第十章 離散時間：差分方程.電子教案教學課件

第十章離散時間：差分方程第1節(jié)引言和定義變量只在離散時間區(qū)間的結尾處才發(fā)生變化，而時間變量只能取非負的整數(shù)差分算子

定義的一階向前差分為其二階向前差分為

階差分方程會涉及，其一階向后差分為

二階向后差分為

階向后差分方程會涉及

帕斯卡（楊輝）三角形差分方程的表達式階差分方程或者階線性差分方程為

或者若系數(shù)為常數(shù)，則差分方程具有不變系數(shù)，若其等于零，則差分方程為齊次方程定理階差分方程的通解中包括個任意常數(shù)。如果為非齊次線性常系數(shù)差分方程的特解而為對應齊次方程的通解，則為該非齊次方程的通解。如果和為二階線性常系數(shù)齊次方程的特解，那么該方程的通解為，其中和為任意常數(shù)。第2節(jié)一階線性常系數(shù)差分方程方程直接代入可知為該方程齊次形式的通解，而為該非齊次方程的特解，則方程通解為當時，，為的潛在均衡點第3節(jié)二階線性常系數(shù)差分方程二階線性常系數(shù)方程齊次方程的通解輔助方程：

情形1：輔助方程不同實根

定理此時齊次方程的通解為情形2：輔助方程具有相同實根

定理此時通解為情形3：輔助方程具有共軛復根,

定理此時通解為其中，由定義非齊次方程的特解待定系數(shù)法例差分方程代入向前差分算子輔助方程為其根為重根，對應齊次方程的通解為對于方程右邊的，待試特解為代入可得對于，先試解，但在齊次方程通解中已經出現(xiàn)，也是這樣，則試解，代入可得整個部分的特解為非齊次差分方程的通解為特殊情形其一個特解（潛在均衡點）為輔助方程

情形1：輔助方程具有不等實根此時通解為當且僅當兩根絕對值都小于1，時間路徑收斂若兩根均為負或者為負根絕對值較大，則時間路徑存在振蕩

情形2：相等實根，此時通解為

當且僅當該重根絕對值小于1時，時間路徑收斂若該重根為負，則時間路徑存在振蕩

情形3：共軛復根，此時通解為必存在振蕩，若，為爆炸式的振蕩，若，所得時間路徑為不斷衰減的振蕩且收斂于。

定義復數(shù)或的絕對值為三種情形都可能存在振蕩，當且僅當每個根的絕對值都小于1時，所得時間路徑收斂。第4節(jié)考察二次方程根的性質二次方程其根為有有如下關系：（i）若，則兩根符號相同，若同時，則為兩正根，若，則為兩負根（ii）若，則一根為負而另一根為正。輔助方程其兩根絕對值小于1的充分必要條件為：（i）（ii）（iii）第5節(jié)經濟學應用蛛網模型基本蛛網模型需求：供給：供求相等可得一階常系數(shù)差分方程其特解（潛在均衡點）為通解為已知，從而為負而的時間路徑必然存在振蕩，當且僅當時，該時間路徑收斂

擴展蛛網模型需求：，供給：供求相等可得：其一個特解為輔助方程：情形1：不等實根此時其根為

兩根都為負，存在振蕩當下列條件成立時，時間路徑收斂：（i），也即（ii），也即（iii），也即情形2：相等實根此時同樣存在振蕩，時間路徑收斂的條件為或者情形3：共軛復根

此時存在振蕩，根的絕對值小于1時時間路徑收斂，即也即薩繆爾森乘數(shù)加乘數(shù)模型可得一特解（潛在均衡值）為輔助方程其根為

情形1：不等實根

兩根都為正，不存在循環(huán)，設較大，至于是否收斂，分幾種情形：（i）（ii）（iii）（iv）（v）考慮有（i）其為可行的（ii），其不可行（iii），其不可行（iv），其可行（v）和，可行還有兩種可能的情形：子情形收斂無振蕩時間路徑，此時和子情形發(fā)散無振蕩時間路徑，此時和情形2：相等實根此時無循環(huán)子情形：時間路徑收斂和子情形：時間路徑發(fā)散和情形3：共軛復根必然存在振蕩，是否收斂取決于復根的絕對值子情形