信號與系統(tǒng)課件：第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析

第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析2.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應

一、微分方程的經典解二、關于0-和0+初始值

三、零輸入響應和零狀態(tài)響應2.2沖激響應和階躍響應

一、沖激響應二、階躍響應2.3卷積積分一、信號時域分解與卷積二、卷積的圖解2.4卷積積分的性質

一、卷積代數(shù)

二、奇異函數(shù)的卷積特性

三、卷積的微積分性質

四、卷積的時移特性五、相關函數(shù)2.5*P算子分析法

一、微分算子及系統(tǒng)描述

二、零輸入響應求解三、LTI連續(xù)系統(tǒng)的初始條件四、零狀態(tài)響應的求解五、由H(P)求h(t)點擊目錄，進入相關章節(jié)

LTI連續(xù)系統(tǒng)的時域分析，歸結為：建立并求解線性微分方程。由于在其分析過程涉及的函數(shù)變量均為時間t，故稱為時域分析法。這種方法比較直觀，物理概念清楚，是學習各種變換域分析法的基礎。

第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析2.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應2.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應一、微分方程的經典解y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y

(t)=bmf(m)(t)+bm-1f(m-1)(t)+…+b1f(1)(t)+b0f

(t)微分方程的經典解：

y(t)(完全解)=yh(t)(齊次解)+yp(t)(特解）2.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應齊次解是齊次微分方程

y(n)+an-1y(n-1)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=0的解。yh(t)的函數(shù)形式由上述微分方程的特征根確定。（齊次解的函數(shù)形式見P41表2-1）特解的函數(shù)形式與激勵函數(shù)的形式有關。P41表2-2齊次解的函數(shù)形式僅與系統(tǒng)本身的特性有關，而與激勵f(t)的函數(shù)形式無關，稱為系統(tǒng)的固有響應或自由響應；特解的函數(shù)形式由激勵確定，稱為強迫響應。例

描述某系統(tǒng)的微分方程為y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)；求（1）當f(t)=2e-t，t≥0；y(0)=2，y’(0)=–1時的全解；（2）當f(t)=e-2t，t≥0；y(0)=1，y’(0)=0時的全解。2.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應解:(1)特征方程為λ2+5λ+6=0其特征根λ1=–2，λ2=–3。齊次解為

yh(t)=C1e–2t+C2e–3t由表2-2可知，當f(t)=2e–t時，其特解可設為

yp(t)=Qe

–t將其代入微分方程得

Qe

–t+5(–Qe

–t)+6Qe–t=2e–t

解得Q=1于是特解為yp(t)=e–t全解為：y(t)=yh(t)+yp(t)=C1e–2t+C2e–3t+e–t其中待定常數(shù)C1,C2由初始條件確定。

y(0)=C1+C2+1=2，y’(0)=–2C1–3C2–1=–1

解得C1=3，C2=–2最后得全解

y(t)=3e–2t–2e–3t+e–t,t≥02.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應（2）齊次解同上。當激勵f(t)=e–2t時，其指數(shù)與特征根之一相重。由表知：其特解為

yp(t)=(Q0+Q1t)e–2t

代入微分方程可得Q1e-2t=e–2t

所以Q1=1但Q0不能求得。全解為：

y(t)=C1e–2t+C2e–3t+te–2t+Q0e–2t

=(C1+Q0)e–2t+C2e–3t+te–2t代入初始條件，得

y(0)=(C1+Q0)+C2=1，y’(0)=–2(C1+Q0)–3C2+1=0

解得C1+Q0

=2,C2=–1全解為：y(t)=2e–2t–e–3t+te–2t,t≥0討論：因上式第一項的系數(shù)C1+Q0=2，不能區(qū)分C1和

Q0。2.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應2.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應二、用系數(shù)匹配法求0+初始值若輸入f(t)是在t=0時接入系統(tǒng)，則確定待定系數(shù)Ci時用t=0+時刻的初始值，即y(j)(0+)(j=0,1,2…，n-1)。

而y(j)(0+)包含了輸入信號的作用，不便于描述系統(tǒng)的歷史信息。在t=0-時，激勵尚未接入，該時刻的值y(j)(0-)反映了系統(tǒng)的歷史情況而與激勵無關。稱這些值為初始狀態(tài)或起始值。通常，對于具體的系統(tǒng)，初始狀態(tài)一般容易求得。這樣為求解微分方程，就需要從已知的初始狀態(tài)y(j)(0-)設法求得y(j)(0+)。下列舉例說明。

例：描述某系統(tǒng)的微分方程為

y”(t)+3y’(t)+2y(t)=2f’(t)+6f(t)已知y(0-)=2，y’(0-)=0，f(t)=ε(t)，求y(0+)和y’(0+)。解：將輸入f(t)=ε(t)代入上述微分方程得

y”(t)+3y’(t)+2y(t)=2δ(t)+6ε(t)（1）

用系數(shù)匹配法分析：上式對于t=0-也成立，在0-<t<0+區(qū)間等號兩端δ(t)項的系數(shù)應相等。由于等號右端為2δ(t)，故y”(t)應包含沖激函數(shù)，從而y’(t)在t=0處將發(fā)生躍變，即y’(0+)≠y’(0-)。

但y’(t)不含沖激函數(shù)，否則y”(t)將含有δ’(t)項。由于y’(t)中不含δ(t)，故y(t)在t=0處是連續(xù)的。即y(0+)=y(0-)=2

2.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應對式(1)兩端積分有由于積分在無窮小區(qū)間[0-，0+]進行的，且y(t)在t=0連續(xù)，故于是由上式得

[y’(0+)–y’(0-)]+3[y(0+)–y(0-)]=2考慮y(0+)=y(0-)=2，所以

y’(0+)–y’(0-)=2，y’(0+)=y’(0-)+2=2結論：當微分方程等號右端含有沖激函數(shù)（及其各階導數(shù)）時，響應y(t)及其各階導數(shù)中，有些在t=0處將發(fā)生躍變。但如果右端不含沖激函數(shù)時，則不會躍變。2.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應2.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應三、零輸入響應和零狀態(tài)響應

y(t)=yx(t)+yf(t),可以分別用經典法求解。注意：對t=0時接入激勵f(t)的系統(tǒng)，

初始值yx(j)(0+),yf(j)(0+)(j=0，1，…，n-1)的計算：

y(j)(0-)=yx(j)(0-)+yf(j)(0-)y(j)(0+)=yx(j)(0+)+yf(j)(0+)對于零輸入響應，由于激勵為零，故有

yx(j)(0+)=yx(j)(0-)=y(j)(0-)對于零狀態(tài)響應，在t=0-時刻激勵尚未接入，故應有

yf(j)(0-)=0yf(j)(0+)的求法下面舉例說明。2.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應例1：描述某系統(tǒng)的微分方程為

y”(t)+3y’(t)+2y(t)=2f’(t)+6f(t)已知y(0-)=2，y’(0-)=0，f(t)=ε(t)。求該系統(tǒng)的零輸入響應和零狀態(tài)響應。解：（1）零輸入響應yx(t)

因為激勵為0，故yx(t)滿足

yx”(t)+3yx’(t)+2yx(t)=0yx(0+)=yx(0-)=y(0-)=2yx’(0+)=yx’(0-)=y’(0-)=0該齊次方程的特征根為–1，–2，故

yx(t)=C1e–t+C2e–2t

代入初始值并解得系數(shù)為C1=4,C2=–2，代入得

yx(t)=4e–t–2e–2t,t>02.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應（2）零狀態(tài)響應yf(t)

滿足

yf”(t)+3yf’(t)+2yf(t)=2δ(t)+6ε(t)并有

yf(0-)=yf’(0-)=0由于上式等號右端含有δ(t)，故yf”(t)含有δ(t)，從而yf’(t)躍變，即yf’(0+)≠yf’(0-)，而yf(t)在t=0連續(xù)，即yf(0+)=yf(0-)=0，積分得

[yf’(0+)-yf’(0-)]+3[yf(0+)-yf(0-)]+2因此，yf’(0+)=2+yf’(0-)=2

對t>0時，有yf”(t)+3yf’(t)+2yf(t)=6不難求得其齊次解為D1e-t+D2e-2t，其特解為常數(shù)3，于是有yf(t)=D1e-t+D2e-2t+3代入初始值求得yf(t)=–4e-t+e-2t+3，t≥02.2

沖激響應和階躍響應2.2

沖激響應和階躍響應一、沖激響應由單位沖激函數(shù)δ(t)所引起的零狀態(tài)響應稱為單位沖激響應，簡稱沖激響應，記為h(t)。h(t)=T[{0},δ(t)]

例1

描述某系統(tǒng)的微分方程為y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)求其沖激響應h(t)。解根據(jù)h(t)的定義有

h”(t)+5h’(t)+6h(t)=δ(t)h’(0-)=h(0-)=0

先求h’(0+)和h(0+)。2.2

沖激響應和階躍響應因方程右端有δ(t)，故利用系數(shù)平衡法。h”(t)中含δ(t)，h’(t)含ε(t)，h’(0+)≠h’(0-)，h(t)在t=0連續(xù)，即h(0+)=h(0-)。積分得

[h’(0+)-h’(0-)]+5[h(0+)-h(0-)]+6=1考慮h(0+)=h(0-)，由上式可得

h(0+)=h(0-)=0,h’(0+)=1+h’(0-)=1對t>0時，有h”(t)+5h’(t)+6h(t)=0故系統(tǒng)的沖激響應為一齊次解。微分方程的特征根為-2，-3。故系統(tǒng)的沖激響應為

h(t)=(C1e-2t+C2e-3t)ε(t)代入初始條件求得C1=1,C2=-1,所以

h(t)=(e-2t-e-3t)ε(t)

2.2

沖激響應和階躍響應

例2

描述某系統(tǒng)的微分方程為

y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f”(t)+2f’(t)+3f(t)求其沖激響應h(t)。解根據(jù)h(t)的定義有

h”(t)+5h’(t)+6h(t)=δ”(t)+2δ’(t)+3δ(t)(1)h’(0-)=h(0-)=0

先求h’(0+)和h(0+)。由方程可知，h(t)中含δ(t)故令h(t)=aδ(t)+p1(t)[pi(t)為不含δ(t)的某函數(shù)]h’(t)=aδ’(t)+bδ(t)+p2(t)h”(t)=aδ”(t)+bδ’(t)+cδ(t)+p3(t)代入式(1)，有2.2

沖激響應和階躍響應aδ”(t)+bδ’(t)+cδ(t)+p3(t)+5[aδ’(t)+bδ(t)+p2(t)]+6[aδ(t)+p1(t)]=δ”(t)+2δ’(t)+3δ(t)整理得aδ”(t)+(b+5a)δ’(t)+(c+5b+6a)δ(t)+p3(t)+5p2(t)+6p1(t)=δ”(t)+2δ’(t)+3δ(t)利用δ(t)系數(shù)匹配，得a=1，b=-3，c=12所以h(t)=δ(t)+p1(t)（2）

h’(t)=δ’(t)-3δ(t)+p2(t)（3）

h”(t)=δ”(t)-3δ’(t)+12δ(t)+p3(t)（4）對式(3)從0-到0+積分得h(0+)–h(0-)=–3對式(4)從0-到0+積分得h’(0+)–h’(0-)=12故h(0+)=–3，h’(0+)=122.2

沖激響應和階躍響應微分方程的特征根為–2，–3。故系統(tǒng)的沖激響應為

h(t)=C1e–2t+C2e–3t

，t>0代入初始條件h(0+)=–3，h’(0+)=12求得C1=3，C2=–6,所以

h(t)=3e–2t–6e–3t,t>0結合式(2)得

h(t)=δ(t)+(3e–2t–6e–3t)ε(t)對t>0時，有h”(t)+5h’(t)+6h(t)=0二、階躍響應g(t)=T[ε(t)，{0}]由于δ(t)與ε(t)為微積分關系，故例3如圖所示的LTI系統(tǒng)，求其階躍響應及沖激響應。解：（1）列寫系統(tǒng)的微分方程2.2

沖激響應和階躍響應（2）求階躍響應2.2

沖激響應和階躍響應2.2

沖激響應和階躍響應（3）求沖激響應2.2

沖激響應和階躍響應2.2

沖激響應和階躍響應2.2

沖激響應和階躍響應驗證結論（解法II）：2.2

沖激響應和階躍響應2.3

卷積積分2.3

卷積積分一、信號的時域分解與卷積積分1.信號的時域分解(1)預備知識問

f1(t)=?

p(t)直觀看出2.3

卷積積分(2)任意信號分解“0”號脈沖高度f(0),寬度為△，用p(t)表示為：f(0)△p(t)“1”號脈沖高度f(△),寬度為△，用p(t-△)表示為：

f(△)△p(t-△)“-1”號脈沖高度f(-△)、寬度為△，用p(t+△)表示為：f(-△)△p(t+△)2.3

卷積積分2.任意信號作用下的零狀態(tài)響應yf(t)f(t)根據(jù)h(t)的定義：δ(t)

h(t)由時不變性：δ(t

-τ)h(t-τ)f(τ)δ(t

-τ)由齊次性：f(τ)h(t-τ)由疊加性：‖f(t)‖yf(t)卷積積分2.3

卷積積分3.卷積積分的定義已知定義在區(qū)間（–∞，∞）上的兩個函數(shù)f1(t)和f2(t)，則定義積分為f1(t)與f2(t)的卷積積分，簡稱卷積；記為

f(t)=f1(t)*f2(t)注意：積分是在虛設的變量τ下進行的，τ為積分變量，t為參變量。結果仍為t的函數(shù)。

2.3

卷積積分例1：f(t)=et,（-∞<t<∞)，h(t)=(6e-2t–1)ε(t)，求yf(t)。解：yf(t)=f(t)*h(t)當t<τ，即τ>t時，ε(t-τ)=02.3

卷積積分二、卷積的圖解法卷積過程可分解為四步：（1）換元：t換為τ→得f1(τ)，f2(τ)（2）反轉平移：由f2(τ)反轉→f2(–τ)右移t→f2(t-τ)（3）乘積：f1(τ)f2(t-τ)（4）積分：τ從–∞到∞對乘積項積分。注意：t為參變量。下面舉例說明。演示2.3

卷積積分例2f(t),h(t)

如圖所示，求yf(t)=h(t)*f(t)

。[解]

采用圖解法求卷積。f(t-τ)f(τ)反折f(-τ)平移t①t<0時,f(t-τ)向左移f(t-τ)h(τ)=0，故

yf(t)=0

0≤t≤1

時,f(t-τ)向右移②0≤t≤1時④2≤t≤3時f(t-τ)h(τ)=0，故

yf(t)=0h(t)函數(shù)形式復雜換元為h(τ)。

f(t)換元f(τ)③1≤t≤2

時02.3

卷積積分圖解法一般比較繁瑣，但若只求某一時刻卷積值時還是比較方便的。確定積分的上下限是關鍵。例3：f1(t)、f2(t)如圖所示，已知f(t)=f2(t)*f1(t)，求f(2)=？f1(-τ)f1(2-τ)解：（1）換元（2）f1(τ)得f1(–τ)（3）f1(–τ)右移2得f1(2–τ)（4）f1(2–τ)乘f2(τ)（5）積分，得f(2)=0（面積為0）2.4

卷積積分的性質2.4

卷積積分的性質卷積積分是一種數(shù)學運算，它有許多重要的性質（或運算規(guī)則），靈活地運用它們能簡化卷積運算。下面討論均設卷積積分是收斂的（或存在的）。一、卷積代數(shù)1滿足乘法的三律：（1）交換律：f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)（2）

分配律：f1(t)*[f2(t)+f3(t)]=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t)（3）

結合律：[f1(t)*f2(t)]*f3(t)]=f1(t)*[f2(t)*f3(t)]2.復合系統(tǒng)的沖激響應2.4

卷積積分的性質2.4

卷積積分的性質二、奇異函數(shù)的卷積特性1.f(t)*δ(t)=δ(t)*f(t)=f(t)證：f(t)*δ(t–t0)=f(t–t0)2.f(t)*δ’(t)=f’(t)證：f(t)*δ(n)(t)=f(n)(t)3.f(t)*ε(t)ε(t)*ε(t)=tε(t)2.4

卷積積分的性質三、卷積的微積分性質1.證：上式=δ(n)(t)*[f1(t)*f2(t)]=[δ(n)(t)*f1(t)]*f2(t)=f1(n)(t)*f2(t)2.證：上式=ε(t)*[f1(t)*f2(t)]=[ε(t)*f1(t)]*f2(t)=f1(–1)(t)*f2(t)3.在f1(–∞)=0或f2(–1)(∞)=0的前提下，

f1(t)*f2(t)=f1’(t)*f2(–1)(t)2.4卷積積分的性質例1：f1(t)=1，f2(t)=e–tε(t)，求f1(t)*f2(t)

解：通常復雜函數(shù)放前面，代入定義式得

f2(t)*f1(t)=注意：套用f1(t)*f2(t)=f1’(t)*f2(–1)(t)=0*f2(–1)(t)=0顯然是錯誤的。例2：f1(t)如圖,f2(t)=e–tε(t)，求f1(t)*f2(t)解法一：f1(t)*f2(t)=f1’(t)*f2(–1)(t)f1’(t)=δ

(t)–δ

(t–2)f1(t)*f2(t)=(1-e–t)ε(t)–[1-e–(t-2)]ε(t-2)2.4卷積積分的性質解：f1(t)=ε

(t)–ε

(t–2)f1(t)*f2(t)=ε

(t)*f2(t)–ε

(t–2)*f2(t)

ε

(t)*f2(t)=f2(-1)(t)四、卷積的時移特性若f(t)=f1(t)*f2(t)，則f1(t–t1)*f2(t–t2)=f1(t–t1–t2)*f2(t)=f1(t)*f2(t–t1–t2)=f(t–t1–t2)前例：f1(t)如圖,f2(t)=e–tε(t)，求f1(t)*f2(t)利用時移特性，有ε

(t–2)*f2(t)=f2(-1)(t–2)f1(t)*f2(t)=(1-e–t)ε(t)–[1-e–(t-2)]ε(t-2)2.4卷積積分的性質例：f1(t),f2(t)如圖，求f1(t)*f2(t)解：f1(t)=2ε

(t)–2ε

(t–1)f2(t)=ε

(t+1)–ε

(t–1)f1(t)*f2(t)=2

ε

(t)*ε

(t+1)–2

ε

(t)*ε

(t–1)–2ε

(t–1)*ε

(t+1)–2ε

(t–1)*ε

(t–1)由于ε

(t)*ε

(t)=tε

(t)據(jù)時移特性，有f1(t)*f2(t)=2(t+1)ε

(t+1)-2(t–1)ε

(t–1)–2tε

(t)–2(t–2)ε

(t–2)常見的卷積公式2.4卷積積分的性質2.4卷積積分的性質五、相關函數(shù)為比較某信號與另一延時τ的信號之間的相似度，需要引入相關函數(shù)的概念。相關函數(shù)是鑒別信號的有力工具，被廣泛應用于雷達回波的識別，通信同步信號的識別等領域。相關函數(shù)也稱為相關積分，它與卷積的運算方法類似。

實函數(shù)f1(t)和f2(t)，如為能量有限信號，它們之間的互相關函數(shù)定義為：可見，互相關函數(shù)是兩信號之間時間差τ的函數(shù)。需要注意，一般R12(τ)≠R21(τ)。不難證明，它們之間的關系是

如果f1(t)和f2(t)是同一信號，即f1(t)＝f2(t)＝

f(t)

，這時無需區(qū)分R12與R21，用R(τ)表示，稱為自相關函數(shù)。即

：

容易看出，對自相關函數(shù)有：

可見，實函數(shù)f(t)的自相關函數(shù)是時移τ

的偶函數(shù)。2.4卷積積分的性質函數(shù)f1(t)和f2(t)卷積的表達式為：為了便于與互相關函數(shù)進行比較，我們將互相關函數(shù)定義式中的變量t和τ進行互換，可將實函數(shù)f1(t)和f2(t)的互相關函數(shù)寫為：比較以上兩式可見，卷積積分和相關函數(shù)的運算方法有許多相似之處。兩種運算的不同之處僅在于，卷積運算開始時需要將f2(τ)進行反折為f2(-τ)，而相關運算則不需反折，仍為f2(τ)。其他的移位、相乘和積分的運算方法相同。2.4卷積積分的性質2.4卷積積分的性質根據(jù)卷積的定義可見由上式可知，若f1(t)和f2(t)均為實偶函數(shù)，則卷積與相關完全相同。2.4卷積積分的性質2.4卷積積分的性質求卷積是本章的重點與難點。求解卷積的方法可歸納為：（1）利用定義式，直接進行積分。對于容易求積分的函數(shù)比較有效。如指數(shù)函數(shù)，多項式函數(shù)等。（2）圖解法。特別適用于求某時刻點上的卷積值。（3）利用性質。比較靈活。三者常常結合起來使用。2.4卷積積分的性質（1）解法I(定義)：例

求下列函數(shù)的卷積積分。2.4卷積積分的性質解法II(圖解)：解法IV(常用公式)：解法III(性質)：2.4卷積積分的性質(2)解:2.5P算子分析法2.5*P算子分析法一、微分算子及系統(tǒng)的描述y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y

(t)=bmf(m)(t)+bm-1f(m-1)(t)+…+b1f(1)(t)+b0f

(t)LTI連續(xù)系統(tǒng)用線性常系數(shù)微分方程描述。1、微分算子的定義積分算子：微分算子：注意：這里的P只是代表微分運算的一個算子（1/P是代表積分運算），P并不是變量。例1：

例2：

微分算子方程：或：

2.5P算子分析法2．微分算子的性質（規(guī)定）：（1）P的正冪多項式可以因式分解；可表示為：（2）設A(P)、B(P)為P的正冪多項式；（3）微分算子方程兩邊的公因子不能隨意消去；則：例：，不等于,不等于2.5P算子分析法例：(4)A(P)、B(P)、D(P)為P的正冪多項式：2.5P算子分析法但例：但二階系統(tǒng)微分方程：二階系統(tǒng)微分算子方程：系統(tǒng)傳輸算子：則

H(P)稱為系統(tǒng)的傳輸算子。2.5P算子分析法3、系統(tǒng)的傳輸算子：（1）微分算子方程：令演示對n階系統(tǒng)的微分方程：2.5P算子分析法微分算子方程：傳輸算子：算子模型：R：

算子模型：L：2.5P算子分析法4．RLC微分算子方程的建立：（1）R、L、C元件的算子模型：C：算子模型：例1：

解：建立系統(tǒng)微分算子方程的方法：把R,PL,1/PC看成阻抗，用正弦穩(wěn)電路分析法中所采用的網孔分析法，節(jié)點分析法，阻抗分析法，戴維南定理等建立系統(tǒng)微分算子方程。以下用網孔分析法建立方程：

2.5P算子分析法（2）系統(tǒng)微分算子方程的建立：令變量為得:用克萊姆法則解得：，，2.5P算子分析法，2.5P算子分析法二、零輸入響應的求解設二階系統(tǒng)的方程為:算子方程為:1、零輸入響應的方程傳輸算子：零輸入響應滿足的算子方程：

或2、零輸入響應的計算：

（1）簡單情況1：

(λ為常數(shù)）2.5P算子分析法設初始時刻即：2.5P算子分析法上式兩邊積分：得：所以：（2）簡單情況2：即：————①即：