314空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示

數(shù)學(xué)3.1.4空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示數(shù)學(xué)自主預(yù)習(xí)課堂探究數(shù)學(xué)自主預(yù)習(xí)1.理解空間向量基本定理,并能用基本定理解決一些幾何問題.2.理解基底、基向量及向量的線性組合的概念.3.掌握空間向量的坐標(biāo)表示,能在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中寫出向量的坐標(biāo).課標(biāo)要求數(shù)學(xué)知識(shí)梳理1.空間向量基本定理如果三個(gè)向量a,b,c不共面,那么對(duì)空間任一向量p,存在有序?qū)崝?shù)組{x,y,z},使得p=.其中{a,b,c}叫做空間的一個(gè),a,b,c都叫做.2.空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示(1)單位正交基底有公共起點(diǎn)的三個(gè)的單位向量e1,e2,e3稱為單位正交基底.(2)空間直角坐標(biāo)系以e1,e2,e3的公共起點(diǎn)O為原點(diǎn),分別以e1,e2,e3的方向?yàn)閤軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.xa+yb+zc基底基向量?jī)蓛纱怪睌?shù)學(xué)(3)空間向量的坐標(biāo)表示

對(duì)于空間任意一個(gè)向量p,一定可以把它平移,使它的起點(diǎn)與原點(diǎn)O重合,得到向量OPuuur=p.由空間向量基本定理可知,存在有序?qū)崝?shù)組{x,y,z}使得p=xe1+ye2+ze3.把x,y,z稱作向量p在單位正交基底e1,e2,e3下的坐標(biāo),記作p=.(x,y,z)數(shù)學(xué)自我檢測(cè)1.(空間向量的坐標(biāo)表示)已知e1,e2,e3是空間直角坐標(biāo)系中分別與x軸、y軸、z軸同向的單位向量,且p=e1+2e2-3e3,則p的坐標(biāo)是()(A)(1,2,3)(B)(-1,-2,3)(C)(1,2,-3)(D)(1,-2,-3)2.(空間向量的坐標(biāo)表示)(2015白鷺洲中學(xué)高二月考)若點(diǎn)A(x2+4,4-y,1+2z)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)是B(-4x,9,7-z),則x,y,z的值依次為()(A)1,-4,9(B)2,-5,-8(C)2,5,8(D)-2,-5,8CB數(shù)學(xué)3.(空間向量基本定理的理解)O,A,B,C為空間四點(diǎn),且向量OAuuur,OBuuur,OCuuur不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底,則(

)(A)OAuuur,OBuuur,OCuuur共線

(B)OAuuur,OBuuur共線

(C)OBuuur,OCuuur共線

(D)O,A,B,C四點(diǎn)共面

D4.(坐標(biāo)表示)設(shè){i,j,k}是空間向量的一個(gè)單位正交基底,且m=2i+3j-4k,n=-i+2j-5k,則m,n的坐標(biāo)分別為.答案:(2,3,-4),(-1,2,-5)5.(空間向量基本定理的應(yīng)用)從空間一點(diǎn)P引出三條射線PA,PB,PC,在PA,PB,PC上分別取PQuuur=a,

PRuuur=b,PSuuur=c,點(diǎn)G在PQ上,且PG=2GQ,H為RS的中點(diǎn),則GHuuuur=

.(用a,b,c表示)答案:12b+12c-23a

數(shù)學(xué)課堂探究空間向量基本定理的理解題型一【教師備用】(1)空間中怎樣的向量能構(gòu)成基底?(2)基底與基向量的概念有什么不同?提示:(1)空間任意三個(gè)“不共面”的向量都可以作為空間向量的一個(gè)基底.(2)一個(gè)基底是指一個(gè)向量組,一個(gè)基向量是指基底中的某一個(gè)向量,二者是相關(guān)聯(lián)的不同概念.數(shù)學(xué)【例1】

已知{e1,e2,e3}為空間一基底,且OAuuur=e1+2e2-e3,OBuuur=-3e1+e2+2e3,

OCuuur=e1+e2-e3,能否以O(shè)Auuur,OBuuur,OCuuur構(gòu)成空間的一個(gè)基底?解:能.假設(shè)OAuuur,OBuuur,OCuuur共面,根據(jù)向量共面的充要條件有:

OAuuur=xOBuuur+yOCuuur,即e1+2e2-e3=x(-3e1+e2+2e3)+y(e1+e2-e3)=(-3x+y)e1+(x+y)e2+(2x-y)e3.所以31,2,21.xyxyxy?????????????此方程組無解.所以O(shè)Auuur,OBuuur,OCuuur不共面.所以O(shè)Auuur,OBuuur,OCuuur可構(gòu)成空間的一個(gè)基底.數(shù)學(xué)題后反思判斷某一向量組能否作為基底,關(guān)鍵是判斷它們是否共面.如果從正面難以入手,可用反證法或利用一些常見的幾何圖形進(jìn)行判斷.數(shù)學(xué)即時(shí)訓(xùn)練11:已知{a,b,c}是空間的一個(gè)基底,則可以與向量p=a+b,q=a-b構(gòu)成基底的向量是(

)(A)2a

(B)2b

(C)2a+3b

(D)2a+5c

解析:由于{a,b,c}是空間的一個(gè)基底,所以a,b,c不共面,在四個(gè)選項(xiàng)中,只有選項(xiàng)D與p,q不共面,因此,2a+5c與p,q能構(gòu)成基底,故選D.數(shù)學(xué)空間向量基本定理的應(yīng)用題型二【例2】

如圖,四棱錐POABC的底面為一矩形,PO⊥平面OABC,設(shè)OAuuur=a,

OCuuur=b,OPuuur=c,E,F分別是PC和PB的中點(diǎn),試用a,b,c表示:BFuuur,BEuuur,AEuuur,EFuuur.解:連接BO,則BFuuur=12BPuuur=12(BOuuur+OPuuur)=12(c-b-a)=-12a-12b+12c.BEuuur=BCuuur+CEuuur=-a+12CPuuur=-a+12(COuuur+OPuuur)=-a-12b+12c.AEuuur=APuuur+PEuuur=AOuuur+OPuuur+12(POuuur+OCuuur)=-a+c+12(-c+b)=-a+12b+12c.EFuuur=12CBuuur=12OAuuur=12a.數(shù)學(xué)題后反思(1)若基底確定,要充分利用向量加法、減法的三角形法則和平行四邊形法則,以及數(shù)乘向量的運(yùn)算進(jìn)行.(2)若沒給定基底時(shí),首先選擇基底,選擇時(shí),要盡量使所選的基向量能方便地表示其他向量,再就是看基向量的模及其夾角已知或易求.數(shù)學(xué)即時(shí)訓(xùn)練21:(2015北京大興高二期中)如圖,在平行六面體ABCDA1B1C1D1中,已知ABuuur=a,

ADuuur=b,

1AAuuur=c,則用向量a,b,c可表示向量1BDuuuur等于(

)(A)a+b+c

(B)a-b+c

(C)a+b-c

(D)-a+b+c

解析:1BDuuuur=1ADuuuur-ABuuur=1AAuuur+ADuuur-ABuuur=c+b-a.故選D.數(shù)學(xué)【備用例題】

如圖,已知正方體ABCDA′B′C′D′,點(diǎn)E是上底面A′B′C′D′的中心,分別取向量ABuuur,ADuuur,AA?uuur為基底,若

(1)BD?uuuur=xADuuur+yABuuur+zAA?uuur;(2)AEuuur=xADuuur+yABuuur+zAA?uuur.試分別確定x,y,z的值.數(shù)學(xué)解:(1)因?yàn)锽D?uuuur=BDuuur+DD?uuuur=BAuuur+ADuuur+DD?uuuur

=-ABuuur+ADuuur+AA?uuur,又BD?uuuur=xADuuur+yABuuur+zAA?uuur,所以x=1,y=-1,z=1.(2)因?yàn)锳Euuur=AA?uuur+AE?uuuur=AA?uuur+12AC??uuuur=AA?uuur+12(AB??uuuur+AD??uuuur)=AA?uuur+12AB??uuuur+12ADuuur=12ADuuur+12ABuuur+AA?uuur,又AEuuur=xADuuur+yABuuur+zAA?uuur,所以x=12,y=12,z=1.數(shù)學(xué)空間向量的坐標(biāo)表示題型三【例3】

在直三棱柱ABOA1B1O1中,∠AOB=π2,AO=4,BO=2,AA1=4,D為A1B1的中點(diǎn),在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中,求DOuuur,1ABuuur的坐標(biāo).

解:因?yàn)镈Ouuur=-ODuuur=-(1OOuuuur+1ODuuuur)=-[1OOuuuur+12(OAuuur+OBuuur)]=-1OOuuuur-12OAuuur-12OBuuur.數(shù)學(xué)又|1OOuuuur|=|1AAuuur|=4,|

OAuuur|=4,|

OBuuur|=2,所以DOuuur=(-2,-1,-4);因?yàn)?ABuuur=OBuuur-1OAuuur=OBuuur-(OAuuur+1AAuuur)=OBuuur-OAuuur-1AAuuur.又|OBuuur|=2,|

OAuuur|=4,|

1AAuuur|=4,所以1ABuuur=(-4,2,-4).數(shù)學(xué)題后反思用坐標(biāo)形式表示向量需解決兩個(gè)問題:一是恰當(dāng)建立空間直角坐標(biāo)系,通常選取互相垂直的直線為坐標(biāo)軸,頂點(diǎn)或中點(diǎn)為原點(diǎn);二是正確求出向量的坐標(biāo).確定向量的坐標(biāo)一般有兩種方法,①運(yùn)用基底法,即把空間向量正交分解,用相互垂直的三向量為一組基底表達(dá)某一向量,進(jìn)而得坐標(biāo);②運(yùn)用投影法,求出起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo).數(shù)學(xué)即時(shí)訓(xùn)練31:如圖所示,PA垂直于正方形ABCD所在的平面,M,N分別是AB,PC的中點(diǎn),并且PA=AB=1.試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,求向量MNuuuur的坐標(biāo).解:因?yàn)镻A=AB=AD=1,PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,所以ABuuur,ADuuur,APuuur是兩兩垂直的單位向量.設(shè)ABuuur=e1,ADuuur=e2,APuuur=e3,以{e1,e2,e3}為基底建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.數(shù)學(xué)法一

因?yàn)镸Nu