)=編輯ppt5.(2010·揚州調研)若函數(shù)y=4x-3·2x+3的定義域為集合A,值域為[1,7],集合B=(-∞,0]∪[1,2],則集合A與集合B的關系為______.

解析因為y=4x-3·2x+3的值域為［1,7］,

所以1≤(2x)2-3·2x+3≤7,

所以x≤0或1≤x≤2.6.(2010·南京調研)若f(x)=-x2+2ax與g(x)=(a+1)1-x

在區(qū)間［1,2］上都是減函數(shù),則a的取值范圍是

______.

解析

f(x)=-x2+2ax與g(x)=(a+1)1-x在區(qū)間［1,2］上都是減函數(shù),即故0<a≤1.A=B(0,1］編輯ppt7.(2010·錦州模擬)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)在[1,2]

上的最大值比最小值大,則a的值是_______.

解析當a>1時,y=ax在［1,2］上單調遞增,

當0<a<1時,y=ax在［1,2］上單調遞減,編輯ppt8.(2010·鹽城模擬)函數(shù)f(x)=x2-bx+c滿足f(1+x)=f(1-x)且f(0)=3,則f(bx)____f(cx).(用“≤”,“≥”,“>”,“<”填空)

解析∵f(1+x)=f(1-x).∴f(x)的對稱軸為直線x=1,由此得b=2

又f(0)=3,∴c=3,∴f(x)在(-∞,1)上遞減,在(1,+∞)上遞增.

若x≥0,則3x≥2x≥1,∴f(3x)≥f(2x)

若x<0,則3x<2x<1,∴f(3x)>f(2x),∴f(3x)≥f(2x).≤編輯ppt9.(2011·湖北黃岡四市聯(lián)考)設函數(shù)f(x)=|2x-1|的定義域和值域都是［a,b］(b>a),則a+b=___.

解析因為f(x)=|2x-1|的值域為［a,b］,

所以b>a≥0,

而函數(shù)f(x)=|2x-1|在［0,+∞)上是單調遞增函數(shù),

因此應有所以有a+b=1.1★編輯ppt二、解答題10.(2011·廣東韶關一模)要使函數(shù)y=1+2x+4xa在x∈(-∞,1］上y>0恒成立,求a的取值范圍.

解由題意得1+2x+4xa>0在x∈(-∞,1]上恒成立,編輯ppt11.(2011·江蘇蘇北四市期末)設f(x)=ax+b同時滿足條件f(0)=2和對任意x∈R都有f(x+1)=2f(x)-1成立.(1)求f(x)的解析式;(2)設函數(shù)g(x)的定義域為[-2,2],且在定義域內

g(x)=f(x),且函數(shù)h(x)的圖象與g(x)的圖象關于直線y=x對稱,求