《大高考》2016屆高考復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理(全國通用)：第十章 計數(shù)原理、概率與統(tǒng)計 第五節(jié)

第五節(jié)二項分布與正態(tài)分布考點梳理考綱速覽命題解密熱點預(yù)測1.條件概率.2.相互獨立事件的概率.3.二項分布.4.正態(tài)分布.(1)了解條件概率和兩個事件相互獨立的概念，理解n次獨立重復(fù)試驗的模型及二項分布，并能解決一些簡單的實際問題.(2)利用實際問題的直方圖，了解正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義.主要考查條件概率和兩個事件相互獨立的概念、n次獨立重復(fù)試驗的模型及二項分布.根據(jù)正態(tài)密度曲線的對稱性進(jìn)行概率計算及正態(tài)隨機(jī)變量在特定區(qū)間上的概率等問題.選擇題主要是考查簡單的計算問題，尤其是正態(tài)分布多以選擇題、填空題形式考查，解答題往往與概率分布和數(shù)學(xué)期望相結(jié)合.預(yù)測2016年高考可能會對獨立事件的概率、n次獨立重復(fù)試驗的概率、二項分布及根據(jù)正態(tài)曲線的基本性質(zhì)進(jìn)行相關(guān)量的運算是重點考查.正態(tài)分布可能會以選擇題或填空題的形式考查.知識點一

二項分布及其應(yīng)用1.條件概率及其性質(zhì)條件概率的定義條件概率的性質(zhì)設(shè)A，B為兩個事件，且P(A)>0，稱P(B|A)______＝為在______發(fā)生的條件下，_______發(fā)生的條件概率①0≤P(B|A)≤1；②如果B，C是兩個互斥事件，則P(B∪C|A)＝______________注意：若A，B_________，則P(B|A)＝P(B)事件A事件B相互獨立P(B|A)＋P(C|A)2.相互獨立事件(1)對于事件A、B，若A的發(fā)生與B的發(fā)生互不影響，則稱A、B是相互獨立事件.(2)若A與B相互獨立，則P(B|A)＝P(B)，P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝P(A)·P(B).(3)若A與B相互獨立，則A與B，A與B，A與B也都相互獨立.(4)若P(AB)＝P(A)P(B)，則A與B相互獨立.3.獨立重復(fù)試驗與二項分布獨立重復(fù)試驗二項分布定義在_____條件下重復(fù)做的n次試驗為n次獨立重復(fù)試驗在n次獨立重復(fù)試驗中，設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X，在每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，此時稱隨機(jī)變量X服從二項分布，記作X～B(n，p)，并稱p為_____概率計算公式用Ai(i＝1，2，…，n)表示第i次試驗結(jié)果，則P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)在n次獨立重復(fù)試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(X＝k)＝_______________(k＝0，1，2，…，n)相同成功知識點二

正態(tài)分布1.正態(tài)曲線及性質(zhì)(1)正態(tài)曲線的定義(2)正態(tài)曲線的特點①曲線位于x軸上方，與x軸______；②曲線是單峰的，它關(guān)于直線_____對稱；③曲線在x＝μ處達(dá)到峰值_______；不相交x＝μ④曲線與x軸之間的圖形的面積為__；⑤當(dāng)σ一定時，曲線隨著__的變化而沿x軸平移，如圖①；⑥當(dāng)μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“_____”，σ越大，曲線越“_____”，如圖②.1瘦高矮胖μ2.正態(tài)分布及三個常用數(shù)據(jù)(1)正態(tài)分布的定義及表示：如果對于任何實數(shù)a，b(a<b)，隨機(jī)變量X滿足P(a<X≤b)＝___________，則稱X的分布為正態(tài)分布，記作X～N(μ，σ2).(2)正態(tài)分布的三個常用數(shù)據(jù)：①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974.【名師助學(xué)】1.本部分知識可以歸納為：(1)四個條件：二項分布事件發(fā)生滿足的四個條件：①每次試驗中，事件發(fā)生的概率都相同；②各次試驗中的事件相互獨立；③每次試驗結(jié)果只有發(fā)生、不發(fā)生兩種情形；④隨機(jī)變量是這n次獨立重復(fù)試驗中事件發(fā)生的次數(shù).(2)一個圖表：方法1條件概率【例1】

某科研所成功培育一種玉米新品種，經(jīng)試驗知該玉米品種的發(fā)芽率為0.9，出芽后幼苗的成活率為0.8，試求玉米新品種的一粒種子能成長為幼苗的概率.[解題指導(dǎo)]方法2獨立重復(fù)試驗與二項分布[點評]多以解答題出現(xiàn)，難度為中偏難.考查方式為求事件的概率分布列和期望等.考查內(nèi)容為對事件類型的判斷和知識點的考查置于實際問題之中，將實際問題中的量用隨機(jī)變量正確表示是解決問題的入口.方法3正態(tài)分布服從正態(tài)分布的概率的求法(1)正態(tài)分布完全由參數(shù)μ和σ確定，其中μ是隨機(jī)變量取值的均值，可用樣本均值去估計，σ是隨機(jī)變量取值的標(biāo)準(zhǔn)差，可以用樣本標(biāo)準(zhǔn)差去估計.(2)求正態(tài)總體X在某區(qū)間內(nèi)取值的概率(即正態(tài)曲線與x軸之間在這個區(qū)間上的面積)的基本方法①利用正態(tài)分布的三個常數(shù)數(shù)據(jù)，把所求的問題轉(zhuǎn)化到這三個區(qū)間內(nèi)解決.②充分利用正態(tài)曲線的對稱性及面積為1的性質(zhì).正態(tài)曲線關(guān)于直線

x＝μ對稱，從而在關(guān)于直線x＝μ對稱的區(qū)間上，概率相等.在利用對稱性轉(zhuǎn)化區(qū)間時，要注意區(qū)間是關(guān)于直線x＝μ對稱，而不是關(guān)于x＝0(μ≠0時)對稱.【例3】

(2014·成都模擬)在某次大型考試中，某班同學(xué)的成績服從正態(tài)分布N(80，52)，現(xiàn)已知該班同學(xué)中成績在80～85分的有17人.試計算該班成績在90分以上的同學(xué)有多少人.[解題指導(dǎo)]本題主要考查正態(tài)分布及其應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要記住正態(tài)總體取值在區(qū)間(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)內(nèi)的概率值，將所給問題轉(zhuǎn)化為上述區(qū)間內(nèi)解決，同時要注意對稱性的運用和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.解依題意，由80～85分的同學(xué)的人數(shù)和所占百分比求出該班同學(xué)的總數(shù)，再求90分以上同學(xué)的人數(shù).∵成績服從正態(tài)分布N(80，52)，∴μ＝80，σ＝5，μ－σ＝75，μ＋σ＝85.于是成績在(75，85]內(nèi)的同學(xué)占全班同學(xué)的68.26%.由正態(tài)曲線的對稱性知，成績在(80，85]內(nèi)的同學(xué)占全班同學(xué)的×68.26%＝34.13%.設(shè)該班有x名同學(xué)，則x×34.13%＝17，解得x≈50.又μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90，∴成績在(70，90]內(nèi)的同學(xué)占全班同學(xué)的95.44%.∴成績在(80，90]內(nèi)的同學(xué)占全班同學(xué)的47.72%.∴成績在90分以上的同學(xué)占全班同學(xué)的50%－47.72%＝2.28%.即有50×2.28%≈1(人)，即成績在90分以上的同學(xué)僅有1人.[點評]解此類問題的關(guān)鍵是利用正態(tài)曲線的對稱性，把待求區(qū)間內(nèi)的概率向已知區(qū)間內(nèi)的概率轉(zhuǎn)化.解題時要充分結(jié)合圖形進(jìn)行分析、求解，要注意數(shù)形結(jié)合思想及化歸思想的運用.方法4相