-信號(清華大學出版社)第二章第一講

第二章LTI連續(xù)系統(tǒng)的時域分析1:系統(tǒng)的微分算子方程與傳輸算子2:LTI連續(xù)系統(tǒng)的零輸入響應3:LTI連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應與階躍響應4:卷積積分5:求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應的卷積積分法研究問題舉例1、LTI連續(xù)系統(tǒng)的微分算子方程2、系統(tǒng)的零輸入響應4、系統(tǒng)的零狀態(tài)響應3、系統(tǒng)的單位沖激響應5、系統(tǒng)的全響應第二章LTI連續(xù)系統(tǒng)的時域分析§2–1系統(tǒng)的微分算子方程與傳輸算子一、微分算子、積分算子與微分算子方程:引入如下算子：微分算子:

積分算子:

則：§2–1系統(tǒng)的微分算子方程與傳輸算子一、微分算子、積分算子與微分算子方程:對于微分方程

算子形式微分算子方程：

§2–1系統(tǒng)的微分算子方程與傳輸算子一、微分算子、積分算子與微分算子方程:微分算子方程是微分方程的一種表示，含義是在等式兩邊分別對變量y(t)和f(t)進行相應的微分運算。形式上是代數(shù)方程的表示方法?？捎脕碓跁r域中建立與變換域相一致的分析方法。一、微分算子、積分算子與微分算子方程:§2–1系統(tǒng)的微分算子方程與傳輸算子微分算子的運算性質(zhì)：§2–1系統(tǒng)的微分算子方程與傳輸算子一、微分算子、積分算子與微分算子方程:四個性質(zhì)教材第33頁自學！二、LTI連續(xù)系統(tǒng)的微分算子方程及傳輸算子電路元件伏安關系(VAR)的微分算子形式稱為

算子模型，電壓、電流比為算子感抗和算子容抗§2–1系統(tǒng)的微分算子方程與傳輸算子元件名稱

電路符號

u-i關系(VAR)

VAR的算子形式算子模型電阻電感電容

電路元件的算子模型i(t)Ri(t)Li(t)Ci(t)Ri(t)pLi(t)1/pC二、LTI連續(xù)系統(tǒng)的微分算子方程及傳輸算子§2–1系統(tǒng)的微分算子方程與傳輸算子LpL;C

1/pC畫出算子模型，按照電路理論中的列寫方程方法列寫。二、LTI連續(xù)系統(tǒng)的微分算子方程及傳輸算子電路系統(tǒng)微分算子方程的建立方法:§2–1系統(tǒng)的微分算子方程與傳輸算子例：RLC串聯(lián)電路，e(t)為激勵，i(t)為響應。試列寫其微分算子方程。二、LTI連續(xù)系統(tǒng)的微分算子方程及傳輸算子§2–1系統(tǒng)的微分算子方程與傳輸算子微分算子方程對于激勵為f(t)，響應為y(t)的n階LTI連續(xù)系統(tǒng)，其微分算子方程為：二、LTI連續(xù)系統(tǒng)的微分算子方程及傳輸算子§2–1系統(tǒng)的微分算子方程與傳輸算子H(p)稱為響應y(t)對激勵f(t)的傳輸算子或系統(tǒng)的傳輸算子微分算子方程傳輸算子系統(tǒng)傳輸算子與系統(tǒng)微分算子方程是對系統(tǒng)的等價表示。它們之間可以可以轉(zhuǎn)化。二、LTI連續(xù)系統(tǒng)的微分算子方程及傳輸算子§2–1系統(tǒng)的微分算子方程與傳輸算子例:（書）電路如圖(a)所示，激勵為f(t)，響應為i2(t)。試列寫其微分算子方程。(a)1+f(t)-i153Fi22H4H1+f(t)-i1513pi22p4p(b)i1i2二、LTI連續(xù)系統(tǒng)的微分算子方程及傳輸算子§2–1系統(tǒng)的微分算子方程與傳輸算子解：畫出其算子模型電路如圖(b)所示。由回路法可列出方程為：

二、LTI連續(xù)系統(tǒng)的微分算子方程及傳輸算子化簡微分方程組時要考察電路的階數(shù)以便確定公共因子是否可消去?！?–1系統(tǒng)的微分算子方程與傳輸算子)(271481/3)(232tfpppti+++=例：求i1(t)對f(t)的傳輸算子，以及i1(t)對f(t)的微分方程二、LTI連續(xù)系統(tǒng)的微分算子方程及傳輸算子§2–1系統(tǒng)的微分算子方程與傳輸算子二、LTI連續(xù)系統(tǒng)的微分算子方程及傳輸算子微分方程§2–1系統(tǒng)的微分算子方程與傳輸算子1、LTI連續(xù)系統(tǒng)的微分算子方程2、系統(tǒng)的零輸入響應4、系統(tǒng)的零狀態(tài)響應3、系統(tǒng)的單位沖激響應5、系統(tǒng)的全響應第二章LTI連續(xù)系統(tǒng)的時域分析LTI的全響應可作如下分解：1、y(t)=自由響應+強制響應；2、y(t)=瞬態(tài)響應+穩(wěn)態(tài)響應；3、y(t)=零輸入響應yx(t)+零狀態(tài)響應yf(t)§2–2LTI連續(xù)系統(tǒng)的零輸入響應一、系統(tǒng)初始條件y(0-)=yx(0-)+yf(0-)式(1)y(0+)=yx(0+)+yf(0+)式(2)

對于因果系統(tǒng)：

yf(0-)=0對于時不變系統(tǒng)：

yx(0+)=yx(0-)y(0-)=yx(0-)=yx(0+)；y(0+)=y(0-)+yf(0+)y(j)(0-)=y(j)x(0-)=y(j)x(0+)；

y(j)(0+)=y(j)(0-)+y(j)

f(0+)§2–2LTI連續(xù)系統(tǒng)的零輸入響應同理，可推得y(t)的各階導數(shù)滿足因此，式(1)和(2)可改寫為二、通過系統(tǒng)微分算子方程求零輸入響應要使上式成立，需滿足D(p)=0（特征方程）

§2–2LTI連續(xù)系統(tǒng)的零輸入響應此微分方程的解將yx(0-)、yx‘(0-)、…、yx(n-1)(0-)代入上式，確定常數(shù)A1、A2、…、An。

共軛復根時需根據(jù)歐拉公式化簡為三角實函數(shù)

二、通過系統(tǒng)微分算子方程求零輸入響應§2–2LTI連續(xù)系統(tǒng)的零輸入響應1．特征根為n個單根p1,p2,…,pn(可為實根、虛根或復根)

2．特征根含有重根

設特征根p1為r重根，其余特征根為單根，則yx(t)的通解表達式為：確定常數(shù)的方法同前。二、通過系統(tǒng)微分算子方程求零輸入響應§2–2LTI連續(xù)系統(tǒng)的零輸入響應3．求解零輸入響應yx(t)的基本步驟：

(1)通過微分算子方程得D(p)求系統(tǒng)的特征根;

(2)寫出yx(t)的通解表達式;(3)由系統(tǒng)的0-狀態(tài)值與0-瞬時的零輸入系統(tǒng)求得初始條件yx(j)(0-),j=0,1,2,…,n-1。(5)寫出所得的解yx(t)，畫出yx(t)的波形。

二、通過系統(tǒng)微分算子方程求零輸入響應§2–2LTI連續(xù)系統(tǒng)的零輸入響應(4)將0-初始條件代入的通解yx(t)表達式，求得積分常數(shù)A1,A2,…,An。二、通過系統(tǒng)微分算子方程求零輸入響應§2–2LTI連續(xù)系統(tǒng)的零輸入響應§2–2LTI連續(xù)系統(tǒng)的零輸入響應求零輸入響應初始條件例（書）

電路如圖(a)所示，已知uC(0-)=1V，iL(0-)=-1A，求t>0時的零輸入響應uCx(t)。解

(1)畫出算子模型電路,由節(jié)點法可列出方程為:二、通過系統(tǒng)微分算子方程求零輸入響應§2–2LTI連續(xù)系統(tǒng)的零輸入響應化簡可得:解得特征根:p1=-2，p2=-3(2)0-瞬時的等效電路

二、通過系統(tǒng)微分算子方程求零輸入響應§2–2