第六章二次型與二次曲面新

§6.1

二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形

§6.2正定二次型

§6.3曲面及其方程

§6.4二次曲面第六章二次型與二次曲面§6.1

二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形解例解例2.化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形只含有平方項(xiàng)的二次型稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形。一、正交變換法解：1．寫出對(duì)應(yīng)的二次型矩陣，并求其特征值例從而得特征值：2．求特征向量3．將特征向量正交化得正交向量組4．將正交向量組單位化，得正交矩陣于是所求正交變換為化為標(biāo)準(zhǔn)型，并指出表示何種二次曲面.例：求一正交變換，將二次型二、配方法用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，其特點(diǎn)是保持幾何形狀不變．

問題有沒有其它方法，也可以把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形？問題的回答是肯定的。下面介紹一種行之有效的方法——配方法．例含有平方項(xiàng)所用變換矩陣為解例由于所給二次型中無平方項(xiàng)，所以再配方，得所用變換矩陣為若P,Q可逆，則r(A)=r(PAQ)§6.2正定二次型§6.3曲面及其方程求到兩定點(diǎn)A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距離化簡得即引例解

設(shè)軌跡上的動(dòng)點(diǎn)為的點(diǎn)的軌跡方程.

說明:

動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段

AB的垂直平分面.顯然在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程,

不在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程.軌跡方程如果曲面S與方程F(x,y,z)=0有下述關(guān)系:(1)曲面S上的任意點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程;則F(x,y,z)=0叫做曲面

S

的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的圖形.(2)不在曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程,F(x,y,z)=0

Sxyzo曲面研究的兩個(gè)基本問題:(1)已知一曲面作為點(diǎn)的幾何軌跡時(shí),求曲面方程.(2)已知方程時(shí),研究它所表示的幾何形狀P0PP0P一般地如下形式的三元二次方程(a≠0)都可通過配方研究它的圖形.其圖形可能是一個(gè)球面,或點(diǎn),或虛軌跡.母線l準(zhǔn)線C例.分析方程:表示怎樣的曲面.的坐標(biāo)也滿足方程解:在xoy

面上，表示圓C,沿曲線C平行于z軸的一切直線所形成的曲面故在空間過此點(diǎn)作平行z軸的直線l,稱為圓柱面.對(duì)任意z,表示圓柱面.在圓C上任取一點(diǎn)其上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程,69表示母線平行于z

軸的橢圓柱面.表示母線平行于z軸的平面.(且z軸在平面上)一般地,在三維空間二元方程表示柱面.方程母線準(zhǔn)線平行于z

軸在xoy

面平行于x軸在yoz

面在xoz

面平行于y軸圖形例如:建立yoz面上曲線C繞z軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的方程:給定yoz面上曲線C:在曲面上任取一點(diǎn)當(dāng)繞z軸旋轉(zhuǎn)時(shí),該點(diǎn)轉(zhuǎn)到故旋轉(zhuǎn)曲面方程為則有此時(shí)有思考：當(dāng)曲線C繞y軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，方程如何？規(guī)律：當(dāng)坐標(biāo)平面上的曲線C繞此坐標(biāo)平面的一個(gè)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，要求該旋轉(zhuǎn)曲面的方程，只要將曲線C在坐標(biāo)面里的方程保留和旋轉(zhuǎn)軸同名的坐標(biāo)變量，而以其它兩個(gè)坐標(biāo)變量平方和的平方根來代替方程中的另一坐標(biāo)變量。給定yoz面上曲線C:當(dāng)z軸是旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，

旋轉(zhuǎn)曲面方程為當(dāng)y軸是旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，

旋轉(zhuǎn)曲面方程為例3.3

試建立頂點(diǎn)在原點(diǎn),旋轉(zhuǎn)軸為z

軸,半頂角為的圓錐面方程.解

在yoz面上直線L的方程為繞z軸旋轉(zhuǎn)時(shí),圓錐面的方程為兩邊平方例.求坐標(biāo)面xoz

上的雙曲線分別繞x軸和z軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程.繞

x

軸旋轉(zhuǎn)所成曲面方程為繞z軸旋轉(zhuǎn)所成曲面方程為這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面.解:一、空間曲線的一般方程例求在xOy坐標(biāo)面上，半徑為R，圓心為原點(diǎn)的圓的方程。解：例寫出Oz軸的方程。解：Oz軸可看成兩個(gè)平面的交線，如或可見，空間曲線的一般方程的表示不是唯一的。二、空間曲線的參數(shù)方程將曲線C上動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)x,y,z都表示成一個(gè)參數(shù)t的函數(shù).x=x(t)y=y(t)(1)z=z(t)當(dāng)給定t=t1時(shí),就得到C上一個(gè)點(diǎn)(x,y,z),隨著t的變動(dòng)便可得曲線C上的全部點(diǎn).方程組(1)叫做空間曲線的參數(shù)方程.三、空間曲線在坐標(biāo)面上投影以曲線C為準(zhǔn)線,母線平行于z軸(即垂直xOy面)的柱面叫做曲線C關(guān)于xOy面的投影柱面,投影柱面與xOy面的交線叫做空間曲線在xOy面上的投影曲線,或簡稱投影.設(shè)空間曲線C的一般方程F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0(2)由方程組(2)消去z后得方程H(x,y)=0(3)方程(3)表示一個(gè)母線平行于z軸的柱面,曲線C一定在曲面上.所以(3)就是曲線C關(guān)于xOy面的投影柱面的方程,它與xOy面的交線就是曲線C在xOy面的投影曲線,方程為:H(x,y)=0z=0注:同理可得曲線在yOz面或xOz面上的投影曲線方程.例:已知兩個(gè)球面的方程分別為:x2+y2+z2=1和x2+(y1)2+(z1)2=1求它們的交線C在xOy面上的投影曲線的方程.解:聯(lián)立兩個(gè)方程消去z,得這是母線平行于z軸的橢圓柱面,兩球面的交線C在xOy面上的投影曲線方程為例:設(shè)一條曲線由上半球面 和錐面的交線,求它在xoy面上的投影.解:半球面與錐面的交線為由方程消去z,得x2+y2=1yxzOx2+y21這是一個(gè)母線平行于z軸的圓柱面.于是交線C

在xoy面上的投影曲線為x2+y2=1z=0這是xoy面上的一個(gè)圓.§6.4二次曲面二次曲面的定義：三元二次方程相應(yīng)地，平面被稱為一次曲面．

討論二次曲面形狀的平面截痕法：

用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌．以下用截痕法討論幾種特殊的二次曲面．所表示的曲面稱之為二次曲面．a(chǎn)x2+by2+cz2+dxy+exz+

fyz+gx+hy+iz+j=0基本類型有:橢球面、錐面、拋物面、雙曲面例方程的圖形是怎樣的？根據(jù)題意有圖形上不封頂，下封底．解zoxyO2用平面z=k去截割(要求|k|c),得橢圓當(dāng)|k|c

時(shí),|k|越大,橢圓越小;當(dāng)|k|=c時(shí),橢圓退縮成點(diǎn).一.橢球面1用xOy平面z=0去截割,得橢圓3類似地,依次用平面x=0,平面y=0截割,分別得橢圓:特別:當(dāng)a=b=c時(shí),方程

x2+y2+z2=a2

,表示球心在原點(diǎn)O,半徑為a的球面.二、二次錐面1用yOz平面x=0去截割,其交線：同理，曲面在xOz面上截痕也是兩條直線。2用平行于xOy平面z=h去截割,其交線：三、單葉雙曲面和雙葉雙曲面1用yOz平面x=0去截割,其交線：是yOz平面上的雙曲線。同理，曲面在xOz面上截痕也是雙曲線。2用平行于xOy面的平面z=h去

截割,其交線：是平面z=h上的橢圓曲線。1用yOz平面x=0去截割,其交線：是yOz平面上的雙曲線。同理，曲面在xOz面上截痕也是雙曲線。2用平行于xOy面的平面z=h去

截割,其交線：當(dāng)|h|>c時(shí)，是平面z=h上的橢圓曲線。隨著|h|的增大，平面z=h上的橢圓曲線也增大。四、橢圓拋物面和雙曲拋物面1用yOz平面x=0去截割,其交線：是yOz平面上的拋物線。2用xOz平面y=0去截割,其交線：是yOz平面上的拋物線。3用平行于xOy面的平面z=h去

截割,其交線：隨著h的增大，平面z=h上的橢圓曲線也增大。雙曲拋物面：1用平行于xOy面的平面z=h去截割,其交線：雙曲拋物面：2用平行于xOz面的平面y=h去截割,其交線：雙曲拋物面：3用平行于yOz面的平面x=h去截割,其交線：五、二次方程的簡化習(xí)題第一章2,4,6,7,8,10,11,12,14,18,20第二章1(3)~(6),3,4,6,9,12,13,20,14,15(2)(4)(6),15(1)(3)(5),16,21,22,23第三章1,3,4,8,9,10,11,12