運籌學(xué)(線性規(guī)劃)課件

page1德州學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院運籌學(xué)教案運籌帷幄之中決勝千里之外線性規(guī)劃LinearProgramming線性規(guī)劃介紹歷史悠久，理論成熟，應(yīng)用廣泛運籌學(xué)的最基本的方法之一，網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、目標規(guī)劃和多目標規(guī)劃都是以線性規(guī)劃為基礎(chǔ)的。解決稀缺資源最優(yōu)分配的有效方法，使付出的費用最小或獲得的收益最大。page2線性規(guī)劃理論的發(fā)展：1939年前蘇聯(lián)康托洛維奇（KOHTOPOBUZ）《生產(chǎn)組織與計劃中的數(shù)學(xué)方法》提出“解乘數(shù)法”。線性規(guī)劃介紹列奧尼德·康托羅維奇，前蘇聯(lián)人，由于在1939年創(chuàng)立了享譽全球的線形規(guī)劃要點，對資源最優(yōu)分配理論做出了貢獻，而獲得諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎。page3美國科學(xué)院院士DANTZIG（丹齊克），1948年在研究美國空軍資源的優(yōu)化配置時提出線性規(guī)劃及其通用解法“單純形法”。被稱為線性規(guī)劃之父。線性規(guī)劃介紹

線性規(guī)劃之父的Dantzig(丹齊克)。據(jù)說，一次上課，Dantzig遲到了，仰頭看去，黑板上留了幾個幾個題目，他就抄了一下，回家后埋頭苦做。幾個星期之后，疲憊的去找老師說，這件事情真的對不起，作業(yè)好像太難了，我所以現(xiàn)在才交，言下很是慚愧。幾天之后，他的老師就把他召了過去，興奮的告訴他說他太興奮了。Dantzig很不解,后來才知道原來黑板上的題目根本就不是什么家庭作業(yè)，而是老師說的本領(lǐng)域的未解決的問題，他給出的那個解法也就是單純形法。這個方法是上個世紀前十位的算法。

page4線性規(guī)劃介紹

1960年，“最佳資源利用的經(jīng)濟計算”康托洛維奇和庫伯曼斯(Koopmans)。兩人因?qū)Y源最優(yōu)分配理論的貢獻而獲1975年諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎佳林·庫普曼斯，美國人，他將數(shù)理統(tǒng)計學(xué)成功運用于經(jīng)濟計量學(xué)，對資源最優(yōu)分配理論做出了貢獻。page51961年，查恩斯與庫伯提出了目標規(guī)劃，艾吉利提出了用優(yōu)先因子來處理多目標問題。20世紀70年代，斯．姆．李與杰斯開萊尼應(yīng)用計算機處理目標規(guī)劃問題。計算機50約束100變量30000約束3000000變量線性規(guī)劃介紹page6從1964年諾貝爾獎設(shè)經(jīng)濟學(xué)獎后，到1992年28年間的32名獲獎?wù)咧杏?3人(40%)從事過與線性規(guī)劃有關(guān)的研究工作，其中著名的有Simon，Samullson，Leontief，Arrow，Miller等。線性規(guī)劃介紹保羅-薩繆爾遜（PAULASAMUELSON）,他發(fā)展了數(shù)理和動態(tài)經(jīng)濟理論，將經(jīng)濟科學(xué)提高到新的水平。他的研究涉及經(jīng)濟學(xué)的全部領(lǐng)域。于1970年獲得諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎。華西里·列昂惕夫（WASSILYLEONTIEF），美國人，他發(fā)展了投入產(chǎn)出方法，該方法在許多重要的經(jīng)濟問題中得到運用。曾獲1973年諾貝爾經(jīng)濟科學(xué)獎?？夏崴?J-阿羅（KENNETHJ.ARROW）,美國人，因與約翰-希克斯（JOHNR.HICKS）共同深入研究了經(jīng)濟均衡理論和福利理論獲得1972年諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎。牟頓-米勒（MERTONM.MILLER）,1923-2000,美國人,由于他在金融經(jīng)濟學(xué)方面做出了開創(chuàng)性工作，于1990年獲得諾貝爾經(jīng)濟獎。page7線性規(guī)劃介紹線性規(guī)劃研究的主要問題：有一定的人力、財力、資源條件下，如何合理安排使用，效益最高?某項任務(wù)確定后，如何安排人、財、物，使之最省?

page8線性規(guī)劃(LinearProgramming)

LP的數(shù)學(xué)模型圖解法單純形法單純形法的進一步討論－人工變量法

LP模型的應(yīng)用本章主要內(nèi)容：page9生產(chǎn)和經(jīng)營管理中經(jīng)常提出如何合理安排，使人力、物力等各種資源得到充分利用，獲得最大的效益，這就是規(guī)劃問題。線性規(guī)劃通常解決下列兩類問題：（1）當(dāng)任務(wù)或目標確定后，如何統(tǒng)籌兼顧，合理安排，用最少的資源（如資金、設(shè)備、原標材料、人工、時間等）去完成確定的任務(wù)或目標（2）在一定的資源條件限制下，如何組織安排生產(chǎn)獲得最好的經(jīng)濟效益（如產(chǎn)品量最多、利潤最大.）線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型1.規(guī)劃問題page10

例1美佳公司計劃制造I，II兩種家電產(chǎn)品。已知各制造一件時分別占用的設(shè)備A、B的臺時、調(diào)試時間及A、B設(shè)備和調(diào)試工序每天可用于這兩種家電的能力、各售出一件時的獲利情況如表I—l所示。問該公司應(yīng)制造A、B兩種家電各多少件，使獲取的利潤為最大？項目III每天可用能力設(shè)備A（h）設(shè)備B（h）調(diào)試工序（h）06152115245利潤（元）21線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型page11目標函數(shù)約束條件解：用變量x1和x2分別表示美佳公司制造家電I和II的數(shù)量。項目III每天可用能力設(shè)備A（h）設(shè)備B（h）調(diào)試工序（h）06152115245利潤（元）21例1用數(shù)學(xué)語言描述線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型page12例2捷運公司擬在下一年度的1-4月的4個月內(nèi)需租用倉庫堆放物資。已知各月份所需倉庫面積數(shù)列見下表。倉庫租借費用隨合同期定，期限越長折扣越大，具體數(shù)字見下表。租借倉庫的合同每月初都可辦理，每份臺同具體現(xiàn)定租用面積數(shù)和期限。因此該廠可根據(jù)需要，在任何一個月初辦理租借臺同。每次辦理時可簽一份，也可簽若干份租用面積和租借期限不同的合同，試確定該公司簽訂租借合同的最優(yōu)決策，目的是使所付租借費用最小。月份1234所需倉庫面積15102012合同租借期限1個月2個月3個月4個月合同期內(nèi)的租費2800450060007300線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型page13解：設(shè)變量xij表示捷運公司在第i(i＝1．…，4)個月初簽訂的租借期為j〔j＝1，…，4)個月的倉庫面積的合同(單位為100m2)。約束條件目標函數(shù)例2月份1234所需倉庫面積15102012合同租借期限1個月2個月3個月4個月合同期內(nèi)的租費2800450060007300線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型page14線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型page15xa例3如圖所示，如何截取x使鐵皮所圍成的容積最大？線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型page16例4某企業(yè)計劃生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品。這些產(chǎn)品分別要在A、B、C、D、四種不同的設(shè)備上加工。按工藝資料規(guī)定，單件產(chǎn)品在不同設(shè)備上加工所需要的臺時如下表所示，企業(yè)決策者應(yīng)如何安排生產(chǎn)計劃，使企業(yè)總的利潤最大？設(shè)備產(chǎn)品ABCD利潤（元）甲21402乙22043有效臺時1281612線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型page17解：設(shè)x1、x2分別為甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量，則數(shù)學(xué)模型為：maxZ=2x1+3x2

x1≥0,x2≥0s.t.2x1+2x2≤12x1+2x2≤84x1≤164x2≤12運輸問題page18問題分析page19模型page20

AB備用資源煤1230勞動日3260倉庫0224利潤4050求：最大利潤的生產(chǎn)計劃。練習(xí)1生產(chǎn)計劃問題線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型page21maxZ=40x1+50x2解:設(shè)產(chǎn)品A,B產(chǎn)量分別為變量x1，x2x1

+2x2

303x1+2x2

602x2

24x1，x2

0s.t.線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型page22求：最低成本的原料混合方案？

原料ABＣ每單位成本14102261253171642538每單位添加劑中維生12148素最低含量練習(xí)2混合配料問題線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型page23

原料ABＣ每單位成本14102261253171642538每單位添加劑中維生12148素最低含量

原料ABＣ每單位成本14102261253171642538每單位添加劑中維生12148素最低含量解：設(shè)每單位添加劑中原料i的用量為xi(i=1,2,3,4)minZ=2x1

+5x2+6x3+8x44x1

+6x2+x3+2x412x1

+x2+7x3+5x4142x2

+x3+3x4

8

xi

0(i=1,…,4)線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型page24s.t.2.線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型由三個要素構(gòu)成決策變量Decisionvariables目標函數(shù)Objectivefunction約束條件Constraints其特征是：（1）問題的目標函數(shù)是多個決策變量的線性函數(shù)，通常是求最大值或最小值；（2）問題的約束條件是一組多個決策變量的線性不等式或等式。

怎樣辨別一個模型是線性規(guī)劃模型？

線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型page25線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型page26目標函數(shù)：約束條件：3.線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型的一般形式簡寫為：注釋page27概念page28線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型page29向量形式：其中：線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型page30矩陣形式：其中：比例性：決策變量變化引起目標的改變量與決策變量改變量成正比；可加性：每個決策變量對目標和約束的影響?yīng)毩⒂谄渌兞浚贿B續(xù)性：每個決策變量取連續(xù)值；確定性：線性規(guī)劃中的參數(shù)aij,bi,ci為確定值。隱含的假設(shè)線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型page31線性規(guī)劃的適用情況要解決的問題的目標可以用數(shù)值指標反映對于要實現(xiàn)的目標有多種方案可選擇有影響決策的若干約束條件線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型page32線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型page333.線性規(guī)劃問題的標準形式特點：(1)目標函數(shù)求最大值（有時求最小值）(2)約束條件都為等式方程，且右端常數(shù)項bi都大于或等于零(3)決策變量xj為非負。規(guī)范形式page34線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型模型轉(zhuǎn)換約束轉(zhuǎn)換目標轉(zhuǎn)換變量轉(zhuǎn)換實例page35約束轉(zhuǎn)換不等式變等式等式變不等式不等式變不等式page36不等式變等式松弛變量剩余變量page37不等式變不等式page38例5：將minZ=-x1+2x2-3x3x1+x2+x37x1-x2+x32x1，x20，x3無限制化為標準型線性規(guī)劃標準形式page39解：①令x3=x4-

x5②加松弛變量x6③加剩余變量x7

④令Z'=-ZmaxZ'=x1-2x2+3x4-3x5x1+x2+x4-x5+x6=7x1-x2+x4-x5-x7=2x1,

x2,

x4,…,x70minZ=-x1+2x2-3x3x1+x2+x37x1-x2+x32x1，x20，x3無限制線性規(guī)劃標準形式page40

例6

把問題轉(zhuǎn)化為標準形式page41(1)minZ=2x1-x2+2x3練習(xí)3將下列線性規(guī)劃問題化成標準型：-x1

+x2+x3

=

4-x1

+x2-x3

6x1

0

，x2

0,x3

無約束

s.t.(2)maxZ=2x1+x2+3x3+x4x1

+x2+x3+x3

72x1

-3x2+x3

=-8x1

-2x3+2x4

1x1,

x3

0,x2

0

，x4

無約束

s.t.線性規(guī)劃標準形式(3)minZ=2x1+3x2+5x3x1

+x2-x3

-5

-6x1

+7x2-9x3

=15|19x1

-7x2+5x3|13x1,

x2

0,x3

無約束

s.t.(4)maxZ=x1-3x2-x1

+2x2-5

x1

+3x2=10x1,

x2

無約束

s.t.線性規(guī)劃標準形式page43定義1：滿足約束(2)、(3)的x=(x1…xn)T稱為LP問題的可行解，全部可行解的集合稱為可行域。定義2：滿足(1)的可行解稱為LP問題的最優(yōu)解線性規(guī)劃的標準型4．線性規(guī)劃的圖解法page44maxZ=Cx(1)Ax=b(2)x

0(3)圖解法求解的目的：一是判別線性規(guī)劃問題的求解結(jié)局；二是在存在最優(yōu)解的條件下，把問題的最優(yōu)解找出來。

4．線性規(guī)劃的圖解法page45圖解法的步驟：1、在平面上建立直角坐標系；2、圖示約束條件，找出可行域；3、圖示目標函數(shù)和尋找最優(yōu)解。4．線性規(guī)劃的圖解法page46例7maxZ=40x1+50x2

x1+2x2303x1+2x2602x224

x1,x204．線性規(guī)劃的圖解法page47解：(1)、確定可行域

x10x1=0(縱)x20x2=0(橫)x1+2x230x1+2x2=30(0,15)(30,0)x23x1+2x2=60(0,30)(20,0)

2x2=244．線性規(guī)劃的圖解法0102030DABC203010x1page48(2)、求最優(yōu)解最優(yōu)解：x*=(15,7.5)Zmax=975Z=40x1+50x20=40x1+50x2(0,0)，(10,-8)C點：x1+2x2=30

3x1+2x2=604．線性規(guī)劃的圖解法page490102030DABC203010x1x2Z=40x1+80x2=0

x1+2x2=30DABCx20x1解:最優(yōu)解：BC線段B點C點x(1)=(6,12)x(2)=(15,7.5)x=x(1)+(1-)x(2)(01)例8、maxZ=40x1+80x2

x1+2x2303x1+2x2602x224

x1,x204．線性規(guī)劃的圖解法page504．線性規(guī)劃的圖解法X1=6+(1-)·15X2=12+(1-)·7.5X1=15-9X2=7.5+4.5(01)X==+(1-)maxZ=1200

X1615

X2127.5page51無界解無有限最優(yōu)解例9、maxZ=2x1+4x2

2x1+x28-2x1+x22x1,x20Z=02x1+x2=8-2x1+x2=28246x240x14．線性規(guī)劃的圖解法page52例10、maxZ=3x1+2x2-x1-x21x1,x20無解無可行解-1x1-1x204．線性規(guī)劃的圖解法page53唯一解無窮多解無有限最優(yōu)解無可行解有解無解當(dāng)目標函數(shù)的直線族與某約束條件平行，且該問題有解時。約束條件無公共區(qū)域。有解但可行域可伸展到無窮時總結(jié)4．線性規(guī)劃的圖解法page54由圖解法得到的啟示(1)、線性規(guī)劃問題的解的情況有四種：唯一最優(yōu)解；無窮多最優(yōu)解；無界解；無可行解。(2)、若線性規(guī)劃可行域存在，則可行域是一個凸集。(3)、若有最優(yōu)解，定可在可行域的頂點得到。(4)、解題思路是找出凸集的各頂點的最大目標函數(shù)值。4．線性規(guī)劃的圖解法page55練習(xí)：用圖解法解以下問題：maxZ=5x1+6x2x1

-2x2

2

-2x1

+3x22x1,

x2

無約束

s.t.4．線性規(guī)劃的圖解法page56maxZ=CxAx

=bx0Am×n

滿秩

x

=(x1…xn)T

一、線性規(guī)劃問題的解的概念5．線性規(guī)劃基本概念page57定義1：基(基陣)——設(shè)A為約束方程組的m×n階系數(shù)矩陣設(shè)(n>m)，其秩為m，B是矩陣A中的一個m×m階的滿秩子矩陣，稱B是線性規(guī)劃問題的一個基。

P1P2…Pm……Pna11a12…

a1m……a1nA=a21a22…

a2m……

a2n

……am1am2…

amm……amnB5．線性規(guī)劃基本概念page58A=(P1…

PmPm+1…

Pn)=(BN)

基向量非基向量…x=(x1…

xmxm+1…

xn)T=(xBxN)T

基變量非基變量

xB

xN…B中的每一個列向量Pj稱為基向量，與基向量對應(yīng)的變量稱為基變量，其他變量稱為非基變量。5．線性規(guī)劃基本概念page59Ax=b的求解xBxN(BN)=bBxB+NxN=bBxB=b-NxNxB=B-1b-B-1NxNA=(BN)x=(xBxN)T若B為單位矩陣xB=b-NxN若xN＝0xB=B-1b5．線性規(guī)劃基本概念page60定義2：可行解——滿足方程約束條件的解x＝（x1，x2，…xn)T,稱為線性規(guī)劃問題的可行解。全部可行解的集合稱為可行域。定義3：最優(yōu)解——使目標函數(shù)達到最大值的可行解，稱為最優(yōu)解。5．線性規(guī)劃基本概念page61定義4：基本解——對應(yīng)于基B，x=為Ax=b的一個解，則x為線性規(guī)劃問題的基本解，也稱基解。B-1b0定義5：基本可行解——基B，基本解x=若B-1b0，稱基解為基本可行解，也稱基可行解。

B-1b0※基本解中最多有m個非零分量。※基本解的數(shù)目不超過Cnm=個。n!m!(n-m)!定義6：可行基——對應(yīng)于基可行解的基稱為可行基。5．線性規(guī)劃基本概念page62例11x1+2x2+x3=303x1+2x2+x4=602x2+x5=24x1…x50121003201002001P1P2P3P4P5A=5．線性規(guī)劃基本概念page63x1x2x3x4x5x=b=306024B=(P3P4P5)=I

是滿秩子矩陣

非基N=(P1P2)x3=30-(x1+2x2)x4=60-(3x1+2x2)x5=24-2x25．線性規(guī)劃基本概念page64令x1=

x2=0,x3=30,x4=60,x5=2400306024x===xN0xBB-1b5．線性規(guī)劃基本概念page65例12：給定約束條件

-x3+x4=0x2+x3+x4=3-x1+x2+x3+x4=2xj0(j=1,2,3,4)求出基變量是x1,x3,x4的基本解，是不是可行解？5．線性規(guī)劃基本概念page66

0-11解：B=(P1P3P4)=011-111

01-10B-1=-1/21/2031/21/202b=5．線性規(guī)劃基本概念page67

x1

x3=B-1b

x4

xB=

01-101

=-1/21/203=3/2

1/21/2023/2∴x=(1,0,3/2,3/2)T是5．線性規(guī)劃基本概念page68線性規(guī)劃解之間的關(guān)系線性規(guī)劃解之間的關(guān)系：可行解基本解非可行解基本可行解最優(yōu)解page69退化基本可行解與退化基1、退化基本可行解：基本可行解中存在取零值的基變量，則稱該基本可行解為退化的基本可行解。2、退化基：退化的基本可行解對應(yīng)的基，稱為退化基。page70凸集——D是n維空間的一個集合，x(1),

x(2)∈D,若對任何x(1),

x(2)，有x=x(1)+(1-)x(2)∈D(01)，則D為凸集。定義1：凸集——如果集合D中任意兩個點，其連線上的所有點也都是集合D中的點，則稱D為凸集。二、凸集及其頂點5．線性規(guī)劃基本概念page71x(1)x(2)凸多邊形凹多邊形x(1)x(2)5．線性規(guī)劃基本概念page72

x(1),x(2),…,x(k)

是n維歐氏空間中的k個點，若有一組數(shù)

μ1,μ2,…,μk

滿足

0μi1(i=1,…,k)定義2μ

i=1ki=1有點x=μ1x(1)

+…+μkx(k)則稱點x為x(1),x(2),…,x(k)

的凸組合。凸組合5．線性規(guī)劃基本概念page73

凸集D,點xD，若找不到兩個不同的點x(1),x(2)D使得x=x(1)

+(1-)x(2)

(0<<1)

則稱x為D的頂點。定義3頂點5．線性規(guī)劃基本概念page74證明：設(shè)LP問題的可行解域為集合CC={x|Ax=bx0}任取x(1),x(2)C,則

x=x(1)

+(1-)x(2)

0

(0

1)又因為Ax(1)

=b，Ax(2)

=b所以Ax=A[x(1)

+(1-)x(2)

]=b

+(1-)b=b

則xC，C為凸集定理1：LP問題的可行解域一定是凸集。三、幾個基本定理的證明5．線性規(guī)劃基本概念page75只須證明：D的k個頂點x(1),…,x(k)

，有

預(yù)理1D為有界凸多面集，xD，x必可表為D的頂點的凸組合。0μi1，使x=μ1x(1)

+…+μkx(k)μ

i=1ki=15．線性規(guī)劃基本概念page76證明可用歸納法（略）x(1)x(2)x(3)x’xx’在邊界上x在內(nèi)部x(1)(1-)x(2)(1-)x(3)x=++x＝x’

+(1-)x(2)

(0

1)x’＝x(1)

+(1-)x(3)

(0

1)5．線性規(guī)劃基本概念page77證明：設(shè)x(1),…,x(k)

為可行域頂點，若x*不是頂點，但maxZ=Cx*

定理2：可行域有界，最優(yōu)值必可在頂點得到Cx*=μ

iC

x(i)ki=1μ

iCx(m)ki=1=Cx(m)[設(shè)Cx(m)＝Max(C

x(i))]1ikμ

ix(i)ki=1μ

i=1ki=10μi1x*=5．線性規(guī)劃基本概念page78引理2：LP問題的可行解x是基本可行解x的非0分量對應(yīng)的系數(shù)列向量線性無關(guān)證明：（1）必要性。由基可行解的定義顯然。（2）充分性。若向量P1，P2,…Pk線性獨立，則必有k

m。

當(dāng)k=m時，它們恰好構(gòu)成一個基，從而x=(x1,x2,…,xm,0,…,0)為相應(yīng)的基可行解。當(dāng)k<m時，則一定可從其余列向量中找出(m-k)個與P1,P2,…,Pk構(gòu)成一個基，其對應(yīng)的解恰為x，所以據(jù)定義它是基可行解。5．線性規(guī)劃基本概念page79證明(反證法）：()假設(shè)x不是基本可行解x＝(x1,…,xn)Txj>0j=1,…,kxj=0j=k+1,…,n由引理2知，p1,…,pk線性相關(guān)必有不全為0的1,…,

k使1p1+…+

kpk=0做＝(1,…,

k,0…,0)T則有A

＝1p1+…+

kpk=0可行域C中點x是頂點x是基本可行解定理3：5．線性規(guī)劃基本概念page80選任一不為零的數(shù)令x(1)

=x+

0

x(2)

=x－

0又Ax(1)

=Ax+A＝b

Ax(2)

=Ax－A=b

所以x(1)Cx(2)C因為x＝1/2x(1)+1/2x(2)所以x不是可行域的頂點5．線性規(guī)劃基本概念page81證明：()不是頂點，不是基可行解設(shè)x為可行解xj>0j=1,…,kxj=0j=k+1,…,n若x不是頂點，則有x(1)＝x(2)C，使得：x=x(1)

+(1-)x(2)

(0<

<

1)xj=xj(1)

+(1-)xj(2)

(j=1,…,k)0=xj(1)

+(1-)xj(2)

(j=k+1,…,n)5．線性規(guī)劃基本概念page82因為>0，1->0，xj(1)

0，xj(2)

0所以xj(1)＝

xj(2)＝

0(j=k+1,…,n)因為Ax(1)

=bAx(2)

=bp

jxj(1)=bnj=1p

jxj(2)=bnj=1即p1x1(1)+…+pkxk(1)=b(a)p1x1(2)+…+pkxk(2)=b(b)5．線性規(guī)劃基本概念page83由(a)－(b)得(x1(1)－x1(2))p1+…+(xk(1)－xk(2))pk=0即x不是基可行解所以p1,…,pk線性相關(guān)定理4若線性規(guī)劃問題有最優(yōu)解，一定存在一個基可行解是最優(yōu)解。5．線性規(guī)劃基本概念page84

(LP)問題的基本可行解可行域的頂點。若(LP)問題有最優(yōu)解，必可以在基本可行解(頂點)達到。若(LP)問題有可行解，則可行解集(可行域)是凸集(可能有界，也可能無界)，有有限個頂點。5．線性規(guī)劃基本概念LP問題解的性質(zhì)page856．單純形法

6.1、單純形法迭代原理6.2、單純形法計算步驟6.3、人工變量法6.4、兩階段法6.5、計算中的幾個問題page866.1單純形法迭代原理一、確定初始基可行解二、從一個基可行解轉(zhuǎn)換為相鄰基可行解三、最優(yōu)性檢驗和解的判別page87A中總存在一個單位矩陣（P1,P2,…,Pm)。一、確定初始基可行解當(dāng)約束條件為時，加上松馳變量的系數(shù)矩陣即為單位矩陣。當(dāng)約束條件為或＝時，可以構(gòu)造人工基，人為產(chǎn)生一個單位矩陣?；蛄?、基變量、非基向量、非基變量可得初始基可行解:x=(x1,…,xm,xm+1,…xn)T=(b1,…,bm,0,…,0)T6.1單純形法迭代原理page88兩個基可行解相鄰指的是它們之間變換且僅變換一個基變量。設(shè)x(0)=(x10,x20,…xm0,0,…0)T，有Pixi0=bmi=1系數(shù)矩陣的增廣矩陣二、基可行解的轉(zhuǎn)換6.1單純形法迭代原理page89Pj=aijPimi=1Pj－aijPi＝0

mi=1兩邊乘上一個正數(shù)θ>0，得θ

(Pj－aij

Pi）=0

mi=1同相加整理得：Pixi0=bmi=1所以得到另一個點x(1),使Pixi(1)=bni=1可行解?基解?6.1單純形法迭代原理page90所以x(1)是可行解令存在：6.1單純形法迭代原理page91重新排列后不含非基向量的增廣矩陣：因alj＞0，故上述矩陣元素組成的行列式不為零，P1,P2,…Pl-1,Pj,Pl+1,…,Pm

是一個基。所以，x(1)，是基可行解。00…010…06.1單純形法迭代原理page92進行初等變換：b=(b1-θa1j,…,bl-1-θal-1,j,θ,bl+1-

θal+1,j,…bm-amj)T由此x(1)是x(0)相鄰的基可行解，且由基向量組成的矩陣仍為單位矩陣。x(1)=(b1-θa1j,…,bl-1-θal-1,j,θ,bl+1-

θal+1,j,…bm-amj)T？6.1單純形法迭代原理page93將基本可行解x（0）和x（1）分別代入目標函數(shù)得：三、最優(yōu)性檢驗和解的判別6.1單純形法迭代原理page94是對線性規(guī)劃問題的解進行最優(yōu)性檢驗的標志。當(dāng)所有的σi<=0時，現(xiàn)有頂點為最優(yōu)解。當(dāng)所有的σi<=0時，又對某個非基變量xj,有Cj-Zj=0，且可找到θ

＞0，則有無窮多最優(yōu)解。當(dāng)存在某個σj>0，又Pj<=0,則有無界解。通常簡寫為6.1單純形法迭代原理page951)找出初始基可行解，建立單純形表。6.2單純形法計算步驟Cjc1…cm…cj…cnCBxBbx1…xm…xj…xnc1x1b110…a1j…a1nc2x2b200…a2j…a2n…………….……………cmxmbm01…amj…amnσj=cj-zj0…0……page966.2單純形法計算步驟5）以a’l,k為主元素進行旋轉(zhuǎn)運算，轉(zhuǎn)2）。3）若，使得但則此問題無界解，停止.否則，轉(zhuǎn)下一步.page97例13用單純形法求解線性規(guī)劃問題maxZ=2x1+x25x2

156x1

+2x2

24x1

+x3

5x1,

x2

0s.t.6.2單純形法計算步驟page98解：1、先將上述問題化成標準形式有maxZ=2x1+x2+0·x3+0·x4+0·x56.2單純形法計算步驟找到一個初始基可行解x=(0,0,15,24,5)

5x2+x3=15s.t.6x1+2x2+x4=24x1+x2

+x5=5

x1,

…,x50page992、列初始單純形表：因為σ1＞σ2，確定x1為換入變量。因為θ＝min{-，24/6，5/}＝4所以6為主元素，x4為換出變量。Cj21000θCBxBbx1x2x3x4x50x315051000x424620100x5511001σj=cj-zj6.2單純形法計算步驟page1003、列新單純形表：因為σ2＞0，確定x2為換入變量。因為θ＝min{15/5，4/2/6，1/4/6}＝3/2。所以4/6為主元素，x5為換出元素。Cj21000θCBxBbx1x2x3x4x50x315051002x1412/601/600x5104/60-1/61σj=cj-zj6.2單純形法計算步驟page1014、列新單純形表：因為Cj-Zj＜0，所以達到最優(yōu)解。最優(yōu)解為：x=(7/2,3/2,15/2,0,0)。目標函數(shù)值為Z＝2×7/2+1×3/2+0×15/2+0+0=8.5Cj21000θCBxBbx1x2x3x4x50x315/20015/4-15/22x17/21001/4-1/21x23/2000-1/42/3σj=cj-zj6.2單純形法計算步驟page102練習(xí)題解：原問題化為標準型6.2單純形法計算步驟page103Cj3501000θCBxBbx1x2x3x4x5x6x70x5351110100350x612510-1010120x7500-11001－σj=cj-zj3501000列初始單純形表156.2單純形法計算步驟page104Cj3501000θCBxBbx1x2x3x4x5x6x70x523-40111-10235x212510-1010－0x7500-110015

σj=cj-zj-220060-5016列新單純形表6.2單純形法計算步驟page105Cj3501000θCBxBbx1x2x3x4x5x6x70x518-40201-1-195x21751-10011－1x4500-11001－

σj=cj-zj-220600-5－626列新單純形表6.2單純形法計算步驟page106Cj3501000θCBxBbx1x2x3x4x5x6x70x39-20100.5-0.5-0.55x22631001x414-20010.5-0.50.5

σj=cj-zj-10000-3-2-36.2單純形法計算步驟page1076.3人工變量法當(dāng)化為標準形后的約束條件的系數(shù)矩陣中不存在單位矩陣時，可以人為地增加變量，在最優(yōu)解中人工變量取值必須為零。為此，令目標函數(shù)中人工變量的系數(shù)為任意大的負值－M。亦稱大M法。page108例1：maxZ=6x1+4x22x1+3x2

1004x1+2x2

120x1=14x2

22x1x2

06.3人工變量法page109maxZ=6x1+4x22x1+3x2+x3=1004x1+2x2+x4=120x1=14x2-x5=

22x1…x5

0解：化成標準型6.3人工變量法page110maxZ=6x1+4x2-Mx6-Mx72x1+3x2+x3=1004x1+2x2+x4=120x1+x6=14x2-x5+x7=

22x1…x7

0加人工變量6.3人工變量法page111Cj64000-M-MθCBxBbx1x2x3x4x5x6x70x310023100000x41204201000-Mx6141000010-Mx7220100-101σj=cj-zj列初始單純形表6.3人工變量法page112Cj64000-M-MθCBxBbx1x2x3x4x5x6x70x31002310000500x4120420100030-Mx614100001014-Mx7220100-101σj=cj-zjM＋6M+400-M000x37203100-200x46402010-406x1141000010-Mx7220100-101σj=cj-zj0M+400-M6-M06.3人工變量法page113Cj64000-M-MθCBxBbx1x2x3x4x5x6x70x3600103-2-30x42000012-4-26x11410000104x2220100-101σj=cj-zj000046-M4-M0x52001/301-2/3-10x41600-2/310-8/306x11410000104x224011/300-2/3-2σj=cj-zj00-4/300-M-10/3-M6.3人工變量法page114Cj64000-M-MθCBxBbx1x2x3x4x5x6x70x3600103-2-30x42000012-4-26x11410000104x2220100-101σj=cj-zj000046-M4-M0x52001/301-2/3-10x41600-2/310-8/306x11410000104x224011/300-2/3-2σj=cj-zj00-4/300-M-10/3-M6.4兩階段法為了克服大M法的困難，對添加人工變量后的線性規(guī)劃問題分兩個階段來計算，稱為兩階段法。解題思路：第一階段是先求解一個目標函數(shù)中只包含人工變量的線性規(guī)劃問題，即令目標函數(shù)中其它變量的系數(shù)取零，人工變量的系數(shù)取某個正的常數(shù)(一般取1)，在保持原問題約束條件不變的情況下求這個目標函數(shù)極小化時的解。顯然在第一階段中，當(dāng)人工變量取值為0時，目標函數(shù)值也為0。這時候的最優(yōu)解就是原線性規(guī)劃問題的一個基可行解。page115作輔助問題minW=yii=1mxj，yi0j=1naijxj+yi

=bi(i=1,2,…,m)原問題maxZ=Cjxjj=1nxj0j=1naijxj=bi(i=1,2,…,m)6.4兩階段法page116解題過程：第1階段：解輔助問題。當(dāng)進行到最優(yōu)表時，①、若W=0,則得到原問題的一個基本可行解，轉(zhuǎn)入第2階段。②、若W>0,則判定原問題無可行解。第2階段：去除人工變量，求解原問題。第一階段的最優(yōu)解為原問題的初始基可行解。6.4兩階段法page117例2：maxZ=-x1+2x2x1+x2

2-x1+x21x2

3x1x2

0解：第(1)階段：minW=x6+x7x1+x2-x3+x6=2-x1+x2-x4+x7=1x2+x5=3x1…x7

06.4兩階段法page118列初始單純形表Cj00000-1-1θCBxBbx1x2x3x4x5x6x7-1x6211-10010-1x71-110-10010x530100100σj=cj-zj第二階段：去除人工變量，列新單純形表求解。6.4兩階段法page1190000011

x1x2x3x4x5x6x7CBxB3

0

-2110

001x6211-100101x71-1

(1)0-10010x530100100CBxB1

-201-1002x61(2)0-1101-1x21-1

10-1001x52100110-1

xB0

0000011x11/210-1/21/201/2-1/2x23/20

1-1/2-1/201/21/2x53/200-1/21/21-1/2-1/2

6.4兩階段法page120-12000x1x2x3x4x5CBxB3/2001/23/20-1x11/210-1/2(1/2)02x23/201-1/2-1/200x53/2001/21/21xB4-30200x4120-110x2211-100x51-10(1)01xB6

1000-2x4210011x2301001x31-101016.4兩階段法page1216.5計算中的幾個問題2、退化：（非退化θ值唯一）

在下一次迭代中有一個或幾個基變量為0，從而出現(xiàn)退化解?？赡軙?dǎo)致循環(huán)，永遠達不到最優(yōu)解。1、目標函數(shù)極小化時解的最優(yōu)性判別

以σi0作為判別表中解是否最優(yōu)的標志page122則xk進基1）若有兩個以上檢驗數(shù)如何解決退化問題？Dantzig規(guī)則：6.5計算中的幾個問題page1236.5計算中的幾個問題1951年Hoffman給出反例。（3個方程，11個變量）1955年E.M.L.Beale3個方程，7個變量。6次迭代后，出現(xiàn)循環(huán)。

按照Dantzig規(guī)則：（5，6，7）（1，6，7）（1，2，7）（3，2，7）（3，4，7）（5，4，7）（5，6，7）page124Bland原則（1976年第9屆國際數(shù)學(xué)規(guī)劃大會）6.5計算中的幾個問題page1253、無可行解的判別

當(dāng)線性規(guī)劃問題中添加人工變量后，無論用人工變量法或兩階段法，初始單純形表中的解因含非零人工變量，故實質(zhì)上是非可行解。當(dāng)求解結(jié)果出現(xiàn)所有σi0時，如基變量中仍含有非零的人工變量(兩階段法求解時第一階段目標函數(shù)值不等于零)，表明問題無可行解。6.5計算中的幾個問題page1266.5計算中的幾個問題例7用單純形法求解線性規(guī)劃問題maxZ=2x1+x2x1+x2

22x1+2x26x1x2

0page1276.5計算中的幾個問題解：添加松弛變量和人工變量，原模型化為標準型。maxZ=2x1+x2-Mx5x1+x2+x3=

22x1+2x2–x4+x5=6x1-5

0以X3，X5為基變量列初始單純形表，進行計算。page1286.5計算中的幾個問題Cj2100-MθCBxBbx1x2x3x4x50x3211100-Mx56220-11σj=cj-zj2+2M1+2M0-M02x1211100-Mx5200-2-11σj=cj-zj0-1-2-2M-M0page1296.6單純形法小結(jié)6.6單純形法小結(jié)7．應(yīng)用舉例例1：用長7.4m的鋼材做100套鋼架，每套鋼架需長2.9m,2.1m,1.5m的料各一根。問如何下料，使用的原料最?。糠治觯嚎尚械南铝戏桨赣校孩瘼颌螈簪酡?.9000011122.1012301201.543203101合計7.3余料0.1解：設(shè)第i種方案用xi根原料。解之得x3=30x5=50x6=10思考：1）目標函數(shù)可否改為z=x1+x2+x3+x4+x5+x6

2）若每套鋼架需長2.9m一根，2.1m二根，1.5m五根。問如何求解。7．應(yīng)用舉例例2連續(xù)投資問題李勇擬定在三年后購買一套房子，準備在今后的三年中作一些投資，現(xiàn)有下面四個投資機會：1：在三年內(nèi)，投資人在每年年初投資，每年有20%的收益。2：在三年內(nèi)，投資人在第一年年初投資，兩年后有50%的