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關(guān)于用空間向量求空間角第一頁(yè),共二十二頁(yè),2022年,8月28日復(fù)習(xí)回顧直線的方向向量:兩點(diǎn)平面的法向量:三點(diǎn)兩線一方程設(shè)a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)則(1)a·b=
.
a1b1+a2b2+a3b3第二頁(yè),共二十二頁(yè),2022年,8月28日設(shè)直線l1、l2的方向向量分別為a、b,平面α、β的法向量分別為n1、n2.則⑴l1∥l2或l1與l2重合?
?
.
⑵l1⊥l2?
?
.
⑶α∥β或α與β重合?
?
.
⑷α⊥
β?
?
.
⑸l∥α或l?α?
?
.
⑹l⊥
α?
?
.復(fù)習(xí)回顧a∥ba=
tba⊥ba·b
=
0n1∥n2n1=tn2n1=tan1∥an1⊥n2n1·
n2=
0n1⊥
an1·a
=
0第三頁(yè),共二十二頁(yè),2022年,8月28日引例:求二面角M-BC-D的平面角的正切值;求CN與平面ABCD所成角的正切值;求CN與BD所成角的余弦值;(4)求平面SBC與SDC所成角的正弦值
第四頁(yè),共二十二頁(yè),2022年,8月28日范圍:
一、線線角:異面直線所成的銳角或直角思考:空間向量的夾角與異面直線的夾角有什么關(guān)系?結(jié)論:第五頁(yè),共二十二頁(yè),2022年,8月28日xzy②向量法ADCBD1C1B1A1E1F1方法小結(jié)①傳統(tǒng)法:平移例1.如圖所示的正方體中,已知F1與E1為四等分點(diǎn),求異面直線DF1與BE1的夾角余弦值?第六頁(yè),共二十二頁(yè),2022年,8月28日所以與所成角的余弦值為解:如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,設(shè)則:
所以:練習(xí):第七頁(yè),共二十二頁(yè),2022年,8月28日[悟一法]
利用向量求異面直線所成的角的步驟為:
(1)確定空間兩條直線的方向向量;
(2)求兩個(gè)向量夾角的余弦值;
(3)確定線線角與向量夾角的關(guān)系;當(dāng)向量夾角為銳角時(shí),即為兩直線的夾角;當(dāng)向量夾角為鈍角時(shí),兩直線的夾角為向量夾角的補(bǔ)角.第八頁(yè),共二十二頁(yè),2022年,8月28日直線與平面所成角的范圍:
結(jié)論:二、線面角:直線和直線在平面內(nèi)的射影所成的角,叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.思考:如何用空間向量的夾角表示線面角呢?AOB第九頁(yè),共二十二頁(yè),2022年,8月28日例2、如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,求A1B與平面A1B1CD所成的角ABCDA1B1C1D1O①向量法②
傳統(tǒng)法第十頁(yè),共二十二頁(yè),2022年,8月28日N解:如圖建立坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則即在長(zhǎng)方體中,練習(xí):第十一頁(yè),共二十二頁(yè),2022年,8月28日N又在長(zhǎng)方體中,練習(xí):第十二頁(yè),共二十二頁(yè),2022年,8月28日[悟一法]
利用向量法求直線與平面所成角的步驟為:
(1)確定直線的方向向量和平面的法向量;
(2)求兩個(gè)向量夾角的余弦值;
(3)確定線面角與向量夾角的關(guān)系:向量夾角為銳角時(shí),線面角與這個(gè)夾角互余;向量夾角為鈍角時(shí),線面角等于這個(gè)夾角減去90°.第十三頁(yè),共二十二頁(yè),2022年,8月28日二面角的平面角必須滿(mǎn)足:3)角的邊都要垂直于二面角的棱1)角的頂點(diǎn)在棱上2)角的兩邊分別在兩個(gè)面內(nèi)
以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn),在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線,這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。10lOAB三、面面角:第十四頁(yè),共二十二頁(yè),2022年,8月28日l(shuí)l三、面面角:向量法關(guān)鍵:觀察二面角的范圍第十五頁(yè),共二十二頁(yè),2022年,8月28日①證明:以為正交基底,建立空間直角坐標(biāo)系如圖。則可得例3.已知正方體的邊長(zhǎng)為2,O為AC和BD的交點(diǎn),M為的中點(diǎn)(1)求證:直線面MAC;
(2)求二面角的余弦值.B1A1C1D1DCBAOMxyz第十六頁(yè),共二十二頁(yè),2022年,8月28日②B1A1C1D1DCBAOMxyz由圖可知二面角為銳角第十七頁(yè),共二十二頁(yè),2022年,8月28日[悟一法]
利用法向量求二面角的步驟
(1)確定二個(gè)平面的法向量;
(2)求兩個(gè)法向量夾角的余弦值;
(3)確定二面角的范圍;二面角的范圍要通過(guò)圖形觀察,法向量一般不能體現(xiàn).第十八頁(yè),共二十二頁(yè),2022年,8月28日練習(xí):如圖,已知:直角梯形OABC中,OA∥BC,∠AOC=90°,SO⊥面OABC,且
OS=OC=BC=1,OA=2。求:⑴異面直線SA和OB所成的角的余弦值,⑵OS與面SAB所成角α的正弦值,⑶二面角B-AS-O的余弦值。則A(2,0,0);于是我們有OABCS解:如圖建立直角坐標(biāo)系,xyz=(2,0,-1);=(-1,1,0);=(1,1,0);=(0,0,1);B(1,1,0);S(0,0,1),C(0,1,0);O(0,0,0);第十九頁(yè),共二十二頁(yè),2022年,8月28日令x=1,則y=1,z=2;從而(2)設(shè)面SAB的法向量顯然有OABCSxyz第二十頁(yè),共二十二頁(yè),2022年,8月28日⑵.由⑴知面SAB的法向量=(1,1,2)
又∵OC⊥面AOS
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