安徽省安慶市 2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期第一次月考備考測(cè)試數(shù)學(xué)試題（含答案）

第17頁(yè)/共17頁(yè)安徽省2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)第一次月考備考測(cè)試一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.若，則關(guān)于的不等式的解集為（）A. B.C.或 D.或【答案】B【解析】【分析】結(jié)合含參一元二次不等式的解法即可.【詳解】解：方程的兩個(gè)根為和，因?yàn)?，所以，故不等式的解集為．故選：B．2.若，，定義且，則AXB=（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求出和即可求解.【詳解】，,,,所以.故選：B3.若“﹣2<x<3”是“x2+mx﹣2m2<0（m>0）”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A.m≥1 B.m≥2 C.m≥3 D.m≥4【答案】C【解析】【分析】x2+mx﹣2m2<0（m>0），解得﹣2m<x<m.根據(jù)“﹣2<x<3”是“x2+mx﹣2m2<0（m>0）”的充分不必要條件，可得﹣2m≤﹣2，3≤m，m>0.解出即可得出.【詳解】解：x2+mx﹣2m2<0（m>0），解得﹣2m<x<m.∵“﹣2<x<3”是“x2+mx﹣2m2<0（m>0）”的充分不必要條件，∴﹣2m≤﹣2，3≤m，(兩個(gè)等號(hào)不同時(shí)取)m>0.解得m≥3.則實(shí)數(shù)m的取值范圍是[3，+∞）.故選：C.4.對(duì)于任意兩個(gè)正整數(shù)，定義某種運(yùn)算，法則如下：當(dāng)都是正奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)不全為正奇數(shù)時(shí)，，則在此定義下，集合的真子集的個(gè)數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】由題意，當(dāng)都是正奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)不全為正奇數(shù)時(shí)，；

若都是正奇數(shù)，則由，可得，此時(shí)符合條件的數(shù)對(duì)為（滿足條件的共8個(gè)；

若不全為正奇數(shù)時(shí)，，由，可得，則符合條件的數(shù)對(duì)分別為共5個(gè)；

故集合中的元素個(gè)數(shù)是13，

所以集合的真子集的個(gè)數(shù)是

故選C．【點(diǎn)睛】本題考查元素與集合關(guān)系的判斷，解題的關(guān)鍵是正確理解所給的定義及熟練運(yùn)用分類討論的思想進(jìn)行列舉，5.已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通過作差法，，確定符號(hào)，排除D選項(xiàng)；通過作差法，，確定符號(hào)，排除C選項(xiàng)；通過作差法，，確定符號(hào)，排除A選項(xiàng)；【詳解】由，且，故；由且，故；且，故.所以，故選：B.6.若關(guān)于的不等式在區(qū)間上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】參變分離可得在區(qū)間上有解，求出在區(qū)間上的最大值，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】解：因?yàn)殛P(guān)于的不等式在區(qū)間上有解，所以在區(qū)間上有解，設(shè)，，其中在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以有最大值為，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：C．7.已知關(guān)于的不等式組僅有一個(gè)整數(shù)解，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式，得或，再分類討論不等式的解集，結(jié)合集合關(guān)系求得參數(shù)的取值范圍.【詳解】解不等式，得或解方程，得，（1）當(dāng)，即時(shí)，不等式的解為：此時(shí)不等式組的解集為，若不等式組的解集中僅有一個(gè)整數(shù)，則，即；（2）當(dāng)，即時(shí)，不等式的解為：此時(shí)不等式組的解集為，若不等式組的解集中僅有一個(gè)整數(shù)，則，即；綜上，可知的取值范圍為故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查利用不等式組的解集情況求參數(shù)的范圍，解題的關(guān)鍵是解一元二次不等式及分類討論解含參數(shù)的一元二次不等式，再利用集合關(guān)系求參數(shù)，考查學(xué)生的分類討論思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.8.《幾何原本》卷的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)．通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無(wú)字證明．現(xiàn)有如圖所示圖形，點(diǎn)在半圓上，點(diǎn)在直徑上，且，設(shè)，，則該圖形可以完成的無(wú)字證明為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】計(jì)算出和，由可得出合適的選項(xiàng).【詳解】由圖形可知，，，由勾股定理可得，在中，由可得.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用幾何關(guān)系得出不等式，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.）9.若不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的值可能為（）A.-2 B.-1 C. D.2【答案】BC【解析】【分析】先求出不等式的解集為，根據(jù)不等式對(duì)恒成立，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，由求解.【詳解】不等式的解集是，因不等式對(duì)恒成立，所以，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的值可能為-1，故選：BC【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次不等式的解法，二次函數(shù)的性質(zhì)，集合的基本關(guān)系的應(yīng)用以及恒成立問題，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.10.已知全集，集合，，則使成立的實(shí)數(shù)的取值范圍可以是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】討論和時(shí)，計(jì)算，根據(jù)列不等式，解不等式求得的取值范圍，再結(jié)合選項(xiàng)即可得正確選項(xiàng).【詳解】當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)，符合題意，當(dāng)時(shí)，，即，由可得或，因?yàn)?，所以或，可得或，因?yàn)椋?，所以?shí)數(shù)的取值范圍為或，所以選項(xiàng)ABC正確，選項(xiàng)D不正確；故選：ABC.11.已知a，b，c，d均為實(shí)數(shù)，則下列命題正確的是（）A.若a>b，c>d，則a-d>b-c B.若a>b，c>d則ac>bdC.若ab>0，bc-ad>0，則 D.若a>b，c>d>0，則【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)和特殊值法逐項(xiàng)分析可求得答案.【詳解】解：由不等式性質(zhì)逐項(xiàng)分析：A選項(xiàng)：由，故，根據(jù)不等式同向相加的原則，故A正確B選項(xiàng)：若，則，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：，，則，化簡(jiǎn)得，故C正確；D選項(xiàng)：，，，則，故D錯(cuò)誤故選：AC12.設(shè)，則當(dāng)取最小值時(shí)，下列說法正確的是（）．A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】將原式整理為，根據(jù)基本不等式和二次函數(shù)的性質(zhì)可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，所以原式?dāng)且僅當(dāng)，即，，時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，故選：AC．【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在題中的橫線上.）13.已知，則的取值范圍是_____．【答案】【解析】【分析】利用換元法，結(jié)合不等式的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)，因此得：，，，因?yàn)?，所以，因此，所?故答案為：14.不等式的解集為______.【答案】【解析】【分析】將所求不等式化為，采用根軸法可求得結(jié)果.【詳解】由得：，令，解得：，，，，采用根軸法可得圖象如下圖所示，由圖象可得：的解集為.故答案為：.15.已知，，滿足，存在實(shí)數(shù)m，對(duì)于任意x，y，使得恒成立，則的最大值為____________.【答案】2【解析】【分析】首先根據(jù)題意得到，從而得到，即，再根據(jù)恒成立，即可得到的最大值.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以即，，解?因?yàn)楹愠闪ⅲ?，?所以的最大值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式，同時(shí)考查了不等式的恒成立問題，屬于中檔題.16.已知，，下面四個(gè)結(jié)論：①若，則；②若，則的最小值是；③若，則的最小值等于；④若，則的最小值為；其中正確結(jié)論的序號(hào)是______.（把你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號(hào)都填上）【答案】②③④【解析】【分析】利用作差法判斷①，利用基本不等式判斷②③④；【詳解】解：對(duì)于①，，因?yàn)?，，，所以，?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，因?yàn)椋?，，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，故②正確；對(duì)于③：因?yàn)?，，且，即有，即，可得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式取得等號(hào)，即有的最小值為，故③正確．對(duì)于④：因?yàn)?，，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取得等號(hào)，故④正確；故答案為：②③④四、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算過程.）17.已知命題，，命題，．（1）若命題和命題有且只有一個(gè)為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若命題和命題至少有一個(gè)為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先求出命題、為真時(shí)參數(shù)的取值范圍，再分類討論，分別計(jì)算可得；（2）首先求出命題和命題都為假命題時(shí)參數(shù)的取值范圍，再取其補(bǔ)集即可得解.【小問1詳解】解：若命題為真命題，即命，，所以，所以，若命題真命題，即，，所以，解得，因?yàn)槊}和命題有且只有一個(gè)為假命題，當(dāng)命題為假，命題為真時(shí)，解得；當(dāng)命題為真，命題為假時(shí)，所以；所以；【小問2詳解】解：若命題和命題都為假命題，則，即；因?yàn)槊}和命題至少有一個(gè)為真命題，所以或，即；18.已知集合，（1）若，求；（2）證明：“”的充分必要條件是“”.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）首先解一元二次不等式求出集合、，再根據(jù)交集的定義計(jì)算可得；（2）根據(jù)充分條件、必要條件的定義證明即可.【小問1詳解】解：由，即，解得，所以，當(dāng)時(shí)，有，所以；【小問2詳解】證明：①充分性：當(dāng)時(shí)，，所以，此時(shí)，故；②必要性：由知，，令，則，解得，綜上：“”的充分必要條件是“”.19.為了凈化空氣，某科研單位根據(jù)實(shí)驗(yàn)得出，在一定范圍內(nèi)，每噴灑1個(gè)單位的凈化劑，空氣中釋放的濃度單位：毫克/立方米隨著時(shí)間單位：天變化的關(guān)系如下：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，若多次噴灑，則某一時(shí)刻空氣中的凈化劑濃度為每次投放的凈化劑在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和．由實(shí)驗(yàn)知，當(dāng)空氣中凈化劑的濃度不低于毫克/立方米時(shí)，它才能起到凈化空氣的作用．（1）若一次噴灑4個(gè)單位的凈化劑，則凈化時(shí)間可達(dá)幾天？（2）若第一次噴灑2個(gè)單位的凈化劑，6天后再噴灑個(gè)單位的凈化劑，要使接下來(lái)的4天中能夠持續(xù)有效凈化，試求a的最小值．精確到，參考數(shù)據(jù)：取【答案】（1）天；（2）.【解析】【分析】（1）利用已知可得：一次噴灑4個(gè)單位的凈化劑，由濃度：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，分類討論解出的值即可；（2）設(shè)從第一次噴灑起，經(jīng)天，可得濃，化簡(jiǎn)計(jì)算，再變形利用基本不等式即可得出．【小問1詳解】因?yàn)橐淮螄姙?個(gè)單位的凈化劑，所以濃度可表示為：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，由，解得，所以得，當(dāng)時(shí)，由，解得，所以得，綜合得，故若一次噴灑4個(gè)單位的凈化劑，則有效凈化時(shí)間可達(dá)8天.【小問2詳解】設(shè)從第一次噴灑起，經(jīng)天，濃度，因?yàn)?，而，所以，故，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值為，令，解得，所以a的最小值為20.給定非空數(shù)集，若對(duì)于任意，有，，則稱集合為閉集合.（1）判斷集合，是否為閉集合，并加以證明；（2）證明：已知，是閉集合，且是閉集合，則或.【答案】（1）不是閉集合；為閉集合，證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)所給定義判斷即可；（2）根據(jù)所給定義及并集的性質(zhì)判斷即可.小問1詳解】解：因?yàn)椋?，，所以不是閉集合；任取，設(shè)，，，則且，所以，同理，，故為閉集合；【小問2詳解】證明：任取，可得，因?yàn)槭情]集合，則，，若，則，此時(shí)；若，則，此時(shí).21.設(shè)數(shù)集由實(shí)數(shù)構(gòu)成，且滿足：若（且），則.（1）若，試證明中還有另外兩個(gè)元素；（2）集合是否為雙元素集合，并說明理由；（3）若中元素個(gè)數(shù)不超過8個(gè)，所有元素的和為，且中有一個(gè)元素的平方等于所有元素的積，求集合.【答案】（1）證明見解析；（2）不是，理由見解析；（3）.【解析】【分析】（1）利用集合與元素之間的關(guān)系證明即可；（2）根據(jù)條件求出元素間的規(guī)律即可；（3）先利用求出集合中元素個(gè)數(shù)，再根據(jù)所有元素和求解即可.【小問1詳解】由題意得若，則；又因?yàn)?，所以；即集合中還有另外兩個(gè)元素和.【小問2詳解】由題意，若（且），則，則，若則；所以集合中應(yīng)包含，故集合不是雙元素集合.【小問3詳解】由（2）得集合中的元素個(gè)數(shù)應(yīng)為3或6，因?yàn)榍抑杏幸粋€(gè)元素的平方等于所有元素的積，所以中應(yīng)有6個(gè)元素，且其中一個(gè)元素為，由結(jié)合條件可得，又因?yàn)?，所以剩余三個(gè)元素和為，即，解得，故