第4章 正弦交流電路

第4章

正弦交流電路

重點(diǎn)：正弦交流電的三要素及其相量表示單一參數(shù)正弦交流電路的分析方法阻抗的串聯(lián)與并聯(lián)RLC串聯(lián)、并聯(lián)電路的分析串聯(lián)諧振、并聯(lián)諧振的知識(shí)三相正弦電路的分析方法正弦電流電路激勵(lì)和響應(yīng)均為正弦量的電路稱為正弦電路或交流電路。4.1正弦交流電的表示方法

（1）正弦量瞬時(shí)值表達(dá)式：i(t)=Imcos(w

t+i)波形：tiO/T周期T(period)和頻率f(frequency):頻率f

：每秒重復(fù)變化的次數(shù)。周期T

：重復(fù)變化一次所需的時(shí)間。單位：Hz，赫(茲)單位：s，秒4.1正弦交流電的表示方法

1.正弦交流電的三要素

幅值(amplitude)(振幅、最大值)Im(2)角頻率(angularfrequency)w

（2）正弦量的三要素tiOT(3)初相位(initialphaseangle)iIm2t單位：rad/s

，弧度/秒反映正弦量變化幅度的大小。相位變化的速度，反映正弦量變化快慢。反映正弦量的計(jì)時(shí)起點(diǎn)。i(t)=Imcos(w

t+i)同一個(gè)正弦量，計(jì)時(shí)起點(diǎn)不同，初相位不同。tiO一般規(guī)定：|i|。i=0i=/2i=－/2例已知正弦電流波形如圖，＝103rad/s，（1）寫出i(t)表達(dá)式；（2）求最大值發(fā)生的時(shí)間t1ti010050t1解由于最大值發(fā)生在計(jì)時(shí)起點(diǎn)之后（3）同頻率正弦量的相位差

設(shè)u(t)=Umcos(w

t+

u),i(t)=Imcos(w

t+

i)則相位差：

=(wt+

u)-(wt+

i)=

u-

i

>0，u超前i角，或i落后u

角(u比i先到達(dá)最大值)；

<0，

i超前

u

角，或u滯后

i

角,i比

u先到達(dá)最大值。tu,iu

i

u

iO等于初相位之差規(guī)定：|

|(180°)。

＝0，同相：j=(180o)

，反相：特殊相位關(guān)系：tu,iu

i0tu,iu

i0

=p/2：u領(lǐng)先ip/2,不說(shuō)u落后i3p/2；i落后up/2,不說(shuō)

i領(lǐng)先

u3p/2。tu,iu

i0同樣可比較兩個(gè)電壓或兩個(gè)電流的相位差。例計(jì)算下列兩正弦量的相位差。解不能比較相位差兩個(gè)正弦量進(jìn)行相位比較時(shí)應(yīng)滿足同頻率、同函數(shù)、同符號(hào)，且在主值范圍比較。2.正弦交流電量的有效值周期性電流、電壓的瞬時(shí)值隨時(shí)間而變，為了衡量其大小工程上采用有效值來(lái)表示。

周期電流、電壓有效值定義R直流IR交流i電流有效值定義為有效值也稱均方根值物理意義同樣，可定義電壓有效值：正弦電流、電壓的有效值設(shè)

i(t)=Imcos(t+)同理，可得正弦電壓有效值與最大值的關(guān)系：若一交流電壓有效值為U=220V，則其最大值為Um311V；U=380V，

Um537V。（1）工程上說(shuō)的正弦電壓、電流一般指有效值，如設(shè)備銘牌額定值、電網(wǎng)的電壓等級(jí)等。但絕緣水平、耐壓值指的是最大值。因此，在考慮電器設(shè)備的耐壓水平時(shí)應(yīng)按最大值考慮。（2）測(cè)量中，電磁式交流電壓、電流表讀數(shù)均為有效值。（3）區(qū)分電壓、電流的瞬時(shí)值、最大值、有效值的符號(hào)。注復(fù)數(shù)F的表示形式AbReIma0A=a+jbAbReIma0r（1）復(fù)數(shù)及運(yùn)算3.正弦交流電的相量表示復(fù)數(shù)運(yùn)算則A±B=(a1±a2)+j(b1±b2)(1)加減運(yùn)算——采用代數(shù)形式若A=a1+jb1，B=a2+jb2F1F2ReIm0圖解法(2)乘除運(yùn)算——采用極坐標(biāo)形式若A

=r1

1，B

=r2

2除法：模相除，角相減。乘法：模相乘，角相加。則:（2）正弦量的相量表示i1I1I2Iwwwi1+i2ii2

123角頻率：有效值：初相位：因同頻的正弦量相加仍得到同頻的正弦量，所以，只要確定初相位和有效值(或最大值)就行了。因此，比較：對(duì)于任意一個(gè)正弦量都有唯一與其對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，所以可用這個(gè)復(fù)數(shù)表示此正弦量-----相量。A包含了三要素中的兩個(gè)：I、

。正弦量復(fù)數(shù)正弦量復(fù)數(shù)注同一正弦電路中，頻率不變稱為正弦量i(t)

對(duì)應(yīng)的相量。相量的模表示正弦量的有效值相量的幅角表示正弦量的初相位同樣可以建立正弦電壓與相量的對(duì)應(yīng)關(guān)系：已知例1試用相量表示i,u.解例2（1）求兩電壓之和的瞬時(shí)值u(t)（2）畫出相量圖解相量圖相量法的優(yōu)點(diǎn)：（1）把時(shí)域問(wèn)題變?yōu)閺?fù)數(shù)問(wèn)題；（3）把微積分方程的運(yùn)算變?yōu)閺?fù)數(shù)方程運(yùn)算；（4）可以把直流電路的分析方法直接用于交流電路；注②相量法只適用于激勵(lì)為同頻正弦量的線性電路。③相量法用來(lái)分析正弦穩(wěn)態(tài)電路。（2）把微積分運(yùn)算變?yōu)閺?fù)數(shù)線性運(yùn)算；

相量是表示正弦量而不是等于正弦量。上式表明：流入某一節(jié)點(diǎn)的所有正弦電流用相量表示時(shí)仍滿足KCL；而任一回路所有支路正弦電壓用相量表示時(shí)仍滿足KVL。4.KCL、KVL的相量形式1.電阻元件交流電路時(shí)域形式：相量形式：相量模型uR(t)i(t)R+-有效值（大?。╆P(guān)系相位關(guān)系R+-URu相量關(guān)系：UR=RI

u=

i4.2單一參數(shù)正弦交流電路

波形圖及相量圖：

itOuRu=i同相位瞬時(shí)功率：時(shí)域形式：i(t)uL(t)L+-相量形式：相量模型jL+-相量關(guān)系：有效值關(guān)系：U=wLI相位關(guān)系：

u=

i+90°

2.電感元件交流電路感抗的物理意義：(1)表示限制電流的能力；(2)感抗和頻率成正比；相量表達(dá)式:XL=L=2fL，稱為感抗，單位為(歐姆)

感抗:相位關(guān)系：

u=

i+90°

有效值關(guān)系：

U=wLI=XLIt

iOuLi波形圖及相量圖：電壓超前電流900瞬時(shí)功率

：時(shí)域形式：相量形式：相量模型iC(t)u(t)C+-+-有效值關(guān)系：IC=wCU相位關(guān)系：

i=

u+90°

相量關(guān)系：3.電容元件VCR的相量形式XC=-1/wC，

稱為容抗，單位為

(歐姆)頻率和容抗成反比,0，|XC|

直流開路(隔直)w，|XC|0高頻短路(旁路作用)容抗相量表達(dá)式:t

iCOuu波形圖及相量圖：電流超前電壓900瞬時(shí)功率

：例1試判斷下列表達(dá)式的正、誤：例1試判斷下列表達(dá)式的正、誤：L1.阻抗的串聯(lián)與并聯(lián)4.3正弦交流電路分析

（1）阻抗Z+-無(wú)源線性+-單位：阻抗模阻抗角歐姆定律的相量形式Z—復(fù)阻抗；R—電阻(阻抗的實(shí)部)；X—電抗(阻抗的虛部)；

|Z|—復(fù)阻抗的模；

—阻抗角?；騌=|Z|cosX=|Z|sin阻抗三角形|Z|RXj（2）阻抗的性質(zhì)j<0，電路為容性，電壓落后電流；j=0，電路為電阻性，電壓與電流同相。j>0，電路為感性，電壓領(lǐng)先電流；（3）阻抗的串聯(lián)與并聯(lián)

阻抗的串聯(lián)：阻抗的并聯(lián)：瞬時(shí)功率無(wú)源+ui_第一種分解方法；第二種分解方法。（4）正弦交流電路的功率有功功率

P和功率因數(shù)=u-i：功率因數(shù)角。對(duì)無(wú)源網(wǎng)絡(luò)，為其等效阻抗的阻抗角。cos

：功率因數(shù)。P的單位：W（瓦）一般地,有0cosj1X>0,j>0,

感性X<0,j<0,

容性cosj1,純電阻0，純電抗平均功率實(shí)際上是電阻消耗的功率，亦稱為有功功率。表示電路實(shí)際消耗的功率，它不僅與電壓電流有效值有關(guān)，而且與cos有關(guān)，這是交流和直流的很大區(qū)別,主要由于電壓、電流存在相位差。視在功率S反映電氣設(shè)備的容量。無(wú)功功率

Q表示交換功率的最大值，單位：var(乏)。Q>0，表示網(wǎng)絡(luò)吸收無(wú)功功率；Q<0，表示網(wǎng)絡(luò)發(fā)出無(wú)功功率Q的大小反映網(wǎng)絡(luò)與外電路交換功率的大小。是由儲(chǔ)能元件L、C的性質(zhì)決定的有功，無(wú)功，視在功率的關(guān)系：有功功率:

P=UIcosj

單位：W無(wú)功功率:

Q=UIsinj

單位：var視在功率:

S=UI

單位：VAjSPQjZRXjUURUXRX+_+_oo+_功率三角形阻抗三角形電壓三角形（1）RLC串聯(lián)電路由KVL：LCRuuLuCi+-+-+-+-uRjLR+-+-+-+-2.正弦交流電路的分析

分析R、L、C串聯(lián)電路得出：（1）Z=R+j(wL-1/wC)=R+jX=|Z|∠j為復(fù)數(shù)，故稱復(fù)阻抗（2）電路性質(zhì)wL<1/wC，

X<0，j<0，電路為容性，電壓落后電流；wL=1/wC

，X=0，j=0，電路為電阻性，電壓與電流同相。

wL>1/wC

，X>0，j>0，電路為感性，電壓領(lǐng)先電流；選電流為參考向量，設(shè)wL>1/wC

（3）電壓關(guān)系

設(shè)：

相量圖：

例已知：R=15,L=0.3mH,C=0.2F,求i,uR,uL,uC.解其相量模型為：LCRuuLuCi+-+-+-+-uRjLR+-+-+-+-則UL=8.42>U=5，分電壓大于總電壓。-3.4°相量圖注（2）RLC并聯(lián)電路

所以由于電阻電路與正弦電流電路的分析比較：可見，二者依據(jù)的電路定律是相似的。只要作出正弦電流電路的相量模型，便可將電阻電路的分析方法推廣應(yīng)用于正弦穩(wěn)態(tài)的相量分析中。（3）正弦交流電路的相量分析法結(jié)論1.引入相量法，把求正弦穩(wěn)態(tài)電路微分方程的特解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解復(fù)數(shù)代數(shù)方程問(wèn)題。2.引入電路的相量模型，不必列寫時(shí)域微分方程，而直接列寫相量形式的代數(shù)方程。3.引入阻抗以后，可將所有網(wǎng)絡(luò)定理和方法都應(yīng)用于交流，直流（f=0)是一個(gè)特例。4.4電路的諧振含有R、L、C的一端口電路，在特定條件下出現(xiàn)端口電壓、電流同相位的現(xiàn)象時(shí)，稱電路發(fā)生了諧振。（1）諧振的定義R,L,C電路發(fā)生諧振1.串聯(lián)諧振RjL+_（2）串聯(lián)諧振的條件諧振角頻率諧振頻率諧振條件僅與電路參數(shù)有關(guān)（3）RLC串聯(lián)電路諧振時(shí)的特點(diǎn)輸入端阻抗Z為純電阻，即Z=R。電路中阻抗值|Z|最小。（2）串聯(lián)諧振時(shí)，回路電抗X=0，感抗與容抗相等并等于電路的特性阻抗ρ

特性阻抗品質(zhì)因數(shù)（3）串聯(lián)諧振時(shí)，電路中的電流為最大值且與外加電壓同相。I0稱為串聯(lián)諧振電流。

（5）諧振時(shí)，能量只在R上消耗，電容和電感之間進(jìn)行磁場(chǎng)能量和電場(chǎng)能量的轉(zhuǎn)換，電源和電路之間沒(méi)有能量轉(zhuǎn)換。（4）串聯(lián)諧振時(shí)，電感及電容兩端電壓模值相等，且等于外加電壓的Q倍。即2.并聯(lián)諧振，CLR諧振條件諧振時(shí)相量圖(2)

電流一定時(shí)，總電壓達(dá)最大值：(3)

支路電流是總電流的Q倍(1)

電路發(fā)