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文檔簡介

§1

第一型曲線積分

本節(jié)將研究定義在平面或空間曲線段上的第一型曲線積分.此類積分的典型物理背景是求非均勻分布的曲線狀物體的質量.二、第一型曲線積分的計算一、第一型曲線積分的定義返回一．第一型曲線積分的定義上的連續(xù)函

是定義在設某物體的密度函數(shù)數(shù)當是直線段時,應用定積分就能計算得該物體

的質量.現(xiàn)在研究當是平面或空間中某一可求長度的曲線段時物體的質量的計算問題.(2)近似求和：在每一個上任取一點由于

(1)分割：把分成個可求長度的小曲線段

上的連續(xù)函數(shù),

故當?shù)幕￠L都很小時,

每一小段的質量可近似地等于其中

為小曲線段的長度.于是在整個上的質量就近似地等于和式(3)當對的分割越來越細密(即)

時,上述和式的極限就應是該物體的質量.由上面看到,求物質曲線段的質量,與求直線段的質量一樣,也是通過“分割、近似求和、取極限”來得到的.下面給出這類積分的定義.個可求長度的小曲線段的弧長,它把定義在上的函數(shù).

對曲線做分割分成記為分割的細度為在上任取一點若有極限為平面上可求長度的曲線段,定義1設為且的值與分割的取法無關,

則稱此極限為上的第一型曲線積分,

記作為空間可求長曲線段,

若為定義在上

的函數(shù),

則可類似地定義在空間曲線上

的第一型曲線積分,并且記作于是前面講到的質量分布在曲線段上的物體的質

量可由第一型曲線積分(1)或(2)求得.1.

若在為

常數(shù),

則也存在,且2.

若曲線段由曲線首尾相接而成,

都存在,則

也存在,且3．都存在,且在

則4．也存在,

且5．存在,的弧長為則存在常數(shù)

使得二．第一型曲線積分的計算定理20.1

設有光滑曲線為定義在上的連續(xù)函數(shù),則上有連續(xù)的導函數(shù)時,(3)式成為

1.曲線由方程表示,且在上有連續(xù)導函數(shù)時,(3)式成為例1

設是半圓周試計算第一型曲線積分解2.曲線L由方程表示,且在例2

一段(圖20-2),試計算第一型曲線積分解

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