專題訓(xùn)練26 正、余弦定理的實際應(yīng)用 - 高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) (新高考)

專題26正、余弦定理的實際應(yīng)用一、單選題（本大題共8小題，每小題只有一個選項符合題意）1．某快遞公司在我市的三個門店A，B，C分別位于一個三角形的三個頂點處，其中門店A，B與門店C都相距akm，而門店A位于門店C的北偏東50°方向上，門店B位于門店C的北偏西70°方向上，則門店A，B間的距離為（）A．a(chǎn)km B． C． D．2akm2．我艦在島處南偏西50°方向的處，且距離為12千米，發(fā)現(xiàn)敵艦正離開島沿北偏西10°的方向以每小時10千米的速度航行，若我艦要用2小時追上敵艦，則速度大小為（）A．28千米/時 B．14千米/時 C．千米/時 D．20千米/時3．一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點間的距離是（）A．10海里 B．10海里C．20海里 D．20海里4．2009年北京國慶閱兵式上舉行升旗儀式，如圖，在坡度為15°的觀禮臺上，某一列座位與旗桿在同一個垂直于地面的平面上，在該列的第一排和最后一排測得旗桿頂端的仰角分別為60°和30°，且第一排和最后一排的距離為米，則旗桿的高度為（）米．A． B．30 C． D．355．如圖，為了測量某濕地A，B兩點間的距離，觀察者找到在同一直線上的三點C，D，E．從D點測得∠ADC＝67.5°，從C點測得∠ACD＝45°，∠BCE＝75°，從E點測得∠BEC＝60°．若測得DC＝2，CE＝(單位：百米)，則A，B兩點的距離為（）A． B．2C．3 D．26．圣·索菲亞教堂（英語：SAINTSOPHIACATHEDRAL）坐落于中國黑龍江省，是一座始建于1907年拜占庭風(fēng)格的東正教教堂，距今已有114年的歷史，為哈爾濱的標(biāo)志性建筑．1996年經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)，被列為第四批全國重點文物保護單位，是每一位到哈爾濱旅游的游客拍照打卡的必到景點其中央主體建筑集球，圓柱，棱柱于一體，極具對稱之美，可以讓游客從任何角度都能領(lǐng)略它的美．小明同學(xué)為了估算索菲亞教堂的高度，在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物，高為，在它們之間的地面上的點（三點共線）處測得樓頂，教堂頂?shù)难鼋欠謩e是和，在樓頂處測得塔頂?shù)难鼋菫?，則小明估算索菲亞教堂的高度為（）A． B． C． D．7．如圖，在地面上共線的三點處測得一個建筑物的仰角分別為30°，45°，60°，且，則建筑物的高度為（）A． B． C． D．8．如圖所示，在坡度一定的山坡A處測得山頂上一建筑物CD的頂端C對于山坡的斜度為15°，向山頂前進100m到達(dá)B處，又測得C對于山坡的斜度為45°，若CD＝50m，山坡對于地平面的坡度為θ，則cosθ等于A． B． C．－1 D．－1二、多選題（本大題共4小題，每小題有多個各選項符合題意）9．為了測量B，C之間的距離，在河的南岸A，C處測量（測量工具：量角器、卷尺），如圖所示.下面是四位同學(xué)所測得的數(shù)據(jù)記錄，你認(rèn)為不合理的有（）A．與 B．與 C．，與 D．，與10．某人在A處向正東方向走后到達(dá)B處,他向右轉(zhuǎn)150°,然后朝新方向走3km到達(dá)C處,結(jié)果他離出發(fā)點恰好,那么x的值為A． B． C． D．311．某貨輪在處看燈塔在貨輪北偏東75°，距離為；在處看燈塔在貨輪的北偏西30°，距離．貨輪由處向正北航行到處時，再看燈塔在南偏東60°，則下列說法正確的是（）A．處與處之間的距離是； B．燈塔與處之間的距離是；C．燈塔在處的西偏南60°； D．在燈塔的北偏西30°．12．重慶是一座網(wǎng)紅城市，外地游客來重慶必到洪崖洞、千廝門大橋打卡.如圖，我校測繪興趣小組為測量河對岸千廝門大橋橋墩底部到頂端的高度，選取與在同一水平面內(nèi)的兩點與（，，不在同一直線上），畫一條基線，測得，測繪興趣小組利用經(jīng)緯儀可測得的角有：，，，，，，則根據(jù)下列各組中的測量數(shù)據(jù)可計算出的高度的是（）A．，，，B．，，，C．，，，D．，，，三、填空題（本大題共4小題）13．汽車最小轉(zhuǎn)彎半徑是指當(dāng)轉(zhuǎn)向盤轉(zhuǎn)到極限位置，汽車以最低穩(wěn)定車速轉(zhuǎn)向行駛時，外側(cè)轉(zhuǎn)向輪的中心平面在支承平面上滾過的軌跡圓半徑．如圖中的BC即是．已知某車在低速前進時，圖中A處的輪胎行進方向與AC垂直，B處的輪胎前進方向與BC垂直，軸距AB為2.92米，方向盤轉(zhuǎn)到極限時，輪子方向偏了30°，則該車的最小轉(zhuǎn)彎半徑BC為_______米．14．年月日，以“綠色秦巴，開放互贏”為主題的第三屆秦巴山區(qū)綠色農(nóng)林產(chǎn)業(yè)投資貿(mào)易洽談會在四川省巴中市開幕，會場設(shè)在剛剛竣工的川東北最大的綜合體育場——巴中市體育中心，即民間所說的“興文鳥巢”，能被邀請到現(xiàn)場觀禮是無比的榮耀．如圖，在坡度為的觀禮臺上，某一列座位與旗桿在同一個垂直于地面的平面上，在該列的第一排和最后一排測得旗桿頂端的仰角分別為和，且第一排和最后一排的距離為米，則旗桿的高度為________米．15．海洋藍(lán)洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國擁有世界上最深的海洋藍(lán)洞．若要測量如圖所示的藍(lán)洞的口徑，兩點間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點，，測得m，，，，則兩點的距離為______m．16．某中學(xué)慶祝國慶儀式上舉行升旗禮，在坡度為的觀禮臺上，某一列座位與旗桿在同一垂直于地面的平面上，某同學(xué)在該列的第一排和最后一排車的旗桿頂端的仰角分別是，已知旗桿的高度為28.3米，則第一排與最后一排之間的距離約為__________（取，小數(shù)點后保留一位有效數(shù)字）四、解答題（本大題共4小題，答題過程應(yīng)包括必要的公式、過程和文字說明）17．位于燈塔處正西方向相距的處有一艘甲船，需要海上加油.位于燈塔處北偏東有一與燈塔相距的乙船（在處）.求乙船前往支援處的甲船航行的距離和方向（角度精確到）.18．某港口要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上.在小艇出發(fā)時，輪船位于港口北偏西且與該港口相距20海里的處，并正以30海里/時的航行速度沿正東方向勻速行駛.假設(shè)該小艇沿直線方向以海里/時的航行速度勻速行駛，經(jīng)過小時與輪船相遇.（1）若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？（2）假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/時，試設(shè)計航行方案（即確定航行方向和航行速度的大?。沟眯⊥芤宰疃虝r間與輪船相遇.19．據(jù)氣象臺預(yù)報，在S島正東距S島的A處有一臺風(fēng)中心形成，并以每小時的速度向北偏西30°的方向移動，在距臺風(fēng)中心以內(nèi)的地區(qū)將受到臺風(fēng)的影響．問：S島是否受其影響？若受到影響，從現(xiàn)在起經(jīng)過多少小時S島開始受到臺風(fēng)的影響？持續(xù)時間多久？說明理由．20．為響應(yīng)國家號召開，積極引進外資，現(xiàn)欲在南京紫金東創(chuàng)建一工廠，目前兩條公路，的交匯點處有一居民區(qū)，現(xiàn)擬在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi)建造工廠，同時在兩公路旁，（異于點）處設(shè)兩個銷售點，且滿足，（千米），（千米），設(shè).（注：）（1）試用表示，并寫出的范圍；（2）當(dāng)為多大時，工廠產(chǎn)生的噪聲對居民區(qū)的影響最?。垂S與學(xué)校的距離最遠(yuǎn)）.參考答案1．C【解析】由題意知AC＝BC＝akm，∠ACB＝50°+70°＝120°，由余弦定理得，，所以，即門店A，B間的距離為.故選：C.2．B【解析】如圖，設(shè)我艦在處追上敵艦，速度大小為千米/時，在中，（千米），千米，，所以，則千米，故千米/時.故選：B3．A【解析】如圖所示，易知，在△ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根據(jù)正弦定理得＝，解得BC＝10(海里)．故選：A4．B【解析】如圖所示，依題意可知∠AEC＝45°，∠ACE＝180°﹣60°﹣15°＝105°，∴∠EAC＝180°﹣45°﹣105°＝30°，由正弦定理可知＝，∴＝米，∴在直角三角形中，AB＝AC?sin∠ACB＝×＝30米.所以旗桿的高度為30米.故選：B．5．C【解析】根據(jù)題意，在△ADC中，∠ACD＝45°，∠ADC＝67.5°，DC＝2，則∠DAC＝180°－45°－67.5°＝67.5°，則AC＝DC＝2，在△BCE中，∠BCE＝75°，∠BEC＝60°，CE＝，則∠EBC＝180°－75°－60°＝45°，則有＝，變形可得BC＝＝＝，在中，AC＝2，BC＝，∠ACB＝180°－∠ACD－∠BCE＝60°，則AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝9，則AB＝3．故選：.6．D【解析】由題意知：，所以在中，，在中，由正弦定理得所以，在中，故選：D7．D【解析】設(shè)建筑物的高度為，由題圖知，，，，在和中，分別由余弦定理的推論，得①，②，因為，所以③，由①②③，解得或（舍去），即建筑物的高度為.故選:D.8．C【解析】在ABC中，由正弦定理得，∴AC＝100．在ADC中，，∴cosθ＝sin(θ＋90°)＝.故選：C9．ABC【解析】因為A，C在河的同一側(cè)，所以可以測量，與，故選：ABC10．AB【解析】由題意得,由余弦定理得,解得或.故選：AB.11．AC【解析】由題意可知，所以，,在中，由正弦定理得，所以，故A正確；在中，由余弦定理得，即，故B錯誤；因為，所以，所以燈塔在處的西偏南，故C正確；由，在燈塔的北偏西處，故D錯誤.故選：AC12．ACD【解析】A：根據(jù)，，，由正弦定理求，再結(jié)合可求的高度，正確；B：在△、△都只有一邊一角，不能求出其它角或邊，無法求的高度，錯誤；C：根據(jù)，，，由正弦定理求，再結(jié)合可求的高度，正確；D：由，可得：，結(jié)合由正弦定理求，再由可求的高度，正確；故選：ACD13．【解析】由題意可知，只需求的長度即可.由，，即米，故答案為：14．【解析】設(shè)，在中，；在中，，，，，由正弦定理得，即，所以．故旗桿的高度為米．故答案為：.15．【解析】解：易知在中，，為等腰三角形，則，在中，，，所以由正弦定理得，即，得，在中，由余弦定理得，所以，即，兩點的距離為，故答案為：．16．23.6米【解析】設(shè)第一排的觀測點為，最后一排的觀測點為，旗桿的頂端為，依題意，得，，則，可得米，在中，由正弦定理得，所以米.故答案為：23.6米.17．乙船航行的距離為，方向約為南偏西【解析】根據(jù)題意，畫出示意圖如圖，由余弦定理得.于是.由正弦定理得，所以.因為，所以.故乙船航行的距離為，方向約為南偏西.18．（1）海里/時；（2）答案見解析.【解析】（1）設(shè)相遇時小艇航行的距離為海里，則.當(dāng)時，（海里），此時（海里/時）.∴小艇以海里/時的速度航行，相遇時小艇的航行距離最小.（2）設(shè)小艇與輪船在處相遇，則，故，又，∴，即，解得.又時，海里/時，即海里/時時，取得最小值為.此時，在△中，有海里，故可設(shè)計航行方案：航行方向為北偏東，航行速度為30海里/時，小艇能以最短時間與輪船相遇.19．從現(xiàn)在起經(jīng)過小時S島開始受到臺風(fēng)影響，且持續(xù)時間為小時，理由見解析.【解析】如圖所示，設(shè)臺風(fēng)中心經(jīng)過th到