新高考二輪復(fù)習(xí)真題源講義第24講 定值問題（解析版）

第24講定值問題參考答案與試題解析一．解答題（共19小題）1．已知中心為坐標原點，以坐標軸為對稱軸的雙曲線過點，且點在軸上的射影恰為該雙曲線的一個焦點（Ⅰ）求雙曲線的方程；（Ⅱ）命題：“過橢圓的一個焦點作與軸不垂直的任意直線”交橢圓于、兩點，線段的垂直平分線交軸于點，則為定值，且定值是”．命題中涉及了這么幾個要素：給定的圓錐曲線，過該圓錐曲線焦點的弦，的垂直平分線與焦點所在的對稱軸的交點，的長度與、兩點間距離的比值．試類比上述命題，寫出一個關(guān)于拋物線的類似的正確命題，并加以證明．（Ⅲ）試推廣（Ⅱ）中的命題，寫出關(guān)于圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）的統(tǒng)一的一般性命題（不必證明）．【解答】解：（Ⅰ）由題意可設(shè)雙曲線的方程為點，且點在軸上的射影恰為該雙曲線的一個焦點雙曲線的一個焦點為可得的另一個焦點為（1分）由（3分），又，所以（4分）雙曲線的方程為（Ⅱ）關(guān)于拋物線的類似命題為：過拋物線的焦點作與軸不垂直的任意直線交拋物線于點，兩點，線段的垂直平分線交軸于點，則為定值，定值是2（6分）證明如下：由于直線與軸不垂直，可設(shè)直線的方程為聯(lián)立方程可得由題意與有兩個交點，，則，△設(shè)，，，則，，線段的中點的坐標（8分）的垂直平分線的方程為令可得，即，（9分）（10分）（Ⅲ）過圓錐曲線的焦點作與焦點所在的對稱軸不垂直的任意直線交于，兩點，線段的垂直平分線交焦點所在的對稱軸于點，則為定值，定值是（其中是圓錐曲線的離心率）（13分）（法二）由題意可設(shè)雙曲線的方程為（1分）由已知可得（3分）解可得，雙曲線的方程為（4分）（Ⅱ），（Ⅲ）同法一2．已知中心在坐標原點，以坐標軸為對稱軸的橢圓過點，且點在軸的射影恰為該橢圓的一個焦點．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過橢圓的一個焦點作與軸不垂直的任意直線交橢圓于、兩點，線段的垂直平分線交軸于點，則是否為定值，若為定值，求出該定值，若不為定值，說明理由．【解答】解：中心在坐標原點，以坐標軸為對稱軸的橢圓過點，且點在軸的射影恰為該橢圓的一個焦點，設(shè)橢圓方程為，把代入，得：，整理，得，解得，或，橢圓的方程為（4分）“過橢圓的一個焦點作與軸不垂直的任意直線交橢圓于、兩點，線段的垂直平分線交軸于點，則為定值，且定值是4”（5分）證明如下：由于與軸不垂直，可設(shè)直線的方程為①當時，由．依題意與有兩個交點、，所以△．設(shè)，，，，則，，所以線段的中點的坐標為，（7分）的垂直平分線的方程為：．令，解得，即，所以．（9分）又，（10分）所以．（11分）②時，易得結(jié)論成立．綜上所述，結(jié)論成立．^（12分）3．已知橢圓，離心率分別為左、右焦點，橢圓上一點滿足，且△的面積為1．（1）求橢圓的標準方程；（2）過點作斜率為的直線交橢圓于，兩點．過點且平行于的直線交橢圓于點，，證明：為定值．【解答】（1）解：方法一：由離心率，得：，所以，橢圓上一點，滿足，所以點為圓：與橢圓的交點，聯(lián)立方程組解得，所以，解得：，，所以柯圓的標準方程為：．方法二：由橢圓定義；，，得到：，即，又，得，所以橢圓的標準方程為：．（2）證明：設(shè)直線的方程為：．得，，設(shè)過點且平行于的直線方程：，．4．已知橢圓的離心率為，上頂點到直線的距離為3．（1）求橢圓的方程；（2）過點作直線與橢圓相交于，兩點，且，求直線方程；（注意用兩種方法作答，每種方法4分）（3）設(shè)直線過點且與橢圓相交于，兩點，不經(jīng)過點，證明：直線的斜率與直線的斜率之和為定值．【解答】解：（1）橢圓的離心率為，上頂點到直線的距離為3，，解得，，橢圓的方程為：．（2）方法一（點差法），設(shè)，，，，，，為的中點，，兩式相減可得，即，，，直線方程為，即；方法二：易知直線的斜率存在，不妨設(shè)為，則直線的方程為，即，由，消可得，，設(shè)，，，，，，為的中點，，，解得，即直線為，即；（3）證明：易知直線斜率恒小于0，設(shè)直線的方程為，且，設(shè)，，，．由得，，，由（1）得，，，，，（定值）．5．已知橢圓，的離心率等于，點在橢圓上．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)橢圓的左右頂點分別為，，過點的動直線與橢圓相交于，兩點，是否存在定直線，使得與的交點總在直線上？若存在，求出一個滿足條件的值；若不存在，說明理由．【解答】解：（1）橢圓，的離心率等于，點在橢圓上．，解得，，．橢圓的方程為．（2）當軸時，，，直線、的方程分別為，．分別化為：，．聯(lián)立解得．猜測常數(shù)．即存在定直線，使得與的交點總在直線上．證明：當直線的斜率存在時，設(shè)的方程為：，，，，，．聯(lián)立，化為．，．，，，三點，，共線．，由于，，，要證明三點，，共線．即證明．即證明，而，成立．存在定直線，使得與的交點總在直線上．綜上可知：存在定直線，使得與的交點總在直線上．6．在平面直角坐標系中，橢圓的離心率為，上頂點在直線上．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過原點的直線與橢圓交于，兩點，不是橢圓的頂點）．點在橢圓上，且，直線與軸、軸分別交于，兩點．設(shè)直線，的斜率分別為，，問是否存在實數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；求面積的最大值．【解答】解：上頂點在直線上，，由得，即，橢圓的方程為；存在實數(shù)，使得．設(shè)，，，，則，直線的斜率，，直線的斜率，設(shè)直線的方程為，由題意知，，由得，，由題意知，，直線的方程為，令，得，即，，即，存在常數(shù)使得結(jié)論成立．直線的方程，令，得，即，由知，，的面積為由于，當且僅當時等號成立，此時取得最大值，面積的最大值為．7．已知橢圓的離心率為，為橢圓的右焦點，是右準線與軸的交點，且．（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓上頂點的直線交橢圓另一點，交軸于點，若，求直線的方程；（3）設(shè)點，過點且斜率不為零的直線與橢圓交于，兩點，直線與直線交于點，試問是否為定值？若是，求出這個定值，若不是，請說明理由．【解答】解：（1）由題意可知，，由，解得，，所以，所以橢圓的方程：；（2）由（1）知，設(shè)，，由，，，得，所以，代入橢圓方程得，解得．所以，，因此的方程為：；（3）設(shè)直線的方程，，，，，聯(lián)立方程組，消去，整理得：，則，，，所以，直線的方程為，又，令，則，所以點的坐標為，即，所以．因此為定值，定值為0．8．已知橢圓的右焦點為，過作與坐標軸不垂直的直線，交橢圓于、兩點，線段的中垂線交軸于點．（1）若，求點坐標；（2）問：是否為定值．【解答】解：（1）橢圓的右焦點為，過作與坐標軸不垂直的直線，交橢圓于、兩點，，設(shè)，由橢圓的第二定義得：，解得，，在橢圓上，，解得，，或，．（2）設(shè)直線的方程為，不妨取，，把，代入直線，得，直線的方程為，聯(lián)立，得，解得，，，，，的中點，，直線的方程為，令，得，，，，故為定值．9．已知橢圓的離心率為，、是橢圓的左、右焦點，為橢圓上的一個動點，且△面積的最大值為．（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓的右焦點作與軸不垂直的直線交橢圓于，兩點，第一象限點在橢圓上且滿足軸，連接，，記直線，，的斜率分別為，，，探索是否為定值，若是求出；若不是說明理由．【解答】解：（1）橢圓的離心率為，△面積的最大值為，，解得，，故橢圓的方程為．（2）設(shè)，，，，軸，．設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，化簡整理可得，，由韋達定理可得，，，，，故為定值，定值為．10．已知橢圓的離心率為，過橢圓的左焦點且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于，兩點，且橢圓截直線所得弦長為．（1）求橢圓的方程；（2）線段的垂直平分線與軸交于點，求點橫坐標的取值范圍；（3）試問在軸上是否存在一點，使得恒為定值？若存在，求出點的坐標及該定值；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）由題意橢圓過點，且橢圓的離心率為，則滿足方程組，解得，，所以橢圓方程為，（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，消去整理得，△，設(shè)點，，，，，，的中點，，則，所以，的垂直平分線的方程為，令得，因為，所以，所以點的橫坐標的取值范圍為．（3）假設(shè)存在，設(shè)，．結(jié)合第（2）問知：，所以所以設(shè)則對任意恒成立，所以，解得，，所以存在點，使得為定值．11．在平面直角坐標系中，橢圓．（1）若橢圓的焦點在軸上，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，①是橢圓上的動點，點的坐標為，求的最小值及對應(yīng)的點的坐標；②過橢圓的右焦點作與坐標軸不垂直的直線，交橢圓于，兩點，線段的垂直平分線交軸于點，證明：是定值，并求出這個定值．【解答】解：（1）由題意得，，解得，所以實數(shù)的取值范圍是；（2）因為，所以橢圓的方程為，①設(shè)點坐標為，則，因為點的坐標為，所以，，所以當時，的最小值為，此時對應(yīng)的點坐標為；②由，，得，即，從而橢圓的右焦點的坐標為，右準線方程為，離心率，設(shè)，，，，的中點，，則，，兩式相減得，，即，令，則線段的垂直平分線的方程為，令，則，因為，所以，因為．故，即為定值．12．已知左焦點為的橢圓過點，過右焦點分別作斜率為，的橢圓的動弦，．設(shè)點，分別為線段，的中點．（1）求橢圓的標準方程；（2）求三角形面積的最大值；（3）若，①求證：直線經(jīng)過定點，并求出定點的坐標．②求證：點到直線，的距離的平方和為定值．【解答】（1）解：由題意，且右焦點，，．所求橢圓方程為：；（2）解：設(shè)，，，，設(shè)方程為．由，得．，．三角形面積，當且僅當時，取等號；（3）①證明：由題意，，令直線的斜率為，則的斜率為，設(shè)，，直線的方程為，代入橢圓方程并化簡得．，．；同理可得，．直線的斜率，直線的方程為，即，此時直線過定點；②證明：直線的方程為，即，直線的方程為，即．則點到距離的平方，到距離的平方．點到直線，的距離的平方和為，為定值．13．已知橢圓中，以為中點的弦所在直線的方程是．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點為橢圓長軸上的一個動點，過點作斜率為的直線交橢圓于，兩點，證明：為定值．【解答】解：（1）設(shè)，，，，則，兩式相減得，，所以，即．又所在直線的方程是，所以，，，所以，．故橢圓的方程是．（2）設(shè)直線交橢圓于，，，，由，消去得，．因此，．于是．故為定值，且為15．14．如圖，已知拋物線的焦點到直線的距離為．是過拋物線焦點的動弦，是坐標原點，過，兩點分別作此拋物線的切線，兩切線相交于點．（1）求證：．（2）若動弦不經(jīng)過點，直線與準線相交于點，記，，的斜率分別為，，．問：是否存在常數(shù)，使得在弦運動時恒成立？若存在，求的值；若不存在，說明理由．【解答】解：（1）證明：，由到直線的距離為，即，故拋物線方程為，，依題意，設(shè)直線方程為，聯(lián)立得：，設(shè)，，，，，，，，；（2）將代入得，，，，，若有成立，則有解得，故存在，使成立．15．已知，分別為橢圓的左、右焦點，焦距為2，過作斜率存在且不為零的直線交于，兩點，且△的周長為8．（1）求橢圓的方程；（2）已知弦的垂直平分線交軸于點，求證：為定值．【解答】解：（1）因為橢圓的焦距為2，所以，解得，由橢圓的定義可得△的周長為，又因為△的周長為8，所以，解得，所以，所以橢圓的方程為．（2）證明：設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，設(shè)，，，，所以，，設(shè)的中點為，，所以，，當時，線段的垂直平分線的方程為，令，得，所以，，所以，當時，直線的方程為，此時，，所以，綜上，．16．已知圓的圓心坐標為，且該圓經(jīng)過點．（1）求圓的標準方程；（2）若點也在圓上，且弦長為8，求直線的方程；（3）直線交圓于，兩點，若直線，的斜率之積為2，求證：直線過一個定點，并求出該定點坐標．（4）直線交圓于，兩點，若直線，的斜率之和為0，求證：直線的斜率是定值，并求出該定值．【解答】解：（1）設(shè)圓的標準為，把代入得，故圓的標準方程為．（2）①不存在時，根據(jù)題意，直線的方程為：；②存在時，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立方程，則，所以，根據(jù)弦長為8，可得，所以，所以直線的方程為，綜上所述，直線的方程為或；（3）當不存在時，設(shè)，，直線，的斜率之積為2，，，即，點在圓上，，聯(lián)立，無解，舍去，當直線存在時，設(shè)直線，，，，，①聯(lián)立方程，所以，代入①得，化簡得，所以直線的方程為：，所以過定點．（4）設(shè)直線，聯(lián)立方程，所以點的坐標為，同理點的坐標為．所以，故直線的斜率是定值，且為．17．已知圓的方程為，直線，設(shè)點，．（1）若點為，試判斷直線與圓的位置關(guān)系；（2）若點在圓上，且，，過點作直線，分別交圓于，兩點，且直線和的斜率互為相反數(shù)．①若直線過點，求直線的斜率；②試問：不論直線的斜率怎樣變化，直線的斜率是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．【解答】解：（1）當點的坐標為時，直線的方程為，圓心到直線的距離，直線與圓相交．（5分）（2）①由點在圓上，且，，得，即．由題意，是圓的直徑，所以點的坐標為，且．又直線和的斜率互為相反數(shù)，所以（7分）直線的方程為，由得：，解得：或，所以直線的斜率為．（10分）②記直線的斜率為，則直線的方程為：．將代入圓的方程得：，化簡得：，是方程的一個根，，，由題意知：，同理可得，，（13分），，不論直線的斜率怎樣變化，直線的斜率總為定值．（16分）18．已知橢圓的左、右焦點分別是，，直線與橢圓交于點，兩點，當，是橢圓的頂點，且△的周長為6．（1）求橢圓的方程；（2）若，，在直線上的射影分別為，，，連接，當變化時，證明直線與相交于一定點，并求出該定點的坐標；（3）設(shè)橢圓的左頂點為，直線，與直線分別相交于點，，試問：當變化時，以線段為直徑的圓被軸截得的弦長是否為定值？若是，求出這個定值，若不是，請說明理由．【解答】（1）解：當時，直線的傾斜角為，由題意得，解得，，，橢圓的方程為；（2）由（1）知，，直線的方程為，設(shè)，，，，由，可得．．當直線與軸垂直時，可得與的交點為的中點，當直線與軸不垂直時，下面證明過定點，由題意可知，，，．，即過定點，同理可證也過定點，直線與相交于一定點，該定點的坐標為；（3）由題意可得直線的方程為，令，得點坐標為，同理可得，設(shè)為以為直徑的圓上任意一點，則，以為直徑的圓的方程為．令，則．即，即，即