高中數(shù)學(xué)高考15第一部分 板塊二 專題五 解析幾何 第1講　直線與圓(小題)

第1講直線與圓(小題)板塊二

專題五解析幾何NEIRONGSUOYIN內(nèi)容索引熱點(diǎn)分類突破真題押題精練1PARTONE熱點(diǎn)一直線的方程及應(yīng)用熱點(diǎn)二圓的方程及應(yīng)用熱點(diǎn)三直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系熱點(diǎn)一直線的方程及應(yīng)用1.兩條直線平行與垂直的判定若兩條不重合的直線l1，l2的斜率k1，k2存在，則l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1k2＝－1.若給出的直線方程中存在字母系數(shù)，則要考慮斜率是否存在.2.求直線方程要注意幾種直線方程的局限性.點(diǎn)斜式、斜截式方程要求直線不能與x軸垂直，兩點(diǎn)式不能表示與坐標(biāo)軸垂直的直線，而截距式方程不能表示過原點(diǎn)的直線，也不能表示垂直于坐標(biāo)軸的直線.3.兩個(gè)距離公式例1

(1)(2019·寶雞模擬)若直線x＋(1＋m)y－2＝0與直線mx＋2y＋4＝0平行，則m的值是√解析①當(dāng)m＝－1時(shí)，兩直線分別為x－2＝0和x－2y－4＝0，此時(shí)兩直線相交，不合題意.解得m＝1.綜上可得m＝1.(2)我國魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立了割圓術(shù)，也就是用內(nèi)接正多邊形去逐步逼近圓，即圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)無限增加時(shí)，其周長就越逼近圓周長，這種用極限思想解決數(shù)學(xué)問題的方法是數(shù)學(xué)史上的一項(xiàng)重大成就.現(xiàn)作出圓x2＋y2＝2的一個(gè)內(nèi)接正八邊形，使該正八邊形的其中4個(gè)頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，則下列4條直線中不是該正八邊形的一條邊所在直線的為√整理為一般式即故選C.跟蹤演練1

(1)已知直線l1：x·sinα＋y－1＝0，直線l2：x－3y·cosα＋1＝0，若l1⊥l2，則sin2α等于√解析因?yàn)閘1⊥l2，所以sinα－3cosα＝0，所以tanα＝3，∴直線l在y軸上的截距為2，√熱點(diǎn)二圓的方程及應(yīng)用1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程當(dāng)圓心為(a，b)，半徑為r時(shí)，其標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特別地，當(dāng)圓心在原點(diǎn)時(shí)，方程為x2＋y2＝r2.2.圓的一般方程3.解決與圓有關(guān)的問題一般有兩種方法(1)幾何法：通過研究圓的性質(zhì)、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而求得圓的基本量和方程.(2)代數(shù)法：即用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù).例2

(1)(2018·天津)在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過三點(diǎn)(0,0)，(1,1)，(2,0)的圓的方程為______________.x2＋y2－2x＝0解析方法一

設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.∵圓經(jīng)過點(diǎn)(0,0)，(1,1)，(2,0)，∴圓的方程為x2＋y2－2x＝0.方法二

畫出示意圖如圖所示，則△OAB為等腰直角三角形，故所求圓的圓心為(1,0)，半徑為1，∴所求圓的方程為(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0.(2)拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為拋物線上的動點(diǎn)，點(diǎn)M為其準(zhǔn)線上的動點(diǎn)，當(dāng)△FPM為等邊三角形時(shí)，則△FPM的外接圓的方程為______________________.解析由拋物線方程x2＝4y，可知準(zhǔn)線方程為y＝－1，F(xiàn)(0,1)，∵|PM|＝|PF|，由拋物線定義，可知PM垂直于準(zhǔn)線，可得M(x，－1)，△FPM為等邊三角形?△FPM外接圓圓心與重心重合，跟蹤演練2

(1)(2019·黃岡調(diào)研)已知圓x2＋y2＋2k2x＋2y＋4k＝0關(guān)于y＝x對稱，則k的值為A.－1 B.1C.±1 D.0√解析化圓x2＋y2＋2k2x＋2y＋4k＝0為(x＋k2)2＋(y＋1)2＝k4－4k＋1.則圓心坐標(biāo)為(－k2，－1)，∵圓x2＋y2＋2k2x＋2y＋4k＝0關(guān)于y＝x對稱，∴直線y＝x經(jīng)過圓心，∴－k2＝－1，得k＝±1.當(dāng)k＝1時(shí)，k4－4k＋1<0，不合題意，∴k＝－1.(2)(2019·河北省級示范性高中聯(lián)合體聯(lián)考)已知A，B分別是雙曲線C：

＝1的左、右頂點(diǎn)，P(3,4)為C上一點(diǎn)，則△PAB的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_______________.x2＋(y－3)2＝10令x＝0，則y＝3，設(shè)外接圓圓心為M(0，t)，∴△PAB外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－3)2＝10.熱點(diǎn)三直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系1.直線與圓的位置關(guān)系：相交、相切和相離，判斷的方法(1)點(diǎn)線距離法.(2)判別式法：設(shè)圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直線l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，別式為Δ，則直線與圓相離?Δ<0，直線與圓相切?Δ＝0，直線與圓相交?Δ>0.2.圓與圓的位置關(guān)系有五種，即內(nèi)含、內(nèi)切、相交、外切、外離.3.圓上的點(diǎn)與圓外點(diǎn)的距離的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到點(diǎn)的距離問題；圓上的點(diǎn)與直線上點(diǎn)的距離的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離問題；圓上的點(diǎn)與另一圓上點(diǎn)的距離的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到圓心的距離問題.√解析根據(jù)題意作出如圖：AB為兩圓的公切線，切點(diǎn)分別為A，B.當(dāng)公切線AB與直線C1C2平行時(shí)，公切線AB斜率不為7，即r1≠r2，不妨設(shè)r1<r2，過C1作EC1∥AB，交AC2于點(diǎn)E，則|EC2|＝r2－r1，|AB|＝|EC1|，又kAB＝7，又|EC1|2＋|EC2|2＝|C1C2|2，√跟蹤演練3

(1)(2019·柳州模擬)已知點(diǎn)M是拋物線y2＝2x上的動點(diǎn)，以點(diǎn)M為圓心的圓被y軸截得的弦長為8，則該圓被x軸截得的弦長的最小值為當(dāng)y＝0時(shí)，得x2－a2x＋a2－16＝0，設(shè)圓與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1，x2，則x1＋x2＝a2，x1x2＝a2－16，(2)(2019·綿陽診斷)已知圓C1：x2＋y2＝r2，圓C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，給出下列結(jié)論：①a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0；②2ax1＋2by1＝a2＋b2；③x1＋x2＝a，y1＋y2＝b.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是A.0 B.1C.2 D.3√解析公共弦的方程為2ax＋2by－a2－b2＝0，所以有2ax1＋2by1－a2－b2＝0，②正確；又2ax2＋2by2－a2－b2＝0，所以a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0，①正確；AB的中點(diǎn)為直線AB與直線C1C2的交點(diǎn)，又AB：2ax＋2by－a2－b2＝0，C1C2：bx－ay＝0.故有x1＋x2＝a，y1＋y2＝b，③正確.2PARTTWO押題預(yù)測真題體驗(yàn)1.(2018·全國Ⅲ，文，8)直線x＋y＋2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓(x－2)2＋y2＝2上，則△ABP面積的取值范圍是真題體驗(yàn)√解析

設(shè)圓(x－2)2＋y2＝2的圓心為C，半徑為r，點(diǎn)P到直線x＋y＋2＝0的距離為d，綜上，△ABP面積的取值范圍是[2,6].2.(2016·全國Ⅱ，文，6)圓x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圓心到直線ax＋y－1＝0的距離為1，則a等于解析

由圓的方程x2＋y2－2x－8y＋13＝0得圓心坐標(biāo)為(1,4)，√3.(2018·全國Ⅰ，文，15)直線y＝x＋1與圓x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝______.解析

由x2＋y2＋2y－3＝0，得x2＋(y＋1)2＝4.∴圓心C(0，－1)，半徑r＝2.押題預(yù)測1.圓(x－2)2＋y2＝1與直線3x＋4y＋2＝0的位置關(guān)系是A.相交

B.相切C.相離

D.以上三種情況都有可能√解析

圓(x－2)2＋y2＝1的圓心坐標(biāo)是(2,0)，半徑是r＝1，所以圓(x－2)2＋y2＝1與直線3x＋4y＋2＝0的位置關(guān)系是相離.可得公共弦所在直線方程為ax＋2ay－5＝0，3.甲、乙兩人參加歌詠比賽的得分(均為兩位數(shù))如莖葉圖所示，甲的平均數(shù)為b，乙的眾