《工程力學(xué)》項目4 質(zhì)點運動力學(xué)

?工程力學(xué)?工程4質(zhì)點運動力學(xué)質(zhì)點運動力學(xué)工程四質(zhì)點運動力學(xué)任務(wù)4.1點的運動方程、速度、加速度任務(wù)4.2點的復(fù)合運動任務(wù)4.3質(zhì)點動力學(xué)根本定律任務(wù)4.4動靜法質(zhì)點運動力學(xué)任務(wù)4.1點的運動方程、速度、加速度自然法〔弧坐標(biāo)法〕

２．點的速度動點在

時間內(nèi)的平均速度：當(dāng)Δｔ趨近于零時，Ｍ１趨近于Ｍ，該極限值就是動點在位置Ｍ處〔即時刻ｔ〕的瞬時速度：當(dāng)Δｔ→０時，線段ＭＭ１趨近于弧長Δｓ，即,所以瞬時速度的大小為：質(zhì)點運動力學(xué)任務(wù)4.1點的運動方程、速度、加速度自然法〔弧坐標(biāo)法〕

３．點的加速度加速度是表示速度變化的一個物理量。動點沿平面曲線運動時，一般情況下，其速度的大小和方向都會發(fā)生變化。動點在瞬時t的加速度：其中動點的加速度：=

質(zhì)點運動力學(xué)任務(wù)4.1點的運動方程、速度、加速度自然法〔弧坐標(biāo)法〕切向加速度：=法向〔向心〕加速度：點的全加速度等于切向加速度aτ和法向加速度an的矢量和，即：a=

aτ+an。

因aτ與an互相垂直，故全加速度的大小為：全加速度的方向可由a與an所夾的銳角θ確定：質(zhì)點運動力學(xué)任務(wù)4.1點的運動方程、速度、加速度自然法〔弧坐標(biāo)法〕勻變速曲線運動是曲線運動的一種特殊情況，假設(shè)切向加速度aτ，那么可導(dǎo)出速度和弧坐標(biāo)的相應(yīng)計算公式有：質(zhì)點運動力學(xué)任務(wù)4.1點的運動方程、速度、加速度自然法〔弧坐標(biāo)法〕例：點M沿半徑r=100mm的圓周運動〔如圖〕，其運動方程為S=20t2-50t-30,弧坐標(biāo)的單位為mm，時間的單位t為S〔秒〕。試求初瞬時及t=1S、t=2S時點的位置、速度、加速度，并求時間間隔1~2S內(nèi)動點的路程。質(zhì)點運動力學(xué)任務(wù)4.1點的運動方程、速度、加速度自然法〔弧坐標(biāo)法〕解:⑴求弧坐標(biāo)、路程

將t=0、1、2、分別代入運動方程中，便可以求出各瞬時動點的孤坐標(biāo)：t=0時的坐標(biāo)：S0=t=1s的坐標(biāo)

：

t=2s的坐標(biāo)

：

由弧坐標(biāo)可在圖中找出

M1、M2瞬時動點的位置，計算1S內(nèi)的路程時，應(yīng)分兩段計算，即

:

⑵求速度

t=1s時的速度

t=2s時同理可得。⑶求當(dāng)t=1s時加速度

t=2s時的加速度同理可得。質(zhì)點運動力學(xué)任務(wù)4.1點的運動方程、速度、加速度直角坐標(biāo)法1．運動方程、軌跡方程運動方程：軌跡方程：質(zhì)點運動力學(xué)任務(wù)4.1點的運動方程、速度、加速度直角坐標(biāo)法2．速度方向：速度：質(zhì)點運動力學(xué)任務(wù)4.1點的運動方程、速度、加速度直角坐標(biāo)法3．加速度加速度在x、y軸上的投影ax、ay：全加速度的大小為：全加速度的方向為：質(zhì)點運動力學(xué)任務(wù)4.1點的運動方程、速度、加速度直角坐標(biāo)法例：橢圓規(guī)機構(gòu)如下圖。AC=CB=OC=r。曲柄OC轉(zhuǎn)動時，,帶動AB尺運動，A、B分別在鉛直和水平槽內(nèi)滑動。求BC中點M的速度、加速度。質(zhì)點運動力學(xué)任務(wù)4.1點的運動方程、速度、加速度直角坐標(biāo)法解:⑴運動分析。曲柄OC轉(zhuǎn)動時，帶動BC尺運動，而CB中點M作平面曲線運動。M點軌跡未知，故需采用直角坐標(biāo)法。⑵列運動方程，求未知量。選O為原點，作直角坐標(biāo)系OXY

。根據(jù)圖示的幾何關(guān)系，M點的坐標(biāo)為:將

φ=ωt及

r代入式中，便得點的直角坐標(biāo)運動方程：從運動方程中消去時間t

,得出M點的軌跡方程：故M點速度的大小為：又因：故M點加速度的大小為：質(zhì)點運動力學(xué)任務(wù)4.2點的復(fù)合運動復(fù)合運動的根本概念1．運動的合成如下圖的車間中的吊車，在小車A沿橋軌作直線平動時，小車上的卷揚機同時提升重物M，這時重物相對于地面的運動，也可看成是小車相對于地面的簡單平動與重物相對于小車上升的簡單的直線運動合成。質(zhì)點運動力學(xué)任務(wù)4.2點的復(fù)合運動復(fù)合運動的根本概念2．兩種坐標(biāo)系和三種運動兩種坐標(biāo)系：定〔或靜〕坐標(biāo)系和動坐標(biāo)系。三種運動：動點對定坐標(biāo)系的運動稱為絕對運動；動點對動坐標(biāo)系的運動稱為相對運動；動坐標(biāo)材系對定坐標(biāo)系的運動稱為牽連運動。質(zhì)點運動力學(xué)任務(wù)4.2點的復(fù)合運動復(fù)合運動的根本概念3．點在三種運動中的速度和加速度⑴動點的絕對速度和加速度，就是動點相對靜坐標(biāo)系運動的速度和加速度，分別記為va和。⑵動點的相對速度和加速度，就是動點相對動坐標(biāo)系運動的速度和加速度，分別記為vr和ar。⑶牽連速度和加速度，稱之為該瞬時動點的牽連速度和牽連加速度，記為ve和ae

。質(zhì)點運動力學(xué)任務(wù)4.2點的復(fù)合運動點的速度合成定理設(shè)動點M沿相對軌跡弧AB按一定的規(guī)律運動，同時，弧AB又隨同動坐標(biāo)系一起相對于定坐標(biāo)系oxyz運動，如下圖?，F(xiàn)確定絕對速度，牽連速度和相對速度三者的關(guān)系。在任一瞬時，動點的絕對速度等于牽連速度與相對速度的矢量和。這就是點的速度合成定理。質(zhì)點運動力學(xué)任務(wù)4.2點的復(fù)合運動點的速度合成定理例：仿形床中的凸輪頂桿機構(gòu)如下圖。凸輪速度為v，方向水平向右，求圖示位置〔φ=60°〕時推桿的速度。質(zhì)點運動力學(xué)解：選AB桿端的A點為動點，動坐標(biāo)系固連于半圓凸輪上，定坐標(biāo)系那么與地面固結(jié)。其速度分析圖參見以下圖。按速度合成定理將各速度沿OA方向投影，那么得：任務(wù)4.2點的復(fù)合運動點的速度合成定理所以：由于推桿作平動，故就是推桿的速度。質(zhì)點運動力學(xué)任務(wù)4.2點的復(fù)合運動

點的加速度合成公式及應(yīng)用1．加速度合成公式⑴當(dāng)牽連運動為平動時，其合成公式為：

aa=ae+ar上式說明動點的絕對加速度等于動系的牽連加速度與動點相對于動系的加速度的矢量和。⑵當(dāng)牽連運動為定軸轉(zhuǎn)動時，其合成公式為

aa=ae+ar+ak其中ak=2ωe×vr

ωe為動系轉(zhuǎn)動的角速度，vr為動點的相對速度。ak稱科氏加速度。上式說明動點的絕對加速度等于動系為平動時牽連點的牽連加速度與動點的相對加速度及科氏加速度的矢量和。質(zhì)點運動力學(xué)任務(wù)4.2點的復(fù)合運動

點的加速度合成公式及應(yīng)用2．加速度合成公式的應(yīng)用例：仿形床中的凸輪頂桿機構(gòu)如下圖。凸輪速度為v，方向水平向右，求圖示位置〔φ=60°〕時推桿AB的加速度。質(zhì)點運動力學(xué)任務(wù)4.2點的復(fù)合運動

點的加速度合成公式及應(yīng)用2．加速度合成公式的應(yīng)用解：選AB桿端的A點為動點，由上節(jié)分析可求得：現(xiàn)作加速度分析如下：應(yīng)用牽連運動是平動的加速度合成公式，把加速度公式沿O’A投影,可得：整理并代入φ=60°,得：質(zhì)點運動力學(xué)任務(wù)4.3質(zhì)點動力學(xué)根本定律動力學(xué)根本定律第一定律〔慣性定律〕不受力作用的質(zhì)點，將永遠保持靜止或作勻速直線運動。第二定律〔力與加速度關(guān)系定律〕質(zhì)點受力作用時將產(chǎn)生加速度。加速度的方向與力的方向相同，加速度與質(zhì)點質(zhì)量的乘積等于質(zhì)點所受的力。第二定律可表示為:F=ma,由此可得質(zhì)量的物理意義是：質(zhì)量是質(zhì)點慣性大小的度量,可得G=mg。第三定律〔作用與反作用定律〕兩個質(zhì)點相互作用的力，總是大小相等、方向相反、沿同一直線同時分別作用在這兩個質(zhì)點上。質(zhì)點運動力學(xué)任務(wù)4.3質(zhì)點動力學(xué)根本定律質(zhì)點運動微分方程1．質(zhì)點運動微分方程的直角坐標(biāo)形式如圖表示質(zhì)量為m的質(zhì)點M在合外力F作用下沿平面曲線運動，其加速度為a。根據(jù)動力學(xué)根本方程有：ma=F或ma=ΣF。取直角坐標(biāo)系Oxy，并將上式投影在x、y軸上，即得將代入上式，得質(zhì)點的運動微分方程的直角坐標(biāo)形式：質(zhì)點運動力學(xué)任務(wù)4.3質(zhì)點動力學(xué)根本定律質(zhì)點運動微分方程2．質(zhì)點運動微分方程的自然坐標(biāo)形式如果質(zhì)點的運動軌跡，那么用弧坐標(biāo)表示點的運動方程，可把動力學(xué)根本方程向質(zhì)點運動軌跡的切向和法向投影，得maτ=ΣFτman=ΣFn將、代入上式，得質(zhì)點運動微分方程的自然坐標(biāo)形式：質(zhì)點運動力學(xué)任務(wù)4.3質(zhì)點動力學(xué)根本定律質(zhì)點運動微分方程3．質(zhì)點動力學(xué)的兩類問題第一類問題：質(zhì)點的運動，求作用于質(zhì)點上的力。在這類問題中，一般質(zhì)點的運動方程是的，通過求導(dǎo)數(shù)的運算可以求出加速度ax、ay、aτ和an，代入加速度合成公式中即可求出未知力。第二類問題：質(zhì)點所受的力，求質(zhì)點的運動。這類問題比較復(fù)雜，因為作用于質(zhì)點上的力可以是常力，也可以是和許多物理因素〔如時間、位置或速度等〕有關(guān)的變量。解這類問題的運算中，對微分方程積分時，將出現(xiàn)假設(shè)干個積分常數(shù)，必須根據(jù)初始條件〔t=0時質(zhì)點的位置和速度〕來確定，以求得質(zhì)點的運動規(guī)律。質(zhì)點運動力學(xué)任務(wù)4.4動靜法慣性力的概念當(dāng)物體受到力的作用而使其運動狀態(tài)發(fā)生變化時，由于物體的慣性，對外界產(chǎn)生的反作用力，抵抗運動的變化，這種抵抗力稱為慣性力。慣性力的大小等于質(zhì)量與加速度之積，方向與加速度相反，作用在使此物體產(chǎn)生加速度的其他物體上。如在光滑的水平直線軌道上推車時〔如以下圖〕，為了使車產(chǎn)生加速度，人必須對車作用一推力F。由于車的慣性，力圖保持它原來的運動狀態(tài)，所以車給人以反作用力Q，此力作用在人的手上，稱為車的慣性力。。質(zhì)點運動力學(xué)任務(wù)4.4動靜法慣性力的概念設(shè)質(zhì)量為m的質(zhì)點M受力F作用而作曲線運動〔如以下圖〕其加速度為，與加速度方向相反的慣性力為Q。Q的切線方向的分力Qτ和法線方向的分力Qn分別稱為切向慣性力和法向慣性力〔或離心慣性力〕。顯然有：切向慣性力和法向慣性力的大小為：質(zhì)點運動力學(xué)任務(wù)4.4動靜法動靜法設(shè)一質(zhì)量為m的非自由質(zhì)點M受主動力F和約束反力N的作用，F(xiàn)和N的合力為R，質(zhì)點具有加速度〔如以下圖〕由動力學(xué)根本方程假想在質(zhì)點M上加上慣性力那么F+N+Q=0上式說明，如果在作加速運動的質(zhì)點上，假想地加上慣性力，那么作用于質(zhì)點的主動力、約束反力與慣性力在形式上構(gòu)成一個平衡力系。這就是質(zhì)點的達朗伯原理。實際上，這是用靜力學(xué)的方法來處理動力學(xué)問題，故稱為動靜法。得F+N=ma質(zhì)點運動力學(xué)將F+N+Q=0投影在直角坐標(biāo)軸上，那么得任務(wù)4.4動靜法動靜法將G=mg投影在切線和法線方向，那么得式中

：Fx、Nx、Qx分別是主動力、約束反力和慣性力在

軸上的投影Fy、Ny、Qy分別是主動力、約束反力和慣性力在y軸上的投影式中：F

τ、Fn是主動力在切向和法向的投影；N

τ

、Nn是約束反力在切向和法向的投影，Q

τ

、Qn是切向慣性力和法向慣性力切向合法向的投影。質(zhì)點運動力學(xué)任務(wù)4.4動靜法動靜法例：為測定列車的加速度，采用一種稱為加速度測定擺的裝置。這種裝置就是在車廂頂上掛一單