2023年甘肅省蘭州市中考數(shù)學試卷真題

第22頁〔共22頁〕2023年甘肅省蘭州市中考數(shù)學試卷一、選擇題〔共15小題，每題4分，總分值60分.在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合要求的?！?．〔4分〕2x=3y〔y≠0〕，那么下面結(jié)論成立的是〔〕A．= B．= C．= D．=2．〔4分〕如下圖，該幾何體的左視圖是〔〕A． B． C． D．3．〔4分〕如圖，一個斜坡長130m，坡頂離水平地面的距離為50m，那么這個斜坡與水平地面夾角的正切值等于〔〕A． B． C． D．4．〔4分〕如圖，在⊙O中，AB=BC，點D在⊙O上，∠CDB=25°，那么∠AOB=〔〕A．45° B．50° C．55° D．60°5．〔4分〕下表是一組二次函數(shù)y=x2+3x﹣5的自變量x與函數(shù)值y的對應值：x11.11.21.31.4y﹣1﹣0.490.040.591.16那么方程x2+3x﹣5=0的一個近似根是〔〕A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.36．〔4分〕如果一元二次方程2x2+3x+m=0有兩個相等的實數(shù)根，那么是實數(shù)m的取值為〔〕A．m＞ B．m C．m= D．m=7．〔4分〕一個不透明的盒子里有n個除顏色外其他完全相同的小球，其中有9個黃球．每次摸球前先將盒子里的球搖勻，任意摸出一個球記下顏色后再放回盒子，通過大量重復摸球?qū)嶒灪蟀l(fā)現(xiàn)，摸到黃球的頻率穩(wěn)定在30%，那么估計盒子中小球的個數(shù)n為〔〕A．20 B．24 C．28 D．308．〔4分〕如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，∠ADB=30°，AB=4，那么OC=〔〕A．5 B．4 C．3.5 D．39．〔4分〕拋物線y=3x2﹣3向右平移3個單位長度，得到新拋物線的表達式為〔〕A．y=3〔x﹣3〕2﹣3 B．y=3x2 C．y=3〔x+3〕2﹣3 D．y=3x2﹣610．〔4分〕王叔叔從市場上買了一塊長80cm，寬70cm的矩形鐵皮，準備制作一個工具箱．如圖，他將矩形鐵皮的四個角各剪掉一個邊長xcm的正方形后，剩余的局部剛好能圍成一個底面積為3000cm2的無蓋長方形工具箱，根據(jù)題意列方程為〔〕A．〔80﹣x〕〔70﹣x〕=3000 B．80×70﹣4x2=3000C．〔80﹣2x〕〔70﹣2x〕=3000 D．80×70﹣4x2﹣〔70+80〕x=300011．〔4分〕如圖，反比例函數(shù)y=〔k＜0〕與一次函數(shù)y=x+4的圖象交于A、B兩點的橫坐標分別為﹣3，﹣1．那么關(guān)于x的不等式＜x+4〔x＜0〕的解集為〔〕A．x＜﹣3 B．﹣3＜x＜﹣1 C．﹣1＜x＜0 D．x＜﹣3或﹣1＜x＜012．〔4分〕如圖，正方形ABCD內(nèi)接于半徑為2的⊙O，那么圖中陰影局部的面積為〔〕A．π+1 B．π+2 C．π﹣1 D．π﹣213．〔4分〕如圖，小明為了測量一涼亭的高度AB〔頂端A到水平地面BD的距離〕，在涼亭的旁邊放置一個與涼亭臺階BC等高的臺階DE〔DE=BC=0.5米，A、B、C三點共線〕，把一面鏡子水平放置在平臺上的點G處，測得CG=15米，然后沿直線CG后退到點E處，這時恰好在鏡子里看到?jīng)鐾さ捻敹薃，測得EG=3米，小明身高1.6米，那么涼亭的高度AB約為〔〕A．8.5米 B．9米 C．9.5米 D．10米14．〔4分〕如圖，在正方形ABCD和正方形DEFG中，點G在CD上，DE=2，將正方形DEFG繞點D順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到正方形DE′F′G′，此時點G′在AC上，連接CE′，那么CE′+CG′=〔〕A． B． C． D．15．〔4分〕如圖1，在矩形ABCD中，動點E從A出發(fā)，沿AB→BC方向運動，當點E到達點C時停止運動，過點E做FE⊥AE，交CD于F點，設(shè)點E運動路程為x，F(xiàn)C=y，如圖2所表示的是y與x的函數(shù)關(guān)系的大致圖象，當點E在BC上運動時，F(xiàn)C的最大長度是，那么矩形ABCD的面積是〔〕A． B．5 C．6 D．二、填空題〔共5小題，每題4分，總分值20分〕16．〔4分〕假設(shè)反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點〔﹣1，2〕，那么k的值是．17．〔4分〕如圖，四邊形ABCD與四邊形EFGH位似，位似中心點是O，=，那么=．18．〔4分〕如圖，假設(shè)拋物線y=ax2+bx+c上的P〔4，0〕，Q兩點關(guān)于它的對稱軸x=1對稱，那么Q點的坐標為．19．〔4分〕在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，要使四邊形ABCD是正方形，還需添加一組條件．下面給出了四組條件：①AB⊥AD，且AB=AD；②AB=BD，且AB⊥BD；③OB=OC，且OB⊥OC；④AB=AD，且AC=BD．其中正確的序號是．20．〔4分〕如圖，在平面直角坐標系xOy中，?ABCO的頂點A，B的坐標分別是A〔3，0〕，B〔0，2〕．動點P在直線y=x上運動，以點P為圓心，PB長為半徑的⊙P隨點P運動，當⊙P與?ABCO的邊相切時，P點的坐標為．三、解答題〔共8小題，總分值70分.解答時，寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟?！?1．〔10分〕計算：〔﹣3〕0+〔﹣〕﹣2﹣|﹣2|﹣2cos60°．22．〔6分〕在數(shù)學課本上，同學們已經(jīng)探究過“經(jīng)過直線外一點作這條直線的垂線“的尺規(guī)作圖過程：：直線l和l外一點P求作：直線l的垂線，使它經(jīng)過點P．作法：如圖：〔1〕在直線l上任取兩點A、B；〔2〕分別以點A、B為圓心，AP，BP長為半徑畫弧，兩弧相交于點Q；〔3〕作直線PQ．參考以上材料作圖的方法，解決以下問題：〔1〕以上材料作圖的依據(jù)是：〔3〕，直線l和l外一點P，求作：⊙P，使它與直線l相切．〔尺規(guī)作圖，不寫作法，保存作圖痕跡，并把作圖痕跡用黑色簽字筆描黑〕23．〔7分〕甘肅省省府蘭州，又名金城，在金城，黃河母親河通過自身文化的演繹，衍生和流傳了獨特的“金城八寶〞美食，“金城八寶〞美食中甜品類有：味甜湯糊“灰豆子〞、醇香軟糯“甜胚子〞、生津潤肺“熱冬果〞、香甜什錦“八寶百合〞；其他類有：青白紅綠“牛肉面〞、酸辣清涼“釀皮子〞、清爽溜滑“漿水面〞、香醇肥美“手抓羊肉〞，李華和王濤同時去品嘗美食，李華準備在“甜胚子、牛肉面、釀皮子、手抓羊肉〞這四種美食中選擇一種，王濤準備在“八寶百合、灰豆子、熱冬果、漿水面〞這四種美食中選擇一種．〔甜胚子、牛肉面、釀皮子、手抓羊肉分別記為A，B，C，D，八寶百合、灰豆子、熱冬果、漿水面分別記為E，F(xiàn)，G，H〕〔1〕用樹狀圖或表格的方法表示李華和王濤同學選擇美食的所有可能結(jié)果；〔2〕求李華和王濤同時選擇的美食都是甜品類的概率．24．〔7分〕如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=﹣x+3交y軸于點A，交反比例函數(shù)y=〔k＜0〕的圖象于點D，y=〔k＜0〕的圖象過矩形OABC的頂點B，矩形OABC的面積為4，連接OD．〔1〕求反比例函數(shù)y=的表達式；〔2〕求△AOD的面積．25．〔8分〕“蘭州中山橋“位于蘭州濱河路中段白塔山下、金城關(guān)前，是黃河上第一座真正意義上的橋梁，有“天下黃河第一橋“之美譽．它像一部史詩，記載著蘭州古往今來歷史的變遷．橋上飛架了5座等高的弧形鋼架拱橋．小蕓和小剛分別在橋面上的A，B兩處，準備測量其中一座弧形鋼架拱梁頂部C處到橋面的距離AB=20m，小蕓在A處測得∠CAB=36°，小剛在B處測得∠CBA=43°，求弧形鋼架拱梁頂部C處到橋面的距離．〔結(jié)果精確到0.1m〕〔參考數(shù)據(jù)sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93〕26．〔10分〕如圖1，將一張矩形紙片ABCD沿著對角線BD向上折疊，頂點C落到點E處，BE交AD于點F．〔1〕求證：△BDF是等腰三角形；〔2〕如圖2，過點D作DG∥BE，交BC于點G，連接FG交BD于點O．①判斷四邊形BFDG的形狀，并說明理由；②假設(shè)AB=6，AD=8，求FG的長．27．〔10分〕如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，BC是⊙O的直徑，弦AF交BC于點E，延長BC到點D，連接OA，AD，使得∠FAC=∠AOD，∠D=∠BAF．〔1〕求證：AD是⊙O的切線；〔2〕假設(shè)⊙O的半徑為5，CE=2，求EF的長．28．〔12分〕如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與直線AB交于A〔﹣4，﹣4〕，B〔0，4〕兩點，直線AC：y=﹣x﹣6交y軸于點C．點E是直線AB上的動點，過點E作EF⊥x軸交AC于點F，交拋物線于點G．〔1〕求拋物線y=﹣x2+bx+c的表達式；〔2〕連接GB，EO，當四邊形GEOB是平行四邊形時，求點G的坐標；〔3〕①在y軸上存在一點H，連接EH，HF，當點E運動到什么位置時，以A，E，F(xiàn)，H為頂點的四邊形是矩形？求出此時點E，H的坐標；②在①的前提下，以點E為圓心，EH長為半徑作圓，點M為⊙E上一動點，求AM+CM它的最小值．2023年甘肅省蘭州市中考數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題〔共15小題，每題4分，總分值60分.在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合要求的?！?．〔4分〕〔2023?蘭州〕2x=3y〔y≠0〕，那么下面結(jié)論成立的是〔〕A．= B．= C．= D．=【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)，可得答案．【解答】解：A、兩邊都除以2y，得=，故A符合題意；B、兩邊除以不同的整式，故B不符合題意；C、兩邊都除以2y，得=，故C不符合題意；D、兩邊除以不同的整式，故D不符合題意；應選：A．2．〔4分〕〔2023?蘭州〕如下圖，該幾何體的左視圖是〔〕A． B． C． D．【分析】根據(jù)左視圖就是從物體的左邊進行觀察，得出左視圖．【解答】解：在三視圖中，實際存在而被遮擋的線用虛線表示，應選：D．3．〔4分〕〔2023?蘭州〕如圖，一個斜坡長130m，坡頂離水平地面的距離為50m，那么這個斜坡與水平地面夾角的正切值等于〔〕A． B． C． D．【分析】如圖，在Rt△ABC中，AC===120m，根據(jù)tan∠BAC=，計算即可．【解答】解：如圖，在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=130m，BC=50m，∴AC===120m，∴tan∠BAC===，應選C．4．〔4分〕〔2023?蘭州〕如圖，在⊙O中，AB=BC，點D在⊙O上，∠CDB=25°，那么∠AOB=〔〕A．45° B．50° C．55° D．60°【分析】直接根據(jù)圓周角定理即可得出結(jié)論．【解答】解：∵在⊙O中，=，點D在⊙O上，∠CDB=25°，∴∠AOB=2∠CDB=50°．應選B．5．〔4分〕〔2023?蘭州〕下表是一組二次函數(shù)y=x2+3x﹣5的自變量x與函數(shù)值y的對應值：x11.11.21.31.4y﹣1﹣0.490.040.591.16那么方程x2+3x﹣5=0的一個近似根是〔〕A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3【分析】觀察表格可得0.04更接近于0，得到所求方程的近似根即可．【解答】解：觀察表格得：方程x2+3x﹣5=0的一個近似根為1.2，應選C6．〔4分〕〔2023?蘭州〕如果一元二次方程2x2+3x+m=0有兩個相等的實數(shù)根，那么是實數(shù)m的取值為〔〕A．m＞ B．m C．m= D．m=【分析】根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，即可得出△=9﹣8m=0，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：∵一元二次方程2x2+3x+m=0有兩個相等的實數(shù)根，∴△=32﹣4×2m=9﹣8m=0，解得：m=．應選C．7．〔4分〕〔2023?蘭州〕一個不透明的盒子里有n個除顏色外其他完全相同的小球，其中有9個黃球．每次摸球前先將盒子里的球搖勻，任意摸出一個球記下顏色后再放回盒子，通過大量重復摸球?qū)嶒灪蟀l(fā)現(xiàn)，摸到黃球的頻率穩(wěn)定在30%，那么估計盒子中小球的個數(shù)n為〔〕A．20 B．24 C．28 D．30【分析】根據(jù)利用頻率估計概率得到摸到黃球的概率為30%，然后根據(jù)概率公式計算n的值．【解答】解：根據(jù)題意得=30%，解得n=30，所以這個不透明的盒子里大約有30個除顏色外其他完全相同的小球．應選D．8．〔4分〕〔2023?蘭州〕如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，∠ADB=30°，AB=4，那么OC=〔〕A．5 B．4 C．3.5 D．3【分析】由矩形的性質(zhì)得出AC=BD，OA=OC，∠BAD=90°，由直角三角形的性質(zhì)得出AC=BD=2AB=8，得出OC=AC=4即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC，∠BAD=90°，∵∠ADB=30°，∴AC=BD=2AB=8，∴OC=AC=4；應選：B．9．〔4分〕〔2023?蘭州〕拋物線y=3x2﹣3向右平移3個單位長度，得到新拋物線的表達式為〔〕A．y=3〔x﹣3〕2﹣3 B．y=3x2 C．y=3〔x+3〕2﹣3 D．y=3x2﹣6【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象左加右減，上加下減的平移規(guī)律進行解答即可．【解答】解：y=3x2﹣3向右平移3個單位長度，得到新拋物線的表達式為y=3〔x﹣3〕2﹣3，應選：A．10．〔4分〕〔2023?蘭州〕王叔叔從市場上買了一塊長80cm，寬70cm的矩形鐵皮，準備制作一個工具箱．如圖，他將矩形鐵皮的四個角各剪掉一個邊長xcm的正方形后，剩余的局部剛好能圍成一個底面積為3000cm2的無蓋長方形工具箱，根據(jù)題意列方程為〔〕A．〔80﹣x〕〔70﹣x〕=3000 B．80×70﹣4x2=3000C．〔80﹣2x〕〔70﹣2x〕=3000 D．80×70﹣4x2﹣〔70+80〕x=3000【分析】根據(jù)題意可知裁剪后的底面的長為〔80﹣2x〕cm，寬為〔70﹣2x〕cm，從而可以列出相應的方程，此題得以解決．【解答】解：由題意可得，〔80﹣2x〕〔70﹣2x〕=3000，應選C．11．〔4分〕〔2023?蘭州〕如圖，反比例函數(shù)y=〔k＜0〕與一次函數(shù)y=x+4的圖象交于A、B兩點的橫坐標分別為﹣3，﹣1．那么關(guān)于x的不等式＜x+4〔x＜0〕的解集為〔〕A．x＜﹣3 B．﹣3＜x＜﹣1 C．﹣1＜x＜0 D．x＜﹣3或﹣1＜x＜0【分析】把A的橫坐標代入一次函數(shù)的解析式可求出其縱坐標，再把A的橫縱坐標代入反比例函數(shù)的解析式即可求出k的值，由此可知求關(guān)于x的不等式＜x+4〔x＜0〕的解集可轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)圖象的上方所對應的自變量x取值范圍，問題得解．【解答】解：∵反比例函數(shù)y=〔k＜0〕與一次函數(shù)y=x+4的圖象交于A點的橫坐標為﹣3，∴點A的縱坐標y=﹣3+4=1，∴k=xy=﹣3，∴關(guān)于x的不等式＜x+4〔x＜0〕的解集即不等式﹣＜x+4〔x＜0〕的解集，觀察圖象可知，當﹣3＜x＜﹣1時，一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)圖象的上方，∴關(guān)于x的不等式＜x+4〔x＜0〕的解集為：﹣3＜x＜﹣1．應選B．12．〔4分〕〔2023?蘭州〕如圖，正方形ABCD內(nèi)接于半徑為2的⊙O，那么圖中陰影局部的面積為〔〕A．π+1 B．π+2 C．π﹣1 D．π﹣2【分析】根據(jù)對稱性可知陰影局部的面積等于圓的面積減去正方形的，求出圓內(nèi)接正方形的邊長，即可求解．【解答】解：連接AO，DO，∵ABCD是正方形，∴∠AOD=90°，AD==2，圓內(nèi)接正方形的邊長為2，所以陰影局部的面積=[4π﹣〔2〕2]=〔π﹣2〕cm2．應選D．13．〔4分〕〔2023?蘭州〕如圖，小明為了測量一涼亭的高度AB〔頂端A到水平地面BD的距離〕，在涼亭的旁邊放置一個與涼亭臺階BC等高的臺階DE〔DE=BC=0.5米，A、B、C三點共線〕，把一面鏡子水平放置在平臺上的點G處，測得CG=15米，然后沿直線CG后退到點E處，這時恰好在鏡子里看到?jīng)鐾さ捻敹薃，測得EG=3米，小明身高1.6米，那么涼亭的高度AB約為〔〕A．8.5米 B．9米 C．9.5米 D．10米【分析】只要證明△ACG∽△FEG，可得=，代入條件即可解決問題．【解答】解：由題意∠AGC=∠FGE，∵∠ACG=∠FEG=90°，∴△ACG∽△FEG，∴=，∴=，∴AC=8，∴AB=AC+BC=8+0.5=8.5米．應選A．14．〔4分〕〔2023?蘭州〕如圖，在正方形ABCD和正方形DEFG中，點G在CD上，DE=2，將正方形DEFG繞點D順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到正方形DE′F′G′，此時點G′在AC上，連接CE′，那么CE′+CG′=〔〕A． B． C． D．【分析】作G′I⊥CD于I，G′R⊥BC于R，E′H⊥BC交BC的延長線于H．連接RF′．那么四邊形RCIG′是正方形．首先證明點F′在線段BC上，再證明CH=HE′即可解決問題．【解答】解：作G′I⊥CD于I，G′R⊥BC于R，E′H⊥BC交BC的延長線于H．連接RF′．那么四邊形RCIG′是正方形．∵∠DG′F′=∠IGR=90°，∴∠DG′I=∠RG′F′，在△G′ID和△G′RF中，，∴△G′ID≌△G′RF，∴∠G′ID=∠G′RF′=90°，∴點F在線段BC上，在Rt△E′F′H中，∵E′F′=2，∠E′F′H=30°，∴E′H=E′F′=1，F(xiàn)′H=，易證△RG′F′≌△HF′E′，∴RF′=E′H，RG′RC=F′H，∴CH=RF′=E′H，∴CE′=，∵RG′=HF′=，∴CG′=RG′=，∴CE′+CG′=+．應選A．15．〔4分〕〔2023?蘭州〕如圖1，在矩形ABCD中，動點E從A出發(fā)，沿AB→BC方向運動，當點E到達點C時停止運動，過點E做FE⊥AE，交CD于F點，設(shè)點E運動路程為x，F(xiàn)C=y，如圖2所表示的是y與x的函數(shù)關(guān)系的大致圖象，當點E在BC上運動時，F(xiàn)C的最大長度是，那么矩形ABCD的面積是〔〕A． B．5 C．6 D．【分析】易證△CFE∽△BEA，可得=，根據(jù)二次函數(shù)圖象對稱性可得E在BC中點時，CF有最大值，列出方程式即可解題．【解答】解：假設(shè)點E在BC上時，如圖∵∠EFC+∠AEB=90°，∠FEC+∠EFC=90°，∴∠CFE=∠AEB，∵在△CFE和△BEA中，，∴△CFE∽△BEA，由二次函數(shù)圖象對稱性可得E在BC中點時，CF有最大值，此時=，BE=CE=x﹣，即，∴y=，當y=時，代入方程式解得：x1=〔舍去〕，x2=，∴BE=CE=1，∴BC=2，AB=，∴矩形ABCD的面積為2×=5；應選B．二、填空題〔共5小題，每題4分，總分值20分〕16．〔4分〕〔2023?蘭州〕假設(shè)反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點〔﹣1，2〕，那么k的值是﹣2．【分析】因為〔﹣1，2〕在函數(shù)圖象上，k=xy，從而可確定k的值．【解答】解：∵圖象經(jīng)過點〔﹣1，2〕，∴k=xy=﹣1×2=﹣2．故答案為：﹣2．17．〔4分〕〔2023?蘭州〕如圖，四邊形ABCD與四邊形EFGH位似，位似中心點是O，=，那么=．【分析】直接利用位似圖形的性質(zhì)得出△OEF∽△OAB，△OFG∽△OBC，進而得出答案．【解答】解：如下圖：∵四邊形ABCD與四邊形EFGH位似，∴△OEF∽△OAB，△OFG∽△OBC，∴==，∴==．故答案為：．18．〔4分〕〔2023?蘭州〕如圖，假設(shè)拋物線y=ax2+bx+c上的P〔4，0〕，Q兩點關(guān)于它的對稱軸x=1對稱，那么Q點的坐標為〔﹣2，0〕．【分析】直接利用二次函數(shù)的對稱性得出Q點坐標即可．【解答】解：∵拋物線y=ax2+bx+c上的P〔4，0〕，Q兩點關(guān)于它的對稱軸x=1對稱，∴P，Q兩點到對稱軸x=1的距離相等，∴Q點的坐標為：〔﹣2，0〕．故答案為：〔﹣2，0〕．19．〔4分〕〔2023?蘭州〕在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，要使四邊形ABCD是正方形，還需添加一組條件．下面給出了四組條件：①AB⊥AD，且AB=AD；②AB=BD，且AB⊥BD；③OB=OC，且OB⊥OC；④AB=AD，且AC=BD．其中正確的序號是①③④．【分析】由矩形、菱形、正方形的判定方法對各個選項進行判斷即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB=AD，∴四邊形ABCD是菱形，又∵AB⊥AD，∴四邊形ABCD是正方形，①正確；∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB=BD，AB⊥BD，∴平行四邊形ABCD不可能是正方形，②錯誤；∵四邊形ABCD是平行四邊形，OB=OC，∴AC=BD，∴四邊形ABCD是矩形，又OB⊥OC，即對角線互相垂直，∴平行四邊形ABCD是正方形，③正確；∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB=AD，∴四邊形ABCD是菱形，又∵AC=BD，∴四邊形ABCD是矩形，∴平行四邊形ABCD是正方形，④正確；故答案為：①③④．20．〔4分〕〔2023?蘭州〕如圖，在平面直角坐標系xOy中，?ABCO的頂點A，B的坐標分別是A〔3，0〕，B〔0，2〕．動點P在直線y=x上運動，以點P為圓心，PB長為半徑的⊙P隨點P運動，當⊙P與?ABCO的邊相切時，P點的坐標為〔0，0〕或〔，1〕或〔3﹣，〕．【分析】設(shè)P〔x，x〕，⊙P的半徑為r，由題意BC⊥y軸，直線OP的解析式y(tǒng)=x，直線OC的解析式為y=﹣x，可知OP⊥OC，分分四種情形討論即可．【解答】解：①當⊙P與BC相切時，∵動點P在直線y=x上，∴P與O重合，此時圓心P到BC的距離為OB，∴P〔0，0〕．②如圖1中，當⊙P與OC相切時，那么OP=BP，△OPB是等腰三角形，作PE⊥y軸于E，那么EB=EO，易知P的縱坐標為1，可得P〔，1〕．③如圖2中，當⊙P與OA相切時，那么點P到點B的距離與點P到x軸的距離相等，可得=x，解得x=3+或3﹣，∵x=3+＞OA，∴P不會與OA相切，∴x=3+不合題意，∴p〔3﹣，〕．④如圖3中，當⊙P與AB相切時，設(shè)線段AB與直線OP的交點為G，此時PB=PG，∵OP⊥AB，∴∠BGP=∠PBG=90°不成立，∴此種情形，不存在P．綜上所述，滿足條件的P的坐標為〔0，0〕或〔，1〕或〔3﹣，〕．三、解答題〔共8小題，總分值70分.解答時，寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。〕21．〔10分〕〔2023?蘭州〕計算：〔﹣3〕0+〔﹣〕﹣2﹣|﹣2|﹣2cos60°．【分析】直接利用絕對值的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值和零指數(shù)冪的性質(zhì)、負整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)分別化簡求出答案．【解答】解：〔﹣3〕0+〔﹣〕﹣2﹣|﹣2|﹣2cos60°=1+4﹣2﹣2×=2．22．〔6分〕〔2023?蘭州〕在數(shù)學課本上，同學們已經(jīng)探究過“經(jīng)過直線外一點作這條直線的垂線“的尺規(guī)作圖過程：：直線l和l外一點P求作：直線l的垂線，使它經(jīng)過點P．作法：如圖：〔1〕在直線l上任取兩點A、B；〔2〕分別以點A、B為圓心，AP，BP長為半徑畫弧，兩弧相交于點Q；〔3〕作直線PQ．參考以上材料作圖的方法，解決以下問題：〔1〕以上材料作圖的依據(jù)是：線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等〔3〕，直線l和l外一點P，求作：⊙P，使它與直線l相切．〔尺規(guī)作圖，不寫作法，保存作圖痕跡，并把作圖痕跡用黑色簽字筆描黑〕【分析】〔1〕根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得答案；〔2〕根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，可得答案．【解答】解：〔1〕以上材料作圖的依據(jù)是：線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，故答案為：線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等；〔2〕如圖．23．〔7分〕〔2023?蘭州〕甘肅省省府蘭州，又名金城，在金城，黃河母親河通過自身文化的演繹，衍生和流傳了獨特的“金城八寶〞美食，“金城八寶〞美食中甜品類有：味甜湯糊“灰豆子〞、醇香軟糯“甜胚子〞、生津潤肺“熱冬果〞、香甜什錦“八寶百合〞；其他類有：青白紅綠“牛肉面〞、酸辣清涼“釀皮子〞、清爽溜滑“漿水面〞、香醇肥美“手抓羊肉〞，李華和王濤同時去品嘗美食，李華準備在“甜胚子、牛肉面、釀皮子、手抓羊肉〞這四種美食中選擇一種，王濤準備在“八寶百合、灰豆子、熱冬果、漿水面〞這四種美食中選擇一種．〔甜胚子、牛肉面、釀皮子、手抓羊肉分別記為A，B，C，D，八寶百合、灰豆子、熱冬果、漿水面分別記為E，F(xiàn)，G，H〕〔1〕用樹狀圖或表格的方法表示李華和王濤同學選擇美食的所有可能結(jié)果；〔2〕求李華和王濤同時選擇的美食都是甜品類的概率．【分析】〔1〕根據(jù)題意用列表法即可求出李華和王濤同學選擇美食的所有可能結(jié)果；〔2〕根據(jù)〔1〕中的結(jié)果，再找到李華和王濤同時選擇的美食都是甜品類的數(shù)目，利用概率公式即可求得答案．【解答】解：〔1〕列表得：李華王濤EFGHAAEAFAGAHBBEBFBGBHCCECFCGCHDDEDFDGDH由列表可知共有16種情況；〔2〕由〔1〕可知有16種情況，其中李華和王濤同時選擇的美食都是甜品類的情況有AE，AF，AG三種情況，所以李華和王濤同時選擇的美食都是甜品類的概率=．24．〔7分〕〔2023?蘭州〕如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=﹣x+3交y軸于點A，交反比例函數(shù)y=〔k＜0〕的圖象于點D，y=〔k＜0〕的圖象過矩形OABC的頂點B，矩形OABC的面積為4，連接OD．〔1〕求反比例函數(shù)y=的表達式；〔2〕求△AOD的面積．【分析】〔1〕根據(jù)矩形的面積求出AB，求出反比例函數(shù)的解析式；〔2〕解方程組求出反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點，確定點D的坐標，根據(jù)三角形的面積公式計算即可．【解答】解：〔1〕∵直線y=﹣x+3交y軸于點A，∴點A的坐標為〔0，3〕，即OA=3，∵矩形OABC的面積為4，∴AB=，∵雙曲線在第二象限，∴k=﹣4，∴反比例函數(shù)的表達式為y=﹣；〔2〕解方程組，得，，∵點D在第二象限，∴點D的坐標為〔﹣1，4〕，∴△AOD的面積=×3×1=．25．〔8分〕〔2023?蘭州〕“蘭州中山橋“位于蘭州濱河路中段白塔山下、金城關(guān)前，是黃河上第一座真正意義上的橋梁，有“天下黃河第一橋“之美譽．它像一部史詩，記載著蘭州古往今來歷史的變遷．橋上飛架了5座等高的弧形鋼架拱橋．小蕓和小剛分別在橋面上的A，B兩處，準備測量其中一座弧形鋼架拱梁頂部C處到橋面的距離AB=20m，小蕓在A處測得∠CAB=36°，小剛在B處測得∠CBA=43°，求弧形鋼架拱梁頂部C處到橋面的距離．〔結(jié)果精確到0.1m〕〔參考數(shù)據(jù)sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93〕【分析】過點C作CD⊥AB于D．設(shè)CD=x，在Rt△ADC中，可得AD=，在Rt△BCD中，BD=，可得+=20，解方程即可解決問題．【解答】解：過點C作CD⊥AB于D．設(shè)CD=x，在Rt△ADC中，tan36°=，∴AD=，在Rt△BCD中，tan∠B=，BD=，∴+=20，解得x=8.179≈8.2m．答：拱梁頂部C處到橋面的距離8.2m．26．〔10分〕〔2023?蘭州〕如圖1，將一張矩形紙片ABCD沿著對角線BD向上折疊，頂點C落到點E處，BE交AD于點F．〔1〕求證：△BDF是等腰三角形；〔2〕如圖2，過點D作DG∥BE，交BC于點G，連接FG交BD于點O．①判斷四邊形BFDG的形狀，并說明理由；②假設(shè)AB=6，AD=8，求FG的長．【分析】〔1〕根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等及折疊特性判斷；〔2〕①根據(jù)矩形性質(zhì)及第一問證得鄰邊相等判斷；②根據(jù)折疊特性設(shè)未知邊，構(gòu)造勾股定理列方程求解．【解答】〔1〕證明：如圖1，根據(jù)折疊，∠DBC=∠DBE，又AD∥BC，∴∠DBC=∠ADB，∴∠DBE=∠ADB，∴DF=BF，∴△BDF是等腰三角形；〔2〕①∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴FD∥BG，又∵FD∥BG，∴四邊形BFDG是平行四邊形，∵DF=BF，∴四邊形BFDG是菱形；②∵AB=6，AD=8，∴BD=10．∴OB=BD=5．假設(shè)DF=BF=x，∴AF=AD﹣DF=8﹣x．∴在直角△ABF中，AB2+AF2=BF2，即62+〔8﹣x〕2=x2，解得x=，即BF=，∴FO===，∴FG=2FO=．27．〔10分〕〔2023?蘭州〕如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，BC是⊙O的直徑，弦AF交BC于點E，延長BC到點D，連接OA，AD，使得∠FAC=∠AOD，∠D=∠BAF．〔1〕求證：AD是⊙O的切線；〔2〕假設(shè)⊙O的半徑為5，CE=2，求EF的長．【分析】〔1〕由BC是⊙O的直徑，得到∠BAF+∠FAC=90°，等量代換得到∠D+∠AOD=90°，于是得到結(jié)論；〔2〕