人教A版高二數(shù)學(xué)必修四教案

本文格式為Word版，下載可任意編輯——人教A版高二數(shù)學(xué)必修四教案著眼于眼前，不要沉迷于玩樂，不要沉迷于學(xué)習(xí)進(jìn)步?jīng)]有別*的痛楚中，進(jìn)步是一個(gè)由量變到質(zhì)變的過程，只有足夠的量變才會(huì)有質(zhì)變，沉迷于痛楚不會(huì)變更什么。我高二頻道為你整理了《人教A版高二數(shù)學(xué)必修四教案》，夢想對你有所扶助！

預(yù)習(xí)課本P103～105，斟酌并完成以下問題

1怎樣定義向量的數(shù)量積？向量的數(shù)量積與向量數(shù)乘一致嗎？

2向量b在a方向上的投影怎么計(jì)算？數(shù)量積的幾何意義是什么？

3向量數(shù)量積的性質(zhì)有哪些？

4向量數(shù)量積的運(yùn)算律有哪些？

[新知初探]

1．向量的數(shù)量積的定義

1兩個(gè)非零向量的數(shù)量積：

已知條件向量a，b是非零向量，它們的夾角為θ

定義a與b的數(shù)量積或內(nèi)積是數(shù)量|a||b|cosθ

記法a·b＝|a||b|cosθ

2零向量與任一向量的數(shù)量積：

規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積均為0.

[點(diǎn)睛]1兩向量的數(shù)量積，其結(jié)果是數(shù)量，而不是向量，它的值等于兩向量的模與兩向量夾角余弦值的乘積，其符號(hào)由夾角的余弦值來抉擇．

2兩個(gè)向量的數(shù)量積記作a·b，千萬不能寫成a×b的形式．

2．向量的數(shù)量積的幾何意義

1投影的概念：

①向量b在a的方向上的投影為|b|cosθ.

②向量a在b的方向上的投影為|a|cosθ.

2數(shù)量積的幾何意義：

數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積．

[點(diǎn)睛]1b在a方向上的投影為|b|cosθθ是a與b的夾角，也可以寫成a·b|a|.

2投影是一個(gè)數(shù)量，不是向量，其值可為正，可為負(fù)，也可為零．

3．向量數(shù)量積的性質(zhì)

設(shè)a與b都是非零向量，θ為a與b的夾角．

1a⊥ba·b＝0.

2當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b＝|a||b|，

當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b＝－|a||b|.

3a·a＝|a|2或|a|＝a·a＝a2.

4cosθ＝a·b|a||b|.

5|a·b|≤|a||b|.

[點(diǎn)睛]對于性質(zhì)1，可以用來解決有關(guān)垂直的問題，即若要證明某兩個(gè)向量垂直，只需判定它們的數(shù)量積為0；若兩個(gè)非零向量的數(shù)量積為0，那么它們彼此垂直．

4．向量數(shù)量積的運(yùn)算律

1a·b＝b·a交換律．

2λa·b＝λa·b＝a·λb結(jié)合律．

3a＋b·c＝a·c＋b·c調(diào)配律．

[點(diǎn)睛]1向量的數(shù)量積不得志消去律：若a，b，c均為非零向量，且a·c＝b·c，但得不到a＝b.

2a·b·c≠a·b·c，由于a·b，b·c是數(shù)量積，是實(shí)數(shù)，不是向量，所以a·b·c與向量c共線，a·b·c與向量a共線，因此，a·b·c＝a·b·c在一般處境下不成立．

[小試身手]

1．判斷以下命題是否正確．正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”

1兩個(gè)向量的數(shù)量積依舊是向量．

2若a·b＝b·c，那么確定有a＝c.

3若a，b反向，那么a·b＝－|a||b|.

4若a·b＝0，那么a⊥b.

答案：1×2×3√4×

2．若|a|＝2，|b|＝12，a與b的夾角為60°，那么a·b＝

A．2B.12

C．1D.14

答案：B

3．已知|a|＝10，|b|＝12，且3a·15b＝－36，那么a與b的夾角為

A．60°B．120°

C．135°D．150°

答案：B

4．已知a，b的夾角為θ，|a|＝2，|b|＝3.

1若θ＝135°，那么a·b＝________；

2若a∥b，那么a·b＝________；

3若a⊥b，那么a·b＝________.

答案：1－3226或－630

向量數(shù)量積的運(yùn)算

[典例]1已知向量a與b的夾角為120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：①a·b;②a＋b·

a－2b．

2如圖，正三角形ABC的邊長為2，＝c，＝a，＝b，求a·b＋b·c＋c·a.

[解]1①由已知得a·b＝|a||b|cosθ＝4×2×cos120°＝－4.

②a＋b·a－2b＝a2－a·b－2b2＝16－－4－2×4＝12.

2∵|a|＝|b|＝|c|＝2，且a與b，b與c，c與a的夾角均為120°，

∴a·b＋b·c＋c·a＝2×2×cos120°×3＝－3.

向量數(shù)量積的求法

1求兩個(gè)向量的數(shù)量積，首先確定兩個(gè)向量的模及向量的夾角，其中切實(shí)求出兩向量的夾角是求數(shù)量積的關(guān)鍵．

2根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律，向量的加、減與數(shù)量積的混合運(yùn)算類似于多項(xiàng)式的乘法

運(yùn)算．

[活學(xué)活用]

已知|a|＝3，|b|＝4，a與b的夾角為120°，求：

1a·b；2a2－b2；

32a－b·a＋3b．

解：1a·b＝|a||b|cos120°＝3×4×－12＝－6.

2a2－b2＝|a|2－|b|2＝32－42＝－7.

32a－b·a＋3b＝2a2＋5a·b－3b2

＝2|a|2＋5|a||b|·cos120°－3|b|2

＝2×32＋5×3×4×－12－3×42＝－60.

與向量的模有關(guān)的問題

[典例]1浙江高考已知e1，e2是平面單位向量，且e1·e2＝12.若平面向量b得志b·e1＝b·e2＝1，那么|b|＝________.

2已知向量a，b的夾角為45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，那么|b|＝________.

[解析]1令e1與e2的夾角為θ，

∴e1·e2＝|e1|·|e2|cosθ＝cosθ＝12.

又0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.

∵b·e1－e2＝0，

∴b與e1，e2的夾角均為30°，

∴b·e1＝|b||e1|cos30°＝1，

從而|b|＝1cos30°＝233.

2∵a，b的夾角為45°，|a|＝1，

∴a·b＝|a||b|cos45°＝22|b|，

|2a－b|2＝4－4×22|b|＋|b|2＝10，∴|b|＝32.

[答案]1233232

求向量的模的常見思路及方法

1求模問題一般轉(zhuǎn)化為求模的平方，與向量數(shù)量積聯(lián)系，并生動(dòng)應(yīng)用a2＝|a|2，勿忘卻開方．

2a·a＝a2＝|a|2或|a|＝a2，可以實(shí)現(xiàn)實(shí)數(shù)運(yùn)算與向量運(yùn)算的相互轉(zhuǎn)化．

[活學(xué)活用]

已知向量a，b得志|a|＝|b|＝5，且a與b的夾角為60°，求|a＋b|，|a－b|，|2a＋b|.

解：∵|a＋b|2＝a＋b2＝a＋ba＋b

＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝25＋25＋2|a||b|cos60°

＝50＋2×5×5×12＝75，

∴|a＋b|＝53.

∵|a－b|2＝a－b2＝a－ba－b

＝|a|2＋|b|2－2a·b

＝|a|2＋|b|2－2|a||b|cos60°＝25，

∴|a－b|＝5.

∵|2a＋b|2＝2a＋b2a＋b

＝4|a|2＋|b|2＋4a·b

＝4|a|2＋|b|2＋4|a||b|cos60°＝175，

∴|2a＋b|＝57.

兩個(gè)向量的夾角和垂直

題點(diǎn)一：求兩向量的夾角

1．重慶高考已知非零向量a，b得志|b|＝4|a|，且a⊥2a＋b，那么a與b的夾角為

A.π3B.π2

C.2π3D.5π6

解析：選C∵a⊥2a＋b，∴a·2a＋b＝0，

∴2|a|2＋a·b＝0，

即2|a|2＋|a||b|cos〈a，b〉＝0.

∵|b|＝4|a|，∴2|a|2＋4|a|2cos〈a，b〉＝0，

∴cos〈a，b〉＝－12，∴〈a，b〉＝2π3.

題點(diǎn)二：證明兩向量垂直

2．已知向量a，b不共線，且|2a＋b|＝|a＋2b|，求證：a＋b⊥a－b．

證明：∵|2a＋b|＝|a＋2b|，

∴2a＋b2＝a＋2b2.

即4a2＋4a·b＋b2＝a2＋4a·b＋4b2，

∴a2＝b2.

∴a＋b·a－b＝a2－b2＝0.

又a與b不共線，a＋b≠0，a－b≠0，

∴a＋b⊥a－b．

題點(diǎn)三：利用夾角和垂直求參數(shù)

3．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3且向量3a＋2b與ka－b彼此垂直，那么k的值為

A．－32B.32

C．±32D．1

解析：選B∵3a＋2b與ka－b彼此垂直，

∴3a＋2b·ka－b＝0，

∴3ka2＋2k－3a·b－2b2＝0.

∵a⊥b，∴a·b＝0，

又|a|＝2，|b|＝3，

∴12k－18＝0，k＝32.

求向量a與b夾角的思路

1求向量夾角的關(guān)鍵是計(jì)算a·b及|a||b|，在此根基上結(jié)合數(shù)量積的定義或性質(zhì)計(jì)算cosθ＝a·b|a||b|，結(jié)果借助θ∈[0，π]，求出θ的值．

2在個(gè)別含有|a|，|b|與a·b的等量關(guān)系式中，常利用消元思想計(jì)算cosθ的值．

層級一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)

1．已知向量a，b得志|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，那么a與b的夾角θ為

A.π6B.π4

C.π3D.π2

解析：選C由題意，知a·b＝|a||b|cosθ＝4cosθ＝2，又0≤θ≤π，所以θ＝π3.

2．已知|b|＝3，a在b方向上的投影為32，那么a·b等于

A．3B.92

C．2D.12

解析：選B設(shè)a與b的夾角為θ.∵|a|cosθ＝32，

∴a·b＝|a||b|cosθ＝3×32＝92.

3．已知|a|＝|b|＝1，a與b的夾角是90°，c＝2a＋3b，d＝ka－4b，c與d垂直，那么k的值為

A．－6B．6

C．3D．－3

解析：選B∵c·d＝0，

∴2a＋3b·ka－4b＝0，

∴2ka2－8a·b＋3ka·b－12b2＝0，

∴2k＝12，∴k＝6.

4．已知a，b得志|a|＝4，|b|＝3，夾角為60°，那么|a＋b|＝

A．37B．13

C.37D.13

解析：選C|a＋b|＝a＋b2＝a2＋2a·b＋b2

＝42＋2×4×3cos60°＋32＝37.

5．在四邊形ABCD中，＝，且·＝0，那么四邊形ABCD是

A．矩形B．菱形

C．直角梯形D．等腰梯形

解析：選B∵＝，即一組對邊平行且相等，·＝0，即對角線彼此垂直，∴四邊形ABCD為菱形．

6．給出以下命題：

①若a≠0，那么對任一非零向量b都有a·b≠0；

②若a·b＝0，那么a與b中至少有一個(gè)為0；

③a與b是兩個(gè)單位向量，那么a2＝b2.

其中，正確命題的序號(hào)是________．

解析：上述三個(gè)命題中只有③正確，由于|a|＝|b|＝1，所以a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，故a2＝b2.當(dāng)非零向量a，b垂直時(shí)，有a·b＝0，鮮明①②錯(cuò)誤．

答案：③

7．設(shè)e1，e2是兩個(gè)單位向量，它們的夾角為60°，那么2e1－e2·－3e1＋2e2＝________.

解析：2e1－e2·－3e1＋2e2＝－6e21＋7e1·e2－2e22＝－6＋7×cos60°－2＝－92.

答案：－92

8．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，那么向量a與b的夾角為________．

解析：∵c⊥a，∴c·a＝0，

∴a＋b·a＝0，即a2＋a·b＝0.

∵|a|＝1，|b|＝2，∴1＋2cos〈a，b〉＝0，

∴cos〈a，b〉＝－12.

又∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝120°.

答案：120°

9．已知e1與e2是兩個(gè)夾角為60°的單位向量，a＝2e1＋e2，b＝2e2－3e1，求a與b的

夾角．

解：由于|e1|＝|e2|＝1，

所以e1·e2＝1×1×cos60°＝12，

|a|2＝2e1＋e22＝4＋1＋4e1·e2＝7，故|a|＝7，

|b|2＝2e2－3e12＝4＋9－12e1·e2＝7，故|b|＝7，

且a·b＝－6e21＋2e22＋e1·e2＝－6＋2＋12＝－72，

所以cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|＝－727×7＝－12，

所以a與b的夾角為120°.

10．已知|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b方向上的投影為－1.

1求a與b的夾角θ；

2求a－2b·b；

3當(dāng)λ為何值時(shí)，向量λa＋b與向量a－3b彼此垂直？

解：1∵|a|＝2|b|＝2，

∴|a|＝2，|b|＝1.

又a在b方向上的投影為|a|cosθ＝－1，

∴a·b＝|a||b|cosθ＝－1.

∴cosθ＝－12，∴θ＝2π3.

2a－2b·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.

3∵λa＋b與a－3b彼此垂直，

∴λa＋b·a－3b＝λa2－3λa·b＋b·a－3b2

＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，∴λ＝47.

層級二應(yīng)試才能達(dá)標(biāo)

1．已知|a|＝2，|b|＝1，且a與b的夾角為π3，那么向量m＝a－4b的模為

A．2B．23

C．6D．12

解析：選B|m|2＝|a－4b|2＝a2－8a·b＋16b2＝4－8×2×1×12＋16＝12，所以|m|＝23.

2．在Rt△ABC中，C＝90°，AC＝4，那么·等于

A．－16B．－8

C．8D．16

解析：選D法一：由于cosA＝ACAB，故·＝||·||cosA＝||2＝16，應(yīng)選D.

法二：在上的投影為||cosA＝||，故·＝|cosA＝||2＝16，應(yīng)選D.

3．已知向量a，b得志|a|＝1，|b|＝2，且a在b方向上的投影與b在a方向上的投影相等，那么|a－b|＝

A．1B.3

C.5D．3

解析：選C由于投影相等，故有|a|cos〈a，b〉＝|b|cos〈a，b〉，由于|a|＝1，|b|

＝2，所以cos〈a，b〉＝0，即a⊥b，那么|a－b|＝|a|2＋|b|2－2a·b＝5.

4.如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E為BC的中點(diǎn)，那么·＝

A．－3B．0

C．－1D．1

解析：選C·＝AB―→＋12AD―→·－

＝12·－||2＋12||2

＝12×2×2×cos60°－22＋12×22＝－1.

5．設(shè)向量a，b，c得志a＋b＋c＝0，a－b⊥c，a⊥b，若|a|＝1，那么|a|2＋|b|2＋|c|2的值是________．

解析：法一：由a＋b＋c＝0得c＝－a－b.

又a－b·c＝0，∴a－b·－a－b＝0，即a2＝b2.

那么c2＝a＋b2＝a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2＝2，

∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.

法二：如圖，作＝＝a，

＝b，那么＝c.

∵a⊥b，∴AB⊥BC，

又∵a－b＝－＝，

a－b⊥c，∴CD⊥CA，

所以△ABC是等腰直角三角形，

∵|a|＝1，∴|b|＝1，|c|＝2，∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.

答案：4

6．已知向量a，b的夾角為45°，且|a|＝4，12a＋b·2a－3b＝12，那么|b|＝________；b在a方向上的投影等于________．

解析：12a＋b·2a－3b＝a2＋12a·b－3b2＝12，即3|b|2－2|b|－4＝0，解得|b|＝2舍負(fù)，b在a方向上的投影是|b|cos45°＝2×22＝1.

答案：21

7．已知非零向量a，b，得志|a|＝1，a－b·a＋b＝12，且a·b＝12.

1求向量a，b的夾角；2求|a－b|.

解：1∵a－b·a＋b＝12，

∴a2－b2＝12，

即|a|2－|b|2＝12.

又|a|＝1，

∴|b|＝22.

∵a·b＝12，

∴|a|·|b|cosθ＝12，

∴cosθ＝22，

∴向量a，b的夾角為45°.

2∵|a－b|2＝a－b2

＝|a|2－2|a||b|cosθ＋|b|2＝12，

∴|a－b|＝22.

8．設(shè)兩個(gè)向量e1，e2，得志|e1|＝2，|e2|＝1，e1與e2的夾角為π3，若向量2te1＋7e2與e1＋te2的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解：由向量2te1＋7e2與e1＋te2的夾角為鈍角，

得2te1＋7e2·e1＋te2|2te1＋7e2|·|e1＋te2|當(dāng)夾角為π時(shí)，也有2te1＋7e2·e1＋te2<0，

但此時(shí)夾角不是鈍角，

設(shè)2te1＋7e2＝λe1＋te2，λ<0，可得

2t＝λ，7＝λt，λ<0，λ＝－14，t＝－142.

∴所求實(shí)數(shù)t的取值范圍是

－7，－142∪－142，－12.

[新知初探]

平面向量共線的坐標(biāo)表示

前提條件a＝x1，y1，b＝x2，y2，其中b≠0

結(jié)論當(dāng)且僅當(dāng)x1y2－x2y1＝0時(shí)，向量a、bb≠0共線

[點(diǎn)睛]1平面向量共線的坐標(biāo)表示還可以寫成x1x2＝y(tǒng)1y2x2≠0，y2≠0，即兩個(gè)不平行于坐標(biāo)軸的共線向量的對應(yīng)坐標(biāo)成比例；

2當(dāng)a≠0，b＝0時(shí)，a∥b，此時(shí)x1y2－x2y1＝0也成立，即對任意向量a，b都有：x1y2－x2y1＝0a∥b.

[小試身手]

1．判斷以下命題是否正確．正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”

1已知a＝x1，y1，b＝x2，y2，若a∥b，那么必有x1y2＝x2y1.

2向量2,3與向量－4，－6反向．

答案：1√2√

2．若向量a＝1,2，b＝2,3，那么與a＋b共線的向量可以是

A．2,1B．－1,2C．6,10D．－6,10

答案：C

3．已知a＝1,2，b＝x,4，若a∥b，那么x等于

A．－12B.12C．－2D．2

答案：D

4．已知向量a＝－2,3，b∥a，向量b的起點(diǎn)為A1,2，終點(diǎn)B在x軸上，那么點(diǎn)B的坐標(biāo)為________．

答案：73，0

向量共線的判定

[典例]1已知向量a＝1,2，b＝λ，1，若a＋2b∥2a－2b，那么λ的值等于

A.12B.13C．1D．2

2已知A2,1，B0,4，C1,3，D5，－3．判斷與是否共線？假設(shè)共線，它們的方向一致還是相反？

[解析]1法一：a＋2b＝1,2＋2λ，1＝1＋2λ，4，2a－2b＝21,2－2λ，1＝2－2λ，2，由a＋2b∥2a－2b可得21＋2λ－42－2λ＝0，解得λ＝12.

法二：假設(shè)a，b不共線，那么由a＋2b∥2a－2b可得a＋2b＝μ2a－2b，從而1＝2μ，2＝－2μ，方程組鮮明無解，即a＋2b與2a－2b不共線，這與a＋2b∥2a－2b沖突，從而假設(shè)不成立，故應(yīng)有a，b共線，所以1λ＝21，即λ＝12.

[答案]A

2[解]＝0,4－2,1＝－2,3，＝5，－3－1,3＝4，－6，

∵－2×－6－3×4＝0，∴，共線．

又＝－2，∴，方向相反．

綜上，與共線且方向相反．

向量共線的判定方法

1利用向量共線定理，由a＝λbb≠0推出a∥b.

2利用向量共線的坐標(biāo)表達(dá)式x1y2－x2y1＝0直接求解．

[活學(xué)活用]

已知a＝1,2，b＝－3,2，當(dāng)k為何值時(shí)，ka＋b與a－3b平行，平行時(shí)它們的方向一致還是相反？

解：ka＋b＝k1,2＋－3,2＝k－3,2k＋2，

a－3b＝1,2－3－3,2＝10，－4，

若ka＋b與a－3b平行，那么－4k－3－102k＋2＝0，

解得k＝－13，此時(shí)ka＋b＝－13a＋b＝－13a－3b，故ka＋b與a－3b反向．

∴k＝－13時(shí)，ka＋b與a－3b平行且方向相反．

三點(diǎn)共線問題

[典例]1已知＝3,4，＝7,12，＝9,16，求證：A，B，C三點(diǎn)共線；

2設(shè)向量＝k,12，＝4,5，＝10，k，當(dāng)k為何值時(shí)，A，B，C三點(diǎn)

共線？

[解]1證明：∵＝－＝4,8，

＝－＝6,12，

∴＝32，即與共線．

又∵與有公共點(diǎn)A，∴A，B，C三點(diǎn)共線．

2若A，B，C三點(diǎn)共線，那么，共線，

∵＝－＝4－k，－7，

＝－＝10－k，k－12，

∴4－kk－12＋710－k＝0.

解得k＝－2或k＝11.

有關(guān)三點(diǎn)共線問題的解題策略

1要判斷A，B，C三點(diǎn)是否共線，一般是看與，或與，或與是否共線，若共線，那么A，B，C三點(diǎn)共線；

2使用A，B，C三點(diǎn)共線這一條件建立方程求參數(shù)時(shí)，利用＝λ，或＝λ，或＝λ都是可以的，但原那么上要少用含未知數(shù)的表達(dá)式．

[活學(xué)活用]

設(shè)點(diǎn)Ax,1，B2x,2，C1,2x，D5,3x，當(dāng)x為何值時(shí)，與共線且方向一致，此時(shí)，A，B，C，D能否在同一條直線上？

解：＝2x,2－x,1＝x,1，

＝1,2x－2x,2＝1－2x,2x－2，

＝5,3x－1,2x＝4，x．

由與共線，所以x2＝1×4，所以x＝±2.

又與方向一致，所以x＝2.

此時(shí)，＝2,1，＝－3,2，

而2×2≠－3×1，所以與不共線，

所以A，B，C三點(diǎn)不在同一條直線上．

所以A，B，C，D不在同一條直線上．

向量共線在幾何中的應(yīng)用

題點(diǎn)一：兩直線平行判斷

1.如下圖，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，過點(diǎn)C作CE⊥AB于E，用向量的方法證明：DE∥BC；

證明：如圖，以E為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，EC所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，

設(shè)||＝1，那么||＝1，||＝2.

∵CE⊥AB，而AD＝DC，

∴四邊形AECD為正方形，

∴可求得各點(diǎn)坐標(biāo)分別為E0,0，B1,0，C0,1，D－1,1．

∵＝－1,1－0,0＝－1,1，

＝0,1－1,0＝－1,1，

∴＝，∴∥，即DE∥BC.

題點(diǎn)二：幾何外形的判斷

2．已知直角坐標(biāo)平面上四點(diǎn)A1,0，B4,3，C2,4，D0,2，求證：四邊形ABCD是等腰梯形．

證明：由已知得，＝4,3－1,0＝3,3，

＝0,2－2,4＝－2，－2．

∵3×－2－3×－2＝0，∴與共線．

＝－1,2，＝2,4－4,3＝－2,1，

∵－1×1－2×－2≠0，∴與不共線．

∴四邊形ABCD是梯形．

∵＝－2,1，＝－1,2，

∴||＝5＝||，即BC＝AD.

故四邊形ABCD是等腰梯形．

題點(diǎn)三：求交點(diǎn)坐標(biāo)

3.如下圖，已知點(diǎn)A4,0，B4,4，C2,6，求AC和OB交點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解：法一：設(shè)＝t＝t4,4

＝4t,4t，

那么＝－＝4t,4t－4,0＝4t－4,4t，

＝－＝2,6－4,0＝－2,6．

由，共線的條件知4t－4×6－4t×－2＝0，

解得t＝34.∴＝3,3．

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為3,3．

法二：設(shè)Px，y，

那么＝x，y，＝4,4．

∵，共線，

∴4x－4y＝0.①

又＝x－2，y－6，＝2，－6，

且向量，共線，

∴－6x－2＋26－y＝0.②

解①②組成的方程組，得x＝3，y＝3，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為3,3．

應(yīng)用向量共線的坐標(biāo)表示求解幾何問題的步驟

層級一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)

1．以下向量組中，能作為表示它們所在平面內(nèi)全體向量的基底的是

A．e1＝0,0，e2＝1，－2

B．e1＝－1,2，e2＝5,7

C．e1＝3,5，e2＝6,10

D．e1＝2，－3，e2＝12，－34

解析：選BA中向量e1為零向量，∴e1∥e2；C中e1＝12e2，∴e1∥e2；D中e1＝4e2，∴e1∥e2，應(yīng)選B.

2．已知點(diǎn)A1,1，B4,2和向量a＝2，λ，若a∥，那么實(shí)數(shù)λ的值為

A．－23B.32

C.23D．－32

解析：選C根據(jù)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，可得＝3,1，

∵a∥，∴2×1－3λ＝0，解得λ＝23，應(yīng)選C.

3．已知A2，－1，B3,1，那么與平行且方向相反的向量a是

A．2,1B．－6，－3

C．－1,2D．－4，－8

解析：選D＝1,2，向量2,1、－6，－3、－1,2與1,2不平行；－4，－8與1,2平行且方向相反．

4．已知向量a＝x,2，b＝3，－1，若a＋b∥a－2b，那么實(shí)數(shù)x的值為

A．－3B．2

C．4D．－6

解析：選D由于a＋b∥a－2b，a＋b＝x＋3,1，a－2b＝x－6,4，所以4x＋3－x－6＝0，解得x＝－6.

5．設(shè)a＝32，tanα，b＝cosα，13，且a∥b，那么銳角α為

A．30°B．60°

C．45°D．75°

解析：選A∵a∥b，

∴32×13－tanαcosα＝0，

即sinα＝12，α＝30°.

6．已知向量a＝3x－1,4與b＝1,2共線，那么實(shí)數(shù)x的值為________．

解析：∵向量a＝3x－1,4與b＝1,2共線，

∴23x－1－4×1＝0，解得x＝1.

答案：1

7．已知A－1,4，Bx，－2，若C3,3在直線AB上，那么x＝________.

解析：＝x＋1，－6，＝4，－1，

∵∥，∴－x＋1＋24＝0，∴x＝23.

答案：23

8．已知向量a＝1,2，b＝－2,3，若λa＋μb與a＋b共線，那么λ與μ的關(guān)系是________．

解析：∵a＝1,2，b＝－2,3，

∴a＋b＝1,2＋－2,3＝－1,5，

λa＋μb＝λ1,2＋μ－2,3＝λ－2μ，2λ＋3μ，

又∵λa＋μb∥a＋b，

∴－1×2λ＋3μ－5λ－2μ＝0，

∴λ＝μ.

答案：λ＝μ

9．已知A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)為－1,0，3，－1，1,2，并且＝13，＝13，求證：∥.

證明：設(shè)E，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為x1，y1、x2，y2，

依題意有＝2,2，＝－2,3，＝4，－1．

∵＝13，∴x1＋1，y1＝132,2．

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為－13，23.

同理點(diǎn)F的坐標(biāo)為73，0，＝83，－23.

又83×－1－4×－23＝0，∴∥.

10．已知向量a＝2,1，b＝1,1，c＝5,2，m＝λb＋cλ為常數(shù)．

1求a＋b；

2若a與m平行，求實(shí)數(shù)λ的值．

解：1由于a＝2,1，b＝1,1，

所以a＋b＝2,1＋1,1＝3,2．

2由于b＝1,1，c＝5,2，

所以m＝λb＋c＝λ1,1＋5,2＝λ＋5，λ＋2．

又由于a＝2,1，且a與m平行，

所以2λ＋2＝λ＋5，解得λ＝1.

層級二應(yīng)試才能達(dá)標(biāo)

1．已知平面向量a＝x,1，b＝－x，x2，那么向量a＋b

A．平行于x軸

B．平行于第一、三象限的角平分線

C．平行于y軸

D．平行于其次、四象限的角平分線

解析：選C由于a＋b＝0,1＋x2，所以a＋b平行于y軸．

2．若A3，－6，B－5,2，C6，y三點(diǎn)共線，那么y＝

A．13B．－13