《結構可靠性分析》第2章工程概率和數(shù)理統(tǒng)計基礎

工程概率和數(shù)理統(tǒng)計基礎第二章1/11/20231東南大學2.1概率論的基本概念隨機現(xiàn)象隨機試驗和樣本空間頻率與概率古典概率（等可能概型）條件概率獨立性1/11/20232東南大學一、隨機現(xiàn)象在個別試驗中呈現(xiàn)出不確定性，在大量重復試驗中，又具有統(tǒng)計規(guī)律性，這樣的一類現(xiàn)象稱為隨機現(xiàn)象。

概率論和數(shù)理統(tǒng)計是研究和揭示隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性的一門數(shù)學學科。1/11/20233東南大學二、隨機試驗和樣本空間可以在相同的條件下重復地進行；每次試驗的可能結果不止一個，并且能事先明確試驗的所有可能結果；進行一次試驗之前，不能確定哪一個結果會出現(xiàn)。1．隨機試驗：E1/11/20234東南大學隨機試驗的例題：E1：拋一枚硬幣，觀察出現(xiàn)正面H、反面T的情況。E2：擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)。E3：在一批Ⅱ級鋼筋中，任意抽取試樣并測試其抗拉強度。E4：記錄某地某時的風速。E5：一口袋中裝有紅白二色乒乓球，從袋子中任取一球觀察其顏色。E6：將一枚硬幣拋兩次，觀察出現(xiàn)正面H、反面T的情況。1/11/20235東南大學隨機事件：在一個隨機試驗中，它的每一個可能出現(xiàn)的結果都為一個隨機事件?；臼录核锌梢灾苯影l(fā)生的事件。即最簡單的隨機事件。復合事件：由基本事件復合而成的事件。另有：必然事件，不可能事件幾個基本概念：1/11/20236東南大學2.樣本空間：S

E的所有基本事件所組成的集合叫做E的樣本空間SE＝{E的基本事件}1/11/20237東南大學樣本空間的例題S1：｛H，T｝S2：｛1，2，3，4，5，6｝S3：｛f∣a＜f＜b｝S4：｛v∣c＜f＜d｝S5：｛紅色，白色｝S6：｛(H，H)，(H，T)，(T，H)，(T，T)｝1/11/20238東南大學3.事件之間的關系和運算1/11/20239東南大學1/11/202310東南大學若：E中的基本事件有有限個，或可列無限個，則E中的任何一個事件均可表示為若干個基本事件的和。

所有的基本事件的和是必然事件，記為S：S=A1+A2+…+An另有：1/11/202311東南大學三、頻率與概率

1.

頻率頻率是某一隨機變量出現(xiàn)可能性的數(shù)字表示。若隨機事件A在n次試驗中出現(xiàn)nA次，則頻率fn為：1/11/202312東南大學頻率的性質0≤fn(A)≤1fn(S)＝1若A、B互不相容（AB=φ），則

fn(A∪B)=fn(A)+fn(B)頻率有穩(wěn)定性：當n→∞時，有fn(A)≈P(A)

即概率的統(tǒng)計意義。

1/11/202313東南大學2.

概率對于每一個事件A有：0≤P(A)≤1，P(S)＝1，對于兩兩互不相容的事件Ak（k＝1,2,…）有

P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)+P(A2)+…+P(An);

P(A1∪A2∪…∪An∪…)＝P(A1)+P(A2)+…+P(An)+…設E是隨機試驗，S是樣本空間，對于E的每一個事件A賦予一個實數(shù)，記為P(A)，稱為事件A的概率。它滿足下列條件：此即為概率的公理化定義。已證:當n→∞時，fn(A)＝P(A)1/11/202314東南大學概率的性質：1/11/202315東南大學四古典概率（等可能概型）試驗的樣本空間的基本事件有有限個（n個）：A1，A2，A3，…，An

每個基本事件的發(fā)生是等可能的

1.定義：則稱這樣的隨機試驗為等可能概型若隨機試驗E滿足下列條件：1/11/202316東南大學古典概率的性質1/11/202317東南大學例題1.口試考場設有50張考簽，編號為1,2,…,50，學生任取一張來回答問題，問取到第5號簽的概率是多少？取到前5號簽的概率又是多少？〔解〕

假定事件A為取到第5號簽

假定事件B為取到前5號簽1/11/202318東南大學5號考簽代表有1個基本事件，即m＝1，所以：P(A)＝m/n＝1／50＝0.02前5號簽代表有5個基本事件，即m＝5，所以：P(B)＝m/n＝5／50＝0.1答：（略）基本事件共有50個，即n＝501/11/202319東南大學2.

有產(chǎn)品100件，正品95件，次品5件。從中任取5個檢驗。若規(guī)定發(fā)現(xiàn)一個次品就拒收，求拒收的概率。〔解〕假定事件A為產(chǎn)品被接受，事件B為被拒收。（從100件產(chǎn)品中抽取了5件）基本事件的總數(shù)n＝C5

100（從95件正品中抽取了5件）A中所包含的事件總數(shù)m＝C595

1/11/202320東南大學所以，產(chǎn)品被接收的概率為：P(A)＝m/n＝0.77則被拒收的概率為：P(B)＝1－0.77＝0.23答：（略）又，

P(B)＝1－P(A)1/11/202321東南大學3.從一批由97塊正品、3塊次品組成的預制鋼筋混凝土橋面板中任取4塊，試求：其中有且僅有一塊次品的概率。

〔解〕假定A為4塊板中有且僅有一塊次品的事件。所以，抽取3塊正品、1塊次品的抽法共有：C397×C13＝442320（種）抽取4塊板，其中有3塊正品的抽法C397，另一塊是次品的抽法有C13種。1/11/202322東南大學基本事件共有C4100個故，P(A)＝C397×C13／C4100答：（略）1/11/202323東南大學4.一個口袋裝有6只乒乓球，其中有4只白球，2只紅球，從袋中取球兩次，每次取一只。分兩種情況：(a)放回抽樣，(b)不放回抽樣。求：(1)取到兩只白球的概率，(2)取到兩只相同顏色球的概率，(3)取到的球中至少有一白球的概率?！步狻?/p>

設樣本空間為S，事件A、B分別為取到的兩只球都是白球和紅球的概率，事件C為取到的兩只球中至少有一只是白球。那么，取到同色球的概率為A∪B。1/11/202324東南大學(a)放回抽樣取兩球共有取法C16×C16種，它即是S中元素的總數(shù)。取兩只白球共有取法C14×C14種，它即是事件A中所包含的元素總數(shù)。同理，C12×C12即是事件B中所包含的元素總數(shù)。(1)P(A)＝C14×C14／C16×C16＝0.444P(B)＝C12×C12／C16×C16＝0.1111/11/202325東南大學(2)由于AB＝，得

P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.556(3)又由于P（C）＝1－P(B)，得

P（C）＝1－P(B)＝0.889樣本空間S中元素的總數(shù)為C16×C15。(b)不放回抽樣取兩只白球共有取法C14×C13種，它即是事件A中所包含的元素總數(shù)。1/11/202326東南大學同理，C12×C11即是事件B中所包含的元素總數(shù)。(1)P(A)＝C14×C13／C16×C15＝0.4P(B)＝C12×C11／C16×C15＝0.067(2)由于AB＝，得

P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.467(3)又由于P（C）＝1－P(B)，得

P（C）＝1－P(B)＝0.9331/11/202327東南大學5.

在1～2000中隨機取一整數(shù)，問取到的整數(shù)不能被6或8除盡的概率是多少？〔解〕設A為事件“取到被6除盡的數(shù)”，B為事件“取到被8除盡的數(shù)”，則所求概率為P＝1－P(A∪B)＝1－〔P(A)＋P(B)－P(AB)〕因為

333<2000/6<334故得

P(A)＝333/2000由于

2000/8＝250故得

P(B)＝333/20001/11/202328東南大學又由于一個數(shù)同時被6和8除盡就相當于被24除盡，而

83<2000/24<84故得

P(AB)＝83/2000所以，所求概率為

P＝1－〔P(A)＋P(B)－P(AB)〕＝3/41/11/202329東南大學6.

現(xiàn)欲將15名新生平均分配到三個班級中，這15人中有三人為優(yōu)秀生。問(1)每一個班級中各分配到一名優(yōu)秀生的概率是多少？(2)三名優(yōu)秀生分配到同一個班級中的概率是多少？〔解〕15名新生平均分配到三個班級中的分法總數(shù)為

C515×C510×

C55每一個班級中各分配到一名優(yōu)秀生的分法總數(shù)為

C13×C12×C11

1/11/202330東南大學其余12名新生平均分配到三個班級中的分法總數(shù)為C412×C48×C44所以，每一個班級中各分配到一名優(yōu)秀生的分法總數(shù)為〔C13×C12×C11〕×〔C412×C48×C44〕(1)每一個班級中各分配到一名優(yōu)秀生的概率為

P＝〔C13×C12×C11〕×〔C412×C48×C44〕/〔C515×C510×

C55〕＝0.2747(2)三名優(yōu)秀生分配到同一個班級中的分法總數(shù)為C131/11/202331東南大學其余12名新生分法（一個班2名，另兩個班各5名）總數(shù)為

C212×C510×C55所以，三名優(yōu)秀生分配到同一個班級中的概率為P＝

C13×〔C212×C510×C55〕/〔C515×C510×

C55〕＝0.06591/11/202332東南大學

古典概型定義的推廣：

對隨機試驗的基本事件為無窮多個的情形，概率的定義可以推廣為：若試驗的某種數(shù)量特征來表示總和，設為S（樣本空間）；其中，隨機事件A可用相同的數(shù)量特征s來表示。則隨機事件A的概率為：1/11/202333東南大學甲、乙兩個人相約某一段時間T內在預定地點會面。先到的人應等候另一個人，經(jīng)過時間t（t<T）后方可離開。求甲、乙兩個人會面的概率。假定，他們在時間T內的任一時刻到達預定地點是等可能的。例題兩人會面的必要條件是：|x－y|t即右圖中陰影部分。則有：1/11/202334東南大學五．條件概率

設A、B為兩個隨機變量，在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率P（B/A）為：1.條件概率1/11/202335東南大學研究一個簡單的例子：設有產(chǎn)品10只，其中3只次品,從中抽取2只，作不放回抽樣。問第一次抽到次品后再取到次品的概率是多少？設事件A為“第一次取到次品”，設事件B為“第二次取到次品”。顯然有：P(A)＝C13/C110。第一次取走一只次品后，只剩9只產(chǎn)品，其中2只次品。這時再作第二次抽樣，B發(fā)生的概率為C12/C19=2/9。因為這是在A已經(jīng)發(fā)生的條件下求B發(fā)生的概率，故稱它為A發(fā)生的條件下B發(fā)生的條件概率，記為：P(B/A)，即P(B/A)＝2/9〔解〕1/11/202336東南大學現(xiàn)在我們再來求P(B)可見P(B/A)≠P(B)1/11/202337東南大學計算P(B/A)的方法：在S的縮減樣本空間SA中計算B發(fā)生的概率P(B/A)在樣本空間S中，計算P(AB)和P(A)后，有：概率的乘法定律：設P(A)>0，則有P(AB)=P(B/A)×P(A)1/11/202338東南大學2.全概率公式BiBk=φ（i≠k）B1∪B2∪…∪Bn＝S1）樣本空間的一個劃分（完備事件組）設S為隨機試驗E的樣本空間，B1，B2，…，Bn為E的一組事件，若有:定義：則稱B1，B2，…Bn為樣本空間S的一個劃分1/11/202339東南大學2)全概率公式P(A)＝P(A/B1)?P(B1)＋P(A/B2)?P(B2)＋…＋P(A/Bn)?P(Bn)

設隨機試驗E的樣本空間為S，A為E的事件，B1，B2，…Bn為樣本空間S的一個劃分，且P(Bi)>0(i=1,2,…,n),則有全概率公式如下：1/11/202340東南大學1/11/202341東南大學例題

設有一箱同類型產(chǎn)品由三家工廠所生產(chǎn)，第一家生產(chǎn)了1/2的產(chǎn)品，其余兩廠各生產(chǎn)了1/4，已知第一、第二兩廠的次品率為2%，第三家工廠的次品率為4%?，F(xiàn)從此箱中任取一件產(chǎn)品，問拿到次品的概率是多少？〔解〕樣本空間S＝｛箱中全部產(chǎn)品｝，設事件A＝｛取到的產(chǎn)品是次品｝，Bi＝｛取到的產(chǎn)品屬于第I家工廠｝（i＝1,2,3）1/11/202342東南大學B1、B2、B3為S的一個劃分，且有P(Bi)>0，P(B1)＝1/2，P(B2)＝1/4，P(B3)＝1/4又已知：P(A|B1)＝2/100，P(A|B2)＝2/100，P(A|B3)＝4/100由全概率公式得P(A)＝P(A|B1)×P(B1)＋P(A|B2)×P(B2)＋P(A|B3)×P(B3)＝0.0251/11/202343東南大學3)貝葉斯（Bayes）公式設B1，B2，…Bn為樣本空間S的一個劃分，且P(Bi)>0(i=1,2,…,n)。對于任意一個事件A，P(A)>0,有：貝葉斯公式

1/11/202344東南大學例題根據(jù)以往的臨床記錄，某種診斷癌癥的試驗具有如下的效果：若以A表示事件“試驗反應為陽性”，以C表示事件“被診斷者患有癌癥”，則有現(xiàn)在對一大批人進行癌癥普查，設被試驗的人種患有癌癥的比率為0.005，即P(c)＝0.005,試求P(C︱A)1/11/202345東南大學〔解〕因為由貝葉斯（Bayes）公式

＝0.0871/11/202346東南大學六、獨立性一般情況下：P(B/A)≠P(B)，即A的發(fā)生對B發(fā)生的概率是有影響的。若：P(B/A)＝P(B)，則A,B互不影響。定義

1設A,B是二事件，若滿足：P(AB)＝P(A)P(B)則稱A，B為互相獨立的事件。1/11/202347東南大學定理：設A,B為二事件，且P(A)>0，若A,B互相獨立，則，P(B/A)=P(B)，反之亦然。推廣：

設A，B，C是三事件，若滿足：P(AB)＝P(A)P(B)

P(AC)＝P(A)P(C)

P(BC)＝P(B)P(C)則稱A，B，C為兩兩互相獨立的事件。1/11/202348東南大學定義2設A，B，C是三事件，若滿足：P(AB)＝P(A)P(B)P(AC)＝P(A)P(C)P(BC)＝P(B)P(C)P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)則稱A，B，C為互相獨立的事件。1/11/202349東南大學定義3設A1，A2，…，An是n個事件，如果對于任意k(1<k<n)，任意1<i1<i2<i3<…<ik<n,若滿足：則稱A1，A2，…，Ak為互相獨立的事件上述等式個數(shù)為C2n+C3n+…+Cnn＝2n-n-1P(Ai1Ai2…Aik)=P(Ai1)P(Ai2)…P(Aik)1/11/202350東南大學例題系統(tǒng)Ⅰ和系統(tǒng)Ⅱ1/11/202351東南大學對于元件，它能正常工作的概率p叫這個元件的可靠性。由元件組成的系統(tǒng)，它能正常工作的概率叫做系統(tǒng)的可靠性。設構成系統(tǒng)的每個元件的可靠性均為r（0<r<1），且個元件能否正常工作是相互獨立的。設以2n個元件按照下面二種不同的聯(lián)接方式構成二個系統(tǒng)，試求它們的可靠性。并比較二個系統(tǒng)可靠性的大小。〔解〕先討論系統(tǒng)Ⅰ。

1/11/202352東南大學由于各條通路要能正常工作，當且僅當該通路上的各個元件都能正常工作，故每條通路的可靠性為：

Rc=rn通路發(fā)生故障的概率為1-rn。由于系統(tǒng)是由二條通路并聯(lián)組成的，二條通路同時發(fā)生故障的概率為（1-rn）2，因此，系統(tǒng)Ⅰ可靠性為：

Rs＝1－（1－rn）2＝Rc（2－Rc）注意到：Rc<1，故有Rs>Rc，這表明增加一條通路能使系統(tǒng)的可靠性增加。1/11/202353東南大學對于系統(tǒng)Ⅱ,每對并聯(lián)元件的可靠性為：

R’=1-(1-r)2=r(2-r)由于系統(tǒng)是由各對并聯(lián)元件串聯(lián)組成的，因此系統(tǒng)Ⅱ可靠性為：

Rs’＝(R’)n＝rn（2-r）n＝Rc(2-r)n

顯然，Rs’>Rc。因此用附加元件的方法也同樣能增加系統(tǒng)的可靠性。

上面兩個系統(tǒng)都是由2n個可靠性相同的元件組成的，用數(shù)學歸納法可以證明Rs’>Rs,因此系統(tǒng)Ⅱ比系統(tǒng)Ⅰ的可靠性來得大。1/11/202354東南大學總結隨機現(xiàn)象隨機試驗和樣本空間頻率與概率古典概率（等可能概型）條件概率獨立性1/11/202355東南大學2.2隨機變量及其分布隨機變量離散型隨機變量隨機變量的分布函數(shù)連續(xù)型隨機變量1/11/202356東南大學一、隨機變量拋硬幣試驗

X(e)是定義在樣本空間S＝｛e｝上的函數(shù)函數(shù)X(e)的取值是隨機的稱X(e)為隨機變量。1/11/202357東南大學定義：設E是隨機試驗，其樣本空間是S＝{e}，如果對于每一個eS有一個實數(shù)x(e)和它對應，這樣就得到一個定義在S上的實值單值函數(shù)x(e)，稱x(e)為隨機變量。隨機變量與函數(shù)的區(qū)別：

定義域對應法則值域隨機變量函數(shù)樣本空間實數(shù)軸事件f不可預知唯一確定的值1/11/202358東南大學二、離散型隨機變量1.定義：隨機變量的全部可能取值是有限個或可列無限個。2.概率分布設離散型隨機變量X所有可能取的值為Xk（k＝1,2,…），X取各個可能值的概率，即事件｛X＝Xk｝的概率為：1/11/202359東南大學P｛X＝Xk｝＝pk，

k＝1，2，…，稱上式為離散型隨機變量X的概率分布或分布律。由概率的定義知，pk滿足如下二條件：另外，分布律還可用表格或用圖的形式來表示。1/11/202360東南大學3.（0-1）分布設隨機變量X只可能取0和1二個值，它的概率分布是：P｛X＝1｝＝p，P｛X＝0｝＝1-p0<p<1則稱這種分布為（0-1）分布。它也可以用右圖的形式來表示：1/11/202361東南大學4.二項分布1）獨立試驗序列

將試驗E重復進行n次，事件A發(fā)生與否，其概率在每次試驗中與其它試驗結果無關，即事件A在各次試驗中的概率P(A)是相同的，則稱這樣的一系列試驗為獨立試驗序列。2）貝努利試驗將一個具有（0-1）分布的隨機試驗獨立地進行n次，則稱這一串試驗為n重貝努利試驗。1/11/202362東南大學事件A恰發(fā)生k次（0≤k≤n）的概率為：

Pn（k）＝Cnkpkqn－k

以X表示n重貝努利試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，則X是一隨機變量，其取值范圍為0,1,2,…,n，且有：

P=｛x＝k｝＝Pn（k）＝Cnkpkqn－k

其中，k＝1,2,…n稱隨機變量X服從參數(shù)為n，p的二項分布，記為：

X～B(n，p)1/11/202363東南大學3)泊松定理與泊松分布設隨機變量Xn（n＝1，2，…）服從參數(shù)為n，p的二項分布，其分布律為：P｛xn＝k｝＝Cnkpnk（1-p）n－k，

k＝1,2,…n

當n很大，p很小時，設n?p＝λ〉0是常數(shù)(n=1,2,…n)則有：泊松定理：1/11/202364東南大學泊松分布設隨機變量X的所有可能取的值為0,1,2,…,n，其取各個值的概率為：k＝1,2,…n

其中，λ>0是常數(shù)，則稱隨機變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，記為：

X～π（λ）1/11/202365東南大學例子1.某人進行射擊，設每次射擊的命中率為0.02,獨立射擊400次，試求擊中目標的次數(shù)大于等于2的概率?！步狻?/p>

將每次射擊看成是一次試驗。設擊中的次數(shù)為X，則X服從參數(shù)為n＝400，p＝0.02的二項分布，其分布律為P{X＝k}＝Ck4000.02k（0.98)400-k，k＝0,1,…,4001/11/202366東南大學于是所求概率為P(X2)

1－〔P｛x＝0｝＋P｛x＝1｝〕

1-〔（0.98）400＋400（0.02）（0.98）399〕

1－e－8－8e－8＝0.997這個概率很接近1。說明一個小事件盡管在一次試驗中發(fā)生的概率很小，但只要試驗次數(shù)很多，且試驗是獨立地進行的，這一事件的發(fā)生是肯定的。即決不能輕視小概率事件。1/11/202367東南大學2.為了保證設備正常工作，需要配備適量的維修工人，現(xiàn)有同類型設備300臺，各臺工作是相互獨立的，發(fā)生故障的概率都為0.01，假設一臺設備的故障可由一個人來處理，問：a）至少需配備多少工人才能保證設備發(fā)生故障時，不能及時維修的概率小于0.01。b）若由一人負責維修20臺設備，求設備發(fā)生故障而不能及時處理的概率。若由3人共同負責維修80臺呢？1/11/202368東南大學〔解〕

設需要配備n人，同一時刻發(fā)生故障的設備數(shù)為x,那么，

X～B（300，0.01）a）要求出n，使P｛xn｝0.01由泊松定理（＝np＝3）1/11/202369東南大學查表后可得到n＝8，即需配備8個工人。b）即要求P｛x2｝這里n＝20，＝np＝0.2，所以若3人負責80臺，則所求概率為1/11/202370東南大學三、隨機變量的分布函數(shù)1.定義設X是一個隨機變量，x是任意實數(shù)，則函數(shù)：F(x)＝P(Xx)稱為X的分布函數(shù)。1/11/202371東南大學2.性質10Ｆ(ｘ)１，且：Ｆ(－∞)＝０,Ｆ(∞)＝120對于任意x1,x2(x1<x2)有：

P(x1xx2)=P(xx2)-P(xx1)=F(x2)-F(x1)30由２０可知，Ｆ（ｘ）是一個非減函數(shù)40Ｆ(ｘ＋０)＝Ｆ(ｘ)，即Ｆ(x)是右連續(xù)的。1/11/202372東南大學四、連續(xù)型隨機變量1.定義對于一個隨機變量Ｘ的分布函數(shù)F(x)，若存在非負的函數(shù)f(x),使對于任意實數(shù)ｘ有：則Ｘ是連續(xù)型的隨機變量，其中函數(shù)f(x)稱為Ｘ的概率密度函數(shù)，簡稱為概率密度。1/11/202373東南大學2.性質概率密度函數(shù)f(x)具有以下性質：推論：P(X=x)=01/11/202374東南大學1/11/202375東南大學3.均勻分布設連續(xù)型隨機變量ｘ在有限區(qū)間(a,b)內取值，且其概率密度為：則稱ｘ在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布1/11/202376東南大學對于任一長度為ｌ的子區(qū)間(c,c+l)，a≤c<c+l≤b，有說明ｘ落在子區(qū)間內的概率只依賴于子區(qū)間的長度，而與子區(qū)間的位置無關。1/11/202377東南大學服從均勻分布的隨機變量ｘ的分布函數(shù)為例設電阻Ｒ均勻分布在900歐～1100歐，求Ｒ落在950歐～1050歐的概率。〔解〕1/11/202378東南大學4.(負)指數(shù)分布（1）定義：則X為服從參數(shù)為α的指數(shù)分布（2）它為典型的壽命分布。1/11/202379東南大學5.正態(tài)分布則稱X服從參數(shù)為和的正態(tài)分布或高斯分布。記為：X～N(，2)或X～N(，)（1）定義：1/11/202380東南大學（2）性質①曲線關于x＝μ對稱，說明對任意h>0有(見下圖)：P｛μ－h(huán)<X≤μ｝＝P｛μ<X≤μ+h｝1/11/202381東南大學②當x＝μ時取到最大值：X離μ越遠，f(x)的值越小。這表明對于同樣長度的區(qū)間，當區(qū)間離μ越遠，X落在這個區(qū)間上的概率越小（如右圖）。1/11/202382東南大學③在x±μ處曲線有拐點，曲線以Ox軸為漸近線。④如果固定σ，改變μ的值，則f(x)的圖形將沿著Ox軸平移，而不改變形狀（見下圖），可見正態(tài)分布的概率密度y＝f(x)的位置完全由μ所確定。1/11/202383東南大學如果固定μ，改變σ的值，則當σ的值越小f(x)的圖形越尖，因而X落在μ附近的概率越大。見下圖。1/11/202384東南大學（3）標準正態(tài)分布當μ＝0，σ＝1，稱x服從標準正態(tài)分布，其概率密度和分布函數(shù)分別用φ(x)，Φ(x)表示：1/11/202385東南大學（4）一般正態(tài)分布可化為

標準正態(tài)形式。1/11/202386東南大學(5)a.100α百分位點標準正態(tài)隨機變量x~N(0,1)，若Zα滿足：P{X>Zα}=α，0＜α＜1則稱Zα為標準正態(tài)分布的上100α百分位點。見右圖。

1/11/202387東南大學b.雙側100α百分位點稱Zα/2為標準正態(tài)分布的雙側100α百分位點。

若：1/11/202388東南大學2.3隨機變量的數(shù)字特征

一、數(shù)學期望1.定義1/11/202389東南大學例：1)一車間檢驗員每天隨機抽n個零件來檢驗，查出的廢品件數(shù)X是一個隨機變量，若查了N天，出現(xiàn)廢品為0,1,…,n個的天數(shù)分別為0,1,…,n,那么，N天廢品的總數(shù)為，N天出現(xiàn)廢品的算數(shù)平均為k/N為出現(xiàn)k個廢品的頻率，若pk是出現(xiàn)k個廢品的概率，則隨機變量X的算數(shù)平均接近于1/11/202390東南大學2)設在ox軸上分布著連續(xù)質量，其線密度為f(x)，由于所以，數(shù)學期望或均值E(x)就表示質量中心的坐標。1/11/202391東南大學2性質（1）若C為常數(shù)，則有E（C）＝C（2）設X為隨機變量，C為常數(shù)，則有：E（CX）＝CE(X)表示常數(shù)可以提到括號外面。說明非隨機變量（常數(shù)）的數(shù)學期望就等于其自身。（3）E（X＋C）＝E(X)＋C（4）E（CX＋b）＝CE(X)＋b1/11/202392東南大學3.隨機變量的函數(shù)y=g(x)的期望：1/11/202393東南大學例：例：在N個人中抽血普查某種疾病，可用兩種方法進行，(1)將每個人的血都化驗，即化驗N次。(2)按k個人一組進行分組，把從k個人抽的血混在一起進行化驗，若混合血呈陰性，就說明k個人的血都呈陰性，k個人只化驗一次；若混合血呈陽性，則須再對這k個人分別進行化驗，這樣k個人要化驗k+1次。假定對所有人來說試驗呈陽性的概率都是p，試說明k取什么值最好，并說明第二種方案可以減少化驗次數(shù)。1/11/202394東南大學〔解〕

個人的血呈陰性反應的概率為q＝1-p，因而k個人混合血成陰性反應的概率為qk，混合血呈陽性的概率為1-qk設以k個人為一組時，組內每人化驗的次數(shù)為X，則X是一個隨機變量，其分布律為1/11/202395東南大學X的數(shù)學期望為所以N個人平均須化驗的次數(shù)為由此知道，只要選擇k使那么第二種方案就能減少化驗次數(shù)。我們選取k使上式取到最小值，此時對應的k最好，也即是最好的分組方法。1/11/202396東南大學如p＝0.1，則能求得k＝4最好，此時若N＝1000，則按第二種方案平均只需化驗這樣可以減少40%的工作量。1/11/202397東南大學二、方差1/11/202398東南大學例：設隨機變量X具有（0-1)分布，其分布律為

P{X=1}＝p，P{X=0}＝q求D(X)〔解〕

E(X)＝1×P＋0×q

＝pE(X2)＝12×p＋02×q＝pD(X)＝E(X2)－〔E(X)〕2＝pq1/11/202399東南大學2.設隨機變量X具有概率密度求D(X)〔解〕1/11/2023100東南大學3性質（1）若C為常數(shù)，則D（C）＝0（3）隨機變量X與常數(shù)C的代數(shù)和的方差就等于X的方差，即：D（X±C）＝D(X)（2）常數(shù)提到方差符號外面時必須加平方：（4）D（X）＝0的充要條件是X依概率1取常數(shù)C，即：P｛X＝C｝＝1D（CX）＝E〔CX－E（CX）〕2＝E〔CX－CE（X）〕2＝C2E〔X-E(X)〕＝

C2D(X)1/11/2023101東南大學4.標準差及變異系數(shù)(1)標準差(均方差)：

(2)變異系數(shù)：

5.契比雪夫不等式：

隨機變量X:E(X)，D(X)均有限：

1/11/2023102東南大學2.4結構可靠度中常用的概率分布1，均勻分布設連續(xù)型隨機變量X在有限區(qū)間（a，b）其概率密度為：則稱X在區(qū)間（a，b）上服從均勻分布。X的數(shù)學期望為：E（X）＝（a＋b）/2X的方差為：D（X）＝1/12（a＋b）21/11/2023103東南大學2，正態(tài)分布若X屬于正態(tài)分布，即X～N(，2)。X的數(shù)字特征：期望：E(X)＝μ方差：D（X）＝2

1/11/2023104東南大學3，對數(shù)正態(tài)分布設連續(xù)型隨機變量X，如果其對數(shù)lnX服從正態(tài)分布，則稱X服從對數(shù)正態(tài)分布。其概率密度為：X在區(qū)間（a,b)取值的概率可以換算成標準正態(tài)分布利用查表可得：1/11/2023105東南大學從上式可知，概率即為參數(shù)｛λ和ξ｝的函數(shù)。這些參數(shù)與隨機變量X的均值和方差有如下關系：1/11/2023106東南大學3，指數(shù)分布其均值和方差為：概率密度：1/11/2023107東南大學4，極值分布設連續(xù)型隨機變量X，其概率密度為：-∞<x<∞則稱X為服從參數(shù)為α，β的極值Ⅰ型分布。其期望和方差分別為：1/11/2023108東南大學1/11/2023109東南大學同樣，也可以用E(X)及σ來表示α和β：1/11/2023110東南大學5，泊松分布隨機變量X～（）（k＝0,1,…,n）其均值和方差為：1/11/2023111東南大學2.5多維隨機變量及其分布二維隨機變量二維隨機變量函數(shù)的分布多維隨機變量的數(shù)字特征1/11/2023112東南大學一、二維隨機變量二維隨機變量的分布函數(shù)

1）定義：二維隨機變量的分布函數(shù)或稱聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)＝P｛Xx，Yy｝2）性質：10P｛x1Xx2，y1Yy2｝＝F(x2,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)-F(x1,y2)1/11/2023113東南大學1/11/2023114東南大學1/11/2023115東南大學1/11/2023116東南大學2.二維離散型隨機變量定義如果二維隨機變量（x,y）的所有可能取的值是有限對或可列無限多對，則稱（x,y）是離散型隨機變量。P{X=xi,Y=yj}＝pij（i,j＝1,2,...）為二維離散型隨機變量（x,y）的概率分布或分布律，也稱為隨機變量x和y的聯(lián)合分布律。1/11/2023117東南大學3.二維連續(xù)型隨機變量1）定義對于二維隨機變量（x,y）的分布函數(shù)F(x,y)，如果存在非負的函數(shù)f(x,y)，使對于任意實數(shù)x,y有則稱（x,y）是連續(xù)型的二維隨機變量，函數(shù)f(x,y)稱為二維隨機變量(x,y)的概率密度。1/11/2023118東南大學2）概率密度f(x,y)的性質1/11/2023119東南大學3）推廣設X1＝X1(e),…,Xn＝Xn(e)是定義在樣本空間S上的隨機變量，則向量(X1,X2,…Xn)叫做n維隨機變量或隨機向量。F(x1,x2,…,xn)＝P{X1x1,X2x2,…,Xnxn}稱為n維隨機變量的(X1,X2,…Xn)的分布函數(shù)或聯(lián)合分布函數(shù)。1/11/2023120東南大學4.邊緣分布二維隨機變量(x,y)作為一個整體，具有分布函數(shù)F(x,y)。X和Y也都是隨機變量，分別有分布函數(shù)Fx(x),Fy(y)，依次被稱為二維隨機變量(x,y)關于X和Y的邊緣分布函數(shù)。同理：FY(y)＝F(＋,y)1/11/2023121東南大學對于離散型隨機變量：X和Y的分布律分別為1/11/2023122東南大學對于連續(xù)型隨機變量：X和Y的概率密度分別為單由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布1/11/2023123東南大學5.條件分布離散型隨機變量：

對于固定的j，若P{Y=yj}>0，則稱為在Y=yj條件下隨機變量X的條件分布律。對于固定的i，若P{X=xi}>0，則稱為在X=xi條件下隨機變量Y的條件分布律。1/11/2023124東南大學連續(xù)型隨機變量：對于任意固定的正數(shù)，P{y-<Yy+}>0，若極限存在，則稱此極限為在條件Y=y下X的條件分布函數(shù)，寫成P{Xx|Y=y}或FX|Y(x|y)。1/11/2023125東南大學若記fX|Y(x|y)為在條件Y=y下X的條件概率密度，則完全類似地可以定義1/11/2023126東南大學6.獨立性定義：設F(x,y)及FX(x)，F(xiàn)Y(y)分別是二維隨機變量(x,y)的分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù)。若對于所有x,y有則稱隨機變量X和Y是相互獨立的。1/11/2023127東南大學對離散型隨機變量有：對連續(xù)型隨機變量有：1/11/2023128東南大學二、二維隨機變量函數(shù)的分布設（X,Y）的概率密度為f(x,y)，則Z=X+Y的分布函數(shù)為：化成累次積分：將上式對Z求導，得到Z的概率密度：兩個隨機變量之和的分布1/11/2023129東南大學積分區(qū)域G：x+yz是直線x+y=z左邊的半平面注意：x＝z－y1/11/2023130東南大學由X,Y的對稱性，fz(z)又可以寫成：(1)和(2)式是兩個隨機變量和的概率密度的一般公式。特別地，當X和Y互相獨立時，對于所有x,y有代入(1)和(2)兩式得到：1/11/2023131東南大學這兩個公式稱為卷積公式，記為fX*fY，即：注意：若fX(x)，fY(y)在(-,+)上都大于0，好算。若fX(x)，fY(y)至少有一個不是在(-,+)上都大于0，難算。1/11/2023132東南大學例：設X和Y是兩個相互獨立的隨機變量，X~N（μ1，σ12），Y~N（μ2，σ22），試求Z＝X+Y的密度函數(shù)?！步狻?/11/2023133東南大學推廣：若Xk～N(μk，σk2)，k＝1,2,…n獨立，各個Ck為常數(shù)。比如：設－構件的抗力R，荷載S相互獨立，且R～N(μR，σR2)，S～N(μS，σS2)。則：Z＝R-S～N(μR－μS，σR2＋σR2)1/11/2023134東南大學2.隨機變量的函數(shù)Z=g(X,Y)的分布設（X,Y）的概率密度為f(x,y)，則Z=g(X,Y)的分布函數(shù)為：注意：關鍵在于找出積分區(qū)域g(x,y)ｚ。1/11/2023135東南大學1.已知：X,Y相互獨立，且都具有（0,σ2）分布，即：求的分布函數(shù)。例：1/11/2023136東南大學〔解〕由于X,Y相互獨立，所以當ｚ<０時，因Z是非負的，故FZ(z)＝０當ｚ０時，積分區(qū)域是以原點為中心，ｚ為半徑的圓域。采用極坐標變換：x＝rcos，y＝rsin，得1/11/2023137東南大學于是Z的分布函數(shù)為稱Z服從參數(shù)為(>0)的瑞利分布。1/11/2023138東南大學2.設X,Y相互獨立，且都服從區(qū)間(0,a)上的均勻分布，試求Z=X/Y的分布函數(shù)和密度函數(shù)?！步狻彻?/11/2023139東南大學于是有當z<0時，F(xiàn)Z(z)＝0當0z<1時，由上圖a)得1/11/2023140東南大學當z1時，由上圖b)得所以1/11/2023141東南大學3.M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布設X,Y是相互獨立的隨機變量，它們的分布函數(shù)分別為FX(x),FY(y)?，F(xiàn)在來求M=max(X,Y)及N=min(X,Y）的分布函數(shù)。由于M=max(X,Y）不大于z等價于X和Y都不大于z，故：P｛M≤z｝＝P{X≤z，Y≤z}又由于X和Y相互獨立，得到M=max(X,Y）的分布函數(shù)為：1/11/2023142東南大學Fmax(z)＝P｛M≤z｝＝P{X≤z，Y≤z}＝P{X≤z｝P{Y≤z}即有：Fmax(z)＝FX(z)FY(z)類似地，可得到N=min(X,Y）的分布函數(shù)為：Fmin(z)＝P｛N≤z｝＝1-P｛N>z｝=1-P{X>z，Y>z}＝1-P{X>z｝P{Y>z}即有：Fmin(z)＝1-[(1-FX(z))][1-FY(z)]1/11/2023143東南大學以上結論推廣到n個隨機變量的情況：設X1,X2,…,Xn,是相互獨立的隨機變量，它們的分布函數(shù)分別為FX1(x1),FX2(x2),…FXn(xn)。則M=max(X1,X2,…Xn)及N=min(X1,X2,…Xn)的分布函數(shù)分別為：Fmax(z)＝FX1(z)FX2(z)，…FXn(z),Fmin(z)＝1-[1-FX1(z)][1-FX2(z)]…[1-FXn(z)]1/11/2023144東南大學例：設系統(tǒng)L由兩個相互獨立的子系統(tǒng)L1,L2組成，它們聯(lián)接的發(fā)生分別為（1）串聯(lián)，（2）并聯(lián)，（3）備用（當系統(tǒng)L1損壞時，系統(tǒng)L2開始工作。如圖.已知L1,L2的壽命分別為X,Y，概率密度分別為：1/11/2023145東南大學〔解〕其中α>0,β>0,且β≠α，就以上三中聯(lián)接方式寫出L的壽命Z的概率密度。（?。┐?lián)的情況：這時，L的壽命為：Z=min(X,Y）。由(1)，(2)兩式X,Y的分布函數(shù)為：1/11/2023146東南大學則Z=min(X,Y）的分布函數(shù)為：于是Z＝min（X,Y)的概率密度為：（ⅱ）并聯(lián)的情況：這時，L的壽命為：Z=max(X,Y），其分布函數(shù)為：1/11/2023147東南大學于是Z=max(X,Y）的概率密度為：1/11/2023148東南大學（ⅲ）備用的情況：這時，整個系統(tǒng)L的壽命為L1和L2的和：Z=X＋Y按前述，當z>0時Z=X＋Y的概率密度為：1/11/2023149東南大學當z<0時Z=X＋Y的概率密度為：1/11/2023150東南大學三、多維隨機變量的數(shù)字特征1.期望1/11/2023151東南大學2.方差D(X+Y)＝E{[(X+Y)-E(X+Y)]2}證明：1/11/2023152東南大學其中又X,Y相互獨立，即E(XY)＝E(X)E(Y)所以D(X+Y)＝D(X)＋D(Y)1/11/2023153東南大學3.g(x,y)的期望4.協(xié)方差和相關系數(shù)1/11/2023154東南大學5.性質D(X±Y)＝D(X)＋D(Y)±2Cov（X，Y）(X,Y獨立：D(X±Y)＝D(X)＋D(Y))Cov（X，Y）＝2Cov（Y，X）Cov（aX，bY）＝abCov（X，Y）Cov（X1＋X2，Y）＝Cov（X1，Y）＋2Cov（X2，Y）定理：設xy是隨機變量X與Y的相關系數(shù)則有1/11/2023155東南大學當X和Y相互獨立時，Cov(X,Y)＝0于是xy＝0。當xy＝0時，稱X和Y是不相關的。所以當X和Y相互獨立時，它們必定不相關；但是當X和Y不相關時，X和Y不一定相互獨立。1/11/2023156東南大學6.矩定義設X和Y是隨機變量，若分別存在，稱它們分別為X的k階原點矩和k階中心矩。1/11/2023157東南大學顯然，X的數(shù)學期望E(X)是X的一階原點矩，方差D(X)是二階中心矩，協(xié)方差Cov（X,Y）是X,Y的二階中心混合矩。1/11/2023158東南大學2.6大數(shù)定理和中心極限定理1.大數(shù)定理X1,X2,…,Xn相互獨立，μ，σ相同，且定理21/11/2023159東南大學1.中心極限定理定理1X1,X2,…,Xn獨立，均值、方差分別為μi，σi2～N(0,1)1/11/2023160東南大學定理2（李雅普諾夫Liapunov）定理設隨機變量X1,X2,…Xn,…相互獨立，它們具有有限的數(shù)學期望和方差：E(Xk)＝μk，D(XK)＝σk2≠0（k＝1,2,…）若存在正數(shù)δ，使得當n→∞時1/11/2023161東南大學則隨機變量的分布函數(shù)Fn（x）對于任意x，滿足1/11/2023162東南大學上述定理表明，隨機變量當n很大時，近似服從標準正態(tài)分布N（0,1）。由此，當n很大時，1/11/2023163東南大學這就是說，無論各個隨機變量Xk（k＝1,2,…）具有怎樣的分布，只要滿足定理的條件，那么它們的和。當n很大時，就近似服從標準正態(tài)分布。1/11/2023164東南大學定理3隨機變量ηn（n＝1,2,…）服從二項分布B(n,p)，那么有：1/11/2023165東南大學2.7數(shù)理統(tǒng)計基礎知識一、一般概念1母體、個體和樣本母體(總體)：研究對象的全體，常指X取值的全體個體：組成母體的每個元素，常指X的取值（實數(shù)）樣本：從母體中抽取出來的用來進行觀測和試驗的部分個體。抽樣：從母體中抽取樣本。1/11/2023166東南大學簡單隨機抽樣：抽取的樣本相互獨立，且與母體同分布簡單:抽一個后。再抽下一個時，母體性質不變隨機：所有個體等概率被抽取設X為具有分布函數(shù)F的隨機變量，若X1,X2,…,Xn為具有同一分布函數(shù)F的相互獨立的隨機變量，則稱X1,X2,…,Xn為從分布函數(shù)F（或總體F、或總體X）得到的容量為n的簡單隨機樣本，它們的觀測值x1,x2,…xn又稱為X的n個獨立的觀查值。1/11/2023167東南大學設有總體X的n個獨立的觀察值，按大小次序可排成1/11/2023168東南大學定理因此，當n很大時，樣本分布函數(shù)Fn(x)實際上將近似的等于總體的分布函數(shù)。這就是我們用樣本來推斷總體的依據(jù)。1/11/2023169東南大學2.統(tǒng)計量和樣本矩統(tǒng)計量：X1,X2,…Xn為母體X的容量為n的樣本，若函數(shù)g(x1,x2,…xn)中不包含任何未知參數(shù)，則稱g(x1,x2,…xn)為一個統(tǒng)計量。常用統(tǒng)計量：1/11/2023170東南大學二、抽樣分布1.樣本均值的分布統(tǒng)計量的分布又稱為抽樣分布。

2.2分布設X～N(0,1)，X1,X2,…Xn為母體X的容量為n的樣本，且1/11/2023171東南大學稱2為服從參數(shù)為n的2分布，記為2～2(n)2(n)分布的概率密度為1/11/2023172東南大學1/11/2023173東南大學2分布的性質：1)可加性2)若X1,X2,…Xn為正態(tài)母體N(，2)的一個樣本，樣本均值和樣本方差分別為1/11/2023174東南大學1/11/2023175東南大學

3.t分布設X～N(0,1)，Y～2(n)，且X與Y相互獨立，則稱隨機變量t分布的概率密度為1/11/2023176東南大學f(t)為偶函數(shù)，E(t)＝0D(t)＝n/（n－2）1/11/2023177東南大學1/11/2023178東南大學定理1、設X1,X2,…Xn為正態(tài)總體N(，2)的一個樣本，則定理的來源：1/11/2023179東南大學定理2、設X1,X2,…Xn1和Y1,Y2,…,Yn2分別是從正態(tài)總體N(1，2)和N(2，2)中抽取的樣本，S12和S22分別是這兩個樣本的樣本方差，它們相互獨立，則定理的來源：當改進X～N(1，2)為Y～N(2，2)以后，會用到如比較1和2的大小的問題1/11/2023180東南大學

4.F分布設U～2(n1)，V～2(n2)，且U與V相互獨立，則稱隨機變量F分布的概率密度為1/11/2023181東南大學F分布的上100百分位點F(n1,n2)是指滿足1/11/2023182東南大學F(n,n)的數(shù)學期望和方差分別為1/11/2023183東南大學三、參數(shù)估計得到了一組樣本觀察值x1,x2,…,xn，就會想到用這組數(shù)據(jù)來估計總體參數(shù)的值，稱為參數(shù)的點估計問題。設為總體X的待估計的參數(shù)，一般用樣本X1,X2,…,Xn構成的一個統(tǒng)計量來估計，稱它為的估計量。1/11/2023184東南大學1.矩法：用樣本的數(shù)字特征來估計總體的數(shù)字特征2.順序統(tǒng)計量：估計量由樣本實現(xiàn)按大小次序排列而得樣本中位數(shù)：1/11/2023185東南大學常用樣本中位數(shù)來估計總體均值，即樣本極差R：R=max(x1,x2,…,xn)－min(x1,x2,…,xn)它是衡量總體離散度的一個尺度。當n大時，不太準確，故當n大于10時，可將數(shù)據(jù)分成個數(shù)相等的組并求出各組的R后，取平均值作為最終的R，再查表得系數(shù)dn后即可估計。1/11/2023186東南大學3.最大似然估計法主要思想：如果在一次觀察中，一個事件出現(xiàn)了，可認為此事出現(xiàn)的可能性很大。母體的概率密度為f(x,θ)，樣本x1…xn的聯(lián)合概率密度為稱為似然函數(shù)，若存在，使得則為θ的一個最大似然估計。如果L關于θ可微，將似然函數(shù)對θ求導并令等于零即可求得其最大似然估計，即：1/11/2023187東南大學因為L和lnL在同一θ值處取得極值，將似然函數(shù)的對數(shù)對θ求導并令等于零有時更加方便，即：最大似然估計法也可適用于分布中含有多個未知參數(shù)1,…k的情況。這時，似然函數(shù)是這些參數(shù)的函數(shù)，令lnL（或L）關于這些參數(shù)的偏導數(shù)等于0，即可解得為θi的最大似然估計，即1/11/2023188東南大學