線性代數(shù)全冊配套完整課件5

線性代數(shù)全冊配套完整課件52一、二階行列式的引入用消元法解二元(一次)線性方程組:§1.1二階與三階行列式(1)(2)(1)a22:a11a22x1+a12a22x2=b1a22,(2)a12:a12a21x1+a12a22x2=b2a12,兩式相減消去x2,得(a11a22–a12a21)x1=b1a22–b2a12;3當(dāng)(a11a22–a12a21)0時,方程組的解為:由方程組(1)的四個系數(shù)確定

定義:

由4(22)個數(shù)排成二行二列(橫排稱行,豎排稱列)的數(shù)表a11a12a21a22(3)(4)則表達式a11a22–a12a21稱為由數(shù)表(4)所確定的二階行列式,并記作(5)類似地,消去x1,得(a11a22–a12a21)x2=b2a11–b1a21;4=

a11a22–a12a21即主對角線副對角線二階行列式的計算——對角線法則=

a11a22–a12a21對于二元線性方程組D稱為線性方程組(1)的系數(shù)行列式.若記(1)5注意:

分母都為原方程組的系數(shù)行列式.則該二元線性方程組的解(3)式(3)表示為:6例1:

解二元線性方程組解:=3–(–4)=70,7(7)式稱為由數(shù)表(6)所確定的三階行列式.二、三階行列式定義:

設(shè)由9(33)個數(shù)排成3行3列的數(shù)表(7)(6)記

列標(biāo)

行標(biāo)8對角線法則三階行列式的計算9

說明2.三階行列式包括3!項,每一項都是位于不同行,不同列的三個元素的乘積,其中三項為正,三項為負(fù).

注意:

紅線上三元素的乘積冠以正號,藍線上三元素的乘積冠以負(fù)號．說明1.

對角線法則只適用于二階與三階行列式．例2:

計算三階行列式解:

按對角線法則,有D=12(–2)+21(–3)+(–4)(–2)4–(–4)2(–3)–2(–2)(–2)–114=–4–6+32–24–8–4=–1410例3:

求解方程解:

方程左端為一個三階行列式,其值為:D=3x2+4x+18–12–2x2–9x

=x2–5x+6

由D=x2–5x+6=0解得:x=2或x=3.11

二階和三階行列式是由解二元和三元線性方程組引入的,是線性代數(shù)中最基本的計算問題之一.對角線法則二階與三階行列式的計算三、小結(jié)12§1.2全排列及其逆序數(shù)

引例:

用1,2,3三個數(shù)字,可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？這是一個大家熟知的問題,答案是:3!=6.

將此問題推廣:把n個不同的元素按先后次序排成一列,共有多少種不同的排法.

定義:

把n個不同的元素排成一列,叫做這n個元素的全排列(或排列).n個不同的元素的所有排列的種數(shù),通常用Pn

表示,稱為排列數(shù).

Pn=n

(n–1)(n–2)···21=n!一、全排列13二、排列的逆序數(shù)

定義:

在一個排列i1

i2···

is

···it

···in

中,若數(shù)is>it,則稱這兩個數(shù)組成一個逆序.例如:

排列32514中,

我們規(guī)定各元素之間有一個標(biāo)準(zhǔn)次序.以n個不同的自然數(shù)為例,規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序.32514逆序逆序逆序

定義:

一個排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù).1432514逆序數(shù)為31故此排列的逆序數(shù)為:3+1+0+1+0

=

0+1+0+3+1

=

5.例如:

排列32514中,計算排列逆序數(shù)的方法:逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列;逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列.15

方法:依次計算出排列中每個元素前面比它大的數(shù)碼個數(shù)并求和,即算出排列中每個元素的逆序數(shù),則所有元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù).例1:

求排列32514的逆序數(shù).解:在排列32514中,3排在首位,則3的逆序為0;2的前面比2大的數(shù)只有一個3,故2的逆序為1;32514沒有比5大的數(shù),故其逆序為0;個,故其逆序為3;4的前面比4大的數(shù)有1個,故逆序為1.5的前面1的前面比1大的數(shù)有3即于是排列32514的逆序數(shù)為t=0+1+0+3+1=5.16解:此排列為偶排列.例2:

計算下列排列的逆序數(shù),并討論其奇偶性.(1)217986354.217986354010013445于是排列217986354的逆序數(shù)為:t=0+1+0+0+1+3+4+4+5=18.(2)n(n–1)(n–2)···21解:n(n–1)(n–2)···21012(n–1)(n–2)t=0+1+2+···+(n–2)+(n–1)于是排列n(n–1)(n–2)···21的逆序數(shù)為:17

此排列當(dāng)n=4k,4k+1時為偶排列;當(dāng)n=4k+2,4k+3時為奇排列.(3)(2k)1(2k–1)2(2k–2)3(2k–3)···(k–1)(k+1)k.(2k)1(2k–1)2(2k–2)3(2k–3)···(k–1)(k+1)k解:0121233(k–1)(k–1)kt=0+1+1+2+2+···+(k–1)+(k–1)+k于是排列(2k)1(2k–1)2(2k–2)···(k–1)(k+1)k的逆序數(shù)為:

此排列當(dāng)k為偶數(shù)時為偶排列,當(dāng)k為奇數(shù)時為奇排列.181.n個不同的元素的所有排列種數(shù)為n!個;2.排列具有奇偶性;3.計算排列逆序數(shù)常用的方法有兩種.三、小結(jié)19§1.3n階行列式的定義一、概念的引入三階行列式說明(1)三階行列式共有6項,即3!項.

說明(2)每項都是位于不同行不同列的三個元素的乘積.

說明(3)每項的正負(fù)號都取決于位于不同行不同列的三個元素的列下標(biāo)排列的逆序數(shù).20

例如a13a21a32,將行下標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)排列,列下標(biāo)排列312的逆序數(shù)為t(312)=1+1=2,偶排列.a13a21a32的前面取+號.

例如a11a23a32,將行下標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)排列,列下標(biāo)排列132的逆序數(shù)為t(132)=0+1=1,奇排列.a11a23a32的前面取–號.其中Σ是對列下標(biāo)的所有排列求和(3!項),t是列下標(biāo)排列p1p2p3的逆序數(shù).21二、n階行列式的定義定義:

設(shè)由n2個數(shù)排成一個n行n列的數(shù)表作出表中位于不同行不同列的n個數(shù)的乘積,并冠以符號(–1)t,得到形如

其中p1p2···

pn

為自然數(shù)1,2,···,n的一個排列,t為排列p1p2···

pn的逆序數(shù).的項,所有這n!項的代數(shù)和稱為(由上述數(shù)表構(gòu)成的)n階行列式.22記作簡記作det(aij).數(shù)aij稱為行列式det(aij)(第i行第j列)的元素.即

說明1.

行列式是一種特定的算式,它是根據(jù)求解方程個數(shù)和未知量個數(shù)相同的線性方程組的需要而定義的;

說明2.n階行列式是n!項的代數(shù)和;

說明3.n階行列式的每項都是位于不同行,不同列n個元素的乘積,的符號為(–1)t;23

說明4.一階行列式的符號|a|=a,不要與絕對值符號相混淆,一般不使用此符號.例1:

計算對角行列式解:

分析.展開式中項的一般形式是從而這個項為零,同理可得:p2=3,p3=2,p4=1.所以只能p1=4;若p14,則即行列式中非零的項為:(–1)t(4321)

a14a23a32a41即24例2:

計算上三角行列式解:分析展開式中項的一般形式是所以非零的項只可能是:a11a22···

ann

.從最后一行開始討論非零項.顯然pn=n,pn–1=n–1,pn–2=n–2,···,p2=2,p1=1,即25顯然=1458同理可得下三角行列式對角行列式2627

行列式是一種根據(jù)特殊需要而定義的特定算式.n階行列式共有n!項,每項都是位于不同行,不同列的n

個元素的乘積,正負(fù)號由下標(biāo)排列的逆序數(shù)決定.三、小結(jié)28一、對換的定義§1.4對換

定義:

在排列中,將任意兩個元素對調(diào),其余元素不動,這種作出新排列的手續(xù)叫做對換．將相鄰兩個元素對調(diào),叫做相鄰對換.a1a2···ala

b

b1···

bma1a2···alb

a

b1···

bma1

a2···ala

b1···

bmb

c1···cna1

a2···alb

b1···

bm

ac1···cn二、對換與排列奇偶性的關(guān)系

定理1:

一個排列中的任意兩個元素對換,排列改變奇偶性.例如29對換a與b即除a,b外,其它元素的逆序數(shù)不改變.證明:先考慮相鄰對換的情形.a1a2···ala

b

b1···

bma1a2···alb

a

b1···

bm例如因此,相鄰對換排列改變奇偶性.當(dāng)

a<b時,對換后a

的逆序數(shù)增加1,b的逆序數(shù)不變;當(dāng)

a>b時,對換后a

的逆序數(shù)不變,b的逆序數(shù)減少1;a1a2···alab1···bmbc1···cna1a2···albb1···bmac1···cn對一般對換的情形,例如對換a與b經(jīng)過m次相鄰對換,排列a1a2···alab1···bmbc1···cn對換為a1a2···alabb1···bmc1···cn,再經(jīng)過m+1次相鄰對換,對換為a1a2···albb1···bmac1···cn,共經(jīng)過了2m+1次相鄰對換.30

所以,由相鄰對換的結(jié)果知:一個排列中的任意兩個元素對換,排列改變奇偶性.

推論:奇排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為奇數(shù),偶排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為偶數(shù).證明:由定理1知,對換的次數(shù)就是排列奇偶性的變化次數(shù),而標(biāo)準(zhǔn)排列是偶排列(逆序數(shù)為0),論成立.因此,推下面討論行列式的另一種定義形式.對于行列式的任一項其中12···i···j···n為自然排列,其逆序數(shù)0,t為列下標(biāo)排列p1p2···pi···pj···pn的逆序數(shù),對換元素31

一般地,經(jīng)過若干次對換行列式的任一項乘積元素的位置后得到的符號仍為(–1)t.

此時,行標(biāo)排列12···j··i···n的逆序為奇數(shù),而列標(biāo)排列p1p2···pj···pi···pn的逆序也改變了一次奇偶性.換后行標(biāo)排列逆序與列標(biāo)排列逆序之和的奇偶性不變,即t(1···j··i···n)+t(p1···pj···pi···pn)與t(p1···pi···pj···pn)具有相同的奇偶性.因此,對因此,總可以經(jīng)過若干次對換行列式的任一項,得故其中s為行下標(biāo)排列q1q2···

qn的逆序數(shù).32定理2:

n

階行列式也可定義為其中s為行標(biāo)排列q1q2···qn的逆序數(shù),并按行標(biāo)排列求和.定理3:

n階行列式也可定義為其中t為行標(biāo)排列p1p2···pn與列標(biāo)排列q1q2···qn的逆序數(shù)之和.并按行標(biāo)排列(或列標(biāo)排列)求和.因此,我們可以得到行列式的另一種定義形式:根據(jù)以上討論,還可以如下定義

例1:

試判斷a14a23a31a42a56a65

和–a32a43a14a51a25a66是否六階行列式中的項.

解:

a14a23a31a42a56a65的行標(biāo)為順序排列,列標(biāo)排列的逆序數(shù)為:33

解:

將a23a31a42a56a14a65的行下標(biāo)按標(biāo)準(zhǔn)次序排列,則其列下標(biāo)排列的逆序數(shù)為:t(431265)=0+1+2+2+0+1=6(偶數(shù))所以a23a31a42a56a14a65的前邊應(yīng)帶正號.t(431265)=0+1+2+2+0+1=6(偶數(shù))所以a14a23a31a42a56a65是六階行列式中的項.

將–a32a43a14a51a25a66的行下標(biāo)按標(biāo)準(zhǔn)次序排列,則其列下標(biāo)排列的逆序數(shù)為:t(452316)=0+0+2+2+4+0=8(偶數(shù))所以–a32a43a14a51a25a66不是六階行列式中的項.例2:

在六階行列式中,下列兩項各應(yīng)帶什么符號.(1)a23a31a42a56a14a65;(2)a32a43a14a51a66a25.34

項a32a43a14a51a66a25的行下標(biāo)與列下標(biāo)的逆序數(shù)之和為

t(341562)+t(234165)

例3:

用行列式的定義計算

解:由于行列式Dn每行每列中僅有一個非零元素,所以Dn=(–1)ta1n-1a2n-2···an-11ann=(0+0+2+0+0+4)+(0+0+0+3+0+1)=6+4=10(偶數(shù))所以a32a43a14a51a66a25的前邊應(yīng)帶正號.35Dn=(–1)t1·2···(n–1)·n=(–1)t

n!即而t=t[(n–1)(n–2)···21n]=0+1+2+···+(n–3)+(n–2)+0=(n–1)(n–2)/2所以三、小結(jié)1.對換排列中的任意兩個元素,排列改變奇偶性.2.行列式的三種定義方法:其中r為行標(biāo)排列p1p2···pn與列標(biāo)排列q1q2···qn的逆序數(shù)之和.并按行標(biāo)排列(或列標(biāo)排列)求和.36§1.5行列式的性質(zhì)一、行列式的性質(zhì)行列式DT稱為行列式D的轉(zhuǎn)置行列式.記證明:

記行列式D=det(aij)的轉(zhuǎn)置行列式為:性質(zhì)1:

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等,即DT=D.37按定義即bij=aji(i,j=1,2,···,n),又由行列式的另一種表示得,所以,DT=D,結(jié)論成立

說明:行列式中行與列具有同等的地位,因此行列式的性質(zhì)凡是對行成立的結(jié)論,對列也同樣成立.性質(zhì)2:

互換行列式的兩行(列),行列式變號.38證明:設(shè)行列式是由行列式互換i,j(i<j)兩列得到.即,當(dāng)ki,j時,bpk=apk;當(dāng)k=i,j時,bpi=apj,bpj=api;P=1,2,…,n39于是其中t為排列p1···pi···pj···pn的逆序數(shù),設(shè)s為排列p1···pj···pi···pn的逆序數(shù).顯然t與s的奇偶性不同,即(–1)t=–(–1)s,所以,例如40

推論:

如果行列式有兩行(列)完全相同,則此行列式為零.證明:

互換相同的兩行,則有D=–D,所以D=0.

性質(zhì)3:

行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一數(shù)k,等于用數(shù)k乘此行列式.即

推論:行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面.

性質(zhì)4:

行列式中如果有兩行(列)元素成比例,則此行列式為零．41證明:

性質(zhì)5:

若行列式的某一列(行)的元素都是兩數(shù)之和,例如42則D等于下列兩個行列式之和:證明:故結(jié)論成立.性質(zhì)5的推廣:

若行列式的某一列(行)的元素都是n個數(shù)之和,則D等于下列n個行列式之和.4344

性質(zhì)6:把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列(行)對應(yīng)的元素上去,行列式不變.45例如

引入記號:

用ri表示第i行,ci表示第i列.

在計算行列式時,我們經(jīng)常利用性質(zhì)2,3,6對行列式進行變換.

利用性質(zhì)2交換行列式的第i,j

兩行(列),記作rirj(cicj);46

利用性質(zhì)6把行列式的第j行(列)的各元素乘以同一數(shù)k然后加到第i

行(列)對應(yīng)的元素上去,記作ri+rjk(ci+cjk);利用性質(zhì)3行列式的第i

行(列)乘以數(shù)k,記作rik(cik);二、行列式計算

計算行列式常用方法:利用性質(zhì)2,3,6,特別是性質(zhì)6把行列式化為上(下)三角形行列式,從而,較容易的計算行列式的值．47例1:

計算5階行列式解:Dr2+3r1r3–2r148r4–3r1r5–4r1r2

r349r4+r2r4+r3r5+2r350r5+2r4解:將第2,3,···,n列都加到第1列得:例2:

計算n

階行列式51第2,3,···,n行都減去第一行得:52例3:

設(shè)證明:D=D1D2.

證明:對D1作行運算ri+trj,把D1化為下三角形行列式:53對D2作列運算ci+kcj,把D2化為下三角形行列式:

先對D的前k行作行運算ri+trj,然后對D的后n列作列運算ci+kcj,把D化為下三角形行列式:故,D=p11···pkk

q11···qnn=D1D2.54

例4

計算2n階行列式其中未寫出來的元素為0.

解：把D2n中的第2n行依次與第2n-1行,···,第2行對調(diào)(作2n-2次相鄰對換)，55再把第2n列···,第2行對調(diào)，得D2(n-1)56根據(jù)例3的結(jié)果，有以此做遞推公式，得57

例5

已知1326，2743，5005，3847都能被13整除，不計算行列式的值，證明行列式能被13整除。

解：將第1列的1000倍，第2列的100倍以及第3列的10倍都加到最后一列，可得根據(jù)行列式的定義，可得結(jié)論。58

行列式的6個性質(zhì).行列式中行與列具有同等的地位,行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立.

計算行列式常用方法:(1)利用定義;(2)利用性質(zhì)把行列式化為上(下)三角形行列式,從而算得行列式的值.三、小結(jié)59§1.6行列式按行(列)展開一、余子式與代數(shù)余子式引例,考察三階行列式

在n階行列式D中,把元素aij

所在的第i

行和第j

列元素劃去后,留下來的n–1階行列式叫做(行列式D的關(guān)于)元素aij的余子式,記作Mij.即6061例如記Aij=(–1)i+jMij,稱Aij為元素aij

的代數(shù)余子式.62

引理:

如果一個階行列式D的第i

行元素除aij

外都為零,那么,行列式D等于aij與它的代數(shù)余子式Aij的乘積,即D=aijAij.

行列式的每一個元素都分別對應(yīng)著唯一的一個余子式和唯一的一個代數(shù)余子式.=aijAij

.63證:當(dāng)aij

位于第一行第一列時,又由于A11=(–1)1+1M11=M11,再證一般情形,此時由上節(jié)例3,即教材中的P14的例10得:D=a11M11

.從而D=a11A11,

即結(jié)論成立.6465

把D的第i行依次與第i–1行,第i–2行,···,第1行交換,得66

把D的第j列依次與第j–1列,第j–2列,···,第1列交換,得=(–1)i+jaij

M11,顯然,M11恰好是aij在D中的余子式Mij,,即M11=Mij,因此,D=(–1)i+j

aijMij=aijAij,故引理結(jié)論成立.D=Mij67

定理3:

行列式等于它的任一行(列)的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和,即D=ai1Ai1+ai2Ai2+···+ainAin(i=1,2,···,n);D=a1iA1i

+a2iA2i+···+aniAni(i=1,2,···,n).證:二、行列式按行(列)展開法則68D=ai1Ai1+ai2Ai2+···+ainAin(i=1,2,···,n).由引理得:引理的結(jié)論常用如下表達式:(i=1,2,···,n)解:按第一行展開,得例1:

計算行列式如果按第二行展開,得69例2:計算行列式解:

D70例3:

證明范德蒙德(Vandermonde)行列式證:

用數(shù)學(xué)歸納法所以,當(dāng)n=2時,(1)式成立.假設(shè)對n-1階范德蒙德行列式,(1)式成立.

對n

階范德蒙德行列式,作如下變換,ri–x1ri-1(i=n,n–1,···,2,1).得71按第一列展開,并把每列的公因子(xi–x1)提出,就有:n–1階范德蒙德行列式則根據(jù)歸納假設(shè)得證:72例4:

計算行列式解:73

推論:

行列式任一行(列)的元素與另一行(列)的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零,即ai1Aj1+ai2Aj2+···+ainAjn=0,ij;a1iA1j

+a2iA2j+···+aniAnj=0,ij.證:把行列式D=det(aij)按第j行展開,得把ajk換成aik(k=1,2,···,n),當(dāng)ij時,可得74第j行第i行相同同理a1iA1j

+a2iA2j+···+aniAnj=0,ij所以,ai1Aj1+ai2Aj2+···+ainAjn=0,ij關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)其中751.行列式按行(列)展開法則是把高階行列式的計算化為低階行列式計算的重要工具.三、小結(jié)2.76§1.7克拉默(Cramer)法則設(shè)線性方程組

若常數(shù)項b1,b2,···,bn不全為零,則稱此方程組為非齊次線性方程組;若常數(shù)項b1,b2,···,bn全為零,則稱此方程組為齊次線性方程組;

克拉默(Cramer)法則如果線性方程組(1)的系數(shù)行列式不等于零,即(1)77其中Dj(j=1,2,…,n)是把系數(shù)行列式D中第j

列的元素用方程組右端的常數(shù)項代替后所得到的n

階行列式,即那么,線性方程組(1)有解,且解是唯一的,解可以表為

定理1:

如果線性方程組(1)的系數(shù)行列式D

0,則方程(1)一定有解，且解是唯一的.78

定理2:

如果線性方程組(1)無解或有解但不唯一,則它的系數(shù)行列式必為零.定理3:如果齊次線性方程組(3)的系數(shù)行列式D0,則齊次線性方程組(3)沒有非零解.(3)

定理4:

如果齊次線性方程組(3)有非零解,則它的系數(shù)行列式D必為零.79例1:

用克拉默法則解方程組解:80所以81解:例2:

用克拉默法則解方程組82所以83例3:

問取何值時,齊次方程組有非零解?由于齊次方程組有非零解的充分必要條件為D=0,解:則=0,=2或=3時,齊次方程組有非零解.84例4

求經(jīng)過A(1,1,2),B(3,-2,0),C(0,5,-5)三點的平面方程.解：從空間解析幾何的知識，可設(shè)平面的方程為由于點A,B,C在平面上，故點的坐標(biāo)滿足平面方程，即設(shè)(x,y,z)是平面上任一點，則有齊次方程組85因為a,b,c,d不全為零，即方程組有非零解，則系數(shù)行列式按第4行展開86整理得29x+16y+5z-55=0.所求平面方程為29x+16y+5z-55=0.87用克拉默法則解方程組的兩個條件:(1)方程個數(shù)等于未知量個數(shù);(2)系數(shù)行列式不等于零.2.克拉默法則建立了線性方程組的解和已知的系數(shù)與常數(shù)項之間的關(guān)系.它主要適用于理論推導(dǎo),并不適用于實際計算.小結(jié)88§2.1矩陣一、矩陣概念的引入1.線性方程組的解取決于系數(shù)aij和常數(shù)項bj(i

=1,

2,

···,

n,j

=1,

2,

···,

m

).對線性方程組的研究可轉(zhuǎn)化為對這張數(shù)表的研究.線性方程組的系數(shù)與常數(shù)項按原位置可排為892.某航空公司在A,B,C,D四城市之間開辟了若干航線,如圖所示表示了四城市間的航班圖,如果從A到B有航班,則用帶箭頭的線連接A與B.四城市間的航班圖情況常用表格來表示:發(fā)站到站其中表示有航班.90

為了便于計算,把表中的改成1,空白地方填上0,就得到一個數(shù)表:這個數(shù)表反映了四城市間交通聯(lián)接情況.91二、矩陣的定義

定義:

由mn個數(shù)aij(i

=1,2,···,m;j

=1,2,···,n)排成的m行n列的數(shù)表:稱為m行n列的矩陣.簡稱

mn矩陣.記作簡記為:A

=

Amn=(aij)mn=(aij).

這mn個數(shù)aij稱為矩陣A的(第i行第j列)元素.92

元素是實數(shù)的矩陣稱為實矩陣,

元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣.例如:是一個24實矩陣;是一個33復(fù)矩陣;是一個14(實)矩陣;是一個31(實)矩陣;是一個11(實)矩陣.93例如:是一個3階方陣.幾種特殊矩陣

(1)行數(shù)與列數(shù)都等于n的矩陣A,稱為n階方陣.也可記作An,

的方陣,稱為對角矩陣(2)形如(或?qū)顷?,其中1,2,···,n不全為零.記作diag(1,2,···,n)(3)如果En=

diag(1,2,···,n)

=

diag(1,

1,

···,

1),則稱En為(n階)單位矩陣,或簡稱單位陣.簡記為E.94

(4)只有一行(列)的矩陣稱為行(列)矩陣(或行(列)向量).

(5)元素全為零的矩陣稱為零矩陣,mn

階零矩陣記作Omn或O.(6)設(shè)A

=

(

aij)為n階方陣,對任意i,j,如果aij=

aji都成立,則稱A為對稱矩陣;如果aij=

–aji都成立,則稱A為反對稱矩陣;例如:A為對稱矩陣,B為反對稱矩陣.95例1:

設(shè)解:

由于矩陣A=B,則由矩陣相等的定義,已知A=B,求x,y,z.x=2,y=3,z=2.得:2.兩個矩陣A

=

(

aij)與B

=

(

bij)為同型矩陣,并且對應(yīng)元素相等,即

aij=bij(i

=1,2,···,m;j=1,2,···,n)則稱矩陣A與B相等,記作A=B.同型矩陣與矩陣相等的概念1.兩個行列數(shù)對應(yīng)相等的矩陣稱為同型矩陣.例如:為同型矩陣.96(1)矩陣的概念:

m行n列的數(shù)表三、小結(jié)(2)特殊矩陣方陣行矩陣與列矩陣;單位矩陣;對角矩陣;零矩陣.97§2.2矩陣的運算一、矩陣的加法

定義:

設(shè)兩個同型的mn

矩陣A

=

(

aij)與B

=

(

bij),那末矩陣A與B的和定義為(aij+bij),記作A+B,即例如:98

說明:

只有當(dāng)兩個矩陣是同型矩陣時,才能進行加法運算.矩陣加法的運算規(guī)律(1)交換律:A+B

=

B+A.(2)結(jié)合律:(A+B)+C

=

A+(B+C).(3)稱為矩陣A的負(fù)矩陣.(4)A+(–A)

=

O,A–B

=

A+(–B).99二、數(shù)與矩陣相乘

定義:

數(shù)與矩陣A=(aij)的乘積定義為(aij),記作A或A,簡稱為數(shù)乘.即設(shè)A,B為同型的mn

矩陣,,為數(shù):(1)()A=(A).(2)(+)A=A+A.(3)(A+B)=A+B.數(shù)乘矩陣的運算規(guī)律矩陣的加法與數(shù)乘運算,統(tǒng)稱為矩陣的線性運算.100

定義:

設(shè)A

=

(

aij)是一個ms矩陣,B

=

(

bij)是一個sn

矩陣,定義矩陣A與矩陣B的乘積C

=

(

cij)是一個mn矩陣,其中三、矩陣與矩陣相乘(i=1,2,···,m;j=1,2,···,n).并把此乘積記作C=AB.例1:例2:101例3:

求AB,其中

注意:只有當(dāng)?shù)谝粋€矩陣的列數(shù)等于第二個矩陣的行數(shù)時,兩個矩陣才能相乘.例如:不存在.102矩陣乘法的運算規(guī)律(1)結(jié)合律:(AB)C

=

A(BC);(2)分配律:A(B+C)

=

AB+AC,(B+C)A

=BA+CA;(3)(AB)

=

(A)B

=

A(B),其中為數(shù);(4)AmnEn=EmAmn=A;并且滿足冪運算律:AkAm=Ak+m,(Am)k=Amk,其中k,m為正整數(shù).注意:矩陣乘法不滿足交換律,即:

AB

BA,(5)若A是n階方陣,則Ak為A的k次冪,即例如:

設(shè)則(AB)k

AkBk,因此,103故,ABBA.例4:

計算下列矩陣乘積:(1)(2)解(1):解(2):=(）a11x1+a21x2+a31x3a12x1+a22x2+a32x3a13x1+a23x2+a33x3104當(dāng)矩陣為對稱矩陣時,結(jié)果為=(a11x1+a21x2+a31x3)x1+(a12x1+a22x2+a32x3)x2+(a13x1+a23x2+a33x3)x3解:例5:假設(shè)為f(k)k-2,f(k)=ak2+bk+c,f(1)=0,f(2)=1,f(3)=3105由此歸納出用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)k=2時,顯然成立.假設(shè),當(dāng)k=n時結(jié)論成立,對k=n+1時,解方程組可得,106所以對于任意的k

都有:107四、矩陣的其它運算

定義:

把矩陣A的行列互換,所得到的新矩陣,叫做矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣,記作AT.例如:１、轉(zhuǎn)置矩陣(1)(AT)T=A;(2)(A+B)T=AT+BT;(3)(A)T=AT;(4)(AB)T=BTAT;轉(zhuǎn)置矩陣的運算性質(zhì)108解法1:因為例6:

已知求(AB)T.所以解法2:(AB)T=BTAT109由矩陣轉(zhuǎn)置和對稱矩陣的定義可得:方陣A為對稱矩陣的充分必要條件是:A=AT.方陣A為反對稱矩陣的充分必要條件是:–A=AT.證明:因為

例7:

設(shè)列矩陣X

=

(x1

x2···xn)T,滿足XTX=1,E為n階單位矩陣,H

=

E

–

2XXT,證明:H為對稱矩陣,且HHT=

E.HT

=

(E

–

2XXT)T=

ET–

2(XXT)T=

E

–

2XXT=

H.所以,H為對稱矩陣.HHT=

H2=(E

–

2XXT)2=(E–2XXT)(E–2XXT)=E2–

E(2XXT)

–

(2XXT)E

+

(2XXT)(2XXT)=E

–

4XXT

+

4(XXT)(XXT)=E

–

4XXT

+

4X(XTX)XT=E

–

4XXT

+

4XXT=E

110

例8:

證明任一n

階方陣A

都可表示成對稱陣與反對稱陣之和.證明:設(shè)A可以分解為一對稱陣B與

反對稱陣之和，則2、方陣的行列式

定義:

由n

階方陣A的元素所構(gòu)成的行列式叫做方陣A的行列式,記作|A|或detA.例如:則A=B+C,且BT=B,CT=－C∵AT=(B+C)T=BT+CT=B－C,故A=B+C有解，所以原命題成立.111方陣行列式的運算性質(zhì)(1)|AT|=|A

|;(2)|A|=n|A

|;(3)|AB|=|A||B|=|B||A|=|BA|.

定義:行列式|

A

|的各個元素的代數(shù)余子式Aij

所構(gòu)成的如下矩陣3、伴隨矩陣稱為矩陣A的伴隨矩陣.性質(zhì):AA*

=A*A=|

A

|E.證明:設(shè)A=(aij),AA*=(bij).？112則故同理可得AA*=(|

A

|ij)

=|

A

|(ij)

=

|

A

|

E.=(|

A

|

ij)

=

|

A

|(ij)

=

|

A

|

E.A*A

=4、共軛矩陣

定義:

當(dāng)A

=

(aij)為復(fù)矩陣時,用表示aij的共軛復(fù)數(shù),記,稱為A

的共軛矩陣.運算性質(zhì)設(shè)A,B為復(fù)矩陣,為復(fù)數(shù),且運算都是可行的,則:113解：由BA=B+2E得B(A–E)=2E,等式兩端同時取行列式得|B|·|A–E|=22,所以|B|=2.而,|A–E|=2，E為2階單位矩陣，矩陣?yán)?設(shè)矩陣A滿足BA=B+2E,求|B|.114例10設(shè)A、B是兩個n階方陣，且滿足A2=E,B2=E,試證明:(AB)2=E

AB=BA.證明：充分性.由于AB=BA,等式兩端同時左乘AB可得，(AB)2=(AB)(AB)=(AB)(BA)=A(BB)A=A(B2)A因為A2=B2=E，所以(AB)2=A·A=A2=E.必要性.由于(AB)2=E，所以E=(AB)2=(AB)(AB)=A(BA)B，等式兩端左乘A，右乘B可得：AB=AA(BA)BB=A2(BA)B2,而A2=B2=E，所以AB=BA.證畢.115

例11

設(shè)A與B為n階方陣,等式A2–B2

=

(A+B)(A–B)成立的充要條件是什么?答:因為(A

+

B)

(A

–

B)

=

A2+

BA

–

AB

–

B2,故等式A2–B2=

(A

+

B)(A

–

B)成立的充要條件是:BA－

AB=0,AB

=

BA.116矩陣運算加法數(shù)與矩陣相乘矩陣與矩陣相乘轉(zhuǎn)置矩陣對稱陣與伴隨矩陣方陣的行列式共軛矩陣五、小結(jié)(1)只有當(dāng)兩個矩陣是同型矩陣時,才能進行加法運算.(2)只有當(dāng)?shù)谝粋€矩陣的列數(shù)等于第二個矩陣的行數(shù)時,兩矩陣才能相乘,且矩陣相乘不滿足交換律.(3)矩陣的數(shù)乘運算與行列式的性質(zhì)3不同.注意117在數(shù)的運算中,當(dāng)數(shù)a0時,有aa-1=a-1a=1.

在矩陣的運算中,

單位陣E相當(dāng)于數(shù)的乘法運算中的1,那么,對于矩陣A,如果存在一個矩陣A-1,使得為a的倒數(shù),或稱a的逆(元).其中AA-1=A-1A=E,則矩陣A稱為可逆矩陣,稱A-1為A逆陣.一、逆矩陣的概念和性質(zhì)§2.3逆矩陣

定義:

對于n

階方陣A,如果存在一個n

階方陣B,使得AB=BA=E則稱矩陣A是可逆的,并稱矩陣B為A的逆矩陣.A的逆矩陣記作A-1.118例如:

設(shè)由于AB=BA=E,所以,B為A的逆矩陣.說明:

若A是可逆矩陣,則A的逆矩陣是唯一的.事實上:若設(shè)B和C是A的逆矩陣,則有所以,A的逆矩陣是唯一的,即AB=BA=E,AC=CA=E,可得:B=EB=(CA)B=C(AB)=CE=C.B=C=A-1.解:

利用待定系數(shù)法.例1:

設(shè)求A的逆矩陣.是A的逆矩陣,設(shè)119即又因為則解得,所以即AB

=BA

=E,

如上求逆矩陣的方法對于方陣的階較高時顯然是不可行的,必須尋求可行而有效的方法.則120證明:

若A可逆,則有A-1,使得AA-1=E.定理1:

矩陣A可逆的充要條件是|

A

|

0,且其中A*為矩陣A的伴隨矩陣.故,|

A

||

A-1|

=

|

E

|

=

1,所以,|A

|0.由伴隨矩陣的性質(zhì):AA*=

A*A

=

|

A

|

E,知當(dāng)|

A

|

0時,按逆矩陣的定義得,

當(dāng)|

A

|

=

0

時,稱A為奇異矩陣,否則稱A為非奇異矩陣.121

由此可得,A是可逆矩陣的充分必要條件是A為非奇異矩陣.證明:

由AB

=

E得,|

A

|

|

B

|

=

|

E

|

=

1,推論:若AB=E(或BA=E),則B=A-1.故|

A

|

0.因而,A-1存在,于是B=EB=(A-1A)B=A-1(AB)=A-1E=A-1.故結(jié)論成立.逆矩陣的運算性質(zhì)(1)若矩陣A可逆,則A-1亦可逆,且(A-1)-1=

A.當(dāng)|

A

|

0

時,定義

A0=E,A-k=(A-1)k(k為正整數(shù)).且此時對任意整數(shù),,有

AA=A+,(A)=A.122(2)若矩陣A可逆,且

0,則

A

亦可逆,且證明:(4)若矩陣A可逆,則AT亦可逆,且(AT)-1=(A-1)T.AT(A-1)T=(A-1A)T=ET

=E,所以,(AT)-1=(A-1)T.(3)若A,B為同階可逆方陣,則AB亦可逆,且(AB)-1=

B-1A-1.證明:(AB)(B-1A-1)=A(BB-1)A-1=AEA-1=AA-1=E,所以,(AB)-1=B-1A-1.(5)若矩陣A可逆,則有|

A-1|=|

A

|-1.證明:因為AA-1=E,所以,|

A

|

|

A-1|

=

|E

|

=

1,因此,|A-1|=|

A

|-1.123的逆矩陣.例2:

求方陣解:

因為二、關(guān)于逆矩陣的計算所以A-1存在.同理可得所以,故124解:例3:下列矩陣A,B是否可逆?若可逆,求其逆矩陣.所以,A可逆.由于同理可得所以,125由于故B不可逆.例4:

求的逆矩陣(

ad

–

bc

0

).解:

用伴隨矩陣的方法求A逆陣.|

A

|

=

ad–bc

0.A11=

d,A21=

–b,A12=

–c,A22=

a.設(shè)則A可逆且則

求二階矩陣A的逆可用“兩調(diào)一除”的方法,其做法如下:126例5:

設(shè)求矩陣X使其滿足AXB=C.解:

由于所以,A-1,B-1都存在.且

先將矩陣A中的主對角元素調(diào)換其位置,再將次對角元素調(diào)換其符號,最后用A的行列式|A|除矩陣A的每一個元素,即可得A的逆矩陣A-1.127又由AXB

=

C,得A-1AXBB-1=

A-1CB-1,則X

=

A-1CB-1.于是X

=

A-1CB-1例6:解矩陣方程解:給方程兩端左乘矩陣得128

例7:設(shè)方陣A滿足矩陣方程A2–A–2E

=

O,證明:A,A+2E都可逆,并求它們的逆矩陣.證明:

由A2–A–2E=O,得A(A–E)=2E,則故A可逆,且A-1=所以又由A2–A–2E=O,得(A+2E)(A–3E)+4E=O,則故(A+2E)可逆,且

(A+2E)-1=129例8:設(shè)三階方陣A,B滿足關(guān)系式:A-1BA=6A+BA,且求B.解:

由于|A|=1/560,由A-1BA=6A+BA,得A-1BA–BA=6A,所以A可逆,且A-1=則(A-1–E)BA=6A,由于(A-1–E)=所以(A-1–E)可逆,且(A-1–E)-1=由A和(A-1–E)可逆可得:B=6(A-1–E)-1130對角型非奇異方陣的逆矩陣有如下結(jié)果:若則其中,12···n0.131例9:設(shè)且AP

=

P,求An.解:由于|

P

|

=2,則An=

PnP-1A

=

PP-1,A2

=

PP-1PP-1=PP-1=P2P-1,···,Am

=

PmP-1,而132

設(shè)(x)=a0+a1x+···+amxm為一m次多項式,A為n階方陣,記(A)=a0E+a1A+···+amAm,則(A)稱為方陣A的m次多項式.

由于Ak,Al和E之間都是可交換的,所以方陣A的兩個多項式(A)和(A)做矩陣乘法是可交換的,即總有(A)(A)=(A)(A)從而方陣A的多項式可以類似一般多項式一樣相乘或分解因式.例如(E+A)(2E–A)

=

2E+A–A2,(E–A)3=

E–3A+3A2–A3.133

定義:設(shè)A,B都是n階矩陣,若有可逆矩陣P,使P-1AP

=

B

,則稱B是A的相似矩陣,或說矩陣A與B相似.對A進行運算P-1AP,稱為對A進行相似變換,可逆矩陣P稱為把A變成B的相似變換矩陣.由于矩陣A與B相似,則存在可逆矩陣P,使P-1AP

=

B,亦即A

=

PBP-1,所以,相似矩陣有Am

=

(PBP-1)m=PBP-1PBP-1

···

PBP-1=

PBmP-1.進一步有,若(A)=a0E+a1A+···+amAm,則(A)=a0PP-1+a1PBP-1+···+amPBmP-1

=P(a0E+a1B+···+amBm)P-1=P(B)P-1.即相似矩陣的多項式,有相同相似變換矩陣.134Am

=PmP-1;(A)=P()P-1.特別當(dāng)矩陣A與對角陣=diag(1,2,···,n)相似時,則m=diag(1m,2m,···,nm

)又顯然有則()=a0E+a1+···+amm,135四、小結(jié)逆矩陣的概念及運算性質(zhì);逆矩陣A-1存在當(dāng)且僅當(dāng)|A|0.逆矩陣的計算方法:(1)待定系數(shù)法;(3)初等變換法(下一章介紹).(2)伴隨矩陣法:136§2.4矩陣分塊法一、矩陣的分塊對于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣A,為了簡化運算,經(jīng)常采用分塊法,使大矩陣的運算化成小矩陣的運算.具體做法是:用若干條縱線和橫線將矩陣A分成許多個小矩陣,每一個小矩陣稱為矩陣A的子塊,以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣.例如:137其中其中其中138二、分塊矩陣的運算規(guī)則

(1)

分塊矩陣的加法:設(shè)矩陣A與B是同型的,按相同的分塊法,有其中子塊Aij與Bij是同型的(i=1,2,···,s;j=1,2,···,r),則(2)

分塊矩陣的數(shù)乘:設(shè)為數(shù),矩陣則139(3)

分塊矩陣的乘法:設(shè)A為ml矩陣,B為l

n矩陣,分塊為其中Ai1,Ai2,···,Ait的列數(shù)分別等于B1j,B2j,···,Btj的行數(shù),則其中(i=1,2,···,s;j=1,2,···,r).140例1:

設(shè)求AB.解:把A,B分塊成則而141于是(4)

設(shè)則

(5)

設(shè)A為n階方陣,若A的分塊矩陣除對角線上的子塊為方陣外,其余子塊均為零矩陣,即則稱A為分塊對角矩陣.1421.|

A

|

=

|

A1|

|

A2|

···

|

As|.2.

設(shè)分塊對角矩陣A,若|

Ai|

0(i=1,2,···,s),則|A

|

0,且,3.分塊對角矩陣具有下述性質(zhì):143例2:

設(shè)求A+B,ABA.解:

將A,B分塊其中144其中所以而145其中則所以解:將A分塊例3:

設(shè)求A-1.形成分塊對角矩陣.所以146證:由于B和C都是可逆方陣,并有|A|=|B||C|0,所以A可逆.設(shè)則由得即因此

其中B和C都是可逆方陣,證明A可例4設(shè)A=逆,并求A-1.147三、小結(jié)

在矩陣?yán)碚摰难芯恐?矩陣的分塊是一種最基本,最重要的計算技巧與方法.(1)加法:(3)乘法:分塊矩陣之間與一般矩陣之間的運算性質(zhì)類似:分塊矩陣之間的運算(2)數(shù)乘:同型矩陣,采用相同的分塊法.數(shù)k乘矩陣A,需k乘A的每個子塊.矩陣A,B相乘,A的列的分塊與B的行分塊相一致.(4)轉(zhuǎn)置148(5)分塊對角陣的行列式與逆陣1.|

A

|

=

|

A1|

|

A2|

···

|

As|.2.