原來(lái)金庸的武俠世界有這么多數(shù)學(xué)故事

原來(lái)金庸的武俠世界有這么多數(shù)學(xué)故事|漲姿勢(shì)2022-09-20圖|一米“飛雪連天射白鹿，笑書神俠倚碧鴛〞金庸先生一生總共寫了15本武俠小說(shuō)，他是武俠小說(shuō)的一代宗師，對(duì)諸子百家、佛經(jīng)道藏、詩(shī)詞歌賦、醫(yī)卜星象等等都了然于胸，其作品也被認(rèn)為是中國(guó)文化的瑰寶。

除去這些，金庸小說(shuō)中亦包含了濃厚的數(shù)學(xué)文化，如?連城訣?中，將寶藏隱藏在一串?dāng)?shù)字里；“九陰真經(jīng)〞“獨(dú)孤九劍〞“六脈神劍〞這些絕世神功都含有數(shù)字9或者6；?射雕英雄傳?，瑛姑研究的算術(shù)題……

其實(shí)仔細(xì)研究，不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)和文學(xué)是相通的，而里面蘊(yùn)涵的信息之精妙。現(xiàn)在，我們以?射雕英雄傳?瑛姑算算術(shù)這一小說(shuō)情節(jié)為例，一起來(lái)探討下，古人是如何算算數(shù)的。?案例一：古人是如何開(kāi)平方的

在?射雕英雄傳?之中就有這么一段情節(jié)：

黃蓉坐了片刻，精神稍復(fù)，見(jiàn)地下那些竹片都是長(zhǎng)約四寸，闊約二分，知是計(jì)數(shù)用的算子。再看那些算子排成商、實(shí)、法、借算四行，暗點(diǎn)算子數(shù)目，知她正在計(jì)算五萬(wàn)五千二百二十五的平方根，這時(shí)“商〞位上已記算到二百三十，但見(jiàn)那老婦撥弄算子，正待算那第三位數(shù)字。黃蓉脫口道：“五！二百三十五！〞

那老婦吃了一驚，抬起頭來(lái)，一雙眸子精光閃閃，向黃蓉怒目而視，隨即又低頭撥弄算子。這一抬頭，郭、黃二人見(jiàn)她容色清麗，不過(guò)四十左右年紀(jì)，想是思慮過(guò)度，是以鬢邊早見(jiàn)華發(fā)。那女子搬弄了一會(huì)，果然算出是“五〞，抬頭又向黃蓉望了一眼，臉上驚訝的神色迅即消去，又見(jiàn)怒容，似乎是說(shuō)：“原來(lái)是個(gè)小姑娘。你不過(guò)湊巧猜中，何足為奇？別在這里打攪我的正事。〞順手將“二百三十五〞五字記在紙上，又計(jì)下一道算題。

這段故事當(dāng)中，郭靖與黃蓉被鐵掌派追殺，郭、黃二人無(wú)意中闖到瑛姑的小屋中，正巧撞見(jiàn)瑛姑正在算這樣一道開(kāi)平方的問(wèn)題。

那么小說(shuō)當(dāng)中，宋朝人用來(lái)計(jì)算平方根的方法是什么呢？我們今天就來(lái)介紹一下。增乘開(kāi)方法小說(shuō)中所提到的這種計(jì)算平方根的方法叫做增乘開(kāi)方法，是由我國(guó)古代數(shù)學(xué)家賈憲在十一世紀(jì)中葉所提出來(lái)的，其方法與意大利數(shù)學(xué)家魯裴尼〔〕和英國(guó)數(shù)學(xué)家霍納〔〕所提出來(lái)的高次方程數(shù)值解法相同，但比他們?cè)缌?50年。

那么增乘開(kāi)方法是如何來(lái)計(jì)算一個(gè)數(shù)的平方根的呢？

舉個(gè)例子我們就以小說(shuō)中瑛姑所計(jì)算的求55,225的平方根這個(gè)問(wèn)題為例〔為了便于理解我們就直接用阿拉伯?dāng)?shù)字來(lái)表示，就不用算籌啦。

首先我們把55,225放入實(shí)這一行。

1.由于55,225是一個(gè)五位數(shù)，因此我們估算商應(yīng)當(dāng)是一個(gè)三位數(shù)，并且由于萬(wàn)位上的數(shù)是5，所以估計(jì)商的百位數(shù)是2〔200的平方是40,000，而300的平方是90,000，所以商的百位數(shù)一定是2〕。

2.令借為1，法的值那么為借乘商〔1×2〕。

3.更新實(shí)，使之為原實(shí)減去商乘法〔5-2×2=1〕，那么新實(shí)為1。

4.更新法為商乘借加到舊法上〔2+2×1=4〕。

5.將法后移一位，借后移兩位。

然后我們?cè)俅沃貜?fù)1-5的循環(huán)；

1.估算商的十位為3〔3×4,000=12,000＜15,225〕。

2.更新法，為原法加十位商乘借〔4,000+3×100=4,300〕。

3.更新實(shí)，使之為原實(shí)減去商乘法〔15,225-4,300×3=2,325〕，那么新實(shí)為2325。

4.更新法為商乘借加到舊法上〔43+3×1=46〕。

5.將法后移一位，借后移兩位。

第二輪結(jié)束，第三輪開(kāi)始，再一次重復(fù)這五個(gè)步驟。

1.估算商的個(gè)位為5。

2.更新法，為原法加個(gè)位商乘借〔460+5×1=465〕。

3.更新實(shí)，使之為原實(shí)減去商乘法〔2325-465×5=0〕。

到這一步我們驚喜的發(fā)現(xiàn)，實(shí)的值為0了，也就是說(shuō)我們最后解出來(lái)了55,225的平方根為235。

我們可以再驗(yàn)證一下，計(jì)算235的平方。

發(fā)現(xiàn)235的平方果然是55,225，也就是說(shuō)我們的計(jì)算結(jié)果是正確的。增乘開(kāi)方法的步驟總結(jié)一下，增乘開(kāi)方法其實(shí)一共五個(gè)步驟：

估算商；用商乘借加到法上；實(shí)減去商乘法；再用商乘借加到法上；法后移一位，借后移兩位。然后只要不斷地循環(huán)上述步驟，直到實(shí)為0，此時(shí)的商就是我們所求的平方根的值啦。雖然步驟比擬抽象，但是對(duì)照著例子還是比擬容易理解的。?案例二：如何用增乘開(kāi)方法開(kāi)更高次方

案例一我們說(shuō)到，郭靖黃蓉二人誤打誤撞來(lái)到了瑛姑的小屋，看到她正在計(jì)算一道開(kāi)平方的問(wèn)題，我們繼續(xù)來(lái)看小說(shuō)后面的案例二：

這次是求三千四百零一萬(wàn)二千二百二十四的立方根，她剛將算子排為商、實(shí)、方法、廉法、隅、下法六行，算到一個(gè)“三〞，黃蓉輕輕道：“三百二十四。〞那女子“哼〞了一聲，哪里肯信？布算良久，約一盞茶時(shí)分，方始算出，果然是三百二十四。接下來(lái)瑛姑又計(jì)算了一道開(kāi)立方的問(wèn)題，那么如何來(lái)開(kāi)一個(gè)數(shù)的立方根呢？其實(shí)之前我們所講的增乘開(kāi)方法，不只能用來(lái)開(kāi)平方根，還能用來(lái)開(kāi)立方以及更高次方的根。我們接著介紹一下如何用增乘開(kāi)方法開(kāi)更高次的平方。

小說(shuō)中的bug

書中所寫故事的時(shí)代背景是寫到成吉思汗去世為止，成吉思汗死于公元1227年，而關(guān)于賈憲的增乘開(kāi)方法的提出時(shí)間，所能找到的最早的記載是楊輝的?詳解九章算法纂類?，該書寫于1261年。

也就是說(shuō)，瑛姑所用的開(kāi)平方的方法，如果按照時(shí)間關(guān)系上來(lái)看，所用的應(yīng)該是時(shí)間更早的?九章算術(shù)?中的開(kāi)平方的方法；但如果根據(jù)書中所寫的瑛姑把算籌擺成“商、實(shí)、法、借〞四行的話，就應(yīng)該用的是賈憲的增乘開(kāi)方法了。

而瑛姑所用的開(kāi)立方的方法，將算子擺為六行，又是?九章算術(shù)?的方法了，用增乘開(kāi)方法的話只需要擺成五行就夠了。

增乘開(kāi)方法是賈憲在?九章算術(shù)?中開(kāi)方的方法的根底上，對(duì)傳統(tǒng)方法進(jìn)行改良，并推廣到了開(kāi)更高次方的情況，因此，我們還是主要來(lái)介紹增乘開(kāi)方法。

先復(fù)個(gè)習(xí)

我們先來(lái)復(fù)習(xí)一下，之前所講的增乘開(kāi)方法的五個(gè)步驟：估算商；用商乘借加到法上；實(shí)減去商乘法；再用商乘借加到法上；法后移一位，借后移兩位。

只要不斷循環(huán)這五個(gè)步驟，直到實(shí)變?yōu)?，所得到的商就是我們的結(jié)果啦。

開(kāi)平方與開(kāi)立方的方法是類似的，我們介紹完開(kāi)立方的方法之后，再經(jīng)過(guò)類比，推廣出開(kāi)任意次方的方法。

舉個(gè)例子

接下來(lái)我們還是以小說(shuō)中的這道題為例來(lái)計(jì)算，為了便于理解，我把每一步計(jì)算所變化的數(shù)框了起來(lái)~

先將被開(kāi)方數(shù)放到實(shí)的位置上，并將1置于下法。將下法的1每次向前移動(dòng)兩格，共移動(dòng)了三次，說(shuō)明商應(yīng)當(dāng)是一個(gè)三位數(shù)。

接下來(lái)正式開(kāi)始計(jì)算啦~

1.估算商的值為3〔3的三次方為27，小于34〕。

2.用商乘下法置于廉〔3×1=3〕，再用商乘廉置于方〔3×3=9〕。

3.實(shí)減去商乘方〔34-3×9=7〕。4.商乘下法加到廉〔3×1+3=6〕，商乘廉加到方〔9+3×6=27〕。再用商乘下法加到廉〔3×1+6=9〕。

5.將方、廉、下法一次向后退1、2、3格。

然后我們就可以開(kāi)始下一個(gè)循環(huán)啦。

1.估計(jì)商的十位為2。

2.商乘下法加到廉，商乘廉加到方。3.實(shí)減去商乘方。4.商