電磁學(xué)課件第六章電磁感應(yīng)與暫態(tài)過程

前言（Preface）電磁感應(yīng)(Electromagneticinduction)楞次定律(Lenz’slaw)

動(dòng)生電動(dòng)勢(Motionalelectromotiveforce)感生電動(dòng)勢感生電場

(InducedEMF&inducedelectricfield)自感(Self-inductance)互感(Mutualinductance)

渦電流（自己閱讀）暫態(tài)過程(Transientprocess)磁能(Magneticenergy)§1前言（Preface）一、本章的基本內(nèi)容及研究思路我們已研究了不隨時(shí)間變化的靜電場和靜磁場各自的性質(zhì)，現(xiàn)在開始研究隨時(shí)間變化的電場和磁場。本章從實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象揭示出電磁感應(yīng)現(xiàn)象及其產(chǎn)生的條件，然后歸納得到法拉第電磁感應(yīng)定律和楞次定律，并逐步深入地討論感應(yīng)電動(dòng)勢的起因和本質(zhì)，在此基礎(chǔ)上，研究自感、互感、渦電流、磁場能量和暫態(tài)過程的基礎(chǔ)知識和實(shí)際應(yīng)用等有關(guān)問題。電磁感應(yīng)現(xiàn)象及其規(guī)律是電磁學(xué)的重要內(nèi)容之一，而電磁感應(yīng)定律則是全章的中心。二、本章的基本要求1.確切地理解并掌握電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的兩個(gè)基本規(guī)律，即法拉第電磁感應(yīng)定律和楞次定律；2.確切地理解感生電場（渦旋電場）的概念，掌握動(dòng)生電動(dòng)勢和感生電動(dòng)勢的計(jì)算方法；3.了解自感和互感現(xiàn)象及其規(guī)律，應(yīng)掌握自感系數(shù)L和互感系數(shù)M的物理意義及其計(jì)算方法；4.掌握自感線圈，互感線圈的磁場能量的表達(dá)式和有關(guān)計(jì)算；5.能正確列出暫態(tài)過程有關(guān)的微分方程，掌握其特解的形式，能對暫態(tài)現(xiàn)象做出定性分析。

§2電磁感應(yīng)(electromagneticinduction)

一、電磁感應(yīng)現(xiàn)象

1820年，奧斯特的發(fā)現(xiàn)第一次揭示了電流能夠產(chǎn)生磁，從而開辟了一個(gè)全新的研究領(lǐng)域。當(dāng)時(shí)不少物理家想到：既然電能夠產(chǎn)生磁，磁是否也能產(chǎn)生電呢？法拉第堅(jiān)信磁能夠產(chǎn)生電，并以他精湛的實(shí)驗(yàn)技巧和敏銳的捕捉現(xiàn)象的能力，經(jīng)過十年不懈的努力，終于在1831年8月29日第一次觀察到電流變化時(shí)產(chǎn)生的感應(yīng)現(xiàn)象。緊接著，他做了一系列實(shí)驗(yàn)，用來判明產(chǎn)生感應(yīng)電流的條件和決定感應(yīng)電流的因素，揭示了感應(yīng)現(xiàn)象的奧秘。下面我們首先回顧一下幾個(gè)典型的實(shí)驗(yàn)，并逐步歸納實(shí)驗(yàn)結(jié)果，闡明什麼是電磁感應(yīng)現(xiàn)象？產(chǎn)生電磁感應(yīng)現(xiàn)象的條件是什麼？[實(shí)驗(yàn)一]

將線圈與電流計(jì)接成閉合回路。由于回路中不含電源，所以電流計(jì)的指針不偏轉(zhuǎn)，現(xiàn)將一條形磁鐵插入線圈，通過插入、停止、拔出的過程，通過電流計(jì)指針的變化可歸納出：只有當(dāng)磁鐵棒與線圈有相對運(yùn)動(dòng)時(shí)，線圈中才會(huì)有電流，相對速度越大，所產(chǎn)生的電流就越強(qiáng)，停止相對運(yùn)動(dòng)，電流隨之消失。一個(gè)通電線圈和一根磁棒相當(dāng)，那末，使通電線圈和另一線圈作相對運(yùn)動(dòng)，我們將看到完全相同的現(xiàn)象。那末，究竟是由于相對運(yùn)動(dòng)還是由于線圈所在處磁場的變化使線圈中產(chǎn)生電流？為了弄清這個(gè)問題，請看實(shí)驗(yàn)二。[實(shí)驗(yàn)二]

一個(gè)體積較大的線圈A與電流計(jì)G接成閉合回路，另一個(gè)體積較小的線圈B與直流電源和電鍵K串聯(lián)起來組成另一回路，并把B插入線圈A內(nèi)，可以看到，在接通和斷開K的瞬間，電流計(jì)的指針突然偏轉(zhuǎn)，并隨即回到零點(diǎn)。若用變阻器代替電鍵K，同樣會(huì)觀察到這個(gè)現(xiàn)象。從這個(gè)實(shí)驗(yàn)可歸納出：相對運(yùn)動(dòng)本身不是線圈產(chǎn)生電流的原因，應(yīng)歸結(jié)為線圈A所在處磁場的變化。這種看法是否全面，請看實(shí)驗(yàn)三:[實(shí)驗(yàn)三]在穩(wěn)恒磁場內(nèi)有一閉合的金屬線框A，其中串聯(lián)一靈敏電流計(jì)G，線框的ab部分為可沿水平方向滑動(dòng)的金屬桿。無論ab朝哪個(gè)方向滑動(dòng)，A所在處的磁場并沒有變化，但金屬框所圍的面積發(fā)生了變化，結(jié)果也產(chǎn)生電流。綜合以上實(shí)驗(yàn)，可以看到一個(gè)共同的事實(shí)：當(dāng)穿過一閉合回路所圍面積的磁通量（不論什么原因）發(fā)生變化時(shí)，回路中就產(chǎn)生感應(yīng)電流，這種實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象就稱為電磁感應(yīng)，這也就是產(chǎn)生感應(yīng)電流的條件。二、法拉第電磁感應(yīng)定律我們知道，閉合回路中有電流產(chǎn)生，那就意味著回路中有電動(dòng)勢存在。這種由于磁通量的變化而引起的電動(dòng)勢稱為感應(yīng)電動(dòng)勢。感應(yīng)電動(dòng)勢比感應(yīng)電流更能反映電磁感應(yīng)現(xiàn)象的本質(zhì)。當(dāng)回路不閉合的時(shí)候，也會(huì)發(fā)生電磁感應(yīng)現(xiàn)象，這時(shí)并沒有感應(yīng)電流，而感應(yīng)電動(dòng)勢卻依然存在。此外，感應(yīng)電流的大小是隨著回路的電阻而變的，而感應(yīng)電動(dòng)勢的大小則不隨回路的電阻而變。確切地講，對于電磁感應(yīng)現(xiàn)象應(yīng)這樣來理解：當(dāng)穿過導(dǎo)體回路的磁通量發(fā)生變化時(shí)，回路中就產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢。下面研究感應(yīng)電動(dòng)勢遵從的規(guī)律。的大小與穿過回路的磁通量的變化率成正比,大量精確的實(shí)驗(yàn)表明：導(dǎo)體回路中感應(yīng)電動(dòng)勢εi這個(gè)結(jié)論稱為法拉第電磁感應(yīng)定律。用公式表示則為,式中k是比例常數(shù),其值取決于εi,Фt的單位選擇，如果磁通量Ф的單位用Wb（韋伯），時(shí)間單位用S（秒），εi的單位用V（伏特），則k=1,有，上式表明，決定感應(yīng)電動(dòng)勢大小的不是磁通量Ф本身，而是磁通量隨時(shí)間的變化率（反映了磁通量變化的快慢和趨勢）這與實(shí)驗(yàn)演示的觀測結(jié)果是一致的。上式只適用于單匝線圈組成的回路，若回路有N匝線圈串聯(lián)組成，那么當(dāng)磁通量變化時(shí)，每匝中都將產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢。則線圈中的總感應(yīng)電動(dòng)勢就等于各匝所產(chǎn)生的電動(dòng)勢之和，

式中

叫磁通匝鏈數(shù)或全磁通。，

如果通過每匝線圈的磁通量相同，均為Ф，這時(shí)就有：

上式只能用來確定感應(yīng)電動(dòng)勢的大小，至于它的方向問題將在下面做比較祥盡的討論?！?楞次定律(Lenz’slaw)

一、楞次定律的兩種表述

前面討論了感應(yīng)電動(dòng)勢的大小，本節(jié)主要研究如何確定感應(yīng)電動(dòng)勢的方向，在電磁感應(yīng)現(xiàn)象中，感應(yīng)電流比感應(yīng)電動(dòng)勢更容易直觀地表現(xiàn)出來，從而根據(jù)感應(yīng)電流的方向去確定感應(yīng)電動(dòng)勢的方向。俄國物理學(xué)家楞次（1804-1865）概括了大量實(shí)驗(yàn)結(jié)果后于1834年得出如下結(jié)論:閉合回路中感應(yīng)電流的方向，總是企圖使感應(yīng)電流本身所產(chǎn)生的穿過回路的磁通量，去障礙引起感應(yīng)電流的磁通量的變化，這就是著名的楞次定律。此為楞次定律的第一種表達(dá)形式。楞次定律是判斷感應(yīng)電動(dòng)勢方向的定律，但卻是通過感應(yīng)電流的方向來表達(dá)。從定律本身看來，它只適用于閉合電路。如果是開路的，通常我們可以把它配成閉合電路，考慮這時(shí)會(huì)產(chǎn)生什麼方向的感應(yīng)電流，從而判斷出感應(yīng)電動(dòng)勢的方向。注意：阻礙磁通量的變化是指：當(dāng)磁通量沿某方向增加時(shí)，感應(yīng)電流的磁通量就與原來的磁通量方向相反（阻礙它的增加）；當(dāng)磁通量沿某方向減少時(shí)，感應(yīng)電流的磁通量就與原來的磁通量方向相同（阻礙它的減少）?！纠?】判斷演示實(shí)驗(yàn)—感應(yīng)電流的方向SNNS首先弄清穿過閉合回路的磁通量沿什麼方向，發(fā)生了何種變化；然后按照楞次定律來確定感應(yīng)電流所激發(fā)的磁場沿什麼方向；最后根據(jù)右手定則來確定感應(yīng)電流的方向。感應(yīng)電流的方向確定后，感應(yīng)電動(dòng)勢的方向就知道了。我們從另一角度來理解實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，當(dāng)磁鐵的N極向下插入線圈時(shí)，可以認(rèn)為磁鐵不動(dòng)而線圈向上運(yùn)動(dòng)，感應(yīng)電流在線圈中所激發(fā)的磁場，其上端相當(dāng)于N極，與磁鐵的N極相對，兩者互相排斥，產(chǎn)生的效果是阻礙線圈的相對運(yùn)動(dòng)。拔出時(shí)情況可作同樣的分析，本例和其它例子都表明：當(dāng)導(dǎo)體在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)，導(dǎo)體中由于出現(xiàn)感應(yīng)電流而受到的磁場力（安培力）必然阻礙此導(dǎo)體的運(yùn)動(dòng)。這是楞次定律的第二種表述。當(dāng)導(dǎo)體在磁場中運(yùn)動(dòng)而引起電磁感應(yīng)時(shí)，如果我們所討論的問題并不要求具體確定感應(yīng)電流的方向，而只需要定性判明感應(yīng)電流所引起的機(jī)械效果時(shí)，使用楞次定律的第二種表述顯得十分方便。

楞次定律的兩種表述是一致的，因?yàn)樗鼈兌加幸粋€(gè)共同的本質(zhì)，即感應(yīng)電流的效果與引起感應(yīng)電流的原因相對抗。感應(yīng)電流遵循楞次定律所表述的方向是有深刻的物理內(nèi)涵的，楞次定律是能量守恒和轉(zhuǎn)換定律在電磁感應(yīng)中的具體表現(xiàn)。感應(yīng)電流的磁場對原來的磁場的變化有阻礙作用，外力克服這種阻礙作用而做功，作功就需要消耗能量，這個(gè)能量就轉(zhuǎn)化成感應(yīng)電流的電能。（可以從例題中正、反兩方面進(jìn)行具體的分析）二、考慮楞次定律后法拉第定律的表達(dá)式感應(yīng)電動(dòng)勢的大小和方向可由以上兩個(gè)定律分別確定，為了在運(yùn)算中同時(shí)考慮感應(yīng)電動(dòng)勢的大小和方向，有必要將兩個(gè)定律統(tǒng)一用一個(gè)數(shù)學(xué)公式表示出來。首先規(guī)定一些正負(fù)號法則，電動(dòng)勢和磁通量都是標(biāo)量（代數(shù)量），它們的方向（更確切地說，應(yīng)是它們的正負(fù)）都是相對于某一標(biāo)定方向而言的?，F(xiàn)在我們沿任意回路約定一個(gè)繞行方向作為的正方向，再用右手螺旋法則確定此回路的法線n的方向。n的方向確定之后，若B和n的夾角為銳角，則Ф取正值，若B和n的夾角為鈍角，則Ф取負(fù)值。在正方向確定以后，并考慮到楞次定律的內(nèi)容，法拉第電磁感應(yīng)定律應(yīng)寫成，或，式中負(fù)號就是楞次定律的數(shù)學(xué)表示。下面我們窮盡實(shí)際中所遇到的一切情況，看對否？

§4動(dòng)生電動(dòng)勢（motionalelectromotiveforce）

法拉第電磁感應(yīng)定律指出，不論什麼原因，只要穿過回路所圍面積的磁通量發(fā)生變化，回路中就產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢。磁通量發(fā)生變化的方式主要有兩種：（1）磁場不變，而閉合電路的整體或局部在磁場中運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)致回路中磁通量的變化，這樣產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢稱為動(dòng)生電動(dòng)勢（2）閉合電路的任何部分都不動(dòng)，因空間磁場發(fā)生變化，導(dǎo)致回路中磁通量的變化，這樣產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢稱為感生電動(dòng)勢（inducedelectromotiveforce）。此外，還有一種情況，即磁場也變化，閉合電路也運(yùn)動(dòng)，此時(shí)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢就是動(dòng)生電動(dòng)勢和感生電動(dòng)勢的疊加。電動(dòng)勢是由非靜電力移動(dòng)電荷做功而形成的，我們自然要問：產(chǎn)生動(dòng)生電動(dòng)勢和感生電動(dòng)勢的非靜電力究竟是什麼呢？為了對電磁感應(yīng)現(xiàn)象有更深刻的了解，下面做出較詳盡的分析。一、動(dòng)生電動(dòng)勢和洛侖茲力

ABCD我們就一個(gè)具體例子進(jìn)行分析：在均勻穩(wěn)恒磁場B中，放置一金屬線框ABCD，線框的CD邊可以左右滑動(dòng)，其長度為l。

當(dāng)電路斷開且CD邊以速度V向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，自由電子受到的洛侖茲力為f=-e（V×B）,電子沿著導(dǎo)線向C端運(yùn)動(dòng)，使C、D兩端出現(xiàn)電荷的積累，從而產(chǎn)生一個(gè)向下的電場，當(dāng)電場力與洛侖茲力達(dá)到平衡時(shí)，電荷的積累停止，所以這段導(dǎo)體相當(dāng)于一個(gè)電源，其D端為正極，C端為負(fù)極。于是動(dòng)生電動(dòng)勢就是：

洛侖茲力即為非靜電力。當(dāng)電路閉合時(shí)，就產(chǎn)生一個(gè)逆時(shí)針方向的感應(yīng)電流。在這里，單位正電荷所受到的洛侖茲力即為非靜電場強(qiáng)，

即由于,且B、V為常量,的方向與dl方向一致,。Vl就是l在單位時(shí)間掃過的面積,VBl則是線框在單位時(shí)間內(nèi)磁通量的變化量，即上式實(shí)際為,動(dòng)生電動(dòng)勢只存在于運(yùn)動(dòng)的導(dǎo)體部分,而不動(dòng)的那部分導(dǎo)體只是提供電流可運(yùn)行的通路。

如果僅僅有一段導(dǎo)體在磁場中運(yùn)動(dòng)，而沒有回路，在這一段導(dǎo)線上雖然沒有感應(yīng)電流，但仍可能有動(dòng)生電動(dòng)勢，對于普通情況下的動(dòng)生電動(dòng)勢為：若為閉合導(dǎo)線，上式的結(jié)果與法拉第定律的結(jié)果相同；若為非閉合導(dǎo)線，法拉第定律不能直接使用，但上式仍然成立，所以它更具有普遍性。

它的能量轉(zhuǎn)換問題。由于，洛侖茲力永遠(yuǎn)對電荷不作功，而這里又說動(dòng)生電動(dòng)勢是由洛侖茲力做功引起的，兩者是否矛盾？其實(shí)并不矛盾，這里的討論只計(jì)及洛侖茲力的一部分。以上我們研究了動(dòng)生電動(dòng)勢的起因，下面討論DC。

的一個(gè)分量它與合速度垂直，對電子作正功,相應(yīng)的功率為，形成動(dòng)生電動(dòng)勢?？偟穆鍋銎澚?

不對電子作功，然而可以證明兩個(gè)分量所作功的代數(shù)和等于零

從而作負(fù)功,相應(yīng)的功率為。而另一個(gè)分量，阻礙導(dǎo)體運(yùn)動(dòng)，因此，洛侖茲力的作用并不提供能量，而只是傳遞能量，即外力克服洛侖茲力的一個(gè)分量所作的功，通過另一個(gè)分量轉(zhuǎn)變成導(dǎo)體的動(dòng)生電動(dòng)勢。它是完全符合能量守恒和轉(zhuǎn)換這一普遍規(guī)律，動(dòng)生電動(dòng)勢的能量是由外部機(jī)械能提供的。二、動(dòng)生電動(dòng)勢的計(jì)算計(jì)算動(dòng)生電動(dòng)勢的方法有兩種：

1.用洛侖茲力公式推導(dǎo)出的計(jì)算；

2.用法拉第定律計(jì)算。若是閉合電路，可用公式求出回路的動(dòng)生電動(dòng)勢；若是一段開路導(dǎo)體，則將其配成為閉合電路，仍可用此式計(jì)算，所求得的是導(dǎo)體兩端的電動(dòng)勢。[例題]在均勻磁場B中，長L的銅棒繞其一端O在垂直B的平面內(nèi)移動(dòng)，角速度為求棒上的感應(yīng)電動(dòng)勢的大小和方向。Loaoabc解法1：

方向由V×B判斷，從0→a解法2：將它配成扇形回路oaco,oa是它的一條直邊。在dt時(shí)間內(nèi)扇形oaco的磁通量的變化絕對值為：

即：電動(dòng)勢的方向由楞次定律判斷，從0→a[例題]教材370頁三、交流發(fā)電機(jī)的基本原理交流發(fā)電機(jī)是動(dòng)生電動(dòng)勢實(shí)際應(yīng)用的典型例子。實(shí)際的發(fā)電機(jī)構(gòu)造都比較復(fù)雜，下圖所示是交流發(fā)電機(jī)的原理圖，線框ABCD繞固定轉(zhuǎn)軸在磁極N、S所激發(fā)均勻磁場中轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)線圈在原動(dòng)機(jī)（如汽輪機(jī),水輪機(jī)等供給線圈轉(zhuǎn)動(dòng)所需的機(jī)械能的裝置）的帶動(dòng)下,在均勻磁場中勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，線圈的AB邊和CD邊切割磁感應(yīng)線，在線圈中就產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢。如果外電路是閉合的，則在線圈和外電路組成的閉合回路中就出現(xiàn)感應(yīng)電流。A(D)B(C)ADCBs在BC邊產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢為：

同理，在AD邊的感應(yīng)電動(dòng)勢為:

由于線圈回路中這兩個(gè)電動(dòng)勢的方向相同，則整個(gè)回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢為：設(shè)線圈旋轉(zhuǎn)的角速度為，并取線圈平面剛巧平行于B的方向時(shí)作為計(jì)時(shí)的零點(diǎn)，則上式中的V和分別為：

這一結(jié)果也可以從磁通量的變化來考慮,設(shè)電動(dòng)勢的正方為，即的方向如圖所示，計(jì)時(shí)起點(diǎn)同上面一樣。

兩種方法計(jì)算的結(jié)果相同。從計(jì)算的結(jié)果看出，感應(yīng)電動(dòng)勢隨時(shí)間變化的曲線是余弦曲線，這種電動(dòng)勢叫做簡諧交變電動(dòng)勢，簡稱簡諧交流電，交變電動(dòng)勢大小和方向都在不斷變化，當(dāng)線圈轉(zhuǎn)動(dòng)一周時(shí)，電動(dòng)勢的大小和方向又恢復(fù)到以前的情況，也就是說，電動(dòng)勢作電動(dòng)勢作一次全變化所需的時(shí)間，叫做交流電的周期,1秒鐘內(nèi)電動(dòng)勢所作完全變化的次數(shù)，叫做交流電的頻率。我國和其它一些國家，工業(yè)上和日常生活中所用的交流電的頻率是每秒50周。當(dāng)線圈中形成感應(yīng)電流時(shí)，它在磁場中要受到安培力的作用并形成阻礙線框轉(zhuǎn)動(dòng)的阻力矩。為了繼續(xù)發(fā)電，必須靠外部動(dòng)力來帶動(dòng)?？梢?，它的工作原理就是利用電磁感應(yīng)現(xiàn)象，將機(jī)械能轉(zhuǎn)化為電能。

§5感生電動(dòng)勢感生電場(inducedEMF&inducedelectricfield)上一節(jié)，我們用洛侖茲力解釋了導(dǎo)體在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)動(dòng)生電動(dòng)勢產(chǎn)生的原因，指出洛侖茲力就是使電子運(yùn)動(dòng)并形成電動(dòng)勢的非靜電力。可是，在產(chǎn)生感生電動(dòng)勢的過程中，只有空間磁場的變化，而導(dǎo)體并不發(fā)生運(yùn)動(dòng)，因此線圈中的電子不受洛侖茲力的作用，那麼，在這種情況下，產(chǎn)生電動(dòng)勢的非靜電力來自何處呢？從我們已經(jīng)掌握的有關(guān)電、磁現(xiàn)象的所有知識中，是無法找到與感生電動(dòng)勢相應(yīng)的非靜電力產(chǎn)生的原因的。這表明，產(chǎn)生感生電動(dòng)勢的實(shí)驗(yàn)事實(shí)，對我們提出了新的挑戰(zhàn)，需要進(jìn)一步擴(kuò)大和加深對電磁現(xiàn)象的認(rèn)識。既然線圈不動(dòng)而磁場發(fā)生變化時(shí)能產(chǎn)生感生電動(dòng)勢,這說明了一個(gè)問題，就是線圈中的電子必然由于磁場的變化而受到某種力的作用。

顯然這種力既不是靜電場的庫侖力（因庫侖力不會(huì)與磁場變化有關(guān)），也不是洛侖茲力（因受力電荷不動(dòng)）?？梢詳喽?它是我們迄今為止尚未認(rèn)識的一種力。實(shí)驗(yàn)表明，這種力與導(dǎo)線的形狀、種類和性質(zhì)無關(guān)。因此，不妨想象，取去線圈而在變化的磁場中放一個(gè)靜止帶電粒子，它也將受到這種力的作用。英國科學(xué)家Maxwell在系統(tǒng)總結(jié)前人成果的基礎(chǔ)上依靠直覺思維（在物理學(xué)的發(fā)展歷史上，曾有許多重大突破往往是推測和預(yù)感到其結(jié)論，然后給予邏輯的和實(shí)驗(yàn)證明）成功地提出了一個(gè)假設(shè)：變化的磁場在其周圍空間會(huì)激發(fā)一種電場，這種電場稱為感生電場或渦旋電場。他還進(jìn)一步指出，只要空間有變化的磁場，就有感生電場存在，而與空間中有無導(dǎo)體或?qū)w回路無關(guān)，他的這些假說，從理論上揭示了電磁場的內(nèi)在聯(lián)系，并已為近代眾多的實(shí)驗(yàn)結(jié)果所證實(shí)。這種電場與靜電場的共同點(diǎn)就是對電荷有作用力，與靜電場不同之處，一方面在于這種渦旋電場不是由電荷激發(fā)而是由變化的磁場所激發(fā)；另一方面在于描述渦旋電場的電力線是閉合的，從而它不是保守場，即。而產(chǎn)生感生電動(dòng)勢的非靜電力就是感生電場的電場力。渦旋電場的存在已為許多實(shí)驗(yàn)所證實(shí)，電子感應(yīng)加速器就是一個(gè)例證。

根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，有（由于L及S都是靜止的，對曲面的積分和對時(shí)間的微分可互換次序，并采用偏導(dǎo)數(shù)的符號）

就是的方向

感生電場沿的積分方向，即為感生電動(dòng)勢的正方向，它與回路的法線矢量n構(gòu)成右手螺旋關(guān)系，與構(gòu)成右手螺旋關(guān)系，有負(fù)號，與在方向上形成左手螺旋關(guān)系：如果左手螺旋沿線的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)動(dòng),那麼螺旋前進(jìn)的方向在一般情況下，空間的總電場是靜電場和渦旋電場的迭加，即

（此式是電磁學(xué)的基本方程之一）在穩(wěn)恒條件下，一切物理量不隨時(shí)間變化，則上式變?yōu)椋哼@便是靜電場的環(huán)路定理最后應(yīng)指出，將感應(yīng)電動(dòng)勢分為動(dòng)生和感生兩類，但在確認(rèn)是導(dǎo)體還是磁場源運(yùn)動(dòng)時(shí)，顯然與所選參考系有關(guān)，因此這種分法在一定程度上只有相對的意義（參閱趙凱華P487）。[例題]無限長螺線管中通過變化的電流，若為大于零的常矢，求螺線管內(nèi)外的感生電場。[解]本題實(shí)際上是計(jì)算軸對稱分布的變化磁場產(chǎn)生的感生電場。首先根據(jù)對稱性和感生電場所服從的基本規(guī)律，確定感生電場的特征：（1）感生電場不可能有垂直于對稱軸的徑向分量【根據(jù)對稱性和感生電場的“高斯定理”】；（2）感生電場不可能有軸向分量【根據(jù)對稱性和感生電場的“環(huán)路定理”】.因此，可以斷定感生電場的方向沿著圍繞對稱軸的圓周的切線方向，且同一圓周上各點(diǎn)大小相同。我們利用求螺線管內(nèi)外的感生電場感生電場的方向與構(gòu)成左手螺旋關(guān)系。隨r的變化如圖所示：OrR為了進(jìn)一步說明感應(yīng)電場與靜電場的區(qū)別，下面聯(lián)系本題作一些討論。有一點(diǎn)注意，在螺線管外盡管，但是卻不為零,因此不能形式地認(rèn)為某點(diǎn)的由該點(diǎn)的所確定。ab(1)(2)由，可知，所以在感應(yīng)電場中，關(guān)于“場點(diǎn)a、b間的電勢差”，場點(diǎn)a或場點(diǎn)b的電勢等等概念均已不再有意義。

（1）由感應(yīng)電場的渦旋性，對于圖中的閉合回路，（2）若在感應(yīng)電場中放有導(dǎo)體,則因?qū)w中存在感應(yīng)電動(dòng)勢將使導(dǎo)體兩端的a和b積累正、負(fù)電荷，從而在a、b兩端出現(xiàn)電勢差，（在導(dǎo)體不構(gòu)成回路情況下，電勢差大小就等于感生電動(dòng)勢）。因此，在這里，導(dǎo)體a、b兩端“電勢差”的提法有成為又意義的了。二、感生電動(dòng)勢的計(jì)算[概念復(fù)習(xí)]當(dāng)導(dǎo)線不動(dòng)而空間磁場變化時(shí)，線圈中的磁通量也會(huì)發(fā)生變化，由此引起的感應(yīng)電動(dòng)勢叫做感生電動(dòng)勢，或者更確切地說即使導(dǎo)線不閉合，從而無磁通可言，但只要空間有變化的磁場，在不動(dòng)的導(dǎo)線中就會(huì)產(chǎn)生電動(dòng)勢，這種由磁場變化而產(chǎn)生的電動(dòng)勢叫做感生電動(dòng)勢。

感生電動(dòng)勢可以用下面兩種方法計(jì)算：（1）應(yīng)用公式，這種方法要求事先知道導(dǎo)線上各點(diǎn)的，在一般情況下計(jì)算它相當(dāng)困難（除某些對稱情況，如長螺線管形成的變化磁場區(qū)域計(jì)算感生電場比較方便外），故用得不多；（2）利用電磁感應(yīng)定律求解，對于閉合電路，必須知道線圈的，便可求出感生電動(dòng)勢，對于非閉合的一段導(dǎo)線ab,可假設(shè)一條輔助曲線（原則應(yīng)使曲線上的感生電動(dòng)勢可求）與ab組成閉合回路，只要知道這條回路的，也可求。[例題]在上面例題的條件下，把一長為L的金屬棒放置在距螺線管截面中心h遠(yuǎn)處，如圖所示，求棒中的感生電動(dòng)勢。[解]：本題可用求感生電動(dòng)勢的兩種方法進(jìn)行求解。abab根據(jù)上面例題的結(jié)果。在螺線管內(nèi)，知沿圓周的切線方向，并有

如圖，在金屬棒上取dl，dl上的感生電動(dòng)勢為：

（1）用求解（2）用法拉第定律求解由，故，說明它的方向由a指向b，如圖，取oabo為閉合回路，回路的面積為，穿過s的磁通量為，式中負(fù)號的出現(xiàn)是因B與n反向。按法拉第定律，得

a為負(fù)極、b為正極。由于oa，ob沿半徑方向，不產(chǎn)生感生電動(dòng)勢，所以：

它的方向由a指向b，與方法（1）所得結(jié)果相同。三、電子感應(yīng)加速器電子感應(yīng)加速器是利用感應(yīng)電場加速電子的高能電子加速器，它的結(jié)構(gòu)主要部分參見教材386—387頁。下圖表示在一個(gè)周期中電子受到的渦旋電場力和洛侖茲力的方向，說明只在第一個(gè)周期內(nèi)，電子才處于正常的加速階段。好在這個(gè)時(shí)間內(nèi)電子已經(jīng)轉(zhuǎn)了幾十萬甚至幾百萬圈，并使電子獲得數(shù)百兆電子伏的能量，引出高能電子束可用于物理研究，醫(yī)療和工業(yè)生產(chǎn)中。交變磁場渦旋電場洛倫茲力

§6自感(self-inductance)

一、自感現(xiàn)象當(dāng)一線圈中的電流變化時(shí)，它所激發(fā)的磁場通過線圈自身的磁通量（或磁通匝鏈數(shù)）也在變化，使線圈自身產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢。這種因線圈中電流變化而在線圈自身所引起的電磁感應(yīng)現(xiàn)象叫做自感現(xiàn)象，所產(chǎn)生的電動(dòng)勢叫做自感電動(dòng)勢，相應(yīng)的電流稱為自感電流。自感現(xiàn)象可以通過實(shí)驗(yàn)來演示，見教材388頁

二、自感系數(shù)下面討論自感現(xiàn)象的規(guī)律：若將此式寫為：，則可得自感系數(shù)的另一種定義，即線圈的自感系數(shù)等于當(dāng)電流變化率為一個(gè)單位時(shí)，該線圈產(chǎn)生的自感電動(dòng)勢。自感L的兩種定義實(shí)質(zhì)上是等效的，在SI中，自感的單位為H。上式中的負(fù)號表明，當(dāng)回路中電流增加時(shí)，，即自感電動(dòng)勢與電流方向相反；反之，當(dāng)回路中電流減少時(shí)，，即自感電動(dòng)勢與電流方向相同。即回路中的自感有使回路中的電流保持不變的性質(zhì)，自感愈大，回路中電流愈不易改變，回路的這一性質(zhì)與力學(xué)中物體的慣性有些相似，L描述了線圈“電磁慣性”的大小。自感系數(shù)的計(jì)算方法一般比較復(fù)雜，實(shí)際中常常采用實(shí)驗(yàn)的方法來測定，簡單的情形可以根據(jù)畢奧—薩伐爾定律來計(jì)算，教材391頁求得長直螺旋管自感系數(shù)，從結(jié)果可看出：L與線圈的形狀、大小、匝數(shù)及周圍的介質(zhì)情況（如填充其它介質(zhì)，則改為）有關(guān)，而與螺旋管通過的電流無關(guān)。此結(jié)果對于實(shí)際的螺旋管是近似的，實(shí)際側(cè)得的結(jié)果要小些，由于沒有考慮端點(diǎn)效應(yīng)。下面簡單討論一下自感電動(dòng)勢的正方向問題：由于與的正方向滿足右手螺旋關(guān)系（法拉第電磁感應(yīng)定律中規(guī)定的），而的正方向也滿足右手螺旋關(guān)系（實(shí)驗(yàn)規(guī)律確定的），即的正方向總是相同的，所以只要標(biāo)出了電流的正方向也就標(biāo)出了自感電動(dòng)勢的正方向。引入自感電動(dòng)勢的正方向后，給列電路方程帶來了方便，而自感電動(dòng)勢的真實(shí)方向也就由它的正、負(fù)來反映了。

§7互感(mutualinductance)

一、互感現(xiàn)象及互感系數(shù)

兩個(gè)線圈，當(dāng)其中一個(gè)線圈的電流發(fā)生變化時(shí)，將引起穿過另一線圈的磁通量發(fā)生變化，從而在該線圈中產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢，這種現(xiàn)象稱為互感現(xiàn)象（或互感），產(chǎn)生的電動(dòng)勢稱為互感電動(dòng)勢。

由畢奧—薩伐爾定律可知，線圈1產(chǎn)生的磁場大小與成正比，因此也與成正比，設(shè)比例系數(shù)為，則；同理，.比例系數(shù)稱為互感系數(shù)或互感，理論和實(shí)驗(yàn)證明互感M只由兩個(gè)線圈的幾何形狀、大小、匝數(shù)、線圈的相對位置以及周圍介質(zhì)情況而定，而與線圈中的電流無關(guān)?；ジ须妱?dòng)勢為：。

由以上式子可得互感M的兩個(gè)定義式：兩個(gè)定義實(shí)質(zhì)上是等效的?；ジ邢禂?shù)的計(jì)算一般比較復(fù)雜，實(shí)際中常常采用實(shí)驗(yàn)的方法來測定。[例題]如圖在真空中有一長螺線管，上面緊繞著兩個(gè)長度為L的線圈，內(nèi)層線圈（稱為原線圈）的匝數(shù)為N1,外層線圈（稱為副線圈）的匝數(shù)為N2，求（1）這兩個(gè)共軸螺線管的互感系數(shù)；（2）兩個(gè)螺線管的自感系數(shù)與互感系數(shù)的關(guān)系。。。。。解：（1）設(shè)原線圈通過電流I1,它在螺線管中產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：

I1引起的穿過副線圈的磁通匝鏈數(shù)為：可得兩線圈的互感系數(shù)為：

同理，當(dāng)副線圈中通有電流I2時(shí)，I2在螺線管中產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：

I2引起的穿過原線圈的磁通匝鏈數(shù)為

可得兩線圈的互感系數(shù)為：

從以上兩種方法計(jì)算的結(jié)果表明，兩耦合線圈的互感系數(shù)是相等的。

（2）當(dāng)原線圈中通有電流I1時(shí)，它在原線圈本身產(chǎn)生的磁通匝鏈數(shù)為：

根據(jù)自感系數(shù)定義式，得原線圈的自感系數(shù)為：

同理，可得副線圈的自感系數(shù)為：

故得：這就是互相耦合的兩個(gè)線圈的互感系數(shù)與其自感系數(shù)的關(guān)系。

必須指出，上式只有在一個(gè)線圈所產(chǎn)生的磁通量全部穿過另一線圈的每一匝的情況下才適用，這時(shí)兩線圈間的耦合最緊密，無磁漏現(xiàn)象發(fā)生，稱為理想耦合。

在一般情況下，兩個(gè)線圈之間有磁漏現(xiàn)象，即一個(gè)線圈所產(chǎn)生的磁通量只有一部分穿過另一線圈。

因此或者寫成式中，

的大小決定于兩個(gè)線圈的相對位置和各自的繞法，反映兩個(gè)線圈耦合的緊密程度，稱為耦合系數(shù)。二、互感線圈的串聯(lián)

將兩個(gè)線圈串聯(lián)起來看作一個(gè)線圈，它有一定的總自感。在一般的情形下，總自感的數(shù)值并不等于兩個(gè)線圈各自自感的和，還必須注意到兩個(gè)線圈之間的互感。順接串聯(lián)線圈的總自感為：反接串聯(lián)線圈的總自感為：

考慮兩個(gè)特殊情形：第一，當(dāng)兩個(gè)線圈制作或放置使得他們各自產(chǎn)生的磁通量不穿過另一線圈，則兩個(gè)線圈得互感系數(shù)為零，這時(shí)串聯(lián)線圈的自感系數(shù)就是兩個(gè)線圈的自感系數(shù)的和；第二，當(dāng)兩無漏磁的線圈順接時(shí)總自感為：

當(dāng)它們反接時(shí)，總自感為：§8渦電流（自己閱讀）

一、渦流熱效應(yīng)的應(yīng)用與危害二、渦流磁效應(yīng)的應(yīng)用—電磁阻尼三、趨膚效應(yīng)

§9暫態(tài)過程(transientprocess)

當(dāng)一個(gè)含有線圈L或電容C的電路與電源接通或斷開時(shí)，在由0突變到ε或由ε突變到0的階躍電壓的作用下，由于L或C的存在，電路的電流或電壓不會(huì)瞬間突變，而要經(jīng)歷一個(gè)從開始發(fā)生變化到逐漸趨于穩(wěn)態(tài)的過程，這種過程稱為暫態(tài)過程?；蛘哒f電路從一種穩(wěn)態(tài)達(dá)到另一種穩(wěn)態(tài)，需要經(jīng)歷一個(gè)過程，這種過程稱為暫態(tài)過程?？杀硎緸槌醴€(wěn)態(tài)終穩(wěn)態(tài)。暫態(tài)過程一般很短，但在這個(gè)過程中出現(xiàn)的現(xiàn)象卻十分重要。本節(jié)將研究暫態(tài)過程的特點(diǎn)和規(guī)律。暫態(tài)過程在暫態(tài)過程的討論中，需要借助歐姆定律和基爾霍夫定律列出電路方程，這些在穩(wěn)恒電流中成立的定律對于變化電流是否還成立呢？在第八章中將指出，當(dāng)變化的電流滿足“似穩(wěn)條件”時(shí)，穩(wěn)恒電流電路的各種規(guī)律仍適用，這里討論的變化電流電路和第八章遇到的交流電路，似穩(wěn)態(tài)條件均能很好的滿足。

討論暫態(tài)過程要涉及許多隨時(shí)間變化的量，為明確區(qū)分它們，分別用小寫字母表示隨時(shí)間變化的量，用大寫字母表示不隨時(shí)間變化的量。一、RL串聯(lián)電路的暫態(tài)過程

RL電路與直流電源接通，如圖所示，若把開關(guān)K拔向1時(shí)作為時(shí)間的起點(diǎn)（即t=0），我們感興趣的是這一時(shí)刻后，電路中的電流隨時(shí)間變化的規(guī)律，即想求出函數(shù)i（t）。

L它們的正方向如圖所示，設(shè)電源的電動(dòng)勢為，內(nèi)阻為零，根據(jù)一段含源電路的歐姆定律，可得:

這就是電路中變化著的瞬時(shí)電流i所滿足的微分方程，它是一個(gè)一階線性常系數(shù)非齊次方程，可用分離變量法求解。將上式寫成:RK21對上式兩邊積分，得:

或

式中為積分常數(shù),由t=0，確定.可得

即解為：

根據(jù)得到的結(jié)果畫出不同值時(shí)電流i隨時(shí)間t變化的曲線，由圖可看出，接通電源后，電流要經(jīng)過一段指數(shù)式上升過程，最后達(dá)到穩(wěn)定值比值決定了電流i上升的快慢程度，它具有時(shí)間的量綱。通常令，稱為RL電路的時(shí)間常數(shù)。tOi0.63I0從上式看出，值大（即電路的L大、R?。╇娏髟鲩L慢，達(dá)到穩(wěn)定值所需時(shí)間長；值?。碙小，R大）電流增長快，達(dá)到穩(wěn)定值所需時(shí)間短，所以它是標(biāo)志RL電路中暫態(tài)過程持續(xù)時(shí)間長短的特征量。

當(dāng)時(shí)

這就是說，等于電流從零增加到穩(wěn)定值的63%所需的時(shí)間。當(dāng)時(shí)，可算出i=0.994I。，此時(shí)i已足夠接近I。，故可認(rèn)為暫態(tài)過程已結(jié)束。通常的RL電路，值極小（毫秒級或微秒級），所以只需經(jīng)過極短的時(shí)間，即可認(rèn)為暫態(tài)過程已經(jīng)結(jié)束而達(dá)到穩(wěn)態(tài)。暫態(tài)的全過程，電流從零達(dá)到穩(wěn)定值，這是在線圈中建立磁場的過程，或者說是電源對線圈的充磁過程。Oti0.37I0I0將開關(guān)由1很快拔向2，作用在LR電路上的階躍電壓從到0，這時(shí)按照歐姆定律，電流I所滿足的微分方程為：將電源撒去時(shí)，電流下降也按指數(shù)遞減，遞減的快慢用同一時(shí)間常數(shù)來表征?？傊?，LR電路在階躍電壓的作用下，電流不能突變，電流滯后一段時(shí)間才趨于穩(wěn)定值，滯后的時(shí)間由時(shí)間常數(shù)標(biāo)志。二、RC電路的暫態(tài)過程RC電路的暫態(tài)過程就是通過電阻對電容器充電或電容器通過電阻放電的過程。在電子線路（如脈沖、數(shù)字電路）中經(jīng)常遇到。我們把討論的重點(diǎn)放在求電容器電壓隨時(shí)間變化的規(guī)律上，即求出函數(shù)uc（t）.掌握了u0（t）后，其它如電流、電量的變化規(guī)律就不難求得。RK12CuRuCi如圖所示，設(shè)原先電容器不帶電，當(dāng)電鍵k拔向1時(shí)。對電容器充電，瞬時(shí)電流為i，這時(shí)有如下關(guān)系：

,.上式即為所滿足的微分方程,采用分離變量法可求得其特解為：的值稱為RC電路的時(shí)間常數(shù)。時(shí)，則充電過程實(shí)際上已基本結(jié)束。tOuC(t)0.63ε下面介紹放電過程：求得其通解為：初始條件，得，故得特解：Ot0.37εuC(t)綜上所述，我們在研究暫態(tài)過程中要抓住兩個(gè)要點(diǎn)：（1）微分方程；（2）初始條件。微分方程反映待求函數(shù)在整個(gè)暫態(tài)過程中所服從的物理規(guī)律；初始條件反映待求函數(shù)在開關(guān)拔動(dòng)的瞬間所應(yīng)滿足的條件，對含有線圈的電路它可從“線圈電流不能突變”得出，對含有電容的電路可從“電容器電壓不能突變”得出。三、RLC電路的暫態(tài)過程電路如圖所示，與上述RC和LR電路類似。

RLK21ε這個(gè)電路的微分方程為：

這是二階線性常系數(shù)微分方程，方程式解的形式與阻尼度有密切關(guān)系。下圖中三條曲線對應(yīng)三種情形：分別稱為過阻尼、臨界阻尼和阻尼振蕩。

OtqCε阻尼振蕩過阻尼臨界阻尼Otq阻尼振蕩過阻尼臨界阻尼下面我們著重從能量的角度定性討論LCR電路放電過程的特點(diǎn)，說明過阻尼、臨界阻尼和阻尼振蕩的含義。我們知道，電容和電感是儲(chǔ)能元件，其中能量的轉(zhuǎn)換是可逆的。而電阻是耗散性元件，其中電能單向地轉(zhuǎn)化為熱能。由于阻尼度是與電阻成正比，它的大小反映著電路中電磁能耗散的情況。

首先我們看電路中R=0的情形，此時(shí)=0。放電過程開始時(shí)，電容器中原來積累的電量減少，線圈中的電流增大，這時(shí)電容器中儲(chǔ)存的靜電能轉(zhuǎn)化為電感元件中的磁能。當(dāng)電容器中積累的電量放電完畢時(shí)，全部靜電能轉(zhuǎn)化為磁能以后，電路中的電流在自感電動(dòng)勢的推動(dòng)下持續(xù)下去，使電容器反方向充電，于是，磁能又轉(zhuǎn)化為電能。如此的過程反復(fù)進(jìn)行下去，形成等幅振蕩。振蕩的頻率和周期分別為它們分別稱為電路的自由振