高三數(shù)學 第七模塊 第4節(jié)線面平行的判斷與性質(zhì)全國通有 新人教A

.考綱要求1.了解直線與平面、平面與平面平行的定義．2．掌握直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理．3．掌握兩個平面平行的判定定理和性質(zhì)定理．.熱點提示1.本部分內(nèi)容在高考中的選擇題、填空題和解答題都可能出現(xiàn)，難度不大，以平行關系的判定與論證為主．在復習時應抓住三種平行關系可以相互轉(zhuǎn)化，明白對某種平行關系的論證其實質(zhì)就是從一種平行到另一種平行的轉(zhuǎn)化．解題時要善于總結(jié)歸納，注意掌握此類問題的通性通法、相關題型及常見解題思路方法．2．2011年高考“直線和平面平行與平面和平面平行”仍是必考內(nèi)容，難度不大，其考查方式不外乎這樣兩種：一是考查平行關系的判定(小題)；二是考查平行關系的證明(大題)，在復習時應注意定理與性質(zhì)的條件，及時總結(jié)“?？汲ｅe”的地方.1．直線與平面平行的判定定理

一條直線與

的一條直線平行，則該直線與此平面平行，用符號表示為

.平面外a?α，b?α，且a∥b?a∥α此平面內(nèi).(1)運用直線與平面平行的判定定理時，必須具備三個條件：①平面外一條直線；②平面內(nèi)一條直線；③兩條直線相互平行．(2)直線與平面平行的判定定理的關鍵是證明兩直線平行，證兩直線平行是平面幾何的問題，所以該判定定理體現(xiàn)了空間問題平面化的思想．(3)判定直線與平面平行有以下方法：一是判定定理；二是線面平行定義；三是面面平行的性質(zhì)定理.

.2．平面與平面平行的判定定理一個平面內(nèi)的兩條

與另一個平面

，則這兩個平面平行．用符號表示為：

.相交直線平行a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?β∥α.(1)運用判定定理證明平面與平面平行時，兩直線是相交直線這一條件是關鍵，缺少這一條件則定理不一定成立．(2)證明面與面平行常轉(zhuǎn)化為證明線面平行，而證線面平行又轉(zhuǎn)化為證線線平行，逐步由空間轉(zhuǎn)化到平面．(3)證明平面與平面平行的方法有：判定定理、線面垂直的性質(zhì)定理、定義．(4)平面與平面的平行也具有傳遞性.

.3．直線與平面平行的性質(zhì)定理一條直線與一個

，則過這條直線的任一平面與此平面的

與該

．用圖形表示為：用符號表示為：

?a∥b.平面平行交線直線平行a∥α，a?β，α∩β＝b.(1)線面平行的性質(zhì)定理是證線線平行的一個途徑．(2)證線線平行的途徑還有：三角形的中位線、梯形的中位線、線面垂直的性質(zhì)定理、平面內(nèi)平行線的判定定理、平行公理、平面與平面平行的性質(zhì)定理等.

.4．平面與平面平行的性質(zhì)定理如果兩個

同時和第三個平面相交，那么它們的

平行．用圖形表示為：用符號表示為：

?a∥b.平行平面交線α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b.由兩個平面平行來推證兩條直線平行，則這兩條直線必須是這兩個平行平面與第三個平面的交線.

.1．直線a∥α，則 ()A．平面α內(nèi)有且只有一條直線與直線a平行B．平面α內(nèi)有無數(shù)條直線與直線a平行C．平面α內(nèi)不存在與直線a垂直的直線D．平面α內(nèi)有且只有一條直線與直線a垂直.解析：如右圖，在正方體中，直線BC∥平面A′C′，但是平面A′C′內(nèi)的直線B′C′和A′D′均平行于直線BC，所以A錯；直線A′B′⊥BC，直線C′D′⊥BC，即平面A′C′內(nèi)有兩條直線垂直于BC，所以C和D錯，應選B.答案：B.2．六棱柱的表面中，互相平行的面最多有幾對？()A．2 B．3C．4 D．5解析：當六棱柱的底面是正六邊形時，互相平行的面最多，側(cè)面中有3對互相平行，兩底面互相平行，則此時有4對．答案：C.3．已知直線a，b，c及平面α，β，下列條件中，能使a∥b成立的是 ()A．a(chǎn)∥α，b?α B．a(chǎn)∥α，b∥αC．a(chǎn)∥c，b∥c D．a(chǎn)∥α，α∩β＝b解析：a∥α，b?α，則a∥b或a，b異面，A錯；a∥α，b∥α，則a∥b或a，b異面或a，b相交，B錯；a∥α，α∩β＝b，則a∥b或a，b異面，D錯；事實上，a∥c，b∥c，則a∥b，這是公理4，所以C正確．答案：C.4．(2009·福建廈門模擬)設l，m，n是三條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，給出下列命題：①若l∥n且m∥n，則l∥m；②若l∥α且m∥α，則l∥m；③若n∥α且n∥β，則α∥β；④若α∥γ且β∥γ，則α∥β；其中正確命題的序號是________．(把正確命題的序號都填上).解析：根據(jù)平行的傳遞性，顯然①④正確；如右圖所示，長方體ABCD－A′B′C′D′中，直線AD∥平面A′C′，直線AB∥平面A′C′，但是直線AD與直線AB相交，所以②錯；直線AB∥平面A′C′，直線AB∥平面C′D，但是平面A′C′∩平面C′D于直線C′D′，所以③錯．答案：①④.5．如右圖所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，M、N分別是BC和A1B1的中點．求證：MN∥平面AA1C1..證明：設A1C1中點為F，連接NF，F(xiàn)C，∵N為A1B1中點，∴NF∥B1C1，且NF＝B1C1，又由棱柱性質(zhì)知B1C1綊BC，又M是BC的中點，∴NF綊MC，∴四邊形NFCM為平行四邊形．∴MN∥CF，又CF?平面AA1C1，MN?平面AA1C1，∴MN∥平面AA1C1..【例1】如右圖所示，已知P、Q是單位正方體ABCD—A1B1C1D1的面A1B1BA和面ABCD的中心．求證：PQ∥平面BCC1B1...∴四邊形PEFQ是平行四邊形．∴PQ∥EF.又PQ?平面BCC1B1，EF?平面BCC1B1，∴PQ∥平面BCC1B1.證法二：如右圖②，連結(jié)AB1，B1C，∵△AB1C中，P、Q分別是AB1和AC的中點，∴PQ∥B1C.又PQ?平面BCC1B1，B1C?平面BCC1B1，∴PQ∥平面BCC1B1..證明線面平行，直接應用線面平行的判定定理即可，找出所需條件，圖中有則就地取材，沒有則選取中點，以作平行線的方式添加輔助線解決.

.變式遷移1如右圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為正方形，E為PC中點．求證：PA∥面EDB..證明：連結(jié)AC交BD于O，連結(jié)EO.∵ABCD為正方形，∴O為AC中點．∵E為PC中點，∴OE為△PAC的中位線，故EO∥PA.故EO?面EDB且PA?面EDB，故PA∥面EDB..【例2】如右圖，P為平行四邊形ABCD所在平面外一點，M、N分別為AB、PC的中點，平面PAD∩平面PBC＝l.(1)判斷BC與l的位置關系，并證明你的結(jié)論．(2)判斷MN與平面PAD的位置關系并證明你的結(jié)論．.解：(1)BC∥l.證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴BC∥AD.又BC?平面PAD，AD?平面PAD，∴BC∥平面PAD.又BC?平面PBC，平面PBC∩平面PAD＝l.∴BC∥l..(2)MN∥平面PAD.證明：取CD的中點E，連結(jié)ME、NE.∵M、N分別為AB、PC的中點，∴ME∥AD，NE∥PD.又ME?平面PAD，NE?平面PAD，∴ME∥平面PAD，NE∥平面PAD，又ME∩NE＝E，∴平面MNE∥平面PAD.而MN?平面MNE.∴MN∥平面PAD..從本題中我們可以看出，解關于線面平行問題的關鍵是：要在平面內(nèi)找一直線與已知直線平行，將問題轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的問題來解決.

.變式遷移2如下圖，三棱錐A－BCD被一平面所截，截面為平行四邊形EFGH，求證：CD∥平面EFGH..證明：∵四邊形EFGH為平行四邊形，∴EF∥GH.又GH?平面BCD，EF?平面BCD，∴EF∥平面BCD.而平面ACD∩平面BCD＝CD，EF?平面ACD，∴EF∥CD.而EF?平面EFGH，CD?平面EFGH，∴CD∥平面EFGH..【例3】如右圖所示，正三棱柱ABC—A1B1C1各棱長為4，E、F、G、H分別是AB、AC、A1C1、A1B1的中點，求證：平面A1EF∥平面BCGH..思路分析：本題證面面平行，可證明平面A1EF內(nèi)的兩條相交直線分別與平面BCGH平行，然后根據(jù)面面平行的判定定理即可證明．證明：△ABC中，E、F分別為AB、AC的中點，∴EF∥BC.又∵EF?平面BCGH，BC?平面BCGH，∴EF∥平面BCGH.又∵G、F分別為A1C1，AC的中點，∴A1G綊FC..∴四邊形A1FCG為平行四邊形．∴A1F∥GC.又∵A1F?平面BCGH，CG?平面BCGH，∴A1F∥平面BCGH.又∵A1F∩EF＝F，∴平面A1EF∥平面BCGH..變式遷移3正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別為A1A和C1C的中點，求證：面EB1D1∥面FDB.證明：如下圖，取D1D中點M，連結(jié)C1M、EM.由于EM綊B1C1，所以四邊形EB1C1M為平行四邊形∴EB1∥MC1，又MC1∥DF，∴EB1∥DF又DF?面DBF，EB1?面DBF，∴EB1∥面DBF.同理ED1∥面DBF.又EB1∩ED1＝E，∴面EB1D1∥面DBF..【例4】如下圖，已知平面α∥平面β∥平面γ，且β位于α與γ之間，點A、D∈α，C、F∈γ，AC∩β＝B，DF∩β＝E......已知兩平面平行，往往要考慮兩平行平面被第三個平面所截，得兩交線也平行，從而通過兩平行線去研究比值問題；求三角形面積的最值是抓住關鍵部分y＝x(1－x)進行解剖，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，從而使問題得以解決.

.變式遷移4平面α∥平面β，△ABC在平面β內(nèi)，AA′、BB′、CC′三線交于一點P，且P在平面α和平面β之間，若BC＝5cm，AC＝12cm，AB＝13cm，PA′∶PA＝3∶2，求△A′B′C′的面積．....1．解決有關平行問題時，應注意以下結(jié)論的應用(1)經(jīng)過平面外一點有且只有一個平面和已知平面平行．(2)兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的直線必平行于另一個平面．(3)已知平面外的兩條平行線中的一條平行于這個平面，則另一條也平行于這個平面．.(4)如果一條直線與兩個平行平面中的一個相交，那么它與另一個也相交．(5)一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，那么這條直線必垂直于另一個平面．(6)平行于同一個平面的兩個平面平行．(7)平行于同一條直線的兩條直線平行．.對線面平行、面面平行的認識一般按照“定義——判定定理——性質(zhì)定理——應用”的順序，其中定義中的條件和結(jié)論是相互充要的，它既可以作為判定