《隨機信號分析》緒論 第1章 隨機變量基礎(chǔ)

?隨機信號分析?緒論第1章隨機變量根底

顧昕鈺 副教授信息與通信工程學(xué)院先進網(wǎng)絡(luò)技術(shù)實驗室〔AdvancedNetworkTechnologyLab,ANTLab〕流量和用戶行為識別分析，大數(shù)據(jù)處理車聯(lián)網(wǎng)空間通信壓縮感知和分布式視頻處理5G2023/1/1222023/1/125課程學(xué)習(xí)的意義

例：通信系統(tǒng)中的隨機信號處理噪聲N信息V信號Y信號X信息U信源變換信道復(fù)原變換信宿移動通信

衛(wèi)星通信

2023/1/126課程學(xué)習(xí)的意義

例：雷達系統(tǒng)中的隨機信號處理內(nèi)部噪聲雷達干擾目標(biāo)氣象雜波地雜波影響雷達檢測目標(biāo)的因素目標(biāo)回波2023/1/127課程學(xué)習(xí)目標(biāo)通過本課程學(xué)習(xí)，掌握隨機信號的根本概念、根本理論以及根本分析方法，為后續(xù)通信原理等課程的學(xué)習(xí)打好根底建立有關(guān)隨機問題的思維方法和應(yīng)有的知識水平；初步具有描述和分析研究應(yīng)用中隨機問題模型和統(tǒng)計特性的能力；建立進一步學(xué)習(xí)系統(tǒng)理論和閱讀文獻資料關(guān)于隨機過程分析與處理的必要背景知識。2023/1/128課程定位通信工程、電子信息工程、信息工程等多個專業(yè)方向的重要專業(yè)根底課先修課程概率論與數(shù)理統(tǒng)計、線性代數(shù)、信號與系統(tǒng)后續(xù)課程通信原理、數(shù)字通信、移動通信原理、通信網(wǎng)根底，信息論等2023/1/129課程特點?信號與系統(tǒng)?與?隨機信號分析?是兩門主要的專業(yè)根底課，前者主要以分析確定性的信號與系統(tǒng)為主要內(nèi)容，后者那么以分析隨機信號以及與系統(tǒng)的相互作用為主要內(nèi)容。隨機信號分析是隨機與信號分析的結(jié)合。隨機性的分析運用概率論的理論；信號分析運用信號與系統(tǒng)理論，因此，本課程是概率論與信號與系統(tǒng)的結(jié)合。2023/1/1210參考資料?隨機信號分析與處理?〔第2版〕，羅鵬飛，張文明編著，清華大學(xué)出版社，2021年3月?通信原理?〔第3版〕，周炯槃，龐沁華等編著，北京郵電大學(xué)出版社，2021年8月?概率、隨機變量與隨機過程?〔第4版〕，A.Papoulis等著，保錚等譯，西安交通大學(xué)出版社，2004年9月2023/1/1211教學(xué)安排課程內(nèi)容與教學(xué)安排緒論、隨機變量根底：2-4學(xué)時隨機過程：8-10學(xué)時隨機過程的變換：10學(xué)時窄帶隨機過程：8學(xué)時考核方法平時+期末閉卷考試概率論的根本術(shù)語隨機變量的定義及分布多維隨機變量及分布隨機變量的數(shù)字特征隨機變量的函數(shù)多維正態(tài)隨機變量第1章隨機變量根底隨機試驗在相同條件下可重復(fù)進行試驗的結(jié)果不止一個，所有可能的結(jié)果能事先明確每次試驗前不能確定會出現(xiàn)哪一個結(jié)果舉例投擲硬幣1.1概率論根本術(shù)語隨機事件在隨機試驗中，對試驗中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)、而在大量重復(fù)試驗中卻具有某種規(guī)律性的事情，稱為隨機事件根本領(lǐng)件隨機試驗中最簡單的隨機事件成為根本領(lǐng)件樣本空間隨機試驗??的所有根本領(lǐng)件組成的集合稱為樣本空間，記為??舉例投擲骰子141.1概率論根本術(shù)語1.1概率論根本術(shù)語頻數(shù)和頻率在相同條件下的??次重復(fù)試驗中，事件A發(fā)生的次數(shù)??A稱為事件A的頻數(shù)，比值??A∕??稱為事件A發(fā)生的頻率。概率概率是事件發(fā)生的可能性大小的度量。2023/1/1215定義：設(shè)隨機試驗??的樣本空間為??={??}，如果對于每一個??∈??，有一個實數(shù)??(??)與之對應(yīng)，這樣就得到一個定義在??上的單值函數(shù)??(??)，稱??(??)為隨機變量，簡記為??。隨機變量是定義在樣本空間??上的單值函數(shù)。舉例：投擲硬幣2023/1/12161.2隨機變量的定義隨機變量的分類連續(xù)型隨機變量離散型隨機變量離散型隨機變量：取值為有限個或者可列無窮個離散型隨機變量的概率分布概率分布律1.2隨機變量的定義

X

x1

x2

...

xn

pk

p1

p2

...

pn

離散型隨機變量常見分布(0,1)分布：隨機變量的可能取值為0和1兩個值二項式分布貝努里試驗：設(shè)隨機試驗??只有兩種可能的結(jié)果，將??獨立地重復(fù)??次，那么在??次試驗中事件A發(fā)生??次的概率為2023/1/12181.2隨機變量的定義離散型隨機變量常見分布泊松分布1.2隨機變量的定義分布函數(shù)設(shè)??為隨機變量,??為任意實數(shù),定義為??的概率分布函數(shù)，簡稱分布函數(shù)。性質(zhì)不減函數(shù)：

右連續(xù)：

2023/1/12201.3隨機變量的分布函數(shù)與概率密度對于連續(xù)型隨機變量，其分布函數(shù)是連續(xù)的:對離散型隨機變量，分布函數(shù)是階梯型的:階梯的跳變點出現(xiàn)在隨機變量的取值點上，跳變的高度為隨機變量取該值的概率。分布函數(shù)表示為1.3隨機變量的分布函數(shù)與概率密度1.3隨機變量的分布函數(shù)與概率密度隨機變量的概率密度隨機變量??的分布函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義為它的概率分布密度，記為??(??)性質(zhì)非負函數(shù)：面積為1：常見分布：正態(tài)分布〔高斯分布〕：均值為??，方差為??^2標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：均值為0，方差為12023/1/12231.3隨機變量的分布函數(shù)與概率密度

-4-3-2-10123400.10.20.30.40.50.60.70.8常見分布：均勻分布1.3隨機變量的分布函數(shù)與概率密度常見分布：瑞利分布1.3隨機變量的分布函數(shù)與概率密度02468101200.050.10.150.20.250.30.350.4＝2常見分布：指數(shù)分布1.3隨機變量的分布函數(shù)與概率密度0123456700.511.5二維隨機變量設(shè)隨機試驗??的樣本空間??={??}，??=??(??)和

??=??(??)是定義在樣本空間??上的兩個隨機變量，由??和??構(gòu)成的矢量(??,??)稱為二維隨機變量。二維分布函數(shù)設(shè)(??,??)為二維隨機變量，??,??為實數(shù)，定義為二維隨機變量的分布函數(shù)2023/1/12271.4多維隨機變量及分布二維分布函數(shù)性質(zhì)

邊緣分布：

落在某一區(qū)域的概率1.4多維隨機變量及分布二維概率密度二維分布函數(shù)??(??,??)的二階偏導(dǎo)數(shù)性質(zhì)非負函數(shù)

邊緣概率密度落在某一區(qū)域的概率2023/1/12291.4多維隨機變量及分布條件分布：設(shè)??為一隨機變量，??是一隨機事件，定義為??在??發(fā)生時的條件分布函數(shù)條件分布函數(shù)：令??={??=??}條件概率密度：??,??統(tǒng)計獨立：2023/1/12301.4多維隨機變量及分布多維分布函數(shù)設(shè)有??維隨機變量(??1,??2,…,??n

)，定義為??維隨機變量的??維分布函數(shù)。性質(zhì)2023/1/12311.4多維隨機變量及分布多維概率密度假設(shè)??維分布函數(shù)的??階混合偏導(dǎo)數(shù)存在，那么定義為??維隨機變量的??維概率密度。多維條件概率密度對于??維隨機變量(??1,??2…,??n)，在??(k+1),??(k+2),…,??n2023/1/12321.4多維隨機變量及分布1.5隨機變量的數(shù)字特征均值〔數(shù)學(xué)期望〕隨機變量X的均值離散型隨機變量性質(zhì)線性

X,Y不相關(guān)2023/1/1233方差定義：反映了隨機變量的取值與其均值的偏離程度性質(zhì)

獨立隨機變量：1.5隨機變量的數(shù)字特征1.5隨機變量的數(shù)字特征假設(shè)X是隨機變量，a,b是任意確定實數(shù)，令Y=aX+b，那么

2023/1/1235協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)：描述兩個隨機變量相互關(guān)系協(xié)方差：相關(guān)系數(shù)：，描述線性相關(guān)性相關(guān)系數(shù)性質(zhì)：??,??不相關(guān)時：許瓦茲(Schwartz)不等式：2023/1/12361.5隨機變量的數(shù)字特征矩：更高階的數(shù)字特征??階原點矩：??階中心矩：混合矩：兩個隨機變量??,????+??階混合矩：??+??階混合中心矩：2023/1/12371.5隨機變量的數(shù)字特征定義：設(shè)有一實函數(shù)以及隨機變量??，定義一個新的隨機變量，稱隨機變量??是隨機變量??的函數(shù)。??的統(tǒng)計特性，如何求??的統(tǒng)計特性？2023/1/12381.6隨機變量的函數(shù)一維隨機變量函數(shù)的分布假設(shè)為單調(diào)連續(xù)函數(shù)，求導(dǎo)，得，雅可〔Jacco〕比對于任意單調(diào)函數(shù)：如果不是單調(diào)函數(shù)：其中…,1.6隨機變量的函數(shù)多維隨機變量的函數(shù)設(shè)有二維隨機變量，其概率密度為

，二維隨機變量：

當(dāng)，單調(diào)時，1.6隨機變量的函數(shù)隨機變量函數(shù)的數(shù)字特征設(shè)隨機變量??和??的函數(shù)關(guān)系為那么??的數(shù)學(xué)期望為方差：2023/1/12411.6隨機變量的函數(shù)一維正態(tài)隨機變量二維正態(tài)隨機變量：1.7多維正態(tài)隨機變量二維正態(tài)隨機變量性質(zhì)如果??1,??2是聯(lián)合正態(tài)的，那么??1,??2的邊緣分布也是正態(tài)的。如果，即??1,??2是不相關(guān)的，那么2023/1/12431.7多維正態(tài)隨機變量二維聯(lián)合正態(tài)概率密度其中協(xié)方差矩陣行列式1.7多維正態(tài)隨機變量定義：設(shè)有