6 計算流體力學基礎二

計算流體力學

()imiuStxrr抖+=抖()()ijiijiijijpuuugFtxxctrrr?抖?+=-+++抖抖代數(shù)方程求解

線性方程組求解

結構網(wǎng)格：

線性方程組求解

?直接方法

?Gaussian消元

?LU分解

?特殊系統(tǒng)

?三對角陣TDMA?Cyclicreduction?迭代方法

Gaussian消元

()33On

稀疏線性方程組求解：迭代方法

迭代n次

殘差

迭代誤差

迭代算法：

收斂問題

迭代誤差方程：

特征方程

構成完備空間

<1收斂條件：

譜半徑，越小收斂越快，要求M~A

基本迭代算法

?Jacobi方法

?Gauss-Seidel?逐次超松弛Gauss-Seidel

不完全LU分解（ILU）

?LU分解性能好，但不能利用矩陣稀疏性

?M接近A時，收斂很快

稀疏矩陣

小矩陣

?Stone方法

?利用橢圓PDE解的平滑性

?L和U只計算一次

?收斂很快

?其它迭代方法的基礎

交替方向隱式(ADI)迭代

Crank-Nicolson

共軛梯度(CG,ConjugateGradient)法

?基于非線性方程解法

?類牛頓法；收斂快，但需合適的迭代初值

?全局方法：保證收斂，但速度慢

求極小值：

Fluent中的線性代數(shù)方程組求解

有限體積離散

Gauss-Seidel迭代

多重網(wǎng)格法

求解

多重網(wǎng)格法

?出發(fā)點：

?粗網(wǎng)格上的計算量大大減少

?幾次迭代后，某些迭代算法的迭代誤差在網(wǎng)格上平滑分布（G-S、ILU）

細網(wǎng)格上的殘差外插到粗網(wǎng)格，

迭代誤差在較粗網(wǎng)格上計算，

回插到較細網(wǎng)格上

多重網(wǎng)格法一維舉例

CDSN次迭代

Fluent中的多重網(wǎng)格法

?algebraic(AMG)?full-approximationstorage(FAS)Solve->

Controls->

Multigrid...

V-CycleW-Cycle

方程之間的耦合及求解

方程之間的耦合及求解

?耦合解法

?代數(shù)方程組：分塊帶矩陣

?迭代求解

?分離解法

?應用：非線性，耦合不強

?逐個方程求解：外循環(huán)迭代

?亞松弛：逐漸加大松弛因子

?內循環(huán)迭代：

?不必精確求解

?最佳迭代次數(shù)

外循環(huán)的亞松弛迭代

第n步外循環(huán)：

內循環(huán)求解

Fluent亞松弛

FLUENT的計算方式

?基于壓力的解算器(Pressure-basedSolver)?（傳統(tǒng)上）低速不可壓流動

?壓力由連續(xù)方程和動量方程算出

?分離方式(Segregated)：內存耗用少

?耦合方式(Coupled)：收斂快

?基于密度的解算器(Density-basedSolver)?（傳統(tǒng)上）高速可壓流動

?壓力由狀態(tài)方程算出，連續(xù)方程給出密度

?顯式耦合：占內存小

?隱式耦合：穩(wěn)定，收斂快

基于壓力的分離方式算法

基于壓力的耦合方式算法

基于壓力的分離方式算法

基于壓力的耦合計算

?Solve->Controls->Solution

基于密度的耦合方式算法

非線性方程線求解

類牛頓法

全局方法

非線性方程線求解：牛頓迭代

=0=0

非線性方程線求解:分離求解

?收斂較牛頓迭代慢

?和多重網(wǎng)格法結合

Picard迭代

非線性方程線求解:分離求解

?常數(shù)，顯式處理

?局部線化

?比常數(shù)更合理

?隱式處理，收斂快

非線性源項處理

Fluent中的源項處理

推遲-校正(Deferred-Correction)方法

Fluent中的Deferred-CorrectionCDS離散格式

Deferred-Correction

收斂準則與迭代誤差

?收斂準則一：解在相鄰迭代步之間的差值

迭代誤差估計：

收斂準則與迭代誤差

?收斂準則一：特征值為復數(shù)

<0.1，實特征值

>0.1，復特征值

收斂準則與迭代誤差

?收斂準則二：殘差的下降程度

?不適于病態(tài)矩陣

?殘差是求解的一部分，不增加計算量

?內循環(huán)殘差只需下降1到2個量級

?外循環(huán)殘差只需下降3到6個量級

?細網(wǎng)格(離散誤差小)的迭代收斂標準要更嚴格

Fluent:至少下降3個量級

能量方程殘差下降6個量級(基于壓力的算法)組分方程殘差下降5個量級

收斂準則與迭代誤差

LaplaceproblemwithSORsolver

Relaxationparametersmaller(left)andlarger(right)thantheoptimum

Fluent迭代收斂準則

?壓力解算器

?密度解算器

至少下降3個量級

能量方程殘差下降6個量級(基于壓力的算法)組分方程殘差下降5個量級

連續(xù)方程：

外循環(huán)殘差：

Fluent迭代收斂準則

非穩(wěn)態(tài)問題求解

ODE初值問題回顧

?離散格式

?Euler顯式

?Euler隱式

?梯形公式

?格式精度:步長足夠小才有意義

?算法穩(wěn)定性：CFL條件

?剛性

預估-校正法

?結合顯式法和隱式法優(yōu)點，二階精度

顯式歐拉，預估：

梯形公式，校正：

多步法

?多項式多點插值

顯式，Adams-Bashforth，三階精度：

隱式，Adams-Moulton，三階精度：

Runge-Kutta法

顯式歐拉預估

隱式歐拉校正

梯形公式預估

Simpson公式校正

CFD非穩(wěn)態(tài)求解

?顯式方法

?顯式歐拉

?Leapfrog?隱式方法

?隱式歐拉

?Crank-Nicolson?二階三層格式

?高階龍格-庫塔，多步法等：DNS、LES

顯式歐拉

CDS庫朗數(shù)

顯式歐拉：穩(wěn)定性分析

穩(wěn)定條件：

≤1

隱式歐拉

?無條件穩(wěn)定

?可用于求解穩(wěn)態(tài)問題

?算法上與穩(wěn)態(tài)的亞松弛迭代等價

Crank-Nicolson格式

?隱式歐拉與顯式歐拉等量混合

?無條件穩(wěn)定

時間三層格式

Fluent非穩(wěn)態(tài)求解:Pressure-basedsolver一階隱式時間離散：

二階隱式時間離散：

空間離散格式

時間隱式離散

Fluent非穩(wěn)態(tài)求解:Pressure-basedsolver迭代時間推進算法

非迭代時間

推進算法(NITA)不適用于高

粘性流動

非迭代時間推進算法(NITA)

Fluent非穩(wěn)態(tài)求解:Density-basedsolver?穩(wěn)態(tài)流動

?顯式求解：三階龍格-庫塔

?隱式求解：隱式Euler?非穩(wěn)態(tài)流動

?顯式求解：三階龍格-庫塔

?隱式求解：dual-timeformulation

Boundedsecond-orderscheme?Oscillatingsolutionsincompressibleliquid

flows二階隱式時間離散：

Fluent時間推進算法參數(shù)設置

?Timestepsize:?Fluent根據(jù)用戶輸入的這個參數(shù)對時間進行離散。對于隱式算法（

如Pressure-basedsolver），步長大小不會對穩(wěn)定性構成問題。但會影響精度，步長