剛體動力學(xué)課件

設(shè)剛體繞固定軸Oz以角速度轉(zhuǎn)動,各體元的質(zhì)量分別為m1,m2,…,mn,各體元到轉(zhuǎn)軸Oz的距離依次是r1

,

r2

,

…

,

rn。imD

n個體元繞Oz軸作圓周運(yùn)動的動能的總和為一、剛體的轉(zhuǎn)動動能(Rotationalkineticenergy)§3-2,3剛體動力學(xué)1設(shè)剛體繞固定軸Oz以角速度轉(zhuǎn)動,各體元的質(zhì)量分別式中稱為剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量則剛體轉(zhuǎn)動動能的一般表達(dá)式若剛體的質(zhì)量連續(xù)分布,形式變?yōu)镾I制中，J的單位為kg·m22式中二、剛體的轉(zhuǎn)動慣量(Momentofinertia)轉(zhuǎn)動慣量與質(zhì)點的運(yùn)動速度無關(guān)，影響的因素有：剛體的質(zhì)量、剛體的形狀(質(zhì)量分布)、轉(zhuǎn)軸的位置。只有形狀比較簡單而密度又有規(guī)則地分布的物體才能用數(shù)學(xué)方法求出它的轉(zhuǎn)動慣量。對形狀復(fù)雜而密度又不均勻的物體，求轉(zhuǎn)動慣量的最好辦法是用實驗方法測定。

3二、剛體的轉(zhuǎn)動慣量(Momentofinertia幾種常見形狀的剛體的轉(zhuǎn)動慣量4幾種常見形狀的剛體的轉(zhuǎn)動慣量455例1一根質(zhì)量為m=1.0kg、長為l=1.0m的均勻細(xì)棒，繞通過棒的中心并與棒相垂直的轉(zhuǎn)軸以角速度=63rads-1

旋轉(zhuǎn)，求轉(zhuǎn)動動能。

解：先求細(xì)棒對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量J，然后求轉(zhuǎn)動動能Ek。將棒的中點取為坐標(biāo)原點，建立坐標(biāo)系Oxy，取y軸為轉(zhuǎn)軸，如圖所示。在距離轉(zhuǎn)軸為x

處取棒元dx,其質(zhì)量為xdxxyO方法一：6例1一根質(zhì)量為m=1.0kg、長為l=1.0m的均勻細(xì)棒棒的轉(zhuǎn)動動能為根據(jù)式,應(yīng)有7棒的轉(zhuǎn)動動能為根據(jù)式,應(yīng)有xdxxyO方法二：8xdxxyO方法二：8例棒繞通過其左端點并與棒相垂直的轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，求轉(zhuǎn)動慣量。

xdxxyO9例棒繞通過其左端點并與棒相垂直的轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，求轉(zhuǎn)動慣兩個定理：1.平行軸定理式中JC為剛體對通過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動慣量,

m是剛體的質(zhì)量，d是兩平行軸之間的距離。2.垂直軸定理若z軸垂直于厚度為無限小的剛體薄板板面,xy平面與板面重合,則此剛體薄板對三個坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動慣量有如下關(guān)系注意：對于厚度不是無限小的剛體板，

垂直軸定理不適用。10兩個定理：1.平行軸定理式中JC為剛體對通過質(zhì)心的軸

解：兩平行軸的距離,代入平行軸定理，得

例2在上一例題中,對于均勻細(xì)棒,我們已求得對通過棒心并與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量為求對通過棒端并與棒垂直的軸的J。11解：兩平行軸的距離·ROxy

例3

求質(zhì)量為m、半徑為R的均質(zhì)薄圓盤對通過盤心并處于盤面內(nèi)的軸的轉(zhuǎn)動慣量。

解：

方法一，盤的質(zhì)量分布均勻,盤的質(zhì)量面密度為

取半徑為r、寬為dr的圓環(huán)如圖所示，其質(zhì)量為rdr12·ROxy例3求質(zhì)量為m、半徑為R的均質(zhì)薄圓根據(jù)垂直軸定理由于對稱性,,所以解得圓盤對Oz軸(過O點垂直于紙面)的轉(zhuǎn)動慣量為13根據(jù)垂直軸定理由于對稱性,,·ROxy

解：

方法二，14·ROxy解：方法二，14

解：方法三，·ROxy15解：方法三，·ROxy15只能引起軸的變力不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)時，形,對定軸轉(zhuǎn)動無貢獻(xiàn)。轉(zhuǎn)動平面三、力矩作的功16只能引起軸的變力不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)時，形,對定軸轉(zhuǎn)動無貢獻(xiàn)。對定軸轉(zhuǎn)動的剛體起作用的只是力矩沿轉(zhuǎn)軸的分量，即若取轉(zhuǎn)軸為z軸，則起作用的只是MZ。而提供MZ的只是外力在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)的投影，與外力沿轉(zhuǎn)軸方向的分量無關(guān)。所以，在討論剛體定軸轉(zhuǎn)動時，只需考慮外力在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)的分力即可。約定：在定軸動問題中，如不加說明，所指的力矩均指力在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)的分力對轉(zhuǎn)軸的力矩。17對定軸轉(zhuǎn)動的剛體起作用的只是力矩沿轉(zhuǎn)軸的分量，即若取因為dsi=rid，并且cosi=sini，所以假設(shè)作用于以z軸為轉(zhuǎn)軸的剛體上的多個外力分別是

在剛體轉(zhuǎn)動中，外力所作的元功為Mzi

是外力Fi

對轉(zhuǎn)軸Oz的力矩。18因為dsi=rid，并且cosi=sini在整個剛體轉(zhuǎn)過d角的過程中，n個外力所作的總功為式中是作用于剛體的所有外力對Oz軸的力矩的代數(shù)和,也就是作用于剛體的外力對轉(zhuǎn)軸的合外力矩Mz。19在整個剛體轉(zhuǎn)過d角的過程中，n個外力所作的總功為式如果剛體在力矩Mz

的作用下繞固定軸從位置1轉(zhuǎn)到2,在此過程中力矩所作的功為力矩的瞬時功率可以表示為式中是剛體繞轉(zhuǎn)軸的角速度。20如果剛體在力矩Mz的作用下繞固定軸從位置1轉(zhuǎn)力矩四、動能定理

(theoremofkineticenergy)根據(jù)功能原理,外力和非保守內(nèi)力對系統(tǒng)作的總功等于系統(tǒng)機(jī)械能的增量。對于剛體一切內(nèi)力所作的功都為零。對定軸轉(zhuǎn)動的剛體,外力所作的功即為外力矩所作的功;系統(tǒng)的機(jī)械能為剛體的轉(zhuǎn)動動能。將轉(zhuǎn)動動能的具體形式代入上式并積分,得定軸轉(zhuǎn)動的剛體,外力矩作的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量，即作定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能定理。21四、動能定理(theoremofkineticen或者利用

合外力矩對繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體所作的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量。22或者利用合外力矩對繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體所作的功等五、轉(zhuǎn)動定理

(Theoremofrotation)將力矩作功和轉(zhuǎn)動動能的具體形式代入式子得一個可繞固定軸轉(zhuǎn)動的剛體，當(dāng)它所受的合外力矩（對該軸而言）等于零時，它將保持原有的角速度不變（原來靜止的繼續(xù)靜止，原來轉(zhuǎn)動的則作勻角速轉(zhuǎn)動），即轉(zhuǎn)動剛體的第一定律。它反映任何物體都具有轉(zhuǎn)動慣性，這類似于牛頓第一定律。轉(zhuǎn)動剛體第二定律：23五、轉(zhuǎn)動定理(Theoremofrotation)將

在定軸轉(zhuǎn)動中,剛體相對于某轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與角加速度的乘積,等于作用于剛體的外力相對同一轉(zhuǎn)軸的合力矩。轉(zhuǎn)動定理和牛頓第二定律在數(shù)學(xué)形式上是相似的，合外力矩與合外力相對應(yīng)，轉(zhuǎn)動慣量與質(zhì)量相對應(yīng)，角加速度與加速度相對應(yīng)。m反映質(zhì)點的平動慣性，J反映剛體的轉(zhuǎn)動慣性。進(jìn)而寫為上式就是轉(zhuǎn)動定理的數(shù)學(xué)表達(dá)式。24在定軸轉(zhuǎn)動中,剛體相對于某轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與角加速度的乘積(1)從開始制動到停止,飛輪轉(zhuǎn)過的角度；(2)閘瓦對飛輪施加的摩擦力矩所作的功。例4

一個轉(zhuǎn)動慣量為2.5kgm2、直徑為60cm的飛輪，正以130rads1

的角速度旋轉(zhuǎn)?，F(xiàn)用閘瓦將其制動，如果閘瓦對飛輪的正壓力為500N，閘瓦與飛輪之間的摩擦系數(shù)為0.50。求：d飛輪閘瓦25(1)從開始制動到停止,(2)閘瓦對飛輪施解：26解：26(1)對于勻變速轉(zhuǎn)動,從開始制動到停止,飛輪轉(zhuǎn)過的角度可由下式求得:所以(2)摩擦力矩所作的功27(1)對于勻變速轉(zhuǎn)動,從開始制動到停止,飛輪轉(zhuǎn)(2)摩擦力矩所作的功或利用動能定理：28(2)摩擦力矩所作的功或利用動能定理：28m1m2例5質(zhì)量為m1

的物體置于完全光滑的水平桌面上,用一根不可伸長的細(xì)繩拉著,細(xì)繩跨過固定于桌子邊緣的定滑輪后，在下端懸掛一個質(zhì)量為m2

的物體,如圖所示。已知滑輪是一個質(zhì)量為m0

,半徑為r的圓盤,軸間的摩擦力忽略不計。求滑輪與m1

之間的繩子的張力、滑輪與m2

之間的繩子的張力以及物體運(yùn)動的加速度。29m1m2例5質(zhì)量為m1的物體置于完全光滑

解：物體m1、m2和滑輪的受力情況如圖所示。列方程

FT1=m1a

（1）

m2gFT2=m2a（2）對于滑輪（3）輔助方程

r

=a

（4）解以上四個聯(lián)立方程式，可得）30解：物體m1、m2和滑輪的受力情況如圖所示。列方程

此題還可以用能量的方法求解。在物體m2下落了高度h時,可以列出下面的能量守恒關(guān)系（5）31此題還可以用能量的方法求解。在物體m2下落（5）31式中v是當(dāng)m2下落了高度h

時兩個物體的運(yùn)動速率,

是此時滑輪的角速度。因為,,所以得由此解得（6）32式中v是當(dāng)m2下落了高度h時兩個物體的運(yùn)動速率,因為將v2=2ah

代入(6)式,可以求得兩個物體的加速度根據(jù),立即可以求得張力33將v2=2ah代入(6)式,可以求得兩個物體的根據(jù)或可以立即算出張力以上兩種方法，都是求解這類問題的基本方法,都應(yīng)該理解和掌握。34根據(jù)方法三：系統(tǒng)角動量定理。35方法三：系統(tǒng)角動量定理。35例6

一輕繩跨過一定滑輪，滑輪視為圓盤，繩的兩端分別懸有質(zhì)量為m1和m2的物體1和2，m1<m2

如圖所示。設(shè)滑輪的質(zhì)量為m，半徑為r，所受的摩擦阻力矩為Mr。繩與滑輪之間無相對滑動。試求物體的加速度和繩的張力。m1m2T2T1T1T2G2G1aaam1m2解:滑輪具有一定的轉(zhuǎn)動慣量。在轉(zhuǎn)動中受到阻力矩的作用，兩邊的張力不再相等，設(shè)物體1這邊繩的張力為T1、T1’(T1’=T1)，

物體2這邊的張力為T2、T2’(T2’=T2)36例6一輕繩跨過一定滑輪，滑輪視為圓盤，繩的兩端分別懸有質(zhì)量因m2>m1，物體1向上運(yùn)動，物體2向下運(yùn)動，滑輪以順時針方向旋轉(zhuǎn)，Mr的指向如圖所示?？闪谐鱿铝蟹匠淌街惺腔喌慕羌铀俣?，a是物體的加速度?；嗊吘壣系那邢蚣铀俣群臀矬w的加速度相等，即從以上各式即可解得37因m2>m1，物體1向上運(yùn)動，物體2向下運(yùn)動，滑輪以順時針方而38而38當(dāng)不計滑輪質(zhì)量及摩擦阻力矩即令m=0、Mr=0時，有

上題中的裝置叫阿特伍德機(jī)，是一種可用來測量重力加速度g的簡單裝置。因為在已知m1、

m2

、r和J的情況下，能通過實驗測出物體1和2的加速度a，再通過加速度把g算出來。39當(dāng)不計滑輪質(zhì)量及摩擦阻力矩即令m=0、Mr=0時，有方法二：系統(tǒng)角動量定理。40方法二：系統(tǒng)角動量定理。40例7

一半徑為R，質(zhì)量為m勻質(zhì)圓盤，平放在粗糙的水平桌面上。設(shè)盤與桌面間摩擦系數(shù)為，令圓盤最初以角速度0繞通過中心且垂直盤面的軸旋轉(zhuǎn)，問它經(jīng)過多少時間才停止轉(zhuǎn)動？rRdrde解：由于摩擦力不是集中作用于一點，而是分布在整個圓盤與桌子的接觸面上，力矩的計算要用積分法。在圖中，把圓盤分成許多環(huán)形質(zhì)元，每個質(zhì)元的質(zhì)量dm=erddr，所受到的阻力矩是rgdm

。41例7一半徑為R，質(zhì)量為m勻質(zhì)圓盤，平放在粗糙的水平桌面上。此處e是盤的厚度。圓盤所受阻力矩就是因m=eR2，代入得根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動定律，阻力矩使圓盤減速，即獲得負(fù)的角加速度.42此處e是盤的厚度。圓盤所受阻力矩就是因m=eR2，代入得設(shè)圓盤經(jīng)過時間t停止轉(zhuǎn)動，則有由此求得43設(shè)圓盤經(jīng)過時間t停止轉(zhuǎn)動，則有由此求得43即：質(zhì)心高度為：

對于一個不太大的質(zhì)量為的物體，它的重力勢能應(yīng)是組成剛體的各個質(zhì)點的重力勢能之和若只有保守力做功六、剛體的重力勢能44即：質(zhì)心高度為：對于一個不太大的質(zhì)量為的物解：先對細(xì)棒OA所受的力作一分析；重力作用在棒的中心點C，方向豎直向下；軸和棒之間沒有摩擦力，軸對棒作用的支承力垂直于棒和軸的接觸面且通過O點，在棒的下擺過程中，此力的方向和大小是隨時改變的。例8

一根質(zhì)量為m、長為l

的均勻細(xì)棒OA（如圖），可繞通過其一端的光滑軸O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，今使棒從水平位置開始自由下擺，求細(xì)棒擺到豎直位置時其中點C和端點A的速度。GAAO45解：先對細(xì)棒OA所受的力作一分析；重力作用在棒的中心點

在棒的下擺過程中，對轉(zhuǎn)軸O而言，支撐力N通過O點，所以支撐力N的力矩等于零，重力G的力矩則是變力矩，大小等于mg(l/2)cos

，棒轉(zhuǎn)過一極小的角位移d時，重力矩所作的元功是在使棒從水平位置下擺到豎直位置過程中，重力矩所作的功是應(yīng)該指出：重力矩作的功就是重力作的功，也可用重力勢能的差值來表示。棒在水平位置時的角速度0＝0，下擺到豎直位置時的角速度為，按力矩的功和轉(zhuǎn)動動能增量的關(guān)系式得46在棒的下擺過程中，對轉(zhuǎn)軸O而言，支撐力N通過O點，所以由此得代入上式得因所以細(xì)棒在豎直位置時，端點A和中心點C的速度分別為（機(jī)械能守恒）47由此得代入上式得因所以細(xì)棒在豎直位置時，端點A和中心點C的速設(shè)剛體繞固定軸Oz以角速度轉(zhuǎn)動,各體元的質(zhì)量分別為m1,m2,…,mn,各體元到轉(zhuǎn)軸Oz的距離依次是r1

,

r2

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…

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rn。imD

n個體元繞Oz軸作圓周運(yùn)動的動能的總和為一、剛體的轉(zhuǎn)動動能(Rotationalkineticenergy)§3-2,3剛體動力學(xué)48設(shè)剛體繞固定軸Oz以角速度轉(zhuǎn)動,各體元的質(zhì)量分別式中稱為剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量則剛體轉(zhuǎn)動動能的一般表達(dá)式若剛體的質(zhì)量連續(xù)分布,形式變?yōu)镾I制中，J的單位為kg·m249式中二、剛體的轉(zhuǎn)動慣量(Momentofinertia)轉(zhuǎn)動慣量與質(zhì)點的運(yùn)動速度無關(guān)，影響的因素有：剛體的質(zhì)量、剛體的形狀(質(zhì)量分布)、轉(zhuǎn)軸的位置。只有形狀比較簡單而密度又有規(guī)則地分布的物體才能用數(shù)學(xué)方法求出它的轉(zhuǎn)動慣量。對形狀復(fù)雜而密度又不均勻的物體，求轉(zhuǎn)動慣量的最好辦法是用實驗方法測定。

50二、剛體的轉(zhuǎn)動慣量(Momentofinertia幾種常見形狀的剛體的轉(zhuǎn)動慣量51幾種常見形狀的剛體的轉(zhuǎn)動慣量4525例1一根質(zhì)量為m=1.0kg、長為l=1.0m的均勻細(xì)棒，繞通過棒的中心并與棒相垂直的轉(zhuǎn)軸以角速度=63rads-1

旋轉(zhuǎn)，求轉(zhuǎn)動動能。

解：先求細(xì)棒對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量J，然后求轉(zhuǎn)動動能Ek。將棒的中點取為坐標(biāo)原點，建立坐標(biāo)系Oxy，取y軸為轉(zhuǎn)軸，如圖所示。在距離轉(zhuǎn)軸為x

處取棒元dx,其質(zhì)量為xdxxyO方法一：53例1一根質(zhì)量為m=1.0kg、長為l=1.0m的均勻細(xì)棒棒的轉(zhuǎn)動動能為根據(jù)式,應(yīng)有54棒的轉(zhuǎn)動動能為根據(jù)式,應(yīng)有xdxxyO方法二：55xdxxyO方法二：8例棒繞通過其左端點并與棒相垂直的轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，求轉(zhuǎn)動慣量。

xdxxyO56例棒繞通過其左端點并與棒相垂直的轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，求轉(zhuǎn)動慣兩個定理：1.平行軸定理式中JC為剛體對通過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動慣量,

m是剛體的質(zhì)量，d是兩平行軸之間的距離。2.垂直軸定理若z軸垂直于厚度為無限小的剛體薄板板面,xy平面與板面重合,則此剛體薄板對三個坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動慣量有如下關(guān)系注意：對于厚度不是無限小的剛體板，

垂直軸定理不適用。57兩個定理：1.平行軸定理式中JC為剛體對通過質(zhì)心的軸

解：兩平行軸的距離,代入平行軸定理，得

例2在上一例題中,對于均勻細(xì)棒,我們已求得對通過棒心并與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量為求對通過棒端并與棒垂直的軸的J。58解：兩平行軸的距離·ROxy

例3

求質(zhì)量為m、半徑為R的均質(zhì)薄圓盤對通過盤心并處于盤面內(nèi)的軸的轉(zhuǎn)動慣量。

解：

方法一，盤的質(zhì)量分布均勻,盤的質(zhì)量面密度為

取半徑為r、寬為dr的圓環(huán)如圖所示，其質(zhì)量為rdr59·ROxy例3求質(zhì)量為m、半徑為R的均質(zhì)薄圓根據(jù)垂直軸定理由于對稱性,,所以解得圓盤對Oz軸(過O點垂直于紙面)的轉(zhuǎn)動慣量為60根據(jù)垂直軸定理由于對稱性,,·ROxy

解：

方法二，61·ROxy解：方法二，14

解：方法三，·ROxy62解：方法三，·ROxy15只能引起軸的變力不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)時，形,對定軸轉(zhuǎn)動無貢獻(xiàn)。轉(zhuǎn)動平面三、力矩作的功63只能引起軸的變力不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)時，形,對定軸轉(zhuǎn)動無貢獻(xiàn)。對定軸轉(zhuǎn)動的剛體起作用的只是力矩沿轉(zhuǎn)軸的分量，即若取轉(zhuǎn)軸為z軸，則起作用的只是MZ。而提供MZ的只是外力在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)的投影，與外力沿轉(zhuǎn)軸方向的分量無關(guān)。所以，在討論剛體定軸轉(zhuǎn)動時，只需考慮外力在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)的分力即可。約定：在定軸動問題中，如不加說明，所指的力矩均指力在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)的分力對轉(zhuǎn)軸的力矩。64對定軸轉(zhuǎn)動的剛體起作用的只是力矩沿轉(zhuǎn)軸的分量，即若取因為dsi=rid，并且cosi=sini，所以假設(shè)作用于以z軸為轉(zhuǎn)軸的剛體上的多個外力分別是

在剛體轉(zhuǎn)動中，外力所作的元功為Mzi

是外力Fi

對轉(zhuǎn)軸Oz的力矩。65因為dsi=rid，并且cosi=sini在整個剛體轉(zhuǎn)過d角的過程中，n個外力所作的總功為式中是作用于剛體的所有外力對Oz軸的力矩的代數(shù)和,也就是作用于剛體的外力對轉(zhuǎn)軸的合外力矩Mz。66在整個剛體轉(zhuǎn)過d角的過程中，n個外力所作的總功為式如果剛體在力矩Mz

的作用下繞固定軸從位置1轉(zhuǎn)到2,在此過程中力矩所作的功為力矩的瞬時功率可以表示為式中是剛體繞轉(zhuǎn)軸的角速度。67如果剛體在力矩Mz的作用下繞固定軸從位置1轉(zhuǎn)力矩四、動能定理

(theoremofkineticenergy)根據(jù)功能原理,外力和非保守內(nèi)力對系統(tǒng)作的總功等于系統(tǒng)機(jī)械能的增量。對于剛體一切內(nèi)力所作的功都為零。對定軸轉(zhuǎn)動的剛體,外力所作的功即為外力矩所作的功;系統(tǒng)的機(jī)械能為剛體的轉(zhuǎn)動動能。將轉(zhuǎn)動動能的具體形式代入上式并積分,得定軸轉(zhuǎn)動的剛體,外力矩作的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量，即作定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能定理。68四、動能定理(theoremofkineticen或者利用

合外力矩對繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體所作的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量。69或者利用合外力矩對繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體所作的功等五、轉(zhuǎn)動定理

(Theoremofrotation)將力矩作功和轉(zhuǎn)動動能的具體形式代入式子得一個可繞固定軸轉(zhuǎn)動的剛體，當(dāng)它所受的合外力矩（對該軸而言）等于零時，它將保持原有的角速度不變（原來靜止的繼續(xù)靜止，原來轉(zhuǎn)動的則作勻角速轉(zhuǎn)動），即轉(zhuǎn)動剛體的第一定律。它反映任何物體都具有轉(zhuǎn)動慣性，這類似于牛頓第一定律。轉(zhuǎn)動剛體第二定律：70五、轉(zhuǎn)動定理(Theoremofrotation)將

在定軸轉(zhuǎn)動中,剛體相對于某轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與角加速度的乘積,等于作用于剛體的外力相對同一轉(zhuǎn)軸的合力矩。轉(zhuǎn)動定理和牛頓第二定律在數(shù)學(xué)形式上是相似的，合外力矩與合外力相對應(yīng)，轉(zhuǎn)動慣量與質(zhì)量相對應(yīng)，角加速度與加速度相對應(yīng)。m反映質(zhì)點的平動慣性，J反映剛體的轉(zhuǎn)動慣性。進(jìn)而寫為上式就是轉(zhuǎn)動定理的數(shù)學(xué)表達(dá)式。71在定軸轉(zhuǎn)動中,剛體相對于某轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與角加速度的乘積(1)從開始制動到停止,飛輪轉(zhuǎn)過的角度；(2)閘瓦對飛輪施加的摩擦力矩所作的功。例4

一個轉(zhuǎn)動慣量為2.5kgm2、直徑為60cm的飛輪，正以130rads1

的角速度旋轉(zhuǎn)?，F(xiàn)用閘瓦將其制動，如果閘瓦對飛輪的正壓力為500N，閘瓦與飛輪之間的摩擦系數(shù)為0.50。求：d飛輪閘瓦72(1)從開始制動到停止,(2)閘瓦對飛輪施解：73解：26(1)對于勻變速轉(zhuǎn)動,從開始制動到停止,飛輪轉(zhuǎn)過的角度可由下式求得:所以(2)摩擦力矩所作的功74(1)對于勻變速轉(zhuǎn)動,從開始制動到停止,飛輪轉(zhuǎn)(2)摩擦力矩所作的功或利用動能定理：75(2)摩擦力矩所作的功或利用動能定理：28m1m2例5質(zhì)量為m1

的物體置于完全光滑的水平桌面上,用一根不可伸長的細(xì)繩拉著,細(xì)繩跨過固定于桌子邊緣的定滑輪后，在下端懸掛一個質(zhì)量為m2

的物體,如圖所示。已知滑輪是一個質(zhì)量為m0

,半徑為r的圓盤,軸間的摩擦力忽略不計。求滑輪與m1

之間的繩子的張力、滑輪與m2

之間的繩子的張力以及物體運(yùn)動的加速度。76m1m2例5質(zhì)量為m1的物體置于完全光滑

解：物體m1、m2和滑輪的受力情況如圖所示。列方程

FT1=m1a

（1）

m2gFT2=m2a（2）對于滑輪（3）輔助方程

r

=a

（4）解以上四個聯(lián)立方程式，可得）77解：物體m1、m2和滑輪的受力情況如圖所示。列方程

此題還可以用能量的方法求解。在物體m2下落了高度h時,可以列出下面的能量守恒關(guān)系（5）78此題還可以用能量的方法求解。在物體m2下落（5）31式中v是當(dāng)m2下落了高度h

時兩個物體的運(yùn)動速率,

是此時滑輪的角速度。因為,,所以得由此解得（6）79式中v是當(dāng)m2下落了高度h時兩個物體的運(yùn)動速率,因為將v2=2ah

代入(6)式,可以求得兩個物體的加速度根據(jù),立即可以求得張力80將v2=2ah代入(6)式,可以求得兩個物體的根據(jù)或可以立即算出張力以上兩種方法，都是求解這類問題的基本方法,都應(yīng)該理解和掌握。81根據(jù)方法三：系統(tǒng)角動量定理。82方法三：系統(tǒng)角動量定理。35例6

一輕繩跨過一定滑輪，滑輪視為圓盤，繩的兩端分別懸有質(zhì)量為m1和m2的物體1和2，m1<m2

如圖所示。設(shè)滑輪的質(zhì)量為m，半徑為r，所受的摩擦阻力矩為Mr。繩與滑輪之間無相對滑動。試求物體的加速度和繩的張力。m1m2T2T1T1T2G2G1aaam1m2解:滑輪具有一定的轉(zhuǎn)動慣量。在轉(zhuǎn)動中受到阻力矩的作用，兩邊的張力不再相等，設(shè)物體1這邊繩的張力為T1、T1’(T1’=T1)，

物體2這邊的張力為T2、T2’(T2’=T2)83例6一輕繩跨過一定滑輪，滑輪視為圓盤，繩的兩端分別懸有質(zhì)量因m2>m1，物體1向上運(yùn)動，物體2向下運(yùn)動，滑輪以順時針方向旋轉(zhuǎn)，Mr的指向如圖所示。可列出下列方程式中是滑輪的角加速度，a是物體的加速度?；嗊吘壣系那邢蚣铀俣群臀矬w的加速度相等，即從以上各式即可解得84因m2>m1，物體1向上運(yùn)動，物體2向下運(yùn)動，滑輪以順時針方而85而38當(dāng)不計滑輪質(zhì)量及摩擦阻力矩即令m=0、Mr=0時，有

上題中的裝置叫阿特伍德機(jī)，是一種可用來測