2015-2016第一學(xué)期高等數(shù)學(xué)A1

武漢大學(xué)2015-2016第一學(xué)期等數(shù)學(xué)A1期末試A解答一、計(jì)算（每小7分，共63分）1、若f(x)在點(diǎn)x1可導(dǎo)，且f(1)1，計(jì)算limf(x)f(1)x1x20151解limf(x)f(1)milf(x)f(1)□17分x1x20151x1(x1)(x2014x2013x20151)或limf(x)f(1)limf(x)f1)(x1□f(1)lim11x1x20151x1(x1)x20151x12015x2014201512、計(jì)算極lim(1en)n.nn11111nen12解：原式lim(en)n(1)nlime(1)e7分1en1nnenen1ln(xex)1ex1limlimxexlim(xex12因此lim(1enn)2e或)xx0x0x0ex□eenn3、已知F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，滿足F(x)f(x)xex，F(xiàn)(x)0,F(0)1，求f(x)．解：對(duì)F(x)f(x)xex兩邊積分得F(x)f(x)dxxexdx，即F(x)dF(x)xexexc，1F(x)2xexexc，又F(0)1代入上式得c3□22xexxex注意到F(x)0，解得F(x)2ex(x3，因此f(x)1)F(x)x1)32e(x或f(x)□xex7分F(x)2ex(x1)34、設(shè)函數(shù)yyx是由方程x2y2yexy2所確定的函數(shù),求曲線yyx在點(diǎn)0,2處的切線方程.解2x2yyyexyyexyyxy0將點(diǎn)0,2代入得y04y4x233(或4x3y60)7分5、計(jì)算定積分110081解：原式=2dx□2016ln(xx21)□2016ln(12)7分0x210x2,0x16、設(shè)f(x)x,1x2，求(x)xf(t)dt在(0,)內(nèi)的表達(dá)式。0,other0,x0解(x)x1x3,0x17分f(t)dt3□01x21x22□,6111x267、設(shè)函數(shù)yyxfyCey確定，其中C是常數(shù)，f擁有二導(dǎo)數(shù)，且由方程xef(y)1，求dy,d2ydx。dx21,y1解yfylnx,yfyy,Cxx[1fy]yfyy2fyy1,11x2fy[1fy]2[fyy2]y1fyx2x2[1fy]37分yyxsinx8、求初值y01,y01的解。2解對(duì)應(yīng)的次方程的通解為yC1cosxC2sinx次方程yyx的一個(gè)特解為y1x,次方程yysinx的一個(gè)特解為,原方程的通解為xcosx，利用初值條件可求得yC1cosxC2sinxx2C1,C1,原的解為x7分cosxsinxxcosx12y2x09、設(shè)f(x)連續(xù)，在x0處可導(dǎo)，且f(0)0,f(0)4，求lim0f(u)du)dt。t(ix0x3sinx解1f(x)f(0)1f'(0)17分□lim□8x0x82二、應(yīng)用（每小8分，共24分）1、求在拋物線與y28x解：圖略V14xdx1

4之的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積。8分8x4dx2x214x4x210

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0122、求二曲線rsin解：當(dāng)?shù)扔?和A13sin2d20

與r3cos所圍公共部分的時(shí)，兩曲線訂交，所圍公共部分的31225323cosd3244

積。積為分3、設(shè)落傘從跳傘塔下落后，所受空氣力與速度成正比，并設(shè)落傘走開跳傘塔時(shí)（t0）速度為，求落傘下落速度與時(shí)的函數(shù)關(guān)系。解：落傘所受外力為Fmgkv,由牛運(yùn)動(dòng)第二定律得Fmamdvdt因此mdvmgkv，初始條件為v□0，分別變量得，dttdv0ktkc1dt，即1ln(mgkv)兩邊積分得c，mgkvem，tmgkvmkm1vmgkt(cekc1□0代入得cmg，因此cem)，把vkkkt0kmgt8分vm)k(1e（第17分，第26分，共13分）三、證明1、設(shè)函數(shù)f(x)在[0,a]上二可導(dǎo)，f(x)M(x[0,a])且f(x)在(0,a)內(nèi)獲取最大值，試證明f(0)f(a)Ma.證明：因f(x)在[0,a]上二可導(dǎo),且f(x)在(0,a)內(nèi)獲取最大值設(shè)在x0(0,a)獲取最大值,則f(x0)0從而在[0,a],x0,a上分別對(duì)f(x)用拉格朗日中值定理有最少1(0,x0)使f(0)f(x0)f(1)(0x0)而f(x0)0,f(x)則f(0)Mx0(1)M,同理有:f(a)M(ax0)(2)由(1)(2)得:f(a)f(a)Ma7分112、（6分）設(shè)fx在區(qū)1,1上連續(xù),且1fxdx1fxtanxdx0,證明在區(qū)1,1內(nèi)最少存在互異的兩點(diǎn)1,2,使f1f20.證：記Fxxdt,則Fx1,1上可導(dǎo),且F1F10，若Fx在ft在1,1111內(nèi)無點(diǎn),不如設(shè)Fx0,x1,10ftanxdF(x)xtanxdx1□Fxtanx111