第一章第二節(jié)離散型隨機變量的期望與方差二選修II

離散型隨機變量的期望與方差(二)一:復(fù)習:1.離散型隨機變量的分布列.2.離散型隨機變量的期望:Eξ=3.期望的運算性質(zhì):E(aξ+b)=aEξ+b.4.若ξ∽B(n,p),有Eξ=np.5.期望反映了離散型隨機變量的取值的平均水平.二:引入:1.初中所學的一組數(shù)據(jù)的方差的定義.2.數(shù)據(jù)的方差說明了這組數(shù)據(jù)的波動情況.三:離散型隨機變量的方差:設(shè)離散型隨機變量ξ可能取的值為，

ξ取每一個值

(i＝1，2，…)的概率P(ξ＝，則稱Dξ=為隨機變量ξ的均方差,簡稱為方差.Dξ的算術(shù)平方根叫隨機變量ξ的標準差,記作σξ.方差與標準差都反映了隨機變量的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度.其中標準差與隨機變量有相同的單位.方差計算的性質(zhì):1、D(aξ+b)=Dξ.2、如果ξ∽B(n,p)，那么Dξ=npq，其中q=1-p.3、例1、已知離散型隨機變量ξ，η的概率分布如下，試求這兩個隨機變量的期望、方差與標準差。

ξ

1

2

3

4

5

6

7

p1/7

1/7

1/7

1/7

1/7

1/7

1/7

η

3.7

3.8

3.9

4

4.1

4.2

4.3

p

1/7

1/7

1/7

1/7

1/7

1/7

1/7答案：直接利用公式求解即得：Eξ=4,Dξ=4,σξ=2;Eη=4,Dη=0.04,ση=0.2.四:例題選講練習、隨機變量ξ的分布為P(ξ=k)=pk(1-p)1-k(0<p<1,k=0,1)，則Eξ=

,Dξ=

。解：∵P(ξ=k)=pk(1-p)1-k(0<p<1,k=0,1)∴P(ξ=0)=p0(1-p)1-0=1-p

P(ξ=1)=p1(1-p)0=p∴Eξ=0×(1-p)+1×p=p

Dξ=(0-p)2·(1-p)+(1-p)2·p=p(1-p)例2、甲、乙兩名射手在一次射擊中的得分為兩個相互獨立的隨機變量ξ與η，且ξ，η分布列為求：（I）a,b的值。（II）計算ξ,η的期望與方差，并以此分析甲、乙的技術(shù)狀況。ξ123pa0.10.6η123p0.3b0.3解;（I）由離散型隨機變量的分布列性質(zhì)可知,a+0.1+0.6=1，∴a=0.3.同理0.3+b+0.3=1，b=0.4.由計算結(jié)果知，Eξ>Eη說明在一次射擊中的平均得分甲比乙高，但Dξ>Dη說明甲得分的穩(wěn)定性不如乙，因而甲，乙兩個人技術(shù)都不夠全面。

(II)Eξ=1×0.3+2×0.1+3×0.6=2.3;同理：Eη=2，Dξ=0.81，Dη=0.6.說明：在實際問題中，若有兩個隨機變量ξ和η，且Eξ=Eη或Eξ和Eη比較接近時，我們常用Dξ與Dη來比較這兩個隨機變量。方差值大的，則表明ξ較為離散，反之則表明ξ較為集中。例3：每人在一輪投籃練習中最多可投籃4次，現(xiàn)規(guī)定一旦命中即停止練習，否則一直試投到4次為止。已知一選手的投籃命中率為0.7，求一輪練習中該選手的實際投籃次數(shù)ξ的分布列,并求出ξ的期望Eξ與方差Dξ（保留3位有效數(shù)字）。解:ξ的取值為1、2、3、4。ξ=1，表示第一次即投中，故P(ξ=1)=0.7;ξ=2，表示第一次未投中，第二次投中，故P(ξ=2)=(1-0.7)?0.7=0.21.ξ=3，表示第一、二次未投中，第三次投中，故P(ξ=3)=(1-0.7)?(1-0.7)?0.7=0.063.特別的,P(ξ=4)=(1-0.7)?(1-0.7)?(1-0.7)=0.027.所以ξ的分布列為：ξ1234P0.70.210.0630.027Eξ=1?0.7+2?0.21+3?0.063+4?0.027=1.417,Dξ=例4：某尋呼臺共有3000客戶，若尋呼臺準備了100份小禮品，邀請客戶在指定時間來領(lǐng)取，假設(shè)任一客戶去領(lǐng)獎的概率為4%，問：尋呼臺能否向每一位客戶都發(fā)出邀請？若能使每一位領(lǐng)獎人都得到禮品，尋呼臺至少應(yīng)準備多少禮品？解：設(shè)來領(lǐng)獎的人數(shù)ξ=k,(k=0,1,2,…,3000),則P(ξ=k)=,可見，ξ∽B(3000,0.04),所以，Eξ=3000?0.04=120>100.故，不能都發(fā)出邀請，至少準備120份禮品。1、方差反映了離散型隨機變量的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度.小結(jié):4、對于ξ∽B(n,p)有:Dξ=npq.這里q=1-p.作業(yè):習題1.26,7,82、方差的算術(shù)平方根叫標準差，標準差與隨機變量有相同的單位，較之方差使用起來更方便.3、D(aξ+b)=Dξ.(a,b為常數(shù)).5、期望與方差是離散型隨機變量重要的特征數(shù).離散型隨機變量的分布列直觀地反映了隨機變量的取值規(guī)律,但是往往不能明顯而集中地表現(xiàn)隨機變量的某些數(shù)量特點,這就需要特征數(shù)----期望與方差來反映.一個袋子里裝有大小相同的3個紅球和2個黃球，從中同時取出2個，則其中含紅球個數(shù)的數(shù)學期望是______________．（用數(shù)字作答）．A、B兩個代表隊進行乒乓球?qū)官悾筷犎爢T，A隊隊員是A1，A2，A3，B隊隊員是B1，B2，B3。按以往多次比賽的統(tǒng)計，對陣隊員之間勝負概率如下：對陣隊員A隊隊員勝的概率A隊隊員負的概率A1對B12/31/3A2對B22/53/5A3對B32/53/5現(xiàn)按表中對陣方式出場，每場勝隊得1分，負隊得0分。設(shè)A隊、B隊最后所得總分分別為ξ

、η

（1）求ξ

、η的概率分布（2）求Eξ

、Eη

。例5:一個口袋中放有若干個球,每個球上標有1~n中間的一個整數(shù)