大學(xué)物理-量子2

§3波函數(shù)的概率解釋

P1926年波恩提出了概率波的概念。光的二向性條紋的明暗強(qiáng)度分布曲線~光子數(shù)的堆積曲線中央明紋強(qiáng)度大~光子數(shù)多各級(jí)次極大強(qiáng)度較弱~光子數(shù)較少暗紋處強(qiáng)度為零~沒有光子到達(dá)~光波的強(qiáng)度大小~到達(dá)屏幕上光子數(shù)的多少~概率大~概率小~概率為0物理意義？~粒子的運(yùn)動(dòng)、行為條紋的強(qiáng)弱光子到達(dá)的概率1電子束電子的單縫衍射電子數(shù)1.電子束強(qiáng)度極弱，電子一個(gè)一個(gè)通過狹縫每個(gè)電子——2.隨著電子總數(shù)的增多，電子堆積情況逐漸顯示出條紋單個(gè)電子的去向?yàn)楦怕市缘?，但落在每一點(diǎn)的概率都是確定的........3.電子束的強(qiáng)度很大，許多電子同時(shí)入射屏幕上很快就出現(xiàn)衍射圖象1）落點(diǎn)不確定，去向?yàn)楦怕适录辽系碾娮訑?shù)分布與光的衍射光強(qiáng)分布一樣?????????????????2）圖象由散亂的點(diǎn)構(gòu)成確定的概率分布確定的宏觀后果2電子束電子的單縫衍射電子數(shù)設(shè)電子波Ψ

電子波強(qiáng)度|Ψ|2則電子出現(xiàn)在x處dx范圍內(nèi)的電子數(shù)dN將比例系數(shù)歸到推廣到空間：設(shè)空間處的波函數(shù)為，則電子出現(xiàn)在附近dV空間范圍內(nèi)的電子數(shù)?????????????????微觀粒子的波性不能完全等同于經(jīng)典的波而是一種概率波按照以上的討論可知3|Ψ|2的物理意義：1、對(duì)N個(gè)電子而言出現(xiàn)在x點(diǎn)附近單位區(qū)間內(nèi)的電子數(shù)dN占總電子數(shù)N的比。

2、對(duì)單個(gè)電子而言，出現(xiàn)在x點(diǎn)附近單位區(qū)間內(nèi)的概率——概率密度——概率幅粒子出現(xiàn)在x1-x1+dx范圍內(nèi)的概率為出現(xiàn)在x1-x1+dx范圍內(nèi)的粒子數(shù)為這很象氣體分子的速率分布！微觀粒子遵循的規(guī)律是統(tǒng)計(jì)規(guī)律4例.圖示為某一維不含時(shí)的波函數(shù)及由它給出的概率分布粒子出現(xiàn)在xo點(diǎn)附近的可能性最大出現(xiàn)在x>>x1的可能性幾乎為零所以與經(jīng)典力學(xué)不同：經(jīng)典力學(xué)

“一定的狀態(tài)”~量子力學(xué)

“一定的狀態(tài)”~一定的概率分布——Ψ|Ψ|2Ψ,|Ψ|2雖然沒有直接給出微觀粒子的p,E,Ek通過在量子力學(xué)中軌道的概念失去意義如何來的？5下列各式的物理意義[]粒子出現(xiàn)在x附近單位間隔內(nèi)的概率[]粒子出現(xiàn)在x——x+dx間隔內(nèi)的概率[]出現(xiàn)在x——x+dx間隔內(nèi)的粒子數(shù)[]出現(xiàn)在x1——x2間隔內(nèi)的粒子數(shù)占總粒子數(shù)的比率[]粒子出現(xiàn)在x1——x2間隔內(nèi)的概率[]出現(xiàn)在x1——x2間隔內(nèi)的粒子數(shù)[4][2][3][1][5]6波函數(shù)的性質(zhì)：1、歸一性2、有限性|Ψ

|2~概率，所以不能無限大。否則物理上無意義。3、連續(xù)可微（主要是為了處理問題更方便）§4、不確定關(guān)系？經(jīng)典粒子微觀粒子宏觀現(xiàn)象局限性描述微觀粒子不可能分布在一個(gè)確定的點(diǎn)程度借助7§4不確定關(guān)系對(duì)于微觀粒子我們?nèi)钥梢跃_知道它“從什么位置、以什么大小和方向的動(dòng)量”通過小窗口的嗎？8電子束電子德布洛意波長(zhǎng)x方向坐標(biāo)x方向動(dòng)量的不確定范圍電子通過孔時(shí)從縫出射后的動(dòng)量和入射前一樣嗎？出射電子x方向動(dòng)量的變化量是不確定的而有一個(gè)不確定的范圍——?jiǎng)恿康牟淮_定量（范圍）概率θ1不是電子的最大偏轉(zhuǎn)角電子從單縫出射時(shí)，坐標(biāo)和動(dòng)量的測(cè)量值均有一個(gè)不確定的范圍的不確定范圍9雖然電子的坐標(biāo)準(zhǔn)確知道，但同時(shí)的結(jié)果是電子出射以后的動(dòng)量將朝哪個(gè)方向偏轉(zhuǎn)完全不可預(yù)測(cè)反之雖然電子的出射后的動(dòng)量準(zhǔn)確知道，但同時(shí)的結(jié)果是將完全不可預(yù)知電子是從寬孔的什么位置通過10量子力學(xué)證明這兩個(gè)不確定量Δx、Δp之間有一定關(guān)系或——粒子坐標(biāo)的不確定范圍——粒子動(dòng)量的不確定范圍微觀粒子不可能同時(shí)具有確定的坐標(biāo)x和動(dòng)量p與經(jīng)典粒子不同11對(duì)不確定關(guān)系的要求：1、了解Δx、Δp產(chǎn)生的原因是微觀粒子的波粒二向性而不是實(shí)驗(yàn)裝置的精確度問題。2、利用該關(guān)系式對(duì)一些問題進(jìn)行估算。方法：(1)不確定關(guān)系式(2)借用一些經(jīng)典式。如例.原子的線度為10-10米。求原子中電子速度的不確定量。Δr=10-10m由不確定關(guān)系有12例、設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)的波函數(shù)圖線分別如下所示，那么其中確定粒子動(dòng)量的精確度最高的波函數(shù)是哪個(gè)圖？(B)(C)（A）（D）13例.估算質(zhì)量為m的一維諧振子的最小能量（微觀振子）作為估算可認(rèn)為Δp~p具有相同數(shù)量級(jí)

Δx~x具有相同數(shù)量級(jí)不確定關(guān)系可寫成為求令代入14例：用電子顯微鏡來分辨大小為1nm的物體。估算所需要的電子動(dòng)能的最小值（以eV為單位）電子位置的不確定量為取則電子的動(dòng)能電子束15例.氦氖激光器所發(fā)出的紅光波長(zhǎng)為λ=632.8nm,譜線寬度Δλ=10-9nm。求該光子沿運(yùn)動(dòng)方向的位置不確定量（即波列長(zhǎng)度）

光子動(dòng)量光子動(dòng)量的不確定度由不確定關(guān)系得到光子位置的不確定量為由于波長(zhǎng)有一個(gè)變化范圍導(dǎo)致動(dòng)量的不確定范圍16§5薛定諤方程已知：一維運(yùn)動(dòng)的自由粒子的波函數(shù)由于與t無關(guān)。這時(shí)代表一種不隨時(shí)間變化的、穩(wěn)定的幾率分布定態(tài)推廣：當(dāng)波函數(shù)可以寫成如下形式則為定態(tài)波函數(shù)（能量有確定值的狀態(tài)）17波振幅

定態(tài)波函數(shù)波函數(shù)

設(shè)粒子的定態(tài)波函數(shù)為ψ(x)，則定態(tài)薛定諤方程為粒子質(zhì)量粒子在外場(chǎng)中的勢(shì)能粒子總能量微分方程P260(15-5-10)式

18自由粒子V（x）=0能量本征方程量子力學(xué)告訴我們薛定諤方程的一般形式——一般含時(shí)波函數(shù)所滿足一維情況若其他的解可以寫成這些特解的線性組合19經(jīng)典力學(xué)的任務(wù)——在各種初始條件下求解量子力學(xué)的任務(wù)——在各種邊界條件下求解薛定諤方程20第6節(jié)一維無限深勢(shì)阱??Ve——由其余正離子的庫(kù)侖引力造成粒子描述——粒子以恒定大小的動(dòng)量來回往返運(yùn)動(dòng)德布洛義波的描述——1、由p大小恒定預(yù)期—波具有恒定的波長(zhǎng)（正弦波）2、必須滿足一定的邊界條件。往返傳播的波形成駐波。由于在反射點(diǎn)為剛性壁所以x=0與x=a處應(yīng)為波節(jié)—λ不可任意以上是我們預(yù)期的結(jié)果。到底有何結(jié)果？須由薛定諤方程求解自由運(yùn)動(dòng)端點(diǎn)反彈端點(diǎn)反彈21由定態(tài)薛定諤方程：或記——典型的諧振方程由波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化條件——連續(xù)性有與兩端為波節(jié)的駐波的邊界條件一樣！設(shè)解為22量子數(shù)通過求解薛定諤方程加上邊界條件，很自然得出了粒子的能量。且為量子化的！對(duì)每一個(gè)量子數(shù)n，給出粒子的一個(gè)定態(tài)由歸一化條件：23阱外[2]對(duì)于分立的能級(jí)仍可用能級(jí)圖表示與玻爾頻率規(guī)則一樣當(dāng)粒子從高能級(jí)躍遷到低能級(jí)也會(huì)發(fā)光反之從低能級(jí)躍遷到高能級(jí)要吸收外來光子的能量或其它粒子交出的能量[1]阱中粒子波動(dòng)性呈現(xiàn)出的是穩(wěn)定的駐波討論：24物理意義：量子數(shù)為n的Ψn(x)態(tài)下粒子出現(xiàn)在x附近單位區(qū)間內(nèi)的概率每個(gè)定態(tài)：粒子出現(xiàn)在阱中各點(diǎn)的概率是不均勻的?匣中運(yùn)動(dòng)的經(jīng)典粒子出現(xiàn)在各點(diǎn)的概率一致[3]

概率??????25如果我們說“勢(shì)阱中粒子處在n=1的態(tài)”則該態(tài)由描述此態(tài)下粒子的未用到經(jīng)典式子（4）動(dòng)量的平均值(3)坐標(biāo)不定—但出現(xiàn)在a/2附近的幾率最大??????這并不意味著總可以用經(jīng)典動(dòng)能式子求微觀粒子的能量——巧合反過來這個(gè)巧合又為我們求一維無限深勢(shì)阱中粒子的能量提供了方便[4]通過波函數(shù)知道粒子的什么“信息”26對(duì)應(yīng)原理：在量子數(shù)足夠大時(shí)，量子物理的結(jié)果與經(jīng)典物理的結(jié)果趨于一致丹麥物理學(xué)家玻爾越來越均勻、密集......................[5]量子數(shù)極大時(shí)量子化程度消失27阱外[1]畫出n=4的波函數(shù)及概率密度[2]該粒子的能量[3]